Sáng kiến kinh nghiệm Một số phương pháp tìm giới hạn dãy số

 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VĨNH PHÚC
 TRƯỜNG THPT YÊN LẠC 2
 BÁO CÁO KẾT QUẢ
 NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN 
Tên sáng kiến: 
 MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM GIỚI HẠN DÃY SỐ
Tác giả sáng kiến: TRẦN VĂN LONG
Mã sáng kiến: 28.52.02
 Vĩnh Phúc, năm 2021 MỤC LỤC
 Trang
1. Lời giới thiệu............................................................................................... 2
2. Tên sáng kiến............................................................................................... 2
3. Tác giả sáng kiến.......................................................................................... 2
4. Chủ đầu tư tạo ra sáng kiến.............................................................. 2
5. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến......... 2
6. Ngày sáng kiến được áp dụng lần đầu hoặc áp dụng thử......... 2
7. Mô tả bản chất của sáng kiến....... 3
7.1. Nội dung của sáng kiến.......................... 3
 Phần I. Đặt vấn đề.................. 3
 Phần II. Nội dung....... 5
 I. Cơ sở lý luận.............. 5
 1. Cơ sở lý luận của đề tài.... 5
 2. Cơ sở thực tiễn... 5
 II. Thực trạng của vấn đề nghiên cứu............. 5
 1. Khái quát về phạm vi nghiên cứu......... 5
 2. Thực trạng của vấn đề nghiên cứu... 5
 III.Biện pháp và giải pháp thực hiện.......... 5
 1. Cơ sở đề suất giải pháp......... 5
 2. Giải pháp chủ yếu..... 6
 Chương 1. Khái niệm giới hạn của dãy số.......... 6
 Chương 2. Một số phương pháp tìm giới hạn của dãy số 7
 I. Dùng định nghĩa tính giới hạn của dãy số...... 7
 II. Phương pháp sử dụng các giới hạn dặc biệt và .... 10
 III. Phương pháp dùng nguyên lý kẹp.... 14
 Chương 3. Một số bài toán liên quan đến giới hạn dãy số. 16
 IV. Kết quả sau khi thực hiện........ 23
 Phần III. Kết luận và kiến nghị... 24
 Tài liệu tham khảo.. 26
7.2. Về khả năng áp dụng của sáng kiến......................................................... 27
8. Những thông tin cần được bảo mật.......... 27
9. Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến....... 27
10. Kết quả thu được sau khi áp dụng sáng kiến vào giảng dạy............. 27
11. Danh sách những tổ chức/cá nhân đã tham gia áp dụng thử hoặc áp 28
 dụng sáng kiến lần đầu.
 1 7. Mô tả bản chất của sáng kiến:
 7.1. Về nội dung của sáng kiến
 PHẦN I. ĐẶT VẤN ĐỀ
 1. Lý do chọn đề tài
 Trong chương trình toán trung học phổ thông, các bài toán tìm giới hạn dãy số 
là vấn đề khó và trừu tượng đối với học sinh. Thường học sinh thấy lúng túng khi 
đứng trước các bài toán tìm giới hạn dãy số, không biết lựa chọn cách nào và bắt 
đầu từ đâu?
 Trong quá trình giảng dạy, bài toán tìm giới hạn dãy số trong sách giáo khoa 
Đại số và giải tích 11 cơ bản và nâng cao, tôi nhận thấy sách giáo khoa trình bày 
ngắn gọn và trừu tượng. Vì thế học sinh gặp rất nhiều khó khăn khi tiếp cận bài 
toán. Hơn nữa, sách giáo khoa và sách bài tập vẫn chưa hệ thống và phân dạng 
được về các bài toán tìm giới hạn dãy số.
 Trong các kì kiểm tra thường xuyên, thi TN THPT Quốc Gia và thi học sinh 
giỏi lại có xu hướng sử dụng các bài tập về bài toán đếm, đòi hỏi học sinh phải có 
tư duy tốt và có sự phân dạng bài toán để giải quyết được bài toán.
 Vì vậy tôi sưu tầm một số tài liệu, bài tập về các bài toán tìm giới hạn dãy số và 
chia các bài tập thành từng dạng để học sinh có cái nhìn tổng quát về các bài toán 
tìm giới hạn dãy số, từ đó có cách làm, cách giải bài toán phù hợp. Với mong muốn 
cho việc dạy và học về các bài toán tìm giới hạn dãy số được tốt hơn, tôi quyết định 
chọn đề tài “Một số phương pháp tìm giới hạn dãy số” làm đề tài sáng kiến kinh 
nghiệm.
 2. Mục đích nghiên cứu
 Nghiên cứu một cách có hệ thống và chi tiết về các bài toán tìm giới hạn dãy số 
để học sinh có cái nhìn tổng quát về các bài toán này.
 3. Nhiệm vụ nghiên cứu
 Nghiên cứu các khái niệm về giới hạn dãy số.
 Xây dựng, hệ thống và phân dạng các bài tập về “bài toán tìm giới hạn dãy số” 
phù hợp với sự phát triển tư duy sáng tạo của học sinh.
 4. Đối tượng và khách thể nghiên cứu
 Đối tượng nghiên cứu: là các bài toán tìm giới hạn dãy số trong chương trình 
toán THPT, các bài toán trong các kì thi học sinh giỏi, thi THPT Quốc gia của Bộ 
Giáo dục và Đào tạo hàng năm.
 3 PHẦN II. NỘI DUNG
 I. Cơ sở lý luận
 1. Cơ sở lý luận của đề tài
 Môn toán ở trường Trung học phổ thông là một môn khoa học tự nhiên, đòi hỏi 
sự tư duy sáng tạo và cần nhiều kiến thức về giải bài tập để tự hệ thống được kiến 
thức lý thuyết và hiểu thật sự được bản chất của bài toán. Từ đó hình thành hứng 
thú học tập cho học sinh học tập bộ môn toán ở trường Trung học phổ thông.
 2. Cơ sở thực tiễn
 Các kiến thức trong sách giáo khoa và sách bài tập Đại số và Giải tích 11 (ban 
cơ bản và nâng cao) do Bộ Giáo dục và Đào tạo ban hành còn mang tính hàn lâm, 
lý thuyết và ít thực tế.
 Trong các bài kiểm tra thường xuyên về bài toán tìm giới hạn dãy số, học sinh 
vẫn chưa hiểu được bản chất của bài toán, dẫn tới hiểu sai và có nhiều sai lầm khi 
giải toán.
 Trong các đề thi học kì, thi học sinh giỏi và thi THPT Quốc gia hàng năm có xu 
hướng sử dụng các bài toán tìm giới hạn dãy số.
II. Thực trạng của vấn đề nghiên cứu
 1. Khái quát về phạm vi nghiên cứu
 Các khái niệm và các bài tập về bài toán tìm giới hạn dãy số trong chương trình 
môn toán ở trường Trung học phổ thông.
 2. Thực trạng của vấn đề nghiên cứu
 Các bài tập về bài toán tìm giới hạn dãy số trong sách giáo khoa và sách bài tập 
còn đơn điệu và chưa đưa ra được các dạng bài tập cụ thể.
 Học sinh khi học xong các bài toán tìm giới hạn dãy số và làm các bài tập trong 
sách giáo khoa và sách bài tập một cách cẩn thận vẫn không thể tự mình phân dạng 
bài tập được. Vì thế khi gặp loại bài tập này học sinh thường bị lúng túng.
III. Biện pháp và giải pháp thực hiện
 1. Cơ sở đề suất giải pháp
 5 b) Định nghĩa 2: Ta nói dãy số (v n) có giới hạn là số a (hay v n dần tới a) khi 
 n   , nếu lim vn  a 0
 n
Kí hiệu: lim vn  a hay v  a khi n  
 n n
 c) Một số giới hạn cơ bản
 1
 1.lim c  c 2.lim 3.lim qn  0, với q 1
 n n n n
 2. Giới hạn vô cực
 a) Dãy số có giới hạn 
 Định nghĩa 3: Ta nói dãy số (u n) có giới hạn là  nếu với mỗi số dương 
tùy ý cho trước, mọi số hạng của dãy số, kể từ một số hạng nào đó trở đi, đều lớn 
hơn số dương đó. 
Kí hiệu: lim un    hay u    khi n  
 n n
 b) Dãy số có giới hạn 
 Định nghĩa 4: Ta nói dãy số (un) có giới hạn là  nếu với mỗi số âm tùy ý 
cho trước, mọi số hạng của dãy số, kể từ một số hạng nào đó trở đi, đều nhỏ hơn số 
âm đó. 
Kí hiệu: lim un    hay u    khi n  
 n n
 CHƯƠNG 2. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM GIỚI HẠN DÃY SỐ
I. Phương pháp Dùng định nghĩa để tìm giới hạn của một dãy
1. Phương pháp:
∗ lim un=0 khi và chỉ khi |un | có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ số hạng 
 n
nào đó trở đi.
 lim vn=a khi và chỉ khi lim (vn-a)=0
 n n
 7 3. Bài tập áp dụng:
 2
Bài 1: Biết dãy số (un) thỏa mãn un >n với mọi n. Chứng minh rằng: lim un=+∞
 n
 Giải:
Vì lim n2=+ ∞ nên n2 có thể lớn hơn một số dương tùy ý, kể từ một số hạng nào đó 
trở đi.
 2
Mặt khác theo giả thuyết mà u n >n với mọi n, nên u n có thể lớn hơn một số 
dương tùy ý, kể từ một số hàng nào đó trở đi. Vậy lim un=+∞
 n
Bài 2: Cho biết lim un=-∞ và vn<un với mọi n. Có kết luận gì về giới hạn vn
 n
Hướng dẫn: 
 lim un=+∞  : lim (-un )=+∞  - vn>-un  lim (-vn )=+∞
 n n n
Vậy lim vn =-∞
 n
 3n  2
Bài 3: Cho dãy (un) xác định bởi un=
 n 1
 1
a, Tìm số n sao cho |un-3|<
 1000
b, Chứng minh rằng với mọi n > 999 thì các số hạng của dãy u n đều nằm trong 
khoảng (2,999;3001)
Hướng dẫn:
 1 1
a, |un-3|= 999
 n 1 1000
 1 1 1
b, Khi n>999  |un-3|<  3- <un<3+  2,999< un< 3,001
 1000 1000 1000
 n
Bài 4: Vì sao dãy (un) với (un)=(-1) không thể có giới hạn là 0 khi n  +∞ ?
Hướng dẫn:
 n
Vì |un|=|(-1) |=1 nên |un| không thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, 
kể từ một số hàng nào đó trở đi. Chẳng hạn, un không thể < 0,5 với mọi n.
Do đó dãy số (un) không thể có giới hạn là 0.
Bài 5:
 9 un
1, Nếu lim un=a và lim vn=  thì lim =0
 n n n
 vn
 un
2, Nếu lim un=a>0 và lim vn=0 và vn>0 thì lim  
 n n n
 vn
3, Nếu lim un=+  và lim vn=a>0 thì lim un .vn=+ 
 n n n
 Nếu giới hạn có dạng phân thức mà tử số và mẫu số chứa lũy thừa của n thì chia 
cả tử và mẫu cho nk với k là mũ cao nhất.
 Nếu giới hạn là biểu thức chứa dạng căn thức (dạng a  b ; 3 a  3 b ) cần nhân 
một lượng liên hiệp để đưa về dạng cơ bản.
4. Bài tập mẫu:
 3n3  5n2 1
Bài 1: Tính lim
 n 2n3  6n2  4n  5
Giải: Ta có
 5 1
 3 2 3 
 3n  5n 1 3 3
 lim = lim n n =
 n 3 2 n 6 4 5
 2n  6n  4n  5 2    2
 n n2 n3
 2n2 1  5n
Bài 2: Tính lim
 n 1 3n2
Giải:
 1 1 5
 2  
 2n2 1  5n 2 0
 lim = lim n n n   0
 n 2 n 1
 1 3n  3 3
 n2
Bài 3: Tính lim n2  7  n2  5
 n  
Giải:
 n2  7  n2  5 2
 lim( n2  7  n2  5)  lim  lim =0
 n n n2  7  n2  5 n n2  7  n2  5
5. Bài tập áp dụng
Bài 1: tính các giới hạn sau:
 11