Sáng kiến kinh nghiệm Một số phương pháp giải phương trình vô tỷ sau khi nhân lượng liên hợp

MỤC LỤC
Trang
Mục lục
1
A. Mở đầu
2
I.
Lý do chọn đề tài
2
II.
Mục đích nghiên cứu
2
III.
Đối tượng nghiên cứu
2
IV.
Phương pháp nghiên cứu
2
B. Nội dung sáng kiến kinh nghiệm
3
I.
Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm
3
II.
Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm
3
III.
Một số giải pháp
4
1.
Kỹ thuật nhân lượng liên hợp
4
1.1.
Lý thuyết cơ bản
4
1.2.
Một số hằng đẳng thức
4
1.3.
Phương pháp nhân lượng liên hợp.
5
2.
Một số phương pháp giải phương trình vô tỷ sau khi nhân lượng liên hợp
7
2.1.
Phương pháp đánh giá hai vế
7
2.2.
Phương pháp lũy thừa hai vế
11
2.3.
Phương pháp đặt ẩn phụ
14
2.3.1
Đặt ẩn phụ đưa về hệ hai ẩn
14
2.3.2
Đặt ẩn phụ đưa về phương trình thuần nhất bậc hai hai ẩn
17
2.4.
Phương pháp hàm số
18
2.5.
Phương pháp dùng hằng đẳng thức, bất đẳng thức quen thuộc
20
IV.
Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm
21
C. Kết luận và kiến nghị
22
I.
Kết luận
22
II.
Kiến nghị và đề xuất
22
Tài liệu tham khảo
24
A. MỞ ĐẦU
I. Lý do chọn đề tài
Trong chương trình toán trung học phổ thông, bài toán “giải phương trình vô tỷ” là một trong những bài toán hay và khó. Khi gặp bài toán giải phương trình vô tỷ học sinh dựa vào công cụ hỗ trợ là máy tính cầm tay có thể dễ dàng biết được phương trình có nghiệm bằng bao nhiêu nhưng việc nhìn ra cách giải thì các em còn lúng túng và thường mắc nhiều sai sót trong quá trình giải quyết.
Trong các đề thi Đại học - Cao đẳng các năm, các đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh từ trước đến nay hay đề thi THPT Quốc Gia, đề thi học sinh giỏi, bài toán “giải phương trình vô tỷ” bằng cách nhân lượng liên hợp thường xuất hiện. Để giải quyết bài toán đó học sinh thường sử dụng các cách giải của phương trình vô tỷ. Tuy nhiên khi áp dụng học sinh thường gặp phải khó khăn trong việc nhìn ra cách giải thích hợp phương trình sau khi nhân lượng liên hợp. Trong đề tài này, tôi xin trình bày “Một số phương pháp giải phương trình vô tỷ sau khi nhân lượng liên hợp” và khắc phục những khó khăn thường của các em học sinh khi gặp bài toán giải phương trình vô tỷ, các bài tập đưa ra nhằm phục vụ cho mục đích đó.
Với mục đích là giúp các em học sinh có thể giải quyết được dễ dàng hơn đa số các bài toán “giải phương trình vô tỷ sau khi nhân lượng liên hợp” và có phương pháp vững chắc về giải phương trình vô tỷ. 
II. Mục đích nghiên cứu 	
Đề tài giúp các em học sinh Trung học phổ thông có kiến thức và phương pháp vững chắc để giải quyết bài toán giải phương trình chứa căn thức bằng phương pháp nhân lượng liên hợp trong các đề thi THPT Quốc gia, thi học sinh giỏi tỉnh,...Đồng thời rèn luyện cho các em kỹ năng giải và trình bày bài toán này. Góp phần nâng cao chất lượng dạy học môn Toán trong Nhà trường.
III. Đối tượng nghiên cứu
Để hoàn thành đề tài nói trên tôi đã nghiên cứu dựa trên các phương pháp giải phương trình chứa căn thức trong chương trình Đại số và Giải tích thuộc môn Toán Trung học phổ thông.
IV. Phương pháp nghiên cứu
Đề tài đã thực hiện các phương pháp nghiên cứu như:
- Nghiên cứu lý luận: nghiên cứu các tài liệu về phương trình chứa căn thức trong chương trình Toán Trung học phổ thông.
- Nghiên cứu thực tiễn: Khảo sát năng lực của học sinh giải quyết bài toán có chứa căn thức bằng cách nhân lượng liên hợp.
- Thực nghiệm sư phạm: Tiến hành dạy thực nghiệm trên một số đối tượng học sinh cụ thể để đánh giá tính khả thi và hiệu quả của đề tài.
B. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
I. Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm.
Đề tài được nghiên cứu và thực hiện trên thực tế kinh nghiệm đã giảng dạy các tiết học Tự chọn và Ôn thi Trung học phổ thông Quốc Gia, ôn thi học sinh giỏi phần “phương trình vô tỷ”.
Khi giải bài tập toán, học sinh phải được trang bị các kiến thức cơ bản của lớp dưới, các kỹ năng phân tích đề bài để từ đó suy luận ra quan hệ giữa kiến thức cũ và kiến thức mới, giữa bài toán đã làm và bài toán sẽ làm, hình thành phương pháp giải toán bền vững và sáng tạo. 
Các tiết dạy bài tập phải được thiết kế theo hệ thống từ dễ đến khó nhằm gây hứng thú cho học sinh, kích thích óc tìm tòi, sáng tạo của học sinh. 
Hệ thống bài tập phải giúp học sinh có thể tiếp cận và nắm bắt những kiến thức cơ bản nhất và dần dần phát triển khả năng suy luận, khả năng vận dụng các kiến thức đã học một cách linh hoạt và sáng tạo vào giải thuật của một bài toán. Từ đó học sinh có hứng thú và tạo ra động cơ học tập tốt đối với môn Toán, đồng thời phát triển được năng lực và phẩm chất của người học.
II. Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm.
Trong quá trình giảng dạy phương trình, bất phương trình vô tỷ, các dạng bài tập ở mức độ vận dụng và vận dụng cao, phương pháp giải bằng phương pháp nhân đại lượng liên hợp, tôi thấy học sinh đã giải quyết được vấn đề nhân lượng liên hợp nhưng khi gặp phương trình sau khi nhân liên hợp đa số các em còn lúng túng và thường giải sai hoặc không giải quyết được tiếp bài toán,.... Từ đó tôi nghĩ phải nghiên cứu và trang bị cho các em một số phương pháp cơ bản để giúp các em giải quyết được tốt hơn phương trình vô tỷ gặp phải sau khi nhân lượng liên hợp và giúp các em bớt ngại khi gặp bài toán giải phương trình vô tỷ. Sau một thời gian nghiên cứu tôi thấy nếu đưa ra được một hệ thống các cách giải phương trình vô tỷ gặp phải sau khi nhân lượng liên hợp có thể giải quyết được vấn đề khó khăn của các em học sinh thường gặp. 
Đánh giá thực trạng: 
Năm học 2016-2017, tôi được phân công tiếp tục giảng dạy hai lớp đầu khối 11A; 11B của nhà trường, ngay từ đầu năm học để kiểm tra kiến thức các em đã tích lũy ở lớp 10, kiến thức trong ôn đội tuyển học sinh giỏi và cũng để kiểm nghiệm sử dụng phương pháp tôi đã thực hiện khảo sát ở hai lớp 11A và 11B, mỗi lớp 15 em học sinh có năng lực khá – giỏi trở lên bằng 2 bài tập sau:
Bài 1. Giải phương trình .
Bài 2. Giải phương trình 
Kết quả thu được như sau:
Bài
Lớp
Đặt được điều kiện của phương trình
Nhân được lượng liên hợp
Giải quyết được phương trình sau nhân lượng liên hợp
1
11A
15/15
10/15
8/15
11B
15/15
8/15
7/15
2
11A
15/15
15/15
4/15
11B
15/15
13/15
1/15
Từ kết quả đó tôi thấy: Rất nhiều học sinh xử lý được khâu mở đầu, các em đã tìm ra được nghiệm hoặc một nghiệm của phương trình bằng cách xử dụng máy tính và nhân lượng liên hợp. Tuy nhiên số lượng các em học sinh không giải quyết được trọn vẹn bài toán sau khi nhân lượng liên hợp còn nhiều. Trong đó, chưa có kỹ năng và định hướng phương pháp giải là chủ yếu.
III. Một số giải pháp
Trước khi trình bày về một số phương pháp giải phương trình vô tỷ sau khi nhân lượng liên hợp, tôi xin trình bày phương pháp nhân lượng liên hợp trong bài toán giải phương trình chứa căn thức.
1. Kỹ thuật nhân lượng liên hợp.
1.1. Lý thuyết cơ bản: Cho hàm số  xác định trên . Nếu là nghiệm phương trình khi và chỉ khi ; . Theo định lí Bơzu nếu  là một nghiệm của đa thức  thì . 
Từ đây ta có nhận xét: Nếu  là một nghiệm của phương trình  thì ta có thể đưa phương trình  về dạng  và khi đó việc giải phương trình  được quy về giải phương trình .
1.2. Một số hằng đẳng thức:
Từ các hằng đẳng thức này ta tìm được các biểu thức liên hợp tương ứng trong các bài toán giải phương trình chứa căn thức như:
; ; ; 
; ; ; ; 
1.3. Phương pháp nhân lượng liên hợp đưa phương trình về dạng: 
Sau đây tôi xin đưa ra một số ví dụ minh họa về cách tìm đại lượng liên hợp để biến đổi phương trình về dạng tích , mà chưa đưa ra cách giải quyết triệt để bài toán.
Ví dụ 1. Giải phương trình 
Lời giải
Sử dụng máy tính cầm tay hoặc nhẩm nghiệm ta thấy là một nghiệm của phương trình. Từ đây ta biến đổi phương trình như sau:
Điều kiện: 
Đến đây, việc giải ra nghiệm là dễ dàng.
Ví dụ 2. Giải phương trình 
Lời giải
Học sinh nhẩm nghiệm sẽ được nghiệm hoặc sử dụng máy tính sẽ được nghiệm . Nhưng nếu các em ấn chuyển về phân số sẽ được và từ đây ta biến đổi phương trình theo cách sau:
Điều kiện: .
Phương trình 
Từ đây việc đưa về phương trình tích trở và tìm được nghiệm trở nên đơn giản.
Ví dụ 3. Giải phương trình 
Lời giải
Điều kiện: 
Ta nhận thấy là một nghiệm của phương trình, như vậy phương trình có thể phân tích về dạng. Ta nhận thấy:
; 
Từ đó ta biến đổi phương trình như sau:
Nhân liên hợp hai vế ta được:
Ví dụ 4. Giải phương trình .
Lời giải
Điều kiện: . 
Ta nhận thấy nên ta biến đổi phương trình về dạng
Tuy nhiên, không phải bất kỳ bài toán chứa căn thức nào cũng nhìn ra được đại lượng liên hợp một cách dễ dàng như trên, mặc dù bài toán đó vẫn sử dụng phương pháp nhân lượng liên hợp để giải.
Ví dụ 5. Giải phương trình 
Lời giải
Đối với bài này, khi học sinh bấm máy sẽ được nghiệm. Đến đây nhiều em sẽ bỏ cuộc hoặc chọn sang hướng giải khác. Tuy nhiên nếu ta tiếp tục sử dụng máy tính sẽ biết được phương trình có thêm nghiệm . Từ đó các em sẽ thấy một biểu thức quen thuộc và . Như vậy bài toán có thể đưa được về nhân tử chung là . Vấn đề khó khăn đầu tiên của bài toán đã được giải quyết. 
Mặc dù vậy, nhưng không phải em nào cũng sử dụng mấy tính có thể giải được nghiệm của các phương trình chứa căn. Vậy ta có cách nào khác để giải quyết vấn đề trên không?. Đối với những em không sử dụng máy tính có thể giải ra nghiệm thì các em có thể sử dụng phương pháp đồng nhất hệ số để tìm ra biểu thức cần nhân liên hợp. Tôi xin quay lại Ví dụ 5 ở trên và đưa ra cách khác để tìm nhân tử chung như sau: 
Do không thỏa mãn nên ta giả sử:
Từ đây ta chọn , thỏa mãn hệ thức: 
Suy ra và thỏa mãn.
Chú ý. Trước khi nhân liên hợp phải xét xem thử biểu thức dưới mẫu sau khi nhân liên hợp có triệt tiêu hay không.
Trên đây chỉ là một số ví dụ minh họa về một số cách để tìm ra biểu thức nhân liên hợp. Ngoài các cách trên còn có một số cách khác mà trong đề tài này tôi xin không đề cập hết. 
2. Một số phương pháp giải phương trình sau khi nhân lượng liên hợp.
Sau khi nhân liên hợp, tôi định hướng học sinh suy nghĩ cách xử lý bài toán theo các hướng sau đây và đây cũng là nội dung chính của đề tài.
2.1. Phương pháp đánh giá hai vế.
Đối với phương pháp này chúng ta có thể dựa vào điều kiện của bài toán để đánh giá trực tiếp hoặc đánh giá qua đại lượng trung gian, hàm số,.
Ví dụ 1 (Khối B - 2010). Giải phương trình 
; 
Lời giải
Điều kiện: 
Sử dụng máy tính hoặc nhẩm nghiệm ta thấy là một nghiệm của phương trình. Sử dụng phương pháp nhân liên hợp ta có: 
Ta có Suy ra phương trình vô nghiệm. Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x = 5.
Ví dụ 2. Giải phương trình (Tạp chí THTT )
Lời giải
Điều kiện: .
Nhận thấy phương trình có nghiệm  nên ta nghĩ đến cách giải phương trình trên bằng phương pháp nhân lượng liên hợp. 
Ta có:  và với mọi . 
Suy ra phương trình vô nghiệm.
Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất .
Ví dụ 3. Giải phương trình 
Lời giải
Điều kiện: 
Ta thấy phương trình có nghiệm nên ta biến đổi phương trình như sau:
Với ta có: và . Suy ra 
Dấu đẳng thức xảy ra khi . Vậy phương trình có nghiệm;.
Ví dụ 4. Giải phương trình 
Lời giải
Điều kiện: 
Khi đó phương trình đã cho trở thành:
Với , ta có: và 
Suy ra 
Do đó phương trình tương đương với: 
Vậy phương trình có nghiệm; .
Nhận xét. Từ Ví dụ 3 và Ví dụ 4 nhiều em sẽ đặt ra câu hỏi: Tại sao ta không biến đổi bài toán về tích có thừa số mà lại chọn? Ở đây ta thấy biểu thức nằm dưới dấu căn thức nên nếu ta đưa về nhân tử thì sẽ biến đổi phương trình về phương trình phức tạp và việc giải quyết tiếp bài toán sẽ khó khăn hơn. Nên việc chọn biểu thức liên hợp cũng ảnh hưởng rất nhiều đến việc giải bài toán sau khi nhân liên hợp.
Ví dụ 5. Giải phương trình 
Lời giải
Điều kiện: 
Ta có
. Nếu thì và nên phương trình (*) vô nghiệm
Nếu thì và nên phương trình (*) vô nghiệm. Vậy phương trình có nghiệm.
Ví dụ 6. Giải phương trình 
Lời giải
Điều kiện: ,
Ở bài này, khó là ở chỗ ta không thể nhẩm ra ngay được nghiệm của phương trình để dùng lượng liên hợp. Tuy nhiên với sự hỗ trợ của chiếc máy tính Casio fx570 ES thì mọi chuyện có vẻ dễ dàng hơn!
Thật vậy, ta sẽ lần lượt dùng chức năng Shift Solve để tìm ra nghiệm của phương trình là: ; sau đó gán hai nghiệm này vào hai biến và .
Bây giờ ta sẽ thử tìm xem và có mối quan hệ gì với nhau hay không bằng cách tình và , ta thu được kết quả “đẹp” sau: , .
Điều đó đã chứng tỏ , là hai nghiệm của phương trình: 
Và từ đây, ta có thể dự đoán được chính là nhân tử của phương trình. Như vậy vấn đề khó khăn nhất đã được giải quyết.
Ta viết phương trình đã cho lại thành:
Đến đây, để xuất hiện nhân tử thì với là một hệ số. Chọn thì ta được một cặp thỏa mãn là . Khi đó (1) trở thành:
Phương trình 
Xét phương trình : 
Xét hàm trên 
Ta có: 
Ta có bảng biến thiên:
 kết hợp với 
 nên phương trình vô nghiệm. Vậy phương trình đã cho có nghiệm .
Nhận xét. Việc đánh giá phương trình (*) có thể trực tiếp hoặc là gián tiếp thông qua một hằng số, một biểu thức trung gian, dùng hàm số. Từ đó sẽ giúp chúng ta chứng minh được phương trình (*) vô nghiệm hoặc có thêm nghiệm nữa.
Bài tập đề nghị. Giải các phương trình sau: 
a) 
b) 
c) .
2.2. Phương pháp lũy thừa hai vế.
+/ Ta có một số phép biến đổi bình phương hai vế:
a) 
b) 
c) 
d) (Đặt điều kiện, lũy thừa hai vế đưa về dạng b)
+/ Thông thường khi gặp phương trình , ta thường bình phương hai vế, tuy nhiên nhiều trường hợp điều đó lại gặp khó khăn.
+/ Đối với phương trình dạng , và ta sử dụng phép thế ta được phương trình .
Ví dụ 1. Giải phương trình .
Lời giải
Điều kiện:  
Ta thấy  là một nghiệm của phương trình, do đó ta có thể đưa phương trình về dạng:  nên ta biến đổi phương trình như sau: 
Như vậy, việc giải phương trình  đến đây ta chỉ cần giải phương trình . 
Ta có: .
Giải ra ta được nghiệm thỏa mãn.
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm x = 3 và .
Ví dụ 2. Giải phương trình 
Lời giải
Ta thấy , nên từ đây ta nghĩ tới việc nhân liên hợp, biến đổi phương trình về dạng tích có nhân tử như sau:
Điều kiện: 
Ta có: 
Với , ta có: (Do ) nên suy ra . Đối chiếu điều kiện ta có thỏa mãn.
Vậy phương trình đã cho có nghiệm; .
Ví dụ 3. Giải phương trình 
Lời giải
Điều kiện: .
Ta thấy phương trình có một nghiệm x = 1 nên ta biến đổi phương trình đã cho như sau: 
Đến đây ta nhận thấy phương trình có nghiệm và nghiệm không “đẹp” nữa nên việc giải quyết tiếp sẽ trở nên khó khăn. Tuy nhiên nếu ta đặt , thì . Thay vào (*) ta có phương trình sau:
Ta tìm được 4 nghiệm là:; 
Do nên chỉ nhận các giá trị ; 
Từ đó ta tìm được nghiệm của phương trình (*) là và 
Vậy phương trình đã cho có nghiệm x =1; và 
Nhận xét. Ở trong Ví dụ 3, việc đặt là để cho bài toán đở phức tạp hơn, còn bản chất của bài toán vẫn giải bằng cách bình phương hai vế của phương trình. Nếu bạn nào xem là ẩn của phương trình thì để nguyên bình phương hai vế vẫn giải được một cách bình thường. Tất nhiên nếu làm vậy sẽ gặp khó khăn trong việc phân tích thành phương trình tích để tìm nghiệm.
Ví dụ 4. Giải phương trình 
Lời giải
Điều kiện: 
Đối với phương trình này ta thấy việc nhân tung vế phải ra để giải là không khả quan và làm cho bài toán trở nên rắc rối hơn. Tuy nhiên nếu xem xét thì ta có: , từ đó gợi cho ta cách biến đổi phương trình như sau:
Ta thấy nếu bình phương hai vế không âm của phương trình (*): 
Ta được , để giải phương trình này sẽ rất phức tạp. Phương trình sẽ rất đơn giản nếu ta biến đổi và giải như sau: 
 . Vậy phương trình có nghiệm .
Nhận xét. Nếu phương trình có dạng mà có thì ta biến đổi về dạng 
sau đó ta bình phương giải phương trình hệ quả. 
Bài tập đề nghị. Giải các phương trình sau: 
a) 
b) .
2.3. Phương pháp đặt ẩn phụ.
Trong phần này, tôi chỉ đưa ra một số dạng phương trình giải bằng cách đặt ẩn phụ mà các em học sinh có thể gặp phải sau khi nhân lượng liên hợp. 
2.3.1. Đặt ẩn phụ đưa về hệ 2 ẩn
Nếu phương trình có dạng , mà , có thể là hằng số, có thể là biểu thức chứa . Ta có thể giải như sau:
Khi đó đặt ; 
Ta có hệ 
Từ đó ta sử dụng phương pháp hợp lý để tìm nghiệm của phương trình (*).
Ví dụ 1. Giải phương trình 
Lời giải
Điều kiện: 
Ta thấy và không phải là nghiệm
Xét , ta có 
Nhân liên hợp vế trái ta được:
Đặt ; . Ta có hệ: 
Thay trở lại và giải bằng phương pháp lũy thừa ta được nghiệm; .
Thử lại ta thấy hai nghiệm này đều thỏa mãn phương trình.
Vậy phương trình có nghiệm; .
Ví dụ 2. Giải phương trình 
Lời giải
Điều kiện: 
Cũng bằng cách kiểm tra, ta thấy phương trình nhận làm một nghiệm nên ta có thể đưa phương trình về dạng phương trình tích xuất hiện nhân tử .
Ta biến đổi như sau: phương trình (1)
Để ý rằng hai phương trình và vô nghiệm nên nhân lượng liên hợp hai vế của (1) ta có:
Phương trình 
Đến đây ta có thấy việc bình phương hai vế để khử căn thức là không khả quan. Nhưng nếu đặt ; 
Ta có hệ sau: 
Thay trở lại ta có phương trình: , thử lại ta thấy nghiệm này thỏa mãn phương trình. Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm .
Ví dụ 3. Giải phương trình .
Lời giải
Điều kiện: .
Nhận thấy phương trình có một nghiệm . Ta biến đổi phương trình về dạng tích như sau:
Kết hợp phương trình với phương trình ban đầu ta có:
thử lại ta thấy hai nghiệm này đều thỏa mãn phương trình.
Vậy phương trình đã cho có nghiệm:; và.
Nhận xét: Để giải phương trình (*) ta phải kết hợp với phương trình ban đầu. Ta chú ý rằng phép biến đổi này là phép biến đổi hệ quả do đó sau khi giải xong ta phải thử lại các nghiệm để loại đi những nghiệm ngoại lai.
	Đối với phương trình dạng này, có thể chúng ta không cần đặt ẩn phụ mà để nguyên biểu thức phương trình sau khi nhân lượng liên hợp kết hợp với phương trình ban đầu để đưa về hệ. Việc đặt ẩn phụ trong trường hợp này chỉ có tác dụng làm cho hệ phương trình gọn và dễ nhìn hơn. 
2.3.2. Đặt ẩn phụ đưa về phương trình thuần nhất bậc hai đối với 2 ẩn.
Chúng ta đã biết cách giải phương trình 
Với thử trực tiếp vào phương trình 
Với , phương trình trở thành: .
Các phương trình có dạng sau cũng đưa được về phương trình dạng (1)
Phương trình dạng 
Như vậy phương trình dạng có thể giải bằng phương pháp trên nếu 
Xuất phát từ các đẳng thức:
.
Ví dụ 1. Giải phương trình 
Lời giải
Điều kiện: 
Nhân liên hợp vế phải của phương trình với biểu thức ta được phương trình
Xét phương trình Đặt , . 
Phương trình trở thành: suy ra 
Từ đây ta giải được nghiệm 
Vậy phương trình có nghiệm ; .
Phương trình dạng 
Phương trình sau nhân liên hợp cho dưới dạng này thường khó phát hiện ra cách giải, nhưng nếu ta bình phương hai vế thì sẽ đưa được về dạng trên và từ đó dễ dàng đưa ra lời giải.
Ví dụ 2. Giải phương trình .
Lời giải
Điều kiện: . 
Ta nhận thấy nên ta biến đổi phương trình về dạng
Bình phương 2 vế phương trình (*) ta có:
Ta đặt:. Khi đó ta có: hay  ; 
Do 
Bình phương hai vế ta được nghiệm thỏa mãn.
Vậy phương trình có nghiệm .
Bài tập đề nghị. Giải các phương trình sau:
a)  ;
b) .
2.4. Phương pháp hàm số.
Trong phần này tôi chỉ trình bày phương pháp sử dụng lý thuyết sau để giải phương trình gặp phải sau khi nhân lượng liên hợp:
Định lí: Nếu hàm số luôn đồng biến (hoặc luôn nghịch biến) thì số nghiệm của phương trình không nhiều hơn một và khi và chỉ khi.
Ví dụ 1 (Đề thi THPT Quốc Gia năm 2015). Giải phương trình trên tập số thực: 
Lời giải
Đối với bài này đa số học sinh nhận ra được x = 2 là một nghiệm của phương trình. Nhưng sau khi nhân liên hợp thì việc giải quyết bài toán lại là một vấn đề khó mà các em gặp phải. Đa số các em đều giải được: 
Với , nhân liên hợp vế phải ta được phương trình:
Đến đây, học sinh sử dụng máy tính cầm tay phát hiện ra được phương trình có thêm một nghiệm “xấu” nữa và nhiều em không thể giải tiếp. 
Ta có 
Xét hàm số trên 
Ta có , nên hàm số đồng biến trên . Khi đó 
Vậy phương trình có nghiệm ; .
Ví dụ 2. Giải phương trình 
Lời giải
Nhận xét. Nhìn vào phương trình này thì đa số các em học sinh không nghĩ ra cách giải. Nhưng nếu để ý thì ta thấy đề ra đã có một sự gợi ý về phương pháp nhân liên hợp, đó là: và . Từ đó ta có cách giải phương trình như sau: 
Ta thấy phương trình chỉ có nghiệm trong 
Với, ;. Xét hàm số với t > 0
Ta có 
Phương trình là nghiệm của phương trình.
Vậy phương trình có nghiệm .
Bài tập đề nghị. Giải phương trình sau:
a)
b)