Sáng kiến kinh nghiệm Một số kỹ thuật đặc biệt giải hệ phương trình

MỘT SỐ KỸ THUẬT ĐẶC BIỆT GIẢI 
HỆ PHƯƠNG TRÌNH 
A. ĐẶT VẤN ĐỀ
I/ Lời mở đầu.
 Căn cứ vào chủ trương đường lối, chính sách pháp luật của Đảng và nhà nước. Căn cứ vào phương hướng, nhiệm vụ và kế hoạch chuyên môn của trường THPT Hoàng Lệ Kha năm học 2015 – 2016.
 Trong quá trình giảng dạy, tôi được nhà trường tin tưởng giao cho dạy các lớp mũi nhọn, đối tượng học sinh chủ yếu là học sinh khá, giỏi. Chính vì vậy ngoài việc giúp các em nắm chắc kiến thức cơ bản tôi còn phải bồi dưỡng các em tham gia các kỳ thi học sinh giỏi cấp tỉnh và đặc biệt tôi coi việc bồi dưỡng cho các em ôn thi đại học là nhiệm vụ quan trọng số một.
 Trong các nội dung thi Đại học – Cao đẳng phần hệ phương trình đóng vai trò quan trọng trong việc phân loại học sinh ở mức độ vận dụng cao. Phần giải hệ phương trình là phần rất nhiều vấn đề và rất nhiều bài tập phong phú điển hình là các bài toán vận dụng cao quyết định điểm 9 trong đề thi đại học nhiều năm qua, trong đề tài của mình tôi chọn vấn đề là một số kỹ thuật đặc biệt giải hệ phương trình.
 Từ lý do chọn đề tài, từ thực tiễn giảng dạy và bồi dưỡng học sinh ôn thi đại học, cùng với kinh nghiệm trong quá trình giảng dạy. Tôi đã tổng hợp, khai thác thành chuyên đề: ‘‘Một số kỹ thuật đặc biệt giải hệ phương trình’’. Trong chuyên đề này tôi chỉ xây dựng bài toán giải hệ phương trình theo nhiều góc độ khác nhau mang tính phát hiện giúp người đọc có cái nhìn tổng quan, có sự phân biệt khá rõ nét.
 Qua nội dung đề tài này tôi mong muốn cung cấp cho học sinh một số phương pháp và các kỹ năng cơ bản để học sinh có thể phát hiện và giải quyết một số hệ phương trình hay và khó, thường làm phức tạp vấn đề hay không giải được. Hy vọng đề tài nhỏ này ra đời sẽ giúp các bạn đồng nghiệp cùng các học sinh có cái nhìn linh hoạt và chủ động khi gặp một số bài toán giải hệ phương trình. 
II. Thực trạng vấn đề nghiên cứu
1. Thực trạng vấn đề
 Hiện nay khi gặp một số các bài toán tìm giải hệ phương trình, một số học sinh chưa tìm ra cách giải hoặc nếu có tìm ra cách giải thì thường làm phức tạp hóa bài toán nên khó kết thúc bài toán.
2. Hệ quả của thực trạng trên
 Khi gặp các bài toán về vấn đề trên, hầu như học sinh mất rất nhiều thời gian để biến đổi bài toán, hoặc không giải được. Một số học sinh do năng lực tư duy hạn chế chưa biết cách chọn phương pháp cho phù hợp. Chính vì vậy người dạy phải hướng dẫn học sinh tìm ra cách giải đơn giản, để thuận lợi kết thúc bài toán. 
B. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
I. Các giải pháp thực hiện.
 Khi tiếp cận các bài toán, giáo viên phải giúp học sinh biết phải sử dụng kiến thức nào phù hợp. Sau đó giúp học sinh xây dựng phương pháp giải phù hợp.
II. Biện pháp tổ chức thực hiện.
 Để giúp học sinh có cách giải phù hợp với các bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức nhiều biến, trước hết giáo viên cần yêu cầu học sinh ôn tập các kiến thức về bất đẳng thức cơ bản, các hằng đẳng thức, các cách phân tích. Sau đó giáo viên chọn một số bài toán điển hình để học sinh vận dụng.
 Trong đề tài này, tôi xin đưa ra một số bài toán về hệ phương trình khá hay và thực sự khó khăn khi học sinh chưa tiếp cận.
1. Kiến thức toán có liên quan
- Bất đẳng thức Côsi. 
- Bất đẳng thức Buanhiacopski.
- Bất thức tam giác.
- Bất đẳng thức cơ bản.
- Các bài tóan phân tích đa thức thành nhân tử.
- Tính đồng biến và nghịch biến của hàm số.
2. Một số kỹ thuật thường gặp và phương pháp giải
a. Kỹ thuật xét tổng và hiệu 
Một phương trình trong hệ có dạng . Ta sử dụng phương pháp này khi thấy C là nhân tử của (A-B). Dựa vào đó ta xét tổng hoặc hiệu để rút thế hợp lý đưa về phương trình một ẩn.
Ví dụ 1 Giải hệ phương trình 
Phân tích bài toán 
Nhận thấy phương trình đầu ta có có liên quan đến 4. 
Lời giải Điều kiện: 
Ta có: 
Suy ra: .
Thay vào phương trình thứ 2 ta có:
Vì 
.
Vậy hệ có hai nghiệm là .	
Ví dụ 2  Giải hệ phương trình
	Phân tích bài toán
Phương trình thứ hai có có thể rút gọn với
.
Lời giải Điều kiện: . 
Từ phương trình 2 ta có: 
Suy ra: 
Thế vào phương trình thứ nhất ta có: 
.
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có :
Suy ra : 
Vì 
Dấu đẳng thức xảy ra khi .
Đối chiếu điều kiện hệ phương trình có nghiệm duy nhất (1 ; 0).
	Ví dụ 3 Giải hệ phương trình 
.
	Phân tích bài toán 
Trong phương trình thứ hai có có nhân tử chung là 6, khi đó ta thực hiện theo tổng hiệu.
	Lời giải Điều kiện .
Ta có : 
Suy ra 
Từ phương trình đầu ta có
Đẳng thức xảy ra khi .
Đối chiếu điều kiện hệ có nghiệm duy nhất .
b. Kỹ thuật đánh giá giải hệ phương trình
Ví dụ 1 Giải hệ phương trình 
	Phân tích bài toán: Phương trình đầu là đẳng thức rất đẹp mà dấu bằng chỉ xẩy ra khi . Ta sử dụng Bunhiacopxki ta có
Sau đó ta xét hiệu :  để chứng minh dấu bằng khi .
	Lời giải Điều kiện 
Ta chứng minh: 
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki
Dấu đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi 
 vì 
Lại có : 
Vì 
Dấu đẳng thức xẩy ra khi . 
Vậy ta có : dấu bằng khi .
Thế vào phương trình thứ hai ta có : 
Từ đó hệ có hai nghiệm 
	Ví dụ 2 Giải hệ phương trình 
.
	Phân tích bài toán: Trước hết ta sử dụng máy tính cầm tay tìm nghiệm như sau: Từ phương trình 2 ta có : thế vào phương trình đầu sử
 dụng SHIFT SOLVE ta thu được 
	Lời giải Điều kiện: .
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:
Và 
Ta có : 
Suy ra : 
Vậy hệ có nghiệm duy nhất là 
	Ví dụ 3 Giải hệ phương trình 
.
	Phân tích bài toán: Từ phương trình thứ hai ta rút thế vào phương trình đầu sử dụng máy tính cầm tay ta nhẩm được nghiệm 
	Lời giải Điều kiện : 
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có :
Ta có : 
Suy ra 
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất 
c. Kỹ thuật hàm số
	Ví dụ 1 Giải hệ phương trình 
	Phân tích bài toán Từ phương trình thứ nhất ta đặt và đưa phương trình về dạng với hàm nghịch biến trên .
	Lời giải Điều kiện .
Đặt , phương trình thứ nhất trở thành
 (*)
Xét hàm số : trên .
Vì hàm nghịch biến trên nên nghịch biến trên .
Từ phương trình (*) ta có .
Thế vào phương trình thứ hai của hệ ta có : 
 (**).
Đặt: phương trình (**) trở thành
Ta xét hàm số trên .
Ta có : 
Suy ra đồng biến trên mà nên .
Đối chiếu điều kiện hệ có nghiệm duy nhất 
	Ví dụ 2 Giải hệ phương trình
.
	Phân tích bài toán Từ phương trình đầu ta có thể phân tích thành nhân tử như sau , có hai trường hợp khi là dễ dàng cho nghiệm của hệ, còn trường hợp còn lại ta sử dụng hàm số khá đặc biệt để giải quyết trọn vẹn bài toán.
	Lời giải
Từ phương trình thứ nhất ta có: 
.
*) Với 
Suy ra hệ có nghiệm .
*) Với .
Phương trình thứ 2 tương đương :
Với 
Ta có 
Phương trình thứ hai suy ra .
Vậy tập nghiệm của hệ phương trình là 
	Ví dụ 3 Giải hệ phương trình
.
	Phân tích bài toán Ở bài này ta thấy phát hiện lời giải là khá khó khăn, ở đây ta sử dụng tích hai hàm hai biến tương ứng là nhưng phải dựa vào phương trình thứ hai để giới hạn miền của khi đó bài toán xử lý rất đẹp.
	Lời giải 
Coi phương trình thứ hai là phương trình bậc hai ẩn suy ra .
Coi phương trình thứ hai là phương trình bậc hai ẩn suy ra .
Trên các miền vừa tìm được ta có phương trình thứ nhất trở thành :
.
Vì hàm số đồng biến trên .
Vậy hệ có nghiệm duy nhất là (2 ;1).
 d. Kỹ thuật phân tích thành nhân tử
	Ví dụ 1 Giải hệ phương trình
	Phân tích bài toán Thay vào phương trình thứ nhất ta thấy hai vế bằng nhau, khi đó ta tạo nhân tử chung là phần còn lại khá phức tạp nhưng kết hợp với phương trình thứ hai ta sẽ có được biểu thức luôn dương.
	Lời giải Điều kiện 
Phương trình thứ nhất tương đương 
 (vì không thỏa mãn hệ).
*) Với thế vào phương trình hai ta có : 
Suy ra hệ có hai nghiệm 
*) Từ phương trình hai ta có : 
Suy ra vế trái (*) luôn dương.
Vậy hệ phương trình có hai nghiệm 
	Ví dụ 2 Giải hệ phương trình
	Phân tích bài toán Thay vào phương trình thứ nhất ta thấy hai vế bằng nhau, khi đó ta tạo nhân tử chung là phần còn lại khá phức tạp nhưng sử dụng tam thức bậc hai ta có biểu thức luôn không âm suy ra được thử lại phương trình đầu.
	Lời giải Điều kiện .
Phương trình thứ hai tương đương với 
*) Với thế vào phương trình đầu ta có
 (*).
Đặt 
Phương trình (*) trở thành 
Suy ra hệ có nghiệm .
*) Ta có :
Coi phương trình này là phương trình bậc hai ẩn suy ra
 không thỏa mãn phương trình đầu.
Vậy hệ có hai nghiệm .
e. Kỹ thuật rút thế
	Ví dụ 1 Giải hệ phương trình 
.
Phân tích bài toán Từ phương trình hai ta có thế vào phương trình một ta được phương trình tích , khi đó ta xử lý dễ dàng, còn ta kết hợp với phương trình đầu ta được hệ phản đối xứng.
	Lời giải
Từ phương trình hai ta có thế vào phương trình một ta được phương trình tích
*) Với thế vào phương trình đầu ta có 
.
Suy ra hệ có nghiệm 
*) Với kết hợp với phương trình đầu ta có hệ
Đặt ta có hệ : 
Giải hệ này vô nghiệm
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất 
	Ví dụ 2 Giải hệ phương trình
	Phân tích bài toán Bài toán này cho ta kỹ thuật thế cực kỳ khéo léo từ phương trình đầu ta có được thế vào phương trình thứ hai cho ta phương trình rất quen thuộc và áp dụng hàm số ta sẽ rút theo .
	Lời giải
Điều kiện : .
Từ phương trình đầu ta có :
Thế vào phương trình thứ hai ta có :
Xét hàm số trên .
Ta có 
Suy ra hàm số đồng biến trên nên ta có :
Thế vào phương trình đầu ta có : .
Vậy hệ có nghiệm duy nhất là .
3. Bài tập vận dụng
Bài 1 Giải hệ phương trình
Bài 2 Giải hệ phương trình
Bài 3 Giải hệ phương trình
Bài 4 Giải hệ phương trình
Bài 5 Giải hệ phương trình
Bài 6 Giải hệ phương trình
Bài 7 Giải hệ phương trình
Bài 8 Giải hệ phương trình
Bài 9 Giải hệ phương trình
Bài 10 Giải hệ phương trình
Bài 11 Giải hệ phương trình
Bài 12 Giải hệ phương trình
Bài 13 Giải hệ phương trình
Bài 14 Giải hệ phương trình
Bài 15 Giải hệ phương trình
Bài 16 Giải hệ phương trình
Bài 17 Giải hệ phương trình
Bài 18 Giải hệ phương trình
Bài 19 Giải hệ phương trình
Bài 20 Giải hệ phương trình
 C. KẾT QUẢ
I. Kết quả nghiên cứu
	Thông qua hệ thống các bài toán trên, ta thấy khi gặp các vấn đề trở nên đơn giản hơn rất nhiều, dễ vận dụng, không quá phức tạp với học sinh.
	Trong quá trình giảng dạy, tôi nhận thấy rằng: sau khi đưa ra hệ thống bài tập trên, học sinh đã biết vận dụng một cách linh hoạt, vào các bài toán khác nhau, từ đơn giản đến phức tạp. Học sinh không còn tâm lý e ngại khi gặp các bài toán này nữa. Mặt khác, hiệu quả áp dụng tương đối cao, bài giải trở nên sáng sủa, ngắn gọn.
II. Kiến nghị
	Hằng năm, những sáng kiến kinh nghiệm có ứng dụng thực tiễn, thiết thực phục vụ cho nhiệm vụ nâng cao chất lượng giáo dục và đào tạo, nhất là các sáng kiến đổi mới phương pháp giảng dạy cần được tập hợp trong một kỷ yếu khoa học của Sở GD& ĐT và tạo điều kiện cho giáo viên, học sinh và phụ huynh được tham khảo. 
MỤC LỤC
A. ĐẶT VẤN ĐỀ......................................................................Trang 1.
I. Lời mở đầu............................................................................Trang 1.
II. Thực trạng vấn đề nghiên cứu...........................................Trang 1.
B. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ.......................................................Trang 2.
I. Các giải pháp thực hiện........................................................Trang 2.
II. Biện pháp tổ chức thực hiện...............................................Trang 2.
1. Kiến thức chuẩn bị................................................................Trang 2.
2. Một số bài toán thường gặp và phương pháp giải.............Trang 3.
3. Bài tập vận dụngTrang15.
C. KẾT QUẢ.............................................................................Trang 18.
TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Sách giáo khoa hình học 12 Nâng cao.
2. Sách giáo khoa Đại số - Giải tích 12 Nâng cao.
3. Sách bài tập Đại số - Giải tích 12 Nâng cao.
4. Hàm số tập 1. Tác giả: Phan Huy Khải.
5. Hàm số tập 1. Tác giả: Trần Phương.
6. Báo toán học và tuổi trẻ.
7. Các đề thi đại học môn toán từ 2002 - 2015.
8. Nguồn khác: Internet.
XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ
Thanh Hóa, ngày 25 tháng 05 năm 2016
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết, không sao chép nội dung của người khác.
 Mai Văn Ngọc