Sáng kiến kinh nghiệm Một số phương pháp tính tích phân dành cho học sinh ôn thi THPT Quốc Gia

 BÁO CÁO KẾT QUẢ
 NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN
1. Lời giới thiệu
1.1. Lý do chọn đề tài :
Thống kê thi THPT Quốc gia các năm gần đây. Số câu hỏi có nội dung liên quan tới 
tích phân :
Năm 2017 2018 2019
Mã đề 101 102 103 101 102 103 101 102 103
Số câu hỏi 3 3 3 5 5 5 5 5 5
Hệ thống câu hỏi trong đề sắp xếp theo thứ tự độ khó tăng dần
Các câu liên quan tới tích phân trong đề thường hỏi dạng hàm số dưới dấu tích phân là 
hàm số ẩn, tích phân có lien quan đến phương trình vi phân
Bài toán tích phân của hàm số khá phong phú và đa dạng. Các em học sinh thường 
lúng túng hoặc bế tắc khi gặp phải các câu hỏi lạ. Do đó, các em phải biết chuyển một 
bài toán lạ về một bài toán quen thuộc đã biết cách giải. Việc làm này đòi hỏi học sinh 
phải nắm vững lý thuyết và phương pháp giải các dạng toán...
Với các lí do trên tôi chọn chuyên đề: “ Một số phương pháp tính tích phân dành 
cho học sinh ôn thi THPT Quốc Gia”. Tôi đã nghiên cứu, sưu tầm và xây dựng các 
phương pháp tính tích phân theo từng dạng toán điển hình, từ dễ đến khó để học sinh 
từng bước tiếp cận,làm quen và thành thạo các dạng toán.
 Hy vọng tài liệu này sẽ giúp ích cho giáo viên và các em học sinh trong việc 
dạy - học, ôn tập để kiểm tra đánh giá và thi THPT Quốc Gia đạt kết quả cao.
1.2. Mục đích nghiên cứu của đề tài
Bản thân rèn luyện chuyên môn nhằm nâng cao nghiệp vụ sư phạm. Cập nhật kiến 
thức, dạng toán mới trong đề thi THPT Quốc gia các năm gần đây.
Tìm hiểu các phương pháp tính tích phân, xây dựng theo hệ thống kiến thức, bài tập có 
phân theo các mức độ phù hợp từng đối tượng học sinh.
1.3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
*Đối tượng nghiên cứu:
Một số phương pháp tính tích phân: Phương pháp tính tích phân bằng định nghĩa, đổi 
biến số, tích phân từng phần, phương pháp tính tích phân có liên quan đến phương 
trình vi phân dành cho học sinh lớp 12 và ôn thi THPT Quốc Gia.
 1 (Ta tạm hiểu hàm số sơ cấp( HSSC) cơ bản mở rộng là từ HSSC cơ bản ta thay biến x 
bởi ax + b)
Nguyên hàm của Nguyên hàm của HSSC mở rộng Nguyên hàm của hàm 
HSSC thường gặp thường gặp số hợp (với u = u(x) )
  dx  x  C  du  u  C
 x 1 1 (ax  b) 1 u 1
 x dx   C (ax  b) dx   C u du   C
   1  a  1   1
 1 1 1 1
 dx  ln x  C dx  ln ax  b  C du  ln u  C
  x  (ax  b) a  u
 x x 1 u u
  e dx  e  C x axb dx  .e axb  C  e du  e  C
  a
 a x 1 a pxq a u
 a x dx   C a pxq dx   C a u du   C
  ln a  p ln a  ln a
 1
  cos xdx  sin x  C cos(ax  b)dx  sin(ax  b)  C  cosudu  sin u  C
  a
 1
 sin xdx  cos x  C sin(ax  b)dx   cos(ax  b)  C sin udu  cosu  C
  a
 1 1 1 1
 dx  tan x  C dx  tan ax  b  C dx  tan u  C
  cos2 x  cos2 ax  b a  cos2 u
 1 1 1 1
 dx  cot x  C dx   cot ax  b  C dx  cot u  C
  sin2 x  sin2 ax  b a  sin2 u
7.1.2. Tích phân
7.1.2. 1. Định nghĩa: Cho hàm số f liên tục trên K và a,b là hai số bất kỳ thuộc K . 
Nếu F là một nguyên hàm của f trên K thì hiệu số F(b)  F(a) được gọi là tích phân 
 b b
của f từ a đến b và kí hiệu là  f (x)dx . Trong trường hợp a  b , ta gọi  f (x)dx là 
 a a
tích phân của f trên đoạn a;b .
 F(x) b
Người ta dùng kí hiệu a để chỉ hiệu số F(b)  F(a) . Như vậy Nếu F là một 
 b
nguyên hàm của f trên K thì f (x)dx  F(x) b  F(b)  F(a) .
  a
 a
Lưu ý:
 3 F(x) b
Người ta dùng kí hiệu a để chỉ hiệu số F(b)  F(a) . Như vậy, Nếu F là một 
 b
nguyên hàm của f trên K thì f (x)dx  F(x) b  F(b)  F(a) .
  a
 a
 b ub
7.1.3.2. Công thức đổi biến số:  f u(x)u '(x)dx   f (u)du
 a ua
 Trong đó: u  u  x là hàm số có đạo hàm liên tục trên K, hàm số y  f u liên tục và 
sao cho hàm số hợp f u  x xác định trên K và a, b thuộc K.
7.1. 3.3. Công thức tích phân từng phần
 b b
Nếu u x và v x là các hàm số liên tục có đạo hàm trên a;b thì udv  uv b  vdu .
        a 
 a a
7.2. Thực trạng
Một số em khi giải bài toán tích phân còn gặp khó khăn trong việc biến đổi cũng như 
còn sai sót trong quá trình giải và còn lúng túng không biết cách giải bài toán tích phân 
hàm ẩn, tích phân có liên quan đến phương trình vi phân. Xuất phát từ tình hình thực 
tế đó, tôi cảm thấy cần thiết hệ thống lại lý thuyết và phương pháp giải để cho học sinh 
nắm vững là điều rất quan trọng. Cho nên đề tài này cần được nghiên cứu và phát triển 
cho học sinh khối 12 ôn thi THPT Quốc Gia.
7.3. Các biện pháp tiến hành
Để học sinh có thể làm tốt các dạng bài tập tích phân có trong đề thi THPT QG thì cần 
phải hướng học sinh suy nghĩ tìm lời giải cho bài toán tích phân dựa vào kiến thức cơ 
bản như sau:
Thứ nhất: Học sinh phải nhớ được bảng công thức đạo hàm cơ bản
Thứ hai: Học sinh biết các công thức nguyên hàm của hàm số thường gặp
 5 Có thuộc loại tích phân hàm số Dùng phương pháp tích phân các hàm lượng 
6.
 lượng giác không? giác đã học
 Có thuộc loại tích phân các hàm vô Dùng phương pháp tích phân các hàm vô tỷ đã 
7.
 tỷ không? học
 Suy nghĩ tìm thêm cách biến đổi biến số, nếu 
8. Ngoài các loại trên? không được, nên nghĩ đến việc dùng phương 
 pháp tích phân từng phần
Giáo viên tóm tắt lý thuyết và phương pháp giải, cho ví dụ minh hoạ để học sinh tham 
khảo. Sau mỗi dạng toán có phần bài tập tự luyện tổng hợp để học sinh làm.
Đối với dạng toán về tính tích phân, tôi chia ra thành các dạng như sau :
7.3.1. Phương pháp tính tích phân bằng định nghĩa
 7.3.1.1. Dạng 1: Tính tích phân cơ bản bằng định nghĩa..
 a, Phương pháp: Biến đổi hàm số trong dấu tích phân về dạng tổng, hiệu các hàm 
 số có thể tìm được nguyên hàm và định nghĩa để suy ra giá trị của tích phân.
 b, Các ví dụ minh họa:
 Ví dụ 1: ( THPT QG 2019-MĐ 102 ).
 1 1 1
 Biết  f  xdx  3 và  g  xdx  4 khi đó   f  x  g  x dx bằng
 0 0 0
 A. 7 . B. 7 . C. 1 . D. 1 .
Lời giải: Chọn đáp án C
 1 1 1
Ta có   f  x  g  x dx   f  xdx   g  xdx  3 4  1 .
 0 0 0
Ví dụ 2: Cho hàm số f  x liên tục trên đoạn 6;5 có đồ thị gồm hai đoạn thẳng và 
 5
nửa đường tròn như hình vẽ. Tính giá trị I    f  x  2 dx
 6
 7 Vậy:
   
 4 4 4 2 2
  1   2 cos 2x      1   16  4
  f  xdx    2x  sin 2x  4 dx   x   4x         
 0 0  2   4  0  16   4  16
 7.3.1.2. Dạng 2: Tích phân hàm số có chứa giá trị tuyệt đối.
 b
 a, Phương pháp: Để tính  f  x dx thì thực hiện:
 a
 - Xét dấu f  x trên a;b .
 - Dùng tính chất phân đoạn của tích phân rồi tính tích phân trên đoạn..
 b, Các ví dụ minh họa:
 e b
 Ví dụ 1: Biết  ln x dx  a  . Giá trị của a  b là
 1 e
 e
 2 2 2
 A. 2  . B. . C. 2 . D. 2  .
 e e e
Lời giải: Chọn đáp án D
 e e
 I   ln xdx   ln xdx
 1 1
 e e
 Để ý rằng nguyên hàm của lnx là xln x 1
 1 e
 Do đó: I  x ln x 1 1  x ln x 1
     1
 e
 1 2
 1 2  e  e 1  2  . Vậy a  2;b  2; a  b  0
 e e
 
 2
 Ví dụ 2: Biết I   1 sin 2xdx  a 2  b . Khi đó a  b bằng
 0
 A. 0 . B. 4 . C. 4 . D. 2 .
 Lời giải: Chọn đáp án A
 9   
Ví dụ 2: Cho hàm số y  f  x có đạo hàm liên tục trên đoạn 0; và thỏa mãn
  2 
   
 2 2 2
 
  f ' x.sin xdx  1 ,  f  x.cos xdx  1. Giá trị I    f  x.sin x dx là
 0 0 0
 A. 0 B. 1 C. 3 D. 2
 
Nhận xét: Ta có  f  x.sin x  f  xsin x  f  x.cos x
Lời giải: Chọn đáp án A
Ta có:
  
 2 2
 
 I    f  x.sin x dx    f  x.sin x + f  x.cos xdx
 0 0
  
 2 2
   f  x.sin xdx +  f  x.cos xdx 11  0.
 0 0
Ví dụ 3: Cho hàm số f  x có đạo hàm liên tục trên 0;1, thỏa mãn f 0  f 1 1. 
 1
 x 2018 2018
Biết rằng  e  f  x  f ' x dx  ae  b . Khi đó a  b là
 0
 A. 7 B. 1 C. 2 D. 5
 x x x x 
Nhận xét: Ta có e  f  x  f  x  e f  x  e f  x  e f  x
Lời giải: Chọn đáp án C
 1 1 1 f 0 f 11
 x x  x
Ta có  e  f  x  f  x dx   e f  x dx  e f  x  ef 1  f 0  e 1.
 0 0 0
Suy ra a 1, b  1. Do đó a2018  b2018  2.
Ví dụ 4: Cho hàm số y  f  x có đạo hàm trên 0;2 và thỏa đẳng thức sau đây 
 2
 f  x  2 f 2  x  4  x2 . Tích phân  f  xdx bằng
 0 
 A. 0 B. 3 C. 7 D. 2
Lời giải: Chọn đáp án D
 2
 2
Ta có f  x dx  f x  f 2  f 0 .
      0    
 0
 11