Sáng kiến kinh nghiệm Một số phương pháp giải hệ phương trình đại số

SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC
TRƯỜNG THPT TRẦN HƯNG ĐẠO
=====***=====
BÁO CÁO KẾT QUẢ 
NGHIÊN CỨU - ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN
Tên sáng kiến 
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ
 Tác giả sáng kiến: Nguyễn Thị Thanh Hòa 
 Mã sáng kiến: 09.52.01
Tam Dương, Năm 2018
1. Lời giới thiệu
Hệ phương trình Đại số là một trong các bài toán cơ bản của chương trình toán học phổ thông. Các em häc sinh được làm quen với hệ phương trình đại số từ các lớp trung học cơ sở. Ở bậc THPT các học sinh được học chi tiết ở chương trình đại số lớp 10, nhưng với lượng kiến thức không nhiều, trong khi đó hệ phương trình được đưa vào trong các đề thi THPT Quốc gia, thi HSG lại đòi hỏi các em phải có một lượng kiến thức tương đối nhiều về phần này. Chính vì thế trong quá trình giảng dạy, tôi đã soạn chuyên đề: “MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ”. Trước hết giúp bản thân hệ thống được các dạng cơ bản của hệ phương trình cùng các phương pháp giải qua đó phục vụ tốt hơn cho tác giảng dạy, nâng cao trình độ chuyên môn.
2. Tên sáng kiến “Một số phương pháp giải hệ phương trình đại số”.
3.Tác giả sáng kiến:
- Họ và tên: Nguyễn Thị Thanh Hòa
- Địa chỉ: Trường THPT Trần Hưng Đạo – Tam Dương – Vĩnh Phúc.
- Số điện thoại: 0987.444.700 
- Email: nguyenthanhhoa.gvtranhungdao@vinhphuc.edu.vn
4. Chủ đầu tư tạo ra sáng kiến: Nguyễn Thị Thanh Hòa
5. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: 
- Môn Đại số lớp 10 và Giải Tích lớp 12 ban cơ bản
-Trong phạm vi đề tài này, tôi thực hiện nghiên cứu đưa ra các các dạng cơ bản và phương pháp giải một số hệ phương trình thuộc chương trình Đại số 10 và có sử dụng kiến thức của chương 1 Giải tích 12.
6. Ngày sáng kiến được áp dụng lần đầu: Ngày 03 tháng 11 năm 2017.
7. Mô tả bản chất của sáng kiến:
7.1. Nội dung của sáng kiến
PHẦN I. MỞ ĐẦU
1. Mục đích nghiên cứu
Tôi viết sáng kiến kinh nghiệm này với mục đích bản thân có một cuốn tài liệu phục vụ công tác giảng dạy và mong muốn cung cấp cho các thầy, cô giáo có thêm một tài liệu tham khảo. Các em học sinh THPT một tài liệu học tập, tra cứu thông dụng và có hiệu quả khi giải hệ phương trình Đại số.
2. Đối tượng nghiên cứu
	Học sinh lớp 12A1 và 12A3 trường THPT Trần Hưng Đạo năm học 2017 – 2018. 
3. Phạm vi nghiên cứu
Chương III của chương trình Đại Số lớp 10 và chương I của chương trình Giải Tích 12.
4. Phương pháp nghiên cứu
4.1. Nghiên cứu lí luận.
Phân tích chương trình môn toán THPT. Nghiên cứu kỹ các dạng phương trình cơ bản và các phương pháp: “Giải hệ phương trình Đại số” trong các tài liệu lý luận, sách tham khảo.
4.2. Thực hành và rút kinh nghiệm.
Thông qua các buổi dạy, trao đổi kinh nghiệm giảng dạy với các đồng nghiệp và khảo sát học sinh thông qua các bài kiểm tra để rút kinh nghiệm.
4.3. Thực nghiệm sư phạm: Tổ chức thực nghiệm sư phạm để xem xét tính khả thi và hiệu quả của việc phân dạng bài tập. Qua đó đánh giá được hiệu quả của đề tài.
5. Điểm mới của đề tài
- Hệ thống lại một số dạng hệ phương trình cơ bản, thường gặp và cách giải của chúng.
- Đưa ra được một số phương pháp giải chung đối với một số hệ phương trình thường gặp cùng với các ví dụ có lời giải
- Hệ thống được một số bài tập thường gặp trong các đề thi HSG trong các năm gần đây.
6. Cấu trúc của sáng kiến kinh nghiệm
Sáng kiến kinh nghiệm được chia làm hai phần:
- Các hệ phương trình cơ bản.
- Một số phương pháp giải hệ phương trình.
Phần II: NỘI DUNG
1. CÁC HỆ PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN
1.1. HỆ GỒM MỘT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT VÀ MỘT PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI.
1.1.1. Dạng tổng quát: 
1.1.2. Phương pháp giải:
1.1.2.1. Phương pháp thế:
Bước 1: Từ phương trình (1) của hệ ta rút x hoặc y thế vào phương trình (2). Khi đó ta được phương trình bậc hai đối với y hoặc x.
Bước 2: Giải phương trình bậc hai.
Bước 3: Kết luận.
1.1.2.2. Phương pháp đồ thị:
Bước 1: Tập hợp các điểm thỏa mãn phương trình (1) là đường thẳng d: Ax + By + C = 0. Tập hợp các điểm thỏa mãn phương trình (2) là đường cong (S) có phương trình: 
Bước 2: Số nghiệm của hệ là số giao điểm của đường thẳng d và đường cong (S)
Chú ý: Phương pháp này thường sử dụng cho bài toán chứa tham số và khi a = c, b = 0. Lúc đó (S) là phương trình đường tròn.
1.1.2.3. Ví dụ minh họa:
Ví dụ 1: Cho hệ phương trình: 
a) Giải hệ phương trình với m = 1.
b)Tìm m để hệ có hai nghiệm phân biệt thỏa măn: 
Lời giải:
a) Với ta có hệ: 
+) Từ (1) ta có: thay vào (2) được:
+) KL: Hệ có nghiệm: 
b) Từ phương trình (1): thay vào (2) ta được: (3).
+) Dễ thấy phương trình (3) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m. Do vậy hệ luôn có hai cặp nghiệm phân biệt là: 
+) Mặt khác từ giả thiết ta có: 
KL: .
Ví dụ 2: Cho hệ phương trình: 
a) Tìm a để hệ có hai nghiệm phân biệt.
b) Gọi là các nghiệm của hệ. CMR: 
Lời giải:
Cách 1: Từ (1) ta có: thay vào (2) được: 
(3)
a) Để hệ có hai nghiệm phân biệt (3) có hai nghiệm phân biệt 
b) Với . Phương trình (3) có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn:
và 
Do đó ta có: 
	(đpcm)
Cách 2: 
Phương trình (1) là phương trình đường thẳng d.
Phương trình (2) là phương trình đường tròn (C ) tâm , bán kính R= .
a)Hệ có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi đường thẳng (d) cắt đường tròn 
(C ) tại hai điểm phân biệt d(I; d) < R 
b) Với , d cắt (C ) tại hai điểm A(x1; y1) và B(x2; y2).
Ta có: 	(đpcm).
Nhận xét: So sánh hai phương pháp ta thấy khi bài toán chứa tham số mà sử dụng được bằng phương pháp đồ thị thì bài toán có lời giải ngắn gọn hơn. Tuy nhiên với dạng hệ phương trình này sử dụng phương pháp đồ thị có hiệu quả nếu a = c, b = 0.
Chú ý: Phương pháp thế còn mở rộng cho hệ phương trình gồm một phương trình bậc nhất và một phương trình bậc lớn hơn 2, hoặc dùng để giải phương trình vô tỷ không đồng bậc có dạng: 
Ví dụ 3: Giải phương trình: (1) ( Khối A – 2009).
Lời giải
+) Điều kiện: 
+) Đặt điều kiện 
+) Khi đó (1) trở thành: 
+) Từ (2) ta có thay vào (3) được: 
+) Với thì 
KL: phương trình có nghiệm .
1.2. HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG LOẠI I
1.2.1. Định nghĩa:
Hệ phương trình đối xứng loại I đối với hai ẩn x, y là hệ gồm các phương trình không thay đổi khi ta thay x bởi y và y bởi x.
1.2.2. Phương pháp giải chung:
Bước 1: Biến đổi về tổng và tích rồi đặt , điều kiện: 
Bước 2: Đưa hệ phương trình về hệ gồm hai ẩn S, P. Giải hệ tìm S, P, thay vào (*) khi đó x, y là nghiệm của phương trình: 
* Chú ý:
+) Nếu là nghiệm của hệ thì cũng là nghiệm của hệ. Từ đó để hệ có nghiệm duy nhất điều kiện cần là .
+) Một số biểu diễn biểu thức đối xứng qua S, P:
	* 
	* 
	* 
	* 
1.2.3. Ví dụ minh họa:
Ví dụ 1: Giải hệ phương trình: 
Lời giải:
+) Biến đổi hệ: 
+) Đặt , (Điều kiện )
+) Ta có hệ: 
+) Với 
+) Với 
+) KL: Hệ có nghiệm: 
Ví dụ 2: Giải hệ phương trình:
Lời giải:
+) Hệ 
+) Đặt , điều kiện: 
Khi đó hệ có dạng: 
+) Với 
+) KL: Vậy hệ có hai nghiệm: 
Ví dụ 3: Tìm m để hệ: có nghiệm duy nhất.
Lời giải:
* Điều kiện cần: 
Giả sử là nghiệm của hệ. Do hệ đã cho là hệ đối xứng với nên cũng là nghiệm của hệ. Để hệ có nghiệm duy nhất thì .
Thay vào hệ phương trình ta được: 
* Điều kiện đủ: 
+) Với thay vào hệ ta được: 
Với hệ có 3 nghiệm nên không thỏa mãn.
+) Với thay vào hệ ta được: 
Vậy thỏa mãn. KL: là giá trị cần tìm.
1.2.4. Phương pháp giải một số hệ phương trình đối xứng loại I .
1.2.4.1. Hệ phương tŕnh đối xứng có chứa .
Phương pháp: Khi đó ta đặt hoặc 
Ví dụ 1: Giải hệ phương trình: 
Lời giải:
Đặt Điều kiện 
Khi đó hệ đã cho trở thành: 
+) Với , khi đó là nghiệm của phương trình: 
+) VớiTa có: và 
+) Với Ta có: và 
KL: Vậy hệ có 8 nghiệm: 
1.2.4.2. Hệ phương trình đối xứng chứa . 
Phương pháp: Khi đó ta đặt: , điều kiện 
Ví dụ 1: Giải hệ phương trình: (I) 
Lời giải:
+) Điều kiện : 
+) Hệ (I) . Đặt , điều kiện 
+) Khi đó hệ (I) có dạng: 
Từ phương trình (2) ta có S = P + 3 thay vào (1) được:
+) Với P = 3 . Khi đó: 
+) KL: Vậy hệ có nghiệm duy nhất: (3; 3).
1.2.4.3. Hệ gần đối xứng: 
Phương pháp: Đưa về hệ phương trình đối xứng bằng cách đặt hoặc.
Ví dụ 1: Giải hệ phương trình: 
Lời giải:
Đặt thay vào hệ ta được:
Đặt điều kiện (*), thay vào hệ ta được:
+) Với S = 2 . Khi đó ta có: 
+) Với (Loại do (*))
+) KL : Vậy hệ có nghiệm: .
1.2.4.4. Hệ đối xứng chứa và . 
Phương pháp: Khi đó ta đặt: với 
Ví dụ 1: Cho hệ phương trình: (I) 
a) Giải hệ phương trình với m = 1.
b) Tìm m để hệ có nghiệm.
Lời giải:
+) Điều kiện 
+) Đặt: , đk . Thay vào hệ ta được: 
 là nghiệm của phương trình: (1)
a) Với m = 1 thay vào (1) được: 
+) Với u = v = 2 
KL: Vậy với m = 1 hệ có nghiệm: (3;3).
b) Hệ (I) có nghiệm PT (1) có nghiệm không âm 
*) Trường hợp 1: Phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu
 m > 5
*) Trương hợp 2: Phương trình (1) có hai nghiệm không âm:
KL: Vậy với hệ có nghiệm.
1.2.4.5. Hệ đối xứng chứa biến nghịch đảo và . 
Phương pháp: Khi đó đặt: , với .
Ví dụ 1: Giải hệ phương trình: (I) 
Lời giải:
+) Điều kiện: .
+) Viết lại hệ: 
+) Đặt , với . Khi đó (I) trở thành:
u, v là nghiệm của phương trình: X = 2 u = v = 2 (t/m)
+) Với u = v = 2 (tm).
KL: Vậy hệ có nghiệm: (1; 1).
Bài tập rèn luyện:
Bài 1: Giải các hệ phương trình:
1/ 
2/ 
3/ 
4/ 
5/ 
6/ 
7/ 
8/ 
9/ 
10/ 
Bài 2: (CSND – 99A)Cho hệ phương trình: 
a) Giải hệ với .	b) Xác định m để hệ có nghiệm duy nhất.
Bài 3: (NT – 97D) Cho hệ: 
a) Giải hệ với m = 12.	b) Với giá trị nào của m thì hệ có nghiệm.
Bài 4: (QG – 99D). Tìm m để hệ để hệ có nghiệm.
Bài 5: Tìm m để hệ sau có nghiệm: 
Bài 6: Tìm m để hệ pt sau có nghiệm: 	
1.3. HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG LOẠI II
1.3.1. Định nghĩa
Hệ phương trình đối xứng loại II đối với hai ẩn x, y là hệ nếu thay đổi vai trò của x, y cho nhau thì phương trình này chuyển thành phương trình kia của hệ.
1.3.2. Phương pháp giải
Xét hệ phương trình đối xứng loại 2 dạng: 
Bước 1: Trừ vế với vế của phương trình (1) cho phương trình (2) ta được: 
Bước 2: Giải hệ phương trình với từng trường hợp.
1.3.3. Ví dụ minh họa: 
Ví dụ 1: Giải hệ phương trình: 
Lời giải:
+) Lấy vế trừ vế của hai phương trình ta được: 
+) Với thay vào (1) ta được: 
+) Với (vô nghiệm)
KL: Hệ có nghiệm: 
Ví dụ 2: Giải hệ phương trình: 
Lời giải:
+) Điều kiện: 
+) Hệ . Trừ vế theo vế ta được: 
+) Với thay vào (1) ta được: 
+) Với (vô nghiệm do ).
KL: Hệ có nghiệm .
Ví dụ 3: Giải hệ phương trình: 
Lời giải: 
+) Điều kiện: 
+) Trừ (1) cho (2) vế theo vế ta được: 
+) Với thay vào (1): ta được: 
KL: Hệ có nghiệm: 
Ví dụ 4: Cho hệ phương trình: 
a) Giải hệ phương trình với m = 0.
b) Tìm m để hệ có nghiệm.
c) Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất.
Lời giải:
+) Lấy (2) trừ (1) ta được: 
*) Trường hợp 1: Nếu thay vào (2) ta được: x2 – 2x + m = 0 	(3)
*) Trường hợp 2: Nếu thay vào (2) ta được: x2 + m = 0 	(4)
a) Với m = 0 ta có: (3) x2 – 2x = 0 
(4) x2 = 0 x = 0
KL: Vậy m = 0 hệ có nghiệm: (0 ; 0), (2 ; 2).
b) Hệ có nghiệm khi phương trình (3) hoặc phương trình (4) có nghiệm
+) phương trình (3) có nghiệm
+) phương trình (4) có nghiệm 
 KL : Vậy hệ có nghiệm khi: 
c) Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất.
*) Điều kiện cần: 
Giả sử là nghiệm của hệ thì cũng là nghiệm của hệ, do đó hệ có nghiệm duy nhất thì . Khi đó thay vào (2) ta được: (5)
Do x0 duy nhất nên phương trình (5) có nghiệm duy nhất.
*) Điều kiện đủ: 
+) Với m = 1 hệ có dạng:
Cách 1: Lấy (7) trừ (6) ta được: 
+) Trường hợp 1: Nếu thay vào (2) được: 
+) Trường hợp 2: Nếu thay vào (2) được: (Vô nghiệm)
KL: Vậy m = 1 là giá trị cần tìm.
Cách 2: Lấy (6) cộng (7) được: 
Nhận xét: 
1) Khi giải hệ đối xứng loại II, ngoài cách trừ vế với vế để được phương trình tích còn có thể cộng vế với vế để có cách giải ngắn gọn hơn.
	2) Khi hệ phương trình đồng bậc và các hệ số có liên quan đến nhau ta có thể đưa về hệ đối xứng loại II bằng cách đặt ẩn phụ.
Ví dụ 5: Giải các hệ phương trình: (I)
	 Lời giải:
Phân tích: Xét về bậc mỗi ẩn của hai phương trình: bằng nhau. Các hệ số: có cùng hệ số, vậy có thể đưa về hệ đối xứng loại II bằng cách đặt ẩn phụ như sau: 
+) Điều kiện: 
+) Đặt với , hệ (I) có dạng:
Lấy (1) trừ (2) vế theo vế ta được: 
+) Trường hợp 1: Với thay vào (1) được: 
+) Trường hợp 2: Với thay vào (1) được:
+) Với +) Với 
KL: Vậy hệ có 4 nghiệm .
Ví dụ 6: Giải hệ phương trình: 
Lời giải:
+) Với y = 0 không phải là nghiệm của hệ.
+) Với ta có: (II)
+) Đặt , với . Hệ (II) trở thành: 
Lấy (1) cộng (2) vế theo vế ta được: 
+) Với thay vào (1) được: 
KL : Vậy hệ có hai nghiệm: 
Bài tập rèn luyện:
1/ 
2/ 
3/ 
4/ 
5/ 
6/
7/ 
8/ 
1.4. HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP BẬC HAI.
1.4.1. Định nghĩa: Hệ đẳng cấp bậc hai có dạng: (I)
1.4.2. Phương pháp giải:
Cách 1: 
*) Xét thay trực tiếp vào hệ và kiểm tra. 
*) Xét . Đặt (hiểu là đặt ) thay vào hệ ta được: . 
Chia vế cho vế hai phương trình của hệ: (3). Phương trình (3) là một phương trình bậc 2 ẩn t. 
*) Giải (3) thay vào (1) tìm từ đó suy ra rồi kết luận.
Cách 2: 
*) Từ hệ (I) khử số hạng (hoặc ) để dẫn đến phương trình khuyết (hoặc y2), giả sử ta khử được: (3).
*) Thế (3) vào một trong các phương trình của hệ ta được phương trình trùng phương ẩn x.
Chú ý: Với bài toán chứa tham số nên chọn cách 2.
1.4.3.Ví dụ minh họa:
Ví dụ 1: Giải hệ phương trình: 
Lời giải:
*) Dễ thấy không thỏa mãn hệ.
*) Xét . Đặt . Thay vào hệ ta được:
Ta có: 
*) Với thay vào (1) ta được 
*) Với thay vào (1) không thỏa mãn.
KL: Hệ có hai nghiệm: 
Ví dụ 2: Tìm a để hệ phương trình: có nghiệm.
Lời giải:
*) Đặt , khi đó hệ có dạng: 
Nhận xét: Nếu (x; y) là nghiệm của hệ thì ( nếu x = 0 thì phương trình (1) vô nghiệm)
+) Khử số hạng y2 từ hệ ta được: (3)
+) Thay (3) vào phương trình (1) của hệ được: 
Đặt ta có: (4)
Để hệ có nghiệm thì phương trình (4) phải có ít nhất một nghiệm không âm.
Do ac > 0 nên phương trình (4) có nghiệm âm 
Từ đó ta có: 
KL: Vậy với hoặc hệ có nghiệm.
Ví dụ 3: Giải hệ phương trình: 
Lời giải:
Hệ . Thế (1) vào (2) ta được: 
*) Với thay vào (2) ta thấy không thỏa mãn.
*) 
+) Với thay vào (2) ta được: 
+) Với thay vào (2) ta được: (vô nghiệm)
KL: Hệ có nhiệm 
Nhận xét: Hệ phương trình trên không phải là hệ phương trình đẳng cấp bậc 2 cơ bản mà ta xét ban đầu. Tuy nhiên với phương pháp thế hoặc biến đổi hai phương trình của hệ về dạng có bậc: sau đó nhân chéo vế ta thu được phương trình đẳng cấp bậc 3 theo x,y. Hệ phương trình dạng này còn được gọi là hệ giả đẳng cấp. Ta xét tiếp một ví dụ sau:
Ví dụ 4: Giải hệ phương trình: 
Lời giải:
Hệ . Nhân chéo vế của (1) và (2) ta được: 
*) Với thay vào (2) ta thấy không thỏa mãn.
*) 
+) Với thay vào (2) ta được: 
+) Với thay vào (2) ta được: 
KL: Hệ có nhiệm 
Ví dụ 5: Giải hệ phương trình sau: 
Lời giải:
Thế (1) vào (2) ta được: 
+) Xét thay vào hệ: 
+) Xét . Đặt thay vào (3) ta được: 
+) Với 
+) Với thay vào hệ: 
+) Với thay vào hệ: 
KL: Hệ có nghiệm: 
Bài tập rèn luyện:
1/ 
2/ 
3/ 
4/ 
5/ 
6/ 
7/ 
8/ 
9/ 
10/ 
11/ 
12/ 
13/ 
14/ 
Trên đây là những hệ phương trình cơ bản có phương giải cụ thể, rõ ràng cho từng dạng. Tuy nhiên trong hầu hết các đề thi tuyển sinh đại học, cao đẳng, đề thi học sinh giỏi ta sẽ bắt gặp hệ phương trình không mẫu mực. Muốn làm được các dạng bài tập đó đòi hỏi cần nắm chắc các dạng cơ bản trên và một số phương pháp giải sau đây.
2. CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH 
2.1. PHƯƠNG PHÁP THẾ.
2.1.1.Nhận dạng
Thế là một kĩ năng quan trọng hàng đầu trong vấn đề giải hệ phương trình. Là kĩ năng được sử dụng trong hầu hết các hệ phương trình. Dấu hiệu để nhận ra phương pháp rút – thế là hai phương trình của hệ có một bộ phận giống nhau hoặc hệ có một phương trình bậc nhất theo một biến nào đó.
2.1.2. Các ví dụ minh họa:
Ví dụ 1: Giải hệ phương trình: 
Lời giải:
*) Với x = 0 hệ (vô nghiệm)
*) Với phương trình (2) thay vào (1) được:
*) Với x = 0 ( loại do )
*) Với 
*) Với 
KL: Hệ phương trình có hai nghiệm: .
Ví dụ 2: Giải hệ phương trình: ( Khối B 2008).
Lời giải:
*) Thế vào (1) ta được: 
*) Với 	KL: Hệ có một nghiệm: 
Ví dụ 3: Giải hệ phương trình: 
Nhận xét: Ta thấy hai phương trình của hệ có một bộ phận giống nhau là . Dó đó ta sẽ nghĩ đến việc rút từ (1) thế vào (2) là xong.
Lời giải:
*) Điều kiện: . 
 thay vào (2) ta được: 
*) Với 
*) Với 
KL: Hệ có nghiệm: 
Ví dụ 4: Giải hệ phương trình: (Khối A - 2011)
Lời giải:
*) Với thay vào (1) ta được: 
*) Với thay vào (1) ta được: 
*) Với 
*) Với 
KL: Hệ có nghiệm: .
2.1.3. Bài tập rèn luyện 
1/ 
2/ 
3/ 
4/ 
5/ 
6/ 
7/ 
8/ 
9/ 
10/
11/ 
12/ 
13/ 
14/ 
2.2. PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ
2.2.1. Nhận dạng
Điểm mấu chốt của phương pháp này là phát hiện ẩn phụ u = f(x; y), v = g(x; y) ngay trong từng phương trình của hệ hoặc ngay sau các phép biến đổi. Thông thường các phép biến đổi thường xoay quanh việc cộng, trừ hai phương trình của hệ hoặc chia hai vế của phương trình cho một số hạng hoặc một ẩn nào đó sẵn có trong các phương trình của hệ để tìm ra phần chung và sau đó đặt ẩn phụ.
*) Các ẩn phụ cơ bản thường dùng:
1. Hệ có chứa hai căn và ta đặt 
2. Hệ có chứa ta đặt 
3. Hệ có chứa ta đặt 
4. Hệ có chứa ta đặt 
5. Hệ có chứa ta đặt 
6. Hệ có chứa ta đặt 
2.2.1. Ví dụ minh họa 
Ví dụ 1: Giải hệ phương trình: ( Khối A 2008)
Lời giải:
Phân tích bài toán: Để ý đến mối quan hệ của và ta có: . 
a) 
Đặt Thay vào hệ ta được: 
Từ (2) ta có thay vào (1) được: 
+) Với +) Với 
KL: Vậy hệ có hai nghiệm là: 
Ví dụ 2: Giải hệ phương trình: 
Phân tích: Kinh nghiệm khi giải hệ phương trình là nếu trong hệ có chứa thì ta sẽ đặt ẩn phụ theo . Từ đó ta có hướng phân tích bài toán như sau:
Lời giải:
Hệ . 
Đặt Thay vào hệ ta được: 
*) Với 
*) Với (vô nghiệm)
KL: Hệ có nghiệm: 
Ví dụ 3: Giải hệ phương trình: 
Phân tích: Từ (2) ta có: . Từ đó ta thử biến đổi hệ theo ẩn .
Lời giải:
Điều kiện .
Hệ . Đặt 
Ta được hệ phương trình: . Đến đây việc giải hệ này không còn khó khăn nữa.
Ví dụ 4: Giải hệ phương trình: 
Lời giải:
Nhận xét: Đây là dạng hệ phương trình có chứa hai căn, ta đặt ẩn phụ theo hai căn là được.
Đặt . Thay vào hệ ta được hệ: 
.
KL: Hệ có nghiệm 
*) Chú ý: Nếu phương trình của hệ có chứa một biến độc thân, thông thường ta chia hai vế của phương trình cho biến đó rồi mới đặt ẩn phụ.
Ví dụ 5: Giải hệ phương trình: 	(Khối B - 2009)
Lời giải:
*) Với y = 0 không là nghiệm của hệ phương trình.
*) Với , ta có hệ: 
Đặt thay vào hệ được: 
*) Với hệ vô nghiệm.
*) Với . Giải hệ được nghiệm .
2.2.3. Bài tập rèn luyện 
1/ 
2/ 
3/ 
4/ 
5/ 
6/ 
7/ 
8/ 
9/ 
10/ 
11/
12/ 
2.3. PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI THÀNH TÍCH
2.3.1. Nhận dạng
Phương pháp biến đổi thành tích là một phương pháp mà khá nhiều giáo viên ra đề hay sử dụng. Mấu chốt của phương pháp này là học sinh phải nhận ra một phương trình của hệ có nhân tử chung và đưa phương trình đó về dạng tích từ đó đưa hệ ban đầu về hai hay nhiều hệ phương trình đơn giản hơn. 
2.3.2. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1 : Giải hệ phương trình (HSG 10 Vĩnh Phúc năm học 2015 – 2016)
Lời giải:
Cộng tương ứng hai vế của (1) và (2) ta được 
Thế vào ta được: 
Vậy hệ có nghiệm là: 
Ví dụ 2 : Giải hệ phương trình: (HSG 10 Vĩnh Phúc năm học 2014 – 2015)
Lời giải:
Ta có 
Với thay vào (2) ta được 
+) .
+) .
Với thay vào (2) ta được 
+) ; +) .
Vậy, hệ (I) có nghiệm là: .
Ví dụ 3: Giải hệ phương trình sau: 
Lời giải:
Điều kiện: . 
*) Với thay vào (1) ta được: . 
Với 
*) Với thay vào (1) ta được: 
KL: Hệ có nghiệm: 
Ví dụ 4: Giải hệ phương trình: 
Lời giải:
+) Với thay vào (1): 
+) Với thay vào (1): 
KL: Hệ có nghiệm: 
Chú ý 1 : Khi gặp phương trình của hệ là phương trình bậc hai với x và y có dạng: để biến đổi thành tích ta có thể coi đây là phương trình bậc 2 với ẩn x (hoặc ẩn y) với y là tham số. Giải phương trình bậc 2 với ẩn x tham số y để tìm mối quan hệ giữa x và y rồi thế vào phương trình còn lại là xong. Cũng cần lưu ý rằng bài toán chỉ có thể giải quyết được theo cách này khi phương trình có dạng .
Ví dụ 5: Giải hệ phương trình: 
Lời giải:
Từ (1) ta có: (phương trình bậc 2 ẩn x tham số y)
. Từ đó suy ra: 
*) Với thay vào (2) ta được: 
*) Với thay vào (2) ta được: 
KL: Hệ có nghiệm: .
Ví dụ 6: Giải hệ phương trình: 
 (Khối B_2013)
Lời giải:
+) Điều kiện: .
+) Từ phương trình (1): (3). Coi (3) là phương