Sáng kiến kinh nghiệm Một số kỹ thuật tính giới hạn của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi

 Sáng kiến: Một số kỹ thuật tính giới hạn của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi Trang 1 
Trường THPT Triệu Thái – Vĩnh Phúc Toán 11 
CÁC CHỮ CÁI VIẾT TẮT 
THPT: Trung học phổ thông 
HSG: Học sinh giỏi 
BDHSG: Bồi dưỡng học sinh giỏi 
SK: Sáng kiến 
SGK: Sách giáo khoa 
SBT: Sách bài tập 
BT: Bài tập 
NC: Nâng cao 
CTSHTQ: Công thức số hạng tổng quát. 
CSC: Cấp số cộng 
CSN: Cấp số nhân 
CMR: Chứng minh rằng 
CM: Chứng minh 
BĐT: Bất đẳng thức 
 Sáng kiến: Một số kỹ thuật tính giới hạn của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi Trang 2 
Trường THPT Triệu Thái – Vĩnh Phúc Toán 11 
BÁO CÁC KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN: 
“Mét sè kÜ thuËt tÝnh giíi h¹n cña d·y 
sè cho bëi hÖ thøc truy håi” 
I. LỜI GIỚI THIỆU: 
Bài toán tìm giới hạn của một dãy số cho bởi hệ thức truy hồi là một dạng bài 
toán khó, đòi hỏi nhiều kĩ thuật biến đổi – tính toán. Bài toán này thường xuất hiện 
trong các đề thi HSG cấp tỉnh, đề thi Olympic 30 tháng 4, đề thi quốc gia và quốc tế. 
Các tài liệu chuyên sâu về chuyên đề giới hạn của dãy số vẫn còn rất hạn chế; Và hôm 
nay, với mong muốn nâng cao chất lượng giảng dạy BDHSG, cung cấp cho các em 
học sinh, đặc biệt là các em học sinh khá - giỏi toán và yêu thích toán có thêm một tài 
liệu tham khảo về giới hạn của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi, tôi đã nghiên cứu và 
hoàn thành SK nho nhỏ của mình với tựa đề: “Một số kĩ thuật tính giới hạn của dãy 
số cho bởi hệ thức truy hồi”. 
II. TÊN SÁNG KIẾN: 
Một số kĩ thuật tính giới hạn của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi 
III. TÁC GIẢ SÁNG KIẾN: 
- Họ và tên: Nguyễn Thị Thanh Lan 
- Địa chỉ: Trường THPT Triệu Thái 
- Số điện thoại: 0978 205 898 
- Email: nguyentthanhlan.gvtrieuthai@vinhphuc.edu.vn 
IV. CHỦ ĐẦU TƢ TẠO RA SÁNG KIẾN: Nguyễn Thị Thanh Lan 
 Sáng kiến: Một số kỹ thuật tính giới hạn của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi Trang 3 
Trường THPT Triệu Thái – Vĩnh Phúc Toán 11 
V. LĨNH VỰC ÁP DỤNG SÁNG KIẾN: Chuyên đề bồi dưỡng học sinh khá, giỏi: 
Giới hạn của dãy số - Dạng bài toán tìm giới hạn của dãy số cho bởi công thức 
truy hồi - Đại số & giải tích 11. 
VI. NGÀY SÁNG KIẾN ĐƢỢC ÁP DỤNG: 08/12/2018 
VII. MÔ TẢ BẢN CHẤT CỦA SÁNG KIẾN: 
 GIÚP HỌC SINH CÓ MỘT SỐ KĨ THUẬT TÍNH GIỚI HẠN CỦA DÃY 
SỐ CHO BỞI CÔNG THỨC TRUY HỒI. 
 NỘI DUNG CỦA SÁNG KIẾN: 
Trong quá trình tìm tòi, nghiên cứu, giảng dạy và BDHSG, tôi đã tổng hợp và 
đúc kết thành một số kĩ thuật để tính giới hạn của dãy số cho bởi hệ thức truy 
hồi. Trong khuôn khổ của đề tài này, tôi sẽ trình 4 kĩ thuật cơ bản sau đây: 
A- Kĩ thuật 1: Tính giới hạn của dãy cho bởi hệ thức truy hồi bằng cách xác 
định CTSHTQ của dãy số. 
B - Kĩ thuật 2: Tính giới hạn của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi bằng cách sử 
dụng phương pháp đánh giá và nguyên lí kẹp. 
C - Kĩ thuật 3: Tính giới hạn của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi bằng cách sử 
tiêu chuẩn (định lí) Weierstrass. 
A – KĨ THUẬT 1: TÍNH GIỚI HẠN CỦA DÃY CHO BỞI HỆ THỨC TRUY 
HỒI BẰNG CÁCH XÁC ĐỊNH CTSHTQ CỦA DÃY SỐ: 
1. Mục đích: Tìm giới hạn của CTSHTQ nu của dãy số. 
2. Phƣơng pháp: 
 Bước 1: Tìm đặc trưng của các số hạng của dãy số (thông thường là ta xét các 
số hạng đầu của dãy số), từ đó suy ra CTSHTQ nu 
 Bước 2: Tính giới hạn của dãy số  nu bằng cách tính lim ?nu  
 Sáng kiến: Một số kỹ thuật tính giới hạn của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi Trang 4 
Trường THPT Triệu Thái – Vĩnh Phúc Toán 11 
3. Một số ví dụ: 
Ví dụ 1: 
Phân tích: Ta nhận thấy: 1 3 9 1 8u     ; 2 10 2 8u    ; 3 11 3 8u    ; 
4 12 4 8u    ; 5 13 5 8u     Dự đoán: 8nu n  
Lời giải: 
* Chứng minh 8nu n  (HS tự chứng minh bằng phương pháp quy nạp). 
* Tính giới hạn của dãy số  nu : Ta có: lim nu = lim 8n    
Ví dụ 2: 
Phân tích: Nhận thấy: 1 3; 1n nu u n    nên dãy số  nu là một CSC ?nu  
Lời giải: 
* Do 
1
1
1
3; 1n n
u
u u n
 

  
 nên dãy số  nu là một CSC có số hạng đầu 1 1u   và công 
sai d = 3, do đó dãy số  nu có CTSHTQ là  1 1 3 4n nu u n d u n      
* Tính giới hạn của dãy số  nu : Ta có: lim nu =  lim 3 4n   
Tính giới hạn của dãy số  nu cho bởi: 
1
1
1
3; 1n n
u
u u n
 

  
Tính giới hạn của dãy số  nu cho bởi: 
1
2
1
3
1 ; 1n n
u
u u n


  
 Sáng kiến: Một số kỹ thuật tính giới hạn của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi Trang 5 
Trường THPT Triệu Thái – Vĩnh Phúc Toán 11 
Ví dụ 3: (BT7/SGK Đại số & Giải Tích 11 NC/Trang 135/NXBGD 2007) 
Phân tích: 
- Nếu như đề bài không cho câu a) mà chỉ yêu cầu tìm lim nu thì bài toán trở nên rất 
khó và lạ đối với học sinh. 
- Việc đề bài yêu câu thêm câu a) là để có thể xác định CTSHTQ của dãy số  nu nhờ 
vào việc tìm CTSHTQ của một cấp số nhân, từ đó áp dụng các định lí về giới hạn để 
tính lim nu . 
- Vấn đề đặt ra là nếu không có câu a thì làm sao ta có thể tìm ra cách đặt: 
15
4
n nv u  để chứng minh dãy  nv là một CSN? 
Thực ra vấn đề này không quá khó. Để chứng minh dãy  nv xác định bởi công 
thức 
15
4
n nv u  là một CSN, với 1
1
3
5
n nu u   (1), ta cần tìm số b sao cho 
1
1
( )
5
n nu b u b    1
1 1
5 5
n nu b b u    (2). Từ (1) và (2) suy ra: 
15
4
b  . 
Do vậy, nếu đặt 
15
4
n nv u  thì 1
1
, 1
5
n nv v n    nên  nv là một CSN 
- HS có thể áp dụng phân tích này với các bài toán tương tự: 
1
1 . , 1n n
u A
u B u C n


   
, 
với A, B, C là các số thực. 
Cho dãy số  nu xác định bởi: 
1
1
10
1
3, 1
5
n n
u
u u n



   

a) CMR dãy số  nv xác định bởi 
15
4
n nv u  là một CSN 
b) Tính lim nu 
 Sáng kiến: Một số kỹ thuật tính giới hạn của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi Trang 6 
Trường THPT Triệu Thái – Vĩnh Phúc Toán 11 
- Ngoài ra, có thể đặt 5 . , 1nn nv u n   , khi đó ta có 
1
1 3.5 , 1
n
n nv v n

     . Suy ra 
3
15 15 5 1 35 1 1 15
(5 1) 35 .
4 5 4 5 5 4 5 4
nn
n n
n n n n n
v
v u

  
         
 
Lời giải: 
a) Thật vậy, ta có: 1 1
15 1 15 1 15 3 1
3 ( )
4 5 4 5 4 4 5
n n n n nv u u v v          . 
Vậy  nv là một CSN có công bội 
1
5
q  và có số hạng đầu 1 1
15 25
4 4
v u   . 
Do đó 
1 3
1
1
25 1 1 1
. . .
4 5 4 5
n n
n
nv v q
 
         
   
b) Từ câu a) suy ra 
3
15 1 1 15
.
4 4 5 4
n
n nu v

 
    
 
. 
Do đó 
2
15 1 1 15 15
lim lim lim .
4 4 5 4 4
n
n nu v
    
        
     
. 
Ví dụ 4: 
Phân tích: 
- Ta nhận thấy: Dãy số  nu xác định bởi: 
1
1
2
2 1; 1n n
u
u u n


  
 có dạng: 
1
1 . , 1n n
u A
u B u C n


   
, với , ,A B C nên áp dụng phân tích trong Ví dụ 3 thì HS 
có thể giải quyết bài toán này một cách dễ dàng. 
Tính giới hạn của dãy số  nu xác định bởi: 
1
1
2
2 1; 1n n
u
u u n


  
 Sáng kiến: Một số kỹ thuật tính giới hạn của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi Trang 7 
Trường THPT Triệu Thái – Vĩnh Phúc Toán 11 
- Có: 
1 2 1n nu u   (1), ta cần tìm số b để 1 2( )n nu b u b    1 2n nu u b   (2). Từ 
(1) và (2) suy ra: 1b  . Vậy ta sẽ đặt 1n nv u  để giải quyết bài toán trên. 
Lời giải: 
Đặt: 1n nv u  1 1 1 2 2 2( 1) 2n n n n nv u u u v         . Suy ra dãy số  nv là một 
CSN có công bội 2q  và có số hạng đầu 1 1 1 1v u   
1 1
1. 2
n n
nv v q
    
11 2 1nn nu v
     . Do đó    1lim lim 1 lim 2 1nn nu v       . 
Ví dụ 5: (BT 4.37/SBT Đại số & Giải Tích 11 NC/Trang 139/NXBGD 2007) 
Lời giải: 
a) Ta có 
1 1
1 1 1 1
1 1 ( 1) , 1
2 2 2 2
n n n n nv u u u v n           
Suy ra dãy số  nv là một CSN lùi vô hạn với công bội q = 
1
2
. Nên
2
1
2
n
nv

 
  
 
b) Từ câu a) suy ra 
2
1
1 1, 1
2
n
n nu v n

 
      
 
Vậy: 
2
2
1 1
1 1
( ) 4
2 2
nn n
k
n k
k k
S u n n


 
 
       
 
 
2
n
1
limS = lim 4
2
n
n
  
      
   
Nhận xét: Có thể tìm CTSHTQ của dãy  nu bằng phép đổi biến: 2 . , 1
n
n nv u n   
Cho dãy số  nu xác định bởi: 
1
1
3
2 1, 1n n
u
u u n


   
Đặt 1 2 3 ... ; 1n nS u u u u n      
a) CMR dãy số  nv với 1n nv u  là một CSN lùi vô hạn 
b) Tính limSn 
 Sáng kiến: Một số kỹ thuật tính giới hạn của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi Trang 8 
Trường THPT Triệu Thái – Vĩnh Phúc Toán 11 
Ta có 1 11 1 1
1 1
2 . 2 ( ) 2 , 1 2 , 1
2 2
n n n n
n n n n n nv u u v n v v n
 
              
Do đó 1 2
1 1 2 2 1 1.... 2 2 ... 2 6
n n
n n n n nv v v v v v v v
 
               
Hay 
2
1 12(2 1) 6 2 4 1
2
n
n n
n nv u

           
 
Ví dụ 6: (BT 4.73/SBT Đại số & Giải Tích 11 NC/Trang 143/NXBGD 2007) 
Lời giải: 
a) Ta sẽ chứng minh bằng quy nạp 4, 1nu n    . 
Khi n = 1 ta có 1 1 4u    . Đúng 
Giả sử 4, 1ku k    , ta chứng minh 1 4ku    . Thật vậy, giả sử ngược lại 1 4ku    , 
khi đó 
4
4 4
6
k
k
k
u
u
u

    

, trái với giả thiết quy nạp. Vậy 4, 1nu n    
b) Từ câu a) suy ra nv luôn xác định với mọi 1n  . Ta có: 
1
1
1
4
1
1 6 2( 1) 2
,
44 5( 4) 5
4
6
n
n n n
n n
nn n
n
u
u u u
v v n
uu u
u





  
    
 

. 
Vậy  nv là một CSN lùi vô hạn với công bội q = 
2
5
 và số hạng đầu 11
1
1 2
4 5
u
v
u

 

. 
Cho dãy số  nu , xác định bởi: 
1
1
1
4
, 1
6
n
n
n
u
u
u n
u




   
a) CMR: 4, 1nu n    
b) CMR: Dãy  nv với 
1
4
n
n
n
u
v
u



 là một CSN. Tính lim nu 
 Sáng kiến: Một số kỹ thuật tính giới hạn của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi Trang 9 
Trường THPT Triệu Thái – Vĩnh Phúc Toán 11 
Suy ra 
2
5
n
nv
 
  
 
 nên 
2
4. 1
5
2
1
5
n
n n
u
 
 
 
 
  
 
. Do đó 
2
4. 1
5
lim lim 1
2
1
5
n
n n
u
 
 
   
 
  
 
Ví dụ 7: 
Phân tích: 
- Nhận thấy dãy số  nu , xác định bởi: 
1
1
1
1
, 1
( 1)
n n
u
u u n
n n




    
 không có dạng: 
1
1 . , 1n n
u A
u B u C n


   
, với , ,A B C nên ta không thể áp dụng các ví dụ trên để 
giải quyết bài toán này. 
Để ý rằng: Từ 1 1
1 1
( 1) ( 1)
n n n nu u u u
n n n n
     
 
 nên suy ra: 
   
 
2 1
3 2
4 3
1 2
1
1 1
1
1.2 2
1 1 1
2.3 2 3
1 1 1
3.4 3 4
...
1 1 1
2 . n 1 2 1
1 1 1
1 .n 1
n n
n n
u u
u u
u u
u u
n n n
u u
n n n
 

   
   
   
   
   
   
 
Tính giới hạn của dãy số  nu , xác định bởi: 
1
1
1
1
, 1
( 1)
n n
u
u u n
n n




    
 Sáng kiến: Một số kỹ thuật tính giới hạn của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi Trang 10 
Trường THPT Triệu Thái – Vĩnh Phúc Toán 11 
Cộng vế theo vế ta được: 1 1
1 1 1
1 1 2n nu u u u
n n n
         
- Từ Ví dụ 7 ta có thể áp dụng với bài toán tổng quát khi cho dãy số  nu , xác định 
bởi công thức dạng: 
 
1
1 , 1n n
u A
u u P n n


   
, với A ;  P n là đa thức ẩn n. 
Lời giải: 
Từ giả thiết ta có: 
1
1
( 1)
n nu u
n n
  

1
1 1 1
( 1) 1
n nu u
n n n n
    
 
1 1 2 2 1 1.....
1 1 1 1 1 1 1
 ...... 1 2
1 2 1 1 2
n n n n nu u u u u u u u
n n n n n
          
         
  
Do đó 
1
lim lim 2 2nu
n
 
   
 
Ví dụ 8: 
Phân tích: Dễ thấy dãy số  nu , xác định bởi: 
1
1
1
1
, 1
2
n
n n
u
u u n


  
     
 
 có dạng: 
 
1
1 , 1n n
u A
u u P n n


   
 nên cách giải quyết bài tập này giống với Ví dụ 7 
Lời giải: Ta có : 1
1
2
n
n nu u
 
   
 
Tính giới hạn của dãy số  nu , xác định bởi: 
1
1
1
1
, 1
2
n
n n
u
u u n


  
     
 
 Sáng kiến: Một số kỹ thuật tính giới hạn của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi Trang 11 
Trường THPT Triệu Thái – Vĩnh Phúc Toán 11 
1 2 1
1 1 2 2 1 1
1 1 1
..... ..... 1
2 2 2
n n
n n n n nu u u u u u u u
 
  
     
                  
     
1 1
1
1 ( )
1 12 2 lim lim 2 2
1 2 2
1
2
n
n n
n nu u
      
           
     
4. Bài tập tƣơng tự: 
Bài 1: 
Bài 2: 
Bài 3: 
Bài 4: (Đề thi HSG cấp tỉnh tỉnh Quảng Ngãi năm 2001 – 2002) 
 Cho dãy số  nu xác định bởi công thức:    2 2 .... 2nu 
(n dấu căn ; 1n  ). Tính lim 1 2
. ....
2
n
n
u u u
(ĐS: lim
2
2
2 3
n
n
u
 ) 
Cho dãy số  nu xác định bởi 
1
1
3
4 1, 1n n
u
u u n


   
. Tính lim
22
n
n
u
(ĐS: lim
2
2
2 3
n
n
u
 ) 
Tính giới hạn của dãy số  nu , xác định bởi: 
1
1
; 
1
1, 1
2
n n
u a a
u u n
 


   
(ĐS: lim 2nu  ) 
Tính giới hạn của dãy số  nu , xác định bởi: 
1
1
5
2
6, 1
3
n n
u
u u n
 


   
(ĐS: lim nu = -18) 
 Sáng kiến: Một số kỹ thuật tính giới hạn của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi Trang 12 
Trường THPT Triệu Thái – Vĩnh Phúc Toán 11 
Hƣớng dẫn: Ta có: 
 
    
    


  
 
         
 
 
          
 
   
1 2
2
2 3
2
3 4
1
2 2.cos 2.cos
4 2
2 2 2 2.cos 2 1 cos 2.2.cos 2.cos 2.cos
4 4 8 8 2
2 2 2 2 2.cos 2 1 cos 2.2.cos 2.cos 2.cos
8 8 16 16 2
.... 2cos ,
2
n n
u
u
u
u n
Từ đó tính được: lim 1 2
. .... 2
2
n
n
u u u

 
Bài 5: 
B - KĨ THUẬT 2: TÍNH GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ CHO BỞI HỆ THỨC TRUY 
HỒI BẰNG CÁCH SỬ DỤNG PHƢƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ & NGUYÊN LÍ 
KẸP 
1. Mục đích: 
 Tìm giới hạn của dãy số  nV bằng cách sử dụng nguyên lí kẹp giữa. 
 Nội dung nguyên lí kẹp giữa (nguyên lí kẹp) (Định lí 1/SGK Đại số & Giải tích 
NC/Trang 153/NXBGD2007) 
Cho 3 dãy số (Un), (Vn), (Wn) sao cho: 
nW ;
limU lim W
n n
n n
U V n
a
  

 
lim nV a  
 Cho dãy số  nu xác định bởi công thức:    2 . 2 2 .... 2
n
n
u 
(n dấu căn ; 1n  ). Tính lim nu 
(ĐS: lim nu  ) 
(ĐS: lim
2
2
2 3
n
n
u
 ) 
 Sáng kiến: Một số kỹ thuật tính giới hạn của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi Trang 13 
Trường THPT Triệu Thái – Vĩnh Phúc Toán 11 
2. Phƣơng pháp: 
 Bước 1: Chứng minh: n 0 0v w , ; ,n nu n n n n     bằng phương pháp quy 
nạp, hoặc sử dụng các bất đẳng thức hoặc phương pháp đánh giá – nhận xét. 
 Bước 2: Chỉ ra : lim limn nv w a  , kết hợp với nguyên lí kẹp, ta đi tính giới 
hạn của dãy số  nv cho bởi hệ thức truy hồi. 
3. Một số ví dụ: 
Ví dụ 1: (BT2/SGK/Đại số & Giải Tích 11/Trang 121/NXBGD 2007) 
Phân tích: 
- Ta có: 
3 3 3
1 1 1
1 ; 1 ;n nu n u n
n n n
         
- Coi như: Dãy  nU , 3
1
nU
n
  ; dãy  nV , 1n nU u  ; dãy  Wn , 3
1
Wn
n
 
-  3 3
1 1
lim lim 0;limW lim 0 limV lim 1 0 lim 1n n n n nU u u
n n
 
           
 
Lời giải: 
Từ giả thiết ta có: 
3 3 3
1 1 1
1 ; 1 ;n nu n u n
n n n
         
Mà  3 3
1 1
lim 0;lim 0 lim 1 0 lim 1n nu u
n n
 
        
 
(Theo nguyên lí kẹp) 
Nhận xét: Ta có thể trình bày cách khác: 
3 3
1 1
1 ; 0 1 ;n nu n u n
n n
        
Mà 
3
1
lim0 0;lim 0 lim 1 0nu
n
     (Theo nguyên lí kẹp) 
lim 1nu  
Biết dãy số  nu thỏa mãn 3
1
1 ;nu n
n
   . Chứng minh rằng lim 1nu  
 Sáng kiến: Một số kỹ thuật tính giới hạn của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi Trang 14 
Trường THPT Triệu Thái – Vĩnh Phúc Toán 11 
Ví dụ 2: (Bài 4.4/SBT Đại số & Giải tích 11 NC/Trang 133/NXBGD2007) 
Phân tích: Với ví dụ này, việc xác định CTSHTQ của dãy  nu sẽ gặp nhiều khó 
khăn, nhưng nếu sử dụng bất đẳng thức để đánh giá và nguyên lí kẹp thì bài toán được 
giải quyết rất đơn giản. 
Lời giải: 
a) Bằng phương pháp chứng minh quy nạp ta dễ dàng chứng minh được 0 ,nu n  
* Chứng minh 
1
,
4
nu n  bằng phương pháp quy nạp: 
Với n = 1 ta có: 
1
1 1
4 4
u   . Đúng 
Giả sử BĐT 
1
; 1
4
ku k   đúng, ta cần chứng minh BĐT 1
1
; 1
4
ku k    cũng đúng 
Thật vậy: Do 2
1 1
0
4 16
k ku u    và 
1
2 8
ku  nên 2
1
1 1 3 1
2 16 8 16 4
k
k k
u
u u       
Vậy 
1
0 ,
4
nu n   
b) Từ câu a) suy ra 1
1 1 1 3
,
2 4 2 4
n
n
n
u
u n
u
       
Cho dãy số  nu xác định bởi : 
1
2
1
1
4
, 1
2
n
n n
u
u
u u n



    

a) CMR: 
1
0 ,
4
nu n   
b) CMR: 1
3
,
4
n
n
u
n
u
   . Tính lim nu 
 Sáng kiến: Một số kỹ thuật tính giới hạn của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi Trang 15 
Trường THPT Triệu Thái – Vĩnh Phúc Toán 11 
Do đó ta có 
1
1 2
1 1
1 2 1
3 3 3 1 3
0 . ...... . . ..... . . ,
4 4 4 4 4
n
n n
n
n n
u u u
u u u n
u u u


 
 
     
 
Mà 
1
1 3
lim0 0;lim . 0
4 4
n
 
  
 
, nên theo nguyên lí kẹp thì lim 0nu  
Ví dụ 3: (BT 4.5/SBT Đại số &Giải tích 11 NC/Trang 134/NXBGD2007) 
Hƣớng dẫn: 
a) Dễ dàng chứng minh bằng quy nạp được 0, nu n 
Từ hệ thức truy hồi ta có 1
1 1
, 1
1 2
    

n
n
u
n
u n
b) Từ câu a) ta có : 1 2 1
1 2 1
1 1 1 1 1
0 . ....... . . ..... . , 1
2 2 2 2 2
n
n n
n
n n
u u u
u u n
u u u

 
 
      
 
Mà 
1
lim0 0;lim 0
2
n
 
  
 
 nên theo nguyên lí kẹp ta có limun = 0 
Ví dụ 4: (BT 4.11/SBT Đại số &Giải tích 11 NC/Trang 135/NXBGD2007) 
Cho dãy số (un) xác định bởi 
1
1
10
, 1n n
u
u u n


  
. Tính lim nu 
Cho dãy số (un) xác định bởi 
1
1
1
2
, 1
1
n
n
u
u
u n
n




   
 
a) CMR: 0nu  và 
1 1 ,
2
n
n
u
n
u
   
b) Tính lim nu 
 Sáng kiến: Một số kỹ thuật tính giới hạn của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi Trang 16 
Trường THPT Triệu Thái – Vĩnh Phúc Toán 11 
Hƣớng dẫn: 
Dễ ràng chứng minh được 1;nu n  bằng phương pháp quy nạp toán học. 
Hơn nữa theo bất đẳng thức Cosi, ta có 1
1
1.
2
n
n n n
u
u u u

   . Tuy nhiên dấu 
“=” không xảy ra vì 1;nu n  . Do đó 1
1
,
2
n
n
u
u n

  1
1
1 ,
2
n
n
u
u n

    (*) 
Áp dụng (*) liên tiếp nhiều lần ta có: 
1 2 1
2 1 1 1
1 1 1 9 9
0 1 .... , 1 1 1 , 1
2 2 2 2 2
n n
n nn n n
u u u
u n u n 
  
  
               
Mà lim(
1
9
1
2n
 ) = 1 nên theo nguyên lí kẹp ta có limun = 1 
Ví dụ 5: (BT 4.74/SBT Đại số &Giải tích 11 NC/Trang 148/NXBGD2007) 
Hƣớng dẫn: 
Dễ dàng chứng minh được: 1 0,nu n    bằng chứng minh quy nap. 
Từ đó suy ra 
2
1 1 0,
1 1
n
n
u n
u
    

 
 1
2
1 1
1 1 , 1
11
n n
n n
n
u u
u u n
u

 
      

Do đó dãy ( )nu là dãy giảm 1 11 .... 0, 1n nu u u a n         
Cho dãy số (un) xác định bởi : 
1
1
2
1
1, 1
1
n
n
n
u a
u
u n
u



    
 
, (với – 1 < a < 0) 
a) CMR: 1
2
1
0 1 ( 1), 1
1
n nu u n
a
     

b) Tính limun 
lim nu 
 Sáng kiến: Một số kỹ thuật tính giới hạn của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi Trang 17 
Trường THPT Triệu Thái – Vĩnh Phúc Toán 11 
2 2 2 2
2 2
1 1
1 1
1 1
n n
n
u a u a
u a
       
 
Nên 
1
2 2
1 1
0 1 ( 1), 1
1 1
n
n n
n
u
u u n
u a


      
 
2 1
1 2 1
2 2 2
1 1 1
0 1 ( 1) ( 1) .... ( 1), 1
1 1 1
n
n n nu u u u n
a a a

 
   
              
     
Hay 
1
2
1
1 .( 1) 1, 1
1
n
nu a n
a

 
       
 
Vì 
1
2 2
1 1
0 1 lim ( 1) 1 1
1 1
n
a
a a
  
        
    
. 
Do đó theo nguyên lí kẹp ta được limun = -1 
4. Bài tập tƣơng tự: 
Bài 1: (Đề thi HSG lớp 11 cấp tỉnh tỉnh Hà Tĩnh năm học 2009 – 2010) 
Bài 2: (Đề thi HSG cấp tỉnh lớp 12 tỉnh Quảng Ngãi năm học 2007 – 2008) 
Cho dãy số  nu , xác định bởi: 2
1
0
, 1
n
n n n
u
u u u n


   
a) CMR 
1
, 1nu n
n
   
b) Tính lim nu (ĐS: lim 0nu  ) 
Cho dãy số  nu , x