Sáng kiến kinh nghiệm Một số ví dụ về ứng dụng toán học vào thực tiễn

MỤC LỤC
 1. MỞ ĐẦU
 1.1.Lí do chọn đề tài.
 1.2. Mục đích nghiên cứu.
 1.3. Đối tượng nghiên cứu.
 1.4. Phương pháp nghiên cứu.
 1.5. Những điểm mới của SKKN.
 2. NỘI DUNG
 2.1. Nội dung kiến thức.
 2.1.1. Công thức tính chu vi, diện tích của các hình, thể tích của các khối hình. 
 2.1.2. Cách tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn, khoảng, nửa đoạn, 
 nửa khoảng. 
 2.2. Ví dụ minh hoạ.
 3. Kết luận và kiến nghị.
 4.TÀI LIỆU THAM KHẢO
 1. MỞ ĐẦU
 1.1. Lí do chọn đề tài 
 - Ta đã biết nội dung chương trình môn Toán ở chương trình phổ thông mới sẽ tinh giản 
 nhiều so với chương trình hiện hành, chú trọng tính ứng dụng thiết thực, gắn với đời 
 sống thực tế .
 - Theo Ban Phát triển các chương trình môn học (Bộ GD-ĐT), ở chương trình phổ thông mới, môn Toán là môn học bắt buộc và được phân chia theo hai giai đoạn:
 Giai đoạn giáo dục cơ bản: giúp học sinh nắm được một cách có hệ thống các khái niệm , nguyên lý, quy tắc toán học cần thiết nhất cho tất cả mọi người, làm nền tảng cho việc học tập ở các trình độ học tập tiếp theo hoặc có thể sử dụng trong đời sống hàng ngày.
 Giai đoạn giáo dục định hướng nghề nghiệp: giúp học sinh có cái nhìn tương đối tổng quát về Toán học, hiểu được vai trò và những ứng dụng của Toán học trong đời sống thực tế... 
 Nói tóm lại: Toán học sẽ rất gần gũi với cuộc sống hàng ngày và sử dụng Toán học để giải quyết các vấn đề nảy sinh trong cuộc sống, đó cũng là mục tiêu cơ bản.
Chính vì vậy sự xuất hiện những bài toán thực tiễn trong các đề thi THPTQG cũng không thể thiếu những nội dung này, nhằm định hướng dần cách suy nghĩ về học Toán.
 Vì lẽ đó tác giả chọn đề tài “MỘT SỐ VÍ DỤ VỀ ỨNG DỤNG TOÁN HỌC VÀO THỰC TIỄN ” 
 nhằm giúp học sinh có cái nhìn thêm về một dạng toán trong các đề thi kiểm tra đánh giá.
 1.2. Mục đích nghiên cứu
- Xây dựng giải pháp phù hợp, tích cực trong giờ dạy học.
- Giúp học sinh tiếp cận dần các bài toán thực tiễn để các em định hình phương pháp
 - Thiết kế giáo án thực nghiệm. 
 1.3. Đối tượng nghiên cứu
- Khai thác một số ví dụ về bài toán thực tiễn trong các đề thi thử THPTQG 
 1.4. Phương pháp nghiên cứu
- Nhóm phương pháp nghiên cứu lý luận: các tài liệu tham khảo, giáo trình có nội dung liên quan.
- Nhóm phương pháp nghiên cứu thực tiễn: Quan sát, điều tra, khảo sát, dự giờ đồng nghiệp, tổng kết kinh nghiệm, tham khảo ý kiến chuyên gia
- Nhóm phương pháp xử lý thông tin: Thống kê, phân tích, tổng hợp
 1.5. Những điểm mới của SKKN
Người viết lựa chọn đề tài về một mảng kiến thức còn mới trong thời điểm hiện tại 
 2. NỘI DUNG
2.1. Nội dung kiến thức.
2.1.1. Công thức tính chu vi, diện tích của các hình, thể tích của các khối hình. 
+ Hình tam giác: Cho tam giác ABC đường cao AH, đặt a = BC, b = CA, c = AB, h = AH.
Chu vi tam giác là : P = a + b + c.
Diện tích tam giác là :
( với ).
+ Hình quạt: Xét hình quạt OAB có bán kính R, góc ở tâm bằng (tính theo radian). 
Chu vi của hình quạt là : 
Diện tích của hình quạt là : 
+ Hình nón, khối nón: 
Diện tích xuang quanh của hình nón có bán kính đường tròn đáy bằng r và có độ dài đường sinh bằng l là: 
Diện tích toàn phần của hình nón tròn xoay bằng diện tích xung quanh của hình nón cộng với diện tích đáy của hình nón: 
Thể tích của khối nón tròn xoay có có chiều cao h và bán kính đáy bằng r là: 
+ Hình trụ, khối trụ: 
Diện tích xuang quanh của hình trụ có bán kính đáy bằng r và có đường sinh bằng l là: 
Diện tích toàn phần của hình trụ bằng diện tích xung quanh của hình trụ đó cộng với diện tích hai đáy của hình trụ: 
Thể tích của khối trụ có chiều cao h và có bán kính đáy bằng r là: 
+ Mặt cầu, khối cầu: 
Mặt cầu bán kính R có diện tích là: 
Khối cầu bán kính R có thể tích là: 
2.1.2. Cách tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn, khoảng, nửa đoạn, nửa khoảng. 
Chú ý thêm để giải quyết nhanh một số bài toán cơ bản.
Hàm số nếu > 0 thì hàm số đã cho đạt giá trị nhỏ nhất trên khi 
Hàm số nếu < 0 thì hàm số đã cho đạt giá trị lớn nhất trên khi 
Với là các số thực dương thì ta có: Đẳng thức xảy ra khi .
Với là các số thực dương thì ta có: Đẳng thức xảy ra khi . 
2.1.3. Ứng dụng của tích phân trong việc tính diện tích hình phẳng, tính thể tích của khối tròn xoay. 
Nếu hàm số liên tục trên đoạn thì diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường : là .
Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số liên tục trên đoạn và hai đường thẳng là 
 Cho hàm số liên tục trên . Thể tích V của khối tròn xoay tạo bởi hình phẳng giới hạn bởi các đường khi quay xung quanh trục hoành được tính theo công thức : 
2.2. Ví dụ minh hoạ.
Ví dụ 1. Một đường dây điện được nối từ nhà máy điện trên bờ biển ở vị trí A đến vị trí C trên một hòn đảo. Khoảng cách ngắn nhất từ C đến đất liền là đoạn BC có độ dài 1 km, khoảng cách từ A đến B là 4 km. Người ta chọn một vị trí là điểm S nằm giữa A và B để mắc đường dây điện từ A đến S, rồi từ S đến C như hình vẽ dưới đây. Chi phí mỗi km dây điện trên đất liền mất 3000USD, mỗi km dây điện đặt ngầm dưới biển mất 5000USD. Hỏi điểm S phải cách điểm A bao nhiêu km để chi phí mắc đường dây điện là ít nhất. 
A. 3,25 km.	B. 1 km.	C. 2 km.	D. 1,5 km.
Lời giải
Lời giải : Giả sử 
Tổng chi phí mắc đường dây điện là : .
Bài toán trở thành tìm giá trị lớn nhất của trên (0;4 
So sánh với điều kiện ta có 
Đáp án A.
Ví dụ 2. Một của sổ có dạng như hình vẽ, bao gồm: một hình chữ nhật ghép với nửa hình tròn có tâm nằm trên cạnh hình chữ nhật. Biết rằng chu vi cho phép của của sổ là 4 m. Hỏi diện tích lớn nhất của cửa sổ là bao nhiêu. 
A. 	B. 	C. 	D. 
Lời giải :
Gọi độ dài IA và AB lần lượt là a và b ( 0 < a, b < 4).
Vì chu vi của cửa sổ bằng 4m nên ta có: 
Diện tích của cửa sổ là:
Bài toán trở thành tìm giá trị lớn nhất của S(a) trên (0;4).
Ta có: Suy ra : 
Đáp án B.
Ví dụ 3. Có hai cây cột dựng trên mặt đất lần lượt cao 1 m và 4 m, đỉnh của hai cây cột cách nhau 5 m. Người ta cần chọn một vị trí trên mặt đất (nằm giữa hai chân cột) và giăng dây nối đến hai đỉnh cột để trang trí như mô hình bên dưới. Tính độ dài dây ngắn nhất. 
A. 	B. 	C. 	D. 
Lời giải :
Kẻ 
Đặt 
Độ dài đoạn dây cần giăng là :
Bài toán trở thành tìm giá trị nhỏ nhất của f(x) trên (0;4)
Ta có: 
Dùng MTCT sử dụng tính năng nhẩm nghiệm ta tính được:
Đáp án A.
Ví dụ 4. Một màn hình ti vi hình chữ nhật cao 1,4 m được đặt ở độ cao 1,8 m so với tầm mắt (tính từ đầu mép dưới của màn hình). Để nhìn rõ nhất phải xác định vị trí đứng sao cho góc nhìn lớn nhất ( là góc nhìn). Hãy xác định độ dài AO để nhìn được rõ nhất.
A. AO = 2,4 m.	B. AO = 2 m.	C. AO = 2,6 m.	D. AO = 3 m.
Lời giải :
Đặt : Ta có: 
Góc nhìn lớn nhất khi cos bé nhất. 
Đặt: . Xét: 
Ta có: 
Suy ra lớn nhất khi 
Đáp án A.
Ví dụ 5. Mỗi trang giấy của cuốn sách giáo khoa cần diện tích 384 cm2. Lề trên và lề dưới là 3cm, lề trái và lề phải là 2 cm. Hãy cho biết kích thước tối ưu của trang giấy. 
A. Dài 24 cm; rộng 16 cm. 
B. Dài 23,5 cm; rộng 17 cm. 
C. Dài 25 cm; rộng 15,36 cm. 	
D. Dài 25,6 cm; rộng 15 cm. 
Lời giải :
Trang giấy có kích thước tối ưu khi diện tích phần trình bày nội dung là lớn nhất. 
Gọi chiều dài của trang giấy là suy ra chiều rộng là 
Diện tích để trình bày nội dung là: 
Ta cần tìm giá trị lớn nhất của với 
Ta có : 
Đáp án A.
Ví dụ 6. (Đề minh hoạ lần 1 kỳ thi THPTQG năm 2017) Cho một tấm nhôm hình vuông cạnh 12 cm. Người ta cắt ở bốn góc của tấm nhôm đó bốn hình vuông bằng nhau, mỗi hình vuông có cạnh bằng x (cm), rồi gập tấm nhôm lại như hình vẽ dưới đây để được một cái hộp không nắp. Tìm x để hộp nhận được có thể tích lớn nhất. 
A. x = 6.	B. x = 3.	C. x = 2.	D. x = 4.
Lời giải :
Thể tích của hộp là: . Ta cần tìm x để V(x) đạt giá trị lớn nhất với 0 < x < 6.
Ta có: V(6) = 0; V(3) = 108; V(2) = 128; V(4) = 64.
Suy ra C là đáp án.
Cách khác :
Theo bất đẳng thức AM-GM ta có:
Đẳng thức xảy ra khi : 2x = 6 – x => x = 2.
Đáp án C.
Ví dụ 7: Một người thợ cơ khí vẽ bốn nửa đường tròn trên tấm nhôm hình vuông cạnh 1 m, sau đó cắt thành hình bông hoa (phần tô đậm trong hình vẽ). Hãy tính diện tích của bông hoa cắt được. 
A. 	B. 	C. 	D. 
Lời giải :
Nhận xét: Diện tích của nửa cánh hoa sẽ bằng diện tích của một phần tư đường tròn trừ đi diện tích tam giác ABC (xem hình vẽ bên). 
Diện tích của nửa cánh hoa là: 
Diện tích của bông hoa cắt được là: 
Đáp án C.
Ví dụ 8. (Đề minh hoạ kỳ thi THPTQG năm 2017) Từ một tấm nhôm hình chữ nhật có kích thước 50 cm x 240 cm, người ta làm các thùng đựng nước hình trụ có chiều cao bằng 50 cm, theo hai cách sau (xem hình minh hoạ dướu đây):
Cách 1: Gò tấm tôn ban đầu thành mặt xung quanh của thùng. 
Cách 2: Cắt tấm tôn ban đầu thành hai tấm bằng nhau, rồi gò mỗi tấm đó thành mặt xung quang của một thùng. 
Kí hiệu là thể tích V1 của thùng gò được theo cách 1 và V2 là tổng thể tích của hai thùng gò được theo cách 2. Tính tỉ số 
A. 	B. 	C. 	D. 
Lời giải :
Gọi bán kính đáy của thùng gò theo cách 1 là R1 và bán kính đáy của thùng được gò theo cách 2 là R2. Ta có: 
Mà , suy ra: 
Đáp án C.
Ví dụ 9. Một cái mũ bằng vải của nhà ảo thuật với kích thước như hình vẽ. Hãy tính tổng diện tích vải cần để làm cái mũ đó biết rằng vành mũ hình tròn và ống mũ hình trụ. 
A. 	B. 	C. 	D. 
Lời giải
Ống mũ là hình trụ với chiều cao h = 30 cm, bán kính đáy 
Diện tích vải để làm ống mũ là: 
Diện tích vải để là vành mũ là: 
Tổng diện tích vải cần để là cái mũ là: 
Đáp án D.
Ví dụ 10. Người ta giăng lưới để nuôi riêng một loại cá trên một góc hồ. Biết rằng lưới được giăng theo một đường thẳng từ một vị trí trên bờ ngang đến một vị trí trên bờ dọc và phải đi qua một cái cọc đã cắm sẵn ở vị trí A. Hỏi diện nhỏ nhất có thể giăng là bao nhiêu, biết rằng khoảng cách từ cọc đến bờ ngang là 5 m và khoảng cách từ cọc đến bờ dọc là 12 m. 
A. 	B. 	C. 	D. 
Lời giải :
Đặt tên các điểm như hình vẽ. Đặt 
Vì hai tam giác AJC và BKA là hai tam giác đồng dạng nên: 
Diện tích của khu nuôi cá là: 
 . Ta có: 
Suy ra diện tích nhỏ nhất có thể giăng là: 
Đáp án A.
Ví dụ 11. Một khối lập phương có cạnh 1 m chứa đầy nước. Đặt vào trong khối đó một khối nón có đỉnh trùng với tâm một mặt của lập phương, đáy khối nón tiếp xúc với các cạnh của mặt đối diện. Tính tỉ số thể tích của lượng nước tràn ra ngoài và lượng nước ban đầu trong khối hộp. 
A. 	B. 	C. 	D.
Lời giải :
Thể tích của lượng nước tràn ra ngoài bằng thể tích của khối nón. 
Thể tích của khối nón là: 
Thể tích của khối lập phương là: Do đó tỉ số cần tìm là: 
Đáp án A.
Ví dụ 12. Một miếng nhôm hình vuông cạnh 1,2 m được người thợ kẻ lưới thành 9 ô vuông nhỏ có diện tích bằng nhau. Sau đó tại vị trí điểm A và A’ vẽ hai cung tròn bán kính 1,2 m; tại vị trí điểm B và B’ vẽ hai cung tròn bán kính 0,8 m; tại vị trí điểm C và C’ vẽ hai cung tròn bán kính 0,4 m. Người này cắt được hai cánh hoa (quan sát một cánh hoa được tô đậm trong hình). Hãy tính diện tích phần tôn dùng để tạo ra một cánh hoa.
A. 	B. 	C. 	D. 
Lời giải
Tổng diện tích của hai cánh hoa bằng hai lần diện tích của phần tô đậm trong hình vẽ. Do đó diện tích của một cách hoa bằng diện tích của phần tô đậm trong hình vẽ.
Suy ra diện tích của cánh hoa là:
Đáp án A. 
Ví dụ 13. Bác nông dân làm một hàng rào trồng rau hình chữ nhật có chiều dài song song với bờ tường. Bác chỉ làm ba mặt vì mặt thứ tư bác tận dụng luôn bờ tường. Bác dự tính sẽ dùng 180 m lưới sắt để làm nên toàn bộ hàng rào đó. Hỏi diện tích lớn nhất bác có thể rào là bao nhiêu. 
A. 	 B. 	 C. 	 D. 
Lời giải: Gọi x là chiều dài cạnh song song với bờ tường, y là chiều dài cạnh vuông góc với bờ tường. 
 Theo bài ra ta có: 
Diện tích của khu trồng rau là: 
Ta có: 
Đẳng thức xảy ra khi: . Vậy diện tích lớn nhất là 4050. 
Đáp án D.
Ví dụ 14. Từ một miếng tôn có hình dạng là nửa đường tròn bán kính 1 m, người ta cắt ra một hình chữ nhật (phần tô đậm trong hình vẽ). Hỏi có thể cắt được miếng tôn có diện tích lớn nhất là bao nhiêu. 
A. 	 B. 	 C. 	 D. 
Lời giải :
Đặt:Suy ra: Diện tích của hình chứ nhật là: 
Ta có: Đặt: Xét 
Ta có f(x) lớn nhất khi y(y) lớn nhất, mà g(y) lớn nhất khi: 
 .Suy ra f(x) lớn nhất khi 
Đáp án B.
Ví dụ 15. Một hộp không nắp được làm từ một tấm bìa các tông. Hộp có đáy là một hình vuông cạnh x (cm), đường cao là h (cm) và có thể tích là 500 . Tìm x sao cho diện tích của mảnh bìa các tông là nhỏ nhất.
 A. 5 cm	 B. 10 cm	 C. 15 cm	 D. 20 cm
Lời giải :
Ta có thể tích của cái hộp là: 
Do hộp có thể tích bằng 500 nên ta có: 
Tổng diện tích của tấm bìa các tông là: 
Bài toán trở thành tìm giá trị nhỏ nhất của trên 
Ta có Đẳng thức xảy ra khi: 
Đáp án B.
Ví dụ 16. (Đề thi thử nghiệm kỳ thi THPTQG năm 2017) Ông An có một mảnh vườn hình elip có độ dài trục lớn bằng 16 m và độ dài trục bé bằng 10 m. Ông muốn trồng hoa trên một mảnh đất rộng 8 m và nhận trục bé của elip làm trục đối xứng như hình vẽ. Biết kinh phí trồng hoa là 100000 đồng/ 1 m2. Hỏi ông An cần bao nhiêu tiền để trồng hoa trên mảnh đất đó (số tiền được làm tròn đến hàng nghìn). 
A. 7862000 đồng. 	B. 7653000 đồng.	 C. 7128000 đồng.	 D. 7826000 đồng. 
Lời giải :
Chọn hệ trục toạ độ như hình vẽ. Ta có phương trình đường elip là: 
Phần đường cong phía trên trục Ox có phương trình là: 
Suy ra diện tích mảnh đất trồng hoa là: 
Sử dụng MTCT ta tính được 2S = 76,5289182 ()
Suy ra số tiền để trên mảnh đất này là: 2S. 100000 = 7652891,82 (đồng).
Do làm tròn đến hàng nghìn nên số tiền là 7653000 đồng. 
Đáp án B.
Ví dụ 17. Từ tấm nhôm hình chữ nhật có cùng kích thước 50 cm x 120 cm người thợ muốn làm một cái thùng hình trụ bằng cách gò tấm tôn thành mặt xung quanh của cái thùng (đáy của thùng được cắt bổ sung từ một miếng tôn khác). Có hai cách gò sau đây (quan sát hình vẽ minh hoạ): 
Cách 1: Gò sao cho cái thùng có chiều cao 50 cm. 
Cách 2: Gò sao cho cái thùng có chiều cao 120 cm.
Gọi là thể tích của thùng nếu gò theo cách 1, là thể tích của thùng nếu gò theo cách 2. Kết luận nào sau đây là đúng.
A. 	B. 	C. 	D. 
Lời giải :
Bán kính đáy của thùng nếu gò theo cách 1 là: 
Thể tích của thùng nếu gò theo cách 1 là: 
Bán kính đáy của thùng nếu gò theo cách 2 là: 
Thể tích của thùng nếu gò theo cách 2 là: 
Suy ra: 
Đáp án C.
Ví dụ 18. Một nhóm học sinh dựng lều khi đi dã ngoại bằng cách gấp đôi tấm bạt hình chữ nhật có chiều dài 12 m, chiều rộng 6 m (gấp theo đường trong hình minh hoạ) sau đó dùng hai cái gậy có chiều dài bằng nhau chống theo phương thẳng đứng vào hai mép gấp. Hãy tính xem khi dùng chiếc gậy có chiều dài bằng bao nhiêu thì không gian trong lều là lớn nhất.
A. 	B. 1,5 m.	C. 1 m.	D. 
Lời giải:
Không gian trong lều lớn nhất khi diện tích tam giác ABC lớn nhất.
Ta có: 
Đẳng thức xảy ra khi: 
Suy ra chiều cao của gậy chống là: .
Ví dụ 19. Thành phố định xây cây cầu bắc ngang con sông dài 500m, biết rằng người ta định xây cầu có 10nhịp cầu hình dạng parabol,mỗi nhịp cách nhau 40m, biết 2 bên đầu cầu và giữa mối nhịp nối người ta xây 1 chân trụ rộng 5m. Bề dày và bề rộng của nhịp cầu không đổi là 20 cm (mặt cắt của một nhịp cầu được mô phỏng như hình vẽ). Hỏi lượng bê tông để xây các nhịp cầu là bao nhiêu (làm tròn đến hàng đơn vị).
A. 	B. 	C. 	D. .
Lời giải :
Chọn hệ trục toạ độ Oxy như hình vẽ. Gọi parabol đi qua điểm I là (P1) và có phương trình: Do ( P1 )đi qua gốc toạ độ nên 
Sử dụng tiếp dữ kiện (P1 ) đi qua I và A ta suy ra 
Do đó parabol phía dưới có phương trình là 
Khi đó diện tích mỗi nhịp cầu là là với phần diện tích giới hạn bởi các parabol và trong khoảng (0;25).
Suy ra: 
Thể tích của mỗi nhịp cầu là: 
Suy ra lượng bê tông để xây dựng các nhịp cầu là: (*).
Do làm tròn đến hàng đơn vị nên ta cần .
Ví dụ 20. Người ta muốn làm một con đường từ địa điểm A đến địa điểm B ở hai bên bờ một con sông, các số liệu được thể hiện trên hình vẽ, con đường được làm theo đường gấp khúc AMNB. Biết rằng chi phí xây dựng 1 km đường bên bờ có điểm B gấp 1,3 lần chi phí xây dựng 1 km đường bên bờ có điểm A, chi phí làm cầu MN tại địa điểm nào cũng như nhau. Hỏi phải xây dựng cầu tại điểm M cách điểm H bao nhiêu (làm tròn đến 0,001 km) để chi phí làm đường là nhỏ nhất.
A. 1,758 km.	 B. 2,630 km. 	C. 2,360 km. 	D. Kết quả khác.
Lời giải: Đặt Suy ra : 
Gọi a là số tiền để làm 1 km đường bên bờ có điểm A. Không mất tính tổng quát giả sử a = 1 thì số tiền để làm đường là: 
Ta có: 
Sử dụng MTCT ta tính được khi .
Suy ra: HM = 2,630 (km). 
3. Kết luận và kiến nghị
 Khi giảng dạy nội dung này học sinh vô cùng hào hứng, các em say mê tìm tòi lời giải, đưa ra những cách làm sáng tạo và tư duy thông minh, hơn nữa sau mỗi buổi học , đặc biệt là các em được tiếp cận trực tiếp hình ảnh thật và bằng quan sát , phân tích và đưa đến lời giải cuối cùng , tất cả rất háo hức , chính vì thế Toán học không còn xa lạ hay khiên cưỡng với các em nữa , thay vào đó là việc tiếp thu kiến thức là rất chủ động.
 Rõ ràng đây là nội dung rất quan trọng trong nội dung chương trình Toán học phổ thông và đặc biệt là nội dung chương trình Sách giáo khoa mới chuẩn bị đưa vào sử dụng, với ý đồ như vậy tác giả muốn giới thiệu đến người đọc một dạng toán quan trọng rất gần gũi với thực tiễn cuộc sống.
 Vì thời gian có hạn cũng như quy định nội dung của một Sáng kiến kinh nghiệm nên tác giả không thể truyền tải hết những ý tưởng của mình và cũng muốn rằng các đồng nghiệp của mình tiếp tục những ý tưởng đó để ngày một càng hoàn thiện hơn.Rất mong sự đóng góp ý kiến của đồng nghiệp và đặc biệt là người đọc sáng kiến này. Xin chân thành cám ơn. 
Thanh hóa ngày 20 tháng 5 năm 2018
Người viết sáng kiến kinh nghiệm
Nguyễn Văn Chinh
Tôi xin cam đoan SKKN là do tôi viết, không sao chép của bất kì tác giả nào. Nếu vi phạm tôi xin chịu hoàn toàn trách nhiệm.
Xác nhận của cơ quan
TÀI LIỆU THAM KHẢO
Những vấn đề chung về đổi mới giáo dục Trung học phổ thông (Bộ Giáo dục và Đào tạo, NXBGD, 2007).
 Hướng dẫn thiết kế bài giảng trên máy tính (Th.s Trương Ngọc Châu, NXBGD, 2005). 
 Sách giáo khoa GIẢI TÍCH 12 (Bộ Giáo dục và Đào tạo, NXBGD-2007).
Sách Bài tập GIẢI TÍCH 12 (Bộ Giáo dục và Đào tạo, NXBGD-2007).
 Tài liệu chủ đề tự chọn nâng cao (Bộ Giáo dục và Đào tạo, NXBGD).
Tài liệu bồi dưỡng giáo viên thực hiện chương trình, SGK THPT môn TOÁN (Bộ Giáo dục và Đào tạo, NXBGD).
Một số tư liệu lấy từ mạng Internet.
Nguồn: 
Nguồn: