Sáng kiến kinh nghiệm Một số bài toán cực trị trong hình học giải tích và ứng dụng

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ 
TRƯỜNG THPT MAI ANH TUẤN
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
MỘT SỐ BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG
HÌNH HỌC GIẢI TÍCH VÀ ỨNG DỤNG
Người thực hiện: Lê Đình Chung
Chức vụ: Giáo viên
SKKN thuộc lĩnh mực (môn): Toán
THANH HOÁ NĂM 2017
THANH HOÁ NĂM 2017
 MỤC LỤC
 Trang
 1. Mở đầu 1 - 2
 2. Nội dung của đề tài 2
 2.1 Bài toán 1: Cực trị giữa điểm và đường thẳng trong hình học 2 - 6
 giải tích phẳng 
 2.2 Bài toán 2: Cực trị giữa điểm và đường thẳng trong hình học 7 - 10 
 giải tích không gian 
 2.3 Bài toán 3: Cực trị giữa điểm và đường thẳng trong hình học 10 - 12 
 giải tích không gian 
 2.4 Bài toán 4: Cực trị giữa điểm và mặt phẳng trong hình học 12 - 14 
 giải tích không gian 
2.5 Bài toán 5: Ứng dụng bài toán về cực trị trong hình học 14 - 15
giải tích để tìm GTLN, GTNN của biểu thức
Bài tập áp dụng 15 - 16
2.6 Kiểm nghiệm đề tài 16
3. Kết luận và kiến nghị 16 - 17
Tài liệu tham khảo 18
Danh mục các đề tài SKKN được Sở GD & ĐT Thanh Hóa xếp loại 19
 MỤC LỤC
 Trang
 1. Mở đầu 1 - 2
 2. Nội dung của đề tài 2
 2.1. Bài toán 1: Cực trị giữa điểm và đường thẳng trong hình học 2 - 6
 giải tích phẳng 
 2.2. Bài toán 2: Cực trị giữa điểm và đường thẳng trong hình học 7 - 10 
 giải tích không gian 
 2.3. Bài toán 3: Cực trị giữa điểm và đường thẳng trong hình học 10 - 12 
 giải tích không gian 
 2.4. Bài toán 4: Cực trị giữa điểm và mặt phẳng trong hình học 12 - 14 
 giải tích không gian 
 2.5. Bài toán 5: Ứng dụng bài toán về cực trị trong hình học 14 - 15
 giải tích để tìm GTLN, GTNN của biểu thức
 Bài tập áp dụng 15 - 16
 2.6. Kiểm nghiệm đề tài 16
 3. Kết luận và kiến nghị 16 - 17
 Tài liệu tham khảo 18
 Danh mục các đề tài SKKN được Sở GD & ĐT Thanh Hóa xếp loại 19
 MỘT SỐ BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG
 HÌNH HỌC GIẢI TÍCH VÀ ỨNG DỤNG 
1. MỞ ĐẦU
1.1. Lí do chọn đề tài
Trong chương trình toán THPT bài toán về cực trị hình học trong không gian khá 
đa dạng và phức tạp. Nhưng trong đó có một số dạng mà trong quá trình giảng dạy 
đối với giáo viên cũng như trong trong quá trình học đối với học sinh, điều vận dụng cách giải một cách cứng nhắc, không tự nhiên và hiệu quả chưa cao. Đó là các dạng toán sau.
Dạng 1: Trong không gian cho đường thẳng d và hai điểm M, N không thuộc d. Tìm điểm I nằm trên d sao cho
 đạt giá trị nhỏ nhất;
 đạt giá trị lớn nhất.
Dạng 2: Trong không gian cho mặt phẳng và hai điểm M, N không thuộc .
Tìm điểm I nằm trên sao cho
 đạt giá trị nhỏ nhất;
 đạt giá trị lớn nhất.
Dạng 3: Ứng dụng bài toán cực trị trong hình học giải tích để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức.
Về cách giải của các dạng toán trên đã được nhiều tài liệu trình bày, trong đó có 
báo Toán học và tuổi trẻ số 366 tháng 12 – 2007. 
Nhưng cách giải ở đây cũng khá phức tạp và học sinh cũng rất khó để vận dụng. 
Chính vì vậy mà trong quá trình giảng dạy, tìm tòi, nghiên cứu tôi đã tìm ra một hướng đi hợp lý cho cách giải các dạng toán trên. Đó là lý do mà tôi đã chọn đề tài
“ Một số bài toán cực trị trong hình học giải tích và ứng dụng ’’.
1.2. Mục đích nghiên cứu
Xuất phát từ một bài toán trong SBT hình học phẳng lớp 10
Cho đường thẳng và hai điểm A, B không thuộc . Tìm trên điểm I sao cho
 đạt giá trị nhỏ nhất;
 đạt giá trị lớn nhất.
Rõ ràng ta thấy A, B, cùng nằm trên một mặt phẳng. Vì vậy mà trong hình học không gian, cho đường thẳng d và hai điểm M, N chúng ta cũng có thể tìm được đường thẳng d’ và hai điểm M’, N’ sao cho d’, M’, N’ cùng nằm trên một mặt phẳng và khi đó cách giải tương tự như trong hình học phẳng. 
1.3. Đối tượng nghiên cứu
Qua nhiều năm thực tế giảng dạy trong trường THPT tôi thấy học sinh rất 
lúng túng trong việc giải quyết các bài tập cực trị hình học trong không gian, mà cụ thể là hai dạng toán ở trên. Đa số các em đều áp dụng cách giải bài toán một cách máy móc, không phát huy được tính tích cực, sáng tạo trong giải toán.
1.4. Phương pháp nghiên cứu
Trong đề tài này tôi muốn trình bày với một ý tưởng giúp học sinh khai thác những kiến thức cơ bản từ các bài toán cực trị trong hình học phẳng lớp 10. Nhằm
giúp các em thấy được sự liên kết, thống nhất trong quá trình học toán. 
Giải pháp và tổ chức thực hiện là:
- Giáo viên dạy, học sinh học và làm bài tập.
- Kiểm tra đánh giá mức độ nhận thức của học sinh trước và sau khi học đề tài.
- Tổng kết các mặt đã làm được và chưa làm được trong đề tài để có hướng vận dụng đề tài cho các khóa học sinh tiếp theo.
2. NỘI DUNG CỦA ĐỀ TÀI
2.1. Bài toán 1 
Cho hai điêm P, Q và đường thẳng tìm điểm M trên đường thẳng sao cho nhỏ nhất; lớn nhất.
( Theo cách giải trong sách BTNC lớp 10 và một số tài liệu )
Trước hết xét vị trí của điểm và điểm đối với đường thẳng .
+ Trường hợp 1: Hai điểm và nằm khác phía đối với đường thẳng khi và chỉ khi 
a) P 
 M ()
 Q 
Ta có . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi M, P, Q thẳng hàng 
.
b) 
 P
 Q’
 N ()
 Q 
Lấy Q’ đối xứng với Q qua đường thẳng 
Ta có . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi N, Q’, P thẳng hàng .
+ Trường hợp 2: Hai điểm và nằm cùng phía đối với đường thẳng khi và chỉ khi 
a) P
 Q
 ()
 M
 Q’
Lấy điểm Q’ đối xứng với Q qua đường thẳng 
Ta có . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi M, Q’, P thẳng hàng .
 b) P
 Q
 N ()
Ta có . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi N, P, Q thẳng hàng 
.
Nhận xét 1: 
Hướng giải thứ nhất: Qua phân tích lời giải ở trên ta thấy: Ở câu a) luôn đưa về hai điểm nằm khác phía đối với đường thẳng và M chính là giao điểm của đường thẳng đi qua hai điểm đó và . Ở câu b) luôn đưa về hai điểm nằm cùng phía đối với đường thẳng và N là giao điểm của đường thẳng đi qua hai điểm đó và . 
Hướng giải thứ hai: 
Gọi I, J lần lượt là hình chiếu vuông góc của Q và P lên đường thẳng .
 P
a) P 
 Q
 I () ; ()
 M J I M J
 Q 
Ta có (*)
 b)
 P
 P 
 Q
 N I () ; ()
 J N I J
 Q
Ta có (**)
Hướng giải thứ ba: Chuyển phương trình về phương trình tham số, tính MP, MQ, sau đó lấy điểm M’, P’, Q’ sao cho
M’ thuộc trục hoành, còn P’ và Q’ nằm khác phía đối với trục hoành.
M’ thuộc trục hoành, còn P’ và Q’ nằm cùng phía đối với trục hoành.
 Ví dụ 1: 
Trong sách bài tập hình học 10 Nâng Cao.
Cho hai điểm , và đường thẳng 
Tìm tọa độ điểm trên sao cho nhỏ nhất.
Tìm tọa độ điểm trên sao cho lớn nhất [2].
Lời giải : a) 
Cách 1: Theo hướng giải thứ nhất 
Ta có suy ra P, Q nằm cùng phía đối với đường thẳng . Ta giải bài toán theo trường hợp 2
Lấy điểm Q’ đối xứng với Q qua đường thẳng , suy ra phương trình QQ’ là
Tọa độ trung điểm của QQ’ là nghiệm của hệ phương trình 
Phương trình 
Suy ra tọa độ của điểm M là nghiệm của hệ phương trình .
Cách 2: Theo hướng giải thứ hai 
Gọi I, J lần lượt là hình chiếu vuông góc của Q và P lên đường thẳng .
Ta có I , J 
Áp dụng công thức (*) ta được
. Gọi 
Vậy M .
Cách 3: Theo hướng giải thứ ba 
Chuyển phương trình về phương trình tham số 
Gọi M(), ta có MP + MQ = 
MP + MQ = 
Bây giờ chúng ta đi tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
 = 
 = 
Gọi P’ , Q’ , M’ 
Khi đó MP + MQ = (M’P’ + M’Q’)
Suy ra MP + MQ nhỏ nhất khi và chỉ khi M’P’ + M’Q’ nhỏ nhất
Ta thấy P’ và Q’ nằm khác phía đối với trục hoành, còn M’ nằm trên trục hoành
Để M’P’ + M’Q’ nhỏ nhất khi và chỉ khi P’, M’, Q’ thẳng hàng, nên M’ là giao điểm của P’Q’ với trục hoành.
Phương trình P’Q’: , M’ 
Vậy M .
 b) Cách 1: Theo hướng giải thứ nhất 
Ta giải theo trường hợp 2
Gọi N là giao điểm của PQ và đường thẳng 
Phương trình PQ: 
Suy ra điểm N là nghiệm của hệ phương trình 
.
Cách 2: Theo hướng giải thứ hai 
Gọi I, J lần lượt là hình chiếu vuông góc của Q và P lên đường thẳng .
Ta có I , J 
Áp dụng công thức (**) ta được
. Gọi 
Vậy N .
Cách 3: Theo hướng giải thứ ba 
 Gọi N() = 
Gọi P’ , Q’ , M’ 
Khi đó = 
Suy ra lớn nhất khi và chỉ khi lớn nhất
Ta thấy P’ và Q’ nằm cùng phía đối với trục hoành, còn M’ nằm trên trục hoành
Để lớn nhất khi và chỉ khi P’, M’, Q’ thẳng hàng, nên M’ là giao điểm của P’Q’ với trục hoành.
Phương trình P’Q’: , N’ 
Vậy N .
Ngoài hai cách giải ở trên bài này cũng có thể giải theo cách khác là xét hàm số. Tuy nhiên ở đây chỉ trình bày theo cách giải thứ hai và thứ ba để thấy được tính ưu việt của nó, trong đề tài “ Một số bài toán cực trị trong hình học giải tích và ứng dụng ’’
2.2. Bài toán 2
Được đăng trên báo Toán học và tuổi trẻ tháng 12 năm 2007 – Số 366.
Trong không gian với hệ trục tọa độ Descartes vuông góc Oxyz, cho đường thẳng d
 và các điểm và không thuộc d. Tìm điểm I trên đường 
thẳng d sao cho nhỏ nhất [1].
Nhận xét 2: 
Với cách giải trên báo TH & TT bài này chia làm 3 trường hợp
-TH1: M, N và d cùng nằm trong một mặt phẳng.
-TH2: MN, d chéo nhau và MN d.
-TH3: MN, d chéo nhau và MN không vuông góc với d.
Mỗi trường hợp là có một cách giải riêng biệt ( cách giải đã được đăng trên báo Toán học và tuổi trẻ tháng 12 năm 2007 – Số 366). Như vậy khi giải bài toán trên ta phải xét xem nó rơi vào trường hợp nào.
Để không phải phân chia trường hợp cũng như việc giải bài toán trở nên tự nhiên hơn, và dựa trên phương pháp giải của bài toán 1a đưa ra cách giải khác như sau:
Cách 1: 
 (d)
 M H
 I
 K N’
 N
Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của M và N lên đường thẳng (d)
Lấy N’ sao cho và N’ khác phía với M đối với đường thẳng (d)
Ta có dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi M, I, N’ thẳng hàng
Hay 
Ta có 
 (***)
Cách 2:
 Chuyển phương trình d về phương trình tham số, tính , sau đó lấy
 các điểm M’, I’, N’ sao cho I’ thuộc trục hoành, còn M’, N’ nằm trên mặt 
 phẳng (Oxy) và khác phía đối với trục hoành.
 Ví dụ 2: Trong không gian với hệ trục tọa độ Descartes vuông góc Oxyz, cho 
, và đường thẳng d có phương trình .
Tìm điểm I thuộc d sao cho nhỏ nhất [1].
Lời giải:
Cách 1: 
Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của M và N lên đường thẳng (d)
Ta có H , K 
Áp dụng công thức (***) ta được
. Gọi 
.
Vậy I .
Cách 2:
Chuyển phương trình d về phương trình tham số
Gọi I 
Ta có IM + IN = 
IM + IN = 
 = 
 = 
Gọi M’ , N’ , I’ 
Khi đó IM + IN = (I’M’ + I’N’)
Suy ra IM + IN nhỏ nhất khi và chỉ khi I’M’ + I’N’ nhỏ nhất
Ta thấy M’ và N’ nằm trên mặt phẳng (Oxy) và nằm khác phía đối với trục hoành, 
còn I’ nằm trên trục hoành.
Để I’M’ + I’N’ nhỏ nhất khi và chỉ khi M’, I’, N’ thẳng hàng, nên I’ là giao điểm của M’N’ với trục hoành.
Phương trình ; phương trình 
Vậy I .
 Ví dụ 3: Trong không gian với hệ trục tọa độ Descartes vuông góc Oxyz, cho 
đường thẳng d: và hai điểm , 
Tìm điểm I thuộc d sao cho chu vi tam giác IAB đạt giá trị nhỏ nhất [6].
Lời giải:
Chu vi tam giác IAB là 
 nhỏ nhất khi và chỉ khi nhỏ nhất.
Cách 1: 
Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A và B lên đường thẳng (d)
Ta có H , K 
Áp dụng công thức (***) ta được
. Gọi 
.
Vậy I .
Cách 2:
Chuyển phương trình d về phương trình tham số 
Gọi I 
Ta có IA + IB = 
IA + IB = 
 = 
 = 
Gọi A’ , B’ , I’ 
Khi đó IA + IB = 3(I’A’ + I’B’)
Suy ra IA + IB nhỏ nhất khi và chỉ khi I’A’ + I’B’ nhỏ nhất
Ta thấy A’ và B’ nằm trên mặt phẳng (Oxy) và nằm khác phía đối với trục hoành, còn I’ nằm trên trục hoành.
Để I’A’ + I’B’ nhỏ nhất khi và chỉ khi A’, I’, B’ thẳng hàng, nên I’ là giao điểm của A’B’ với trục hoành.
Phương trình ; phương trình 
Vậy I .
2.3. Bài toán 3
Trong không gian với hệ trục tọa độ Descartes vuông góc Oxyz, cho đường thẳng d và các điểm và không thuộc d. Tìm điểm I trên đường thẳng d sao cho lớn nhất.
Cách giải của bài toán này chủ yếu là xét hàm số, tuy nhiên việc xét hàm số để tìm giá trị lớn nhất là rất khó khăn.
Để bài toán được giải một cách tự nhiên mà không cần phải xét hàm số, ta có 
cách giải như sau:
 Cách 1: (d)
 M H 
 N’ K
 N 
 I 
Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của M và N lên đường thẳng (d)
Lấy N’ sao cho và N’ cùng phía với M đối với đường thẳng (d)
Ta có dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi M, I, N’ thẳng hàng
Hay 
Ta có 
 (****)
Cách 2:
Chuyển phương trình d về phương trình tham số, tính , lấy
 các điểm M’, I’, N’ sao cho I’ thuộc trục hoành, còn M’, N’ nằm trên mặt 
 phẳng (Oxy) và cùng phía đối với trục hoành. Sau đó giải bài toán dựa trên
 phương pháp giải của bài toán 1b. 
 Ví dụ 4: Cho đường thẳng 
 và hai điểm , 
Tìm điểm I trên sao cho lớn nhất.
Lời giải:
Cách 1: 
Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A và B lên đường thẳng (d)
Ta có H , K 
Áp dụng công thức (****) ta được
. Gọi 
.
Vậy I .
Cách 2:
Gọi I 
Ta có 
 = 
 = 
 = 
Gọi M’, N’, I’
Khi đó 
Suy ra lớn nhất khi và chỉ khi lớn nhất
Ta thấy M’ và N’ nằm trên mặt phẳng (Oxy) và nằm cùng phía đối với trục hoành, còn I’ nằm trên trục hoành.
Để lớn nhất khi và chỉ khi M’, I’, N’ thẳng hàng, nên I’ là giao điểm của M’N’ với trục hoành.
Phương trình ; phương trình 
Vậy I .
2.4. Bài toán 4
Được đăng trên báo Toán học và tuổi trẻ tháng 12 năm 2007 – Số 366.
Trong không gian với hệ tọa độ Descartes vuông góc Oxyz, cho mặt phẳng có 
phương trình và hai điểm , không thuộc 
. Tìm điểm I trên mặt phẳng sao cho:
 a) nhỏ nhất.
 b) lớn nhất [1].
 Nhận xét 3: Đây là bài toán cực trị liên quan đến điểm và mặt phẳng. Chúng ta có thể giải như cách 1của bài toán 1 ở trên. Ở đây chúng ta có thể xem mặt phẳng đóng vai trò như đường thẳng trong hình học phẳng.
a) 
Hai điểm M và N nằm cùng phía đối với mặt thẳng khi và chỉ khi 
Xác định điểm M’ đối xứng với M qua mặt phẳng , khi đó .
Ta có . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi I, M’, N thẳng hàng 
Hai điểm M và N nằm khác phía đối với mặt thẳng khi và chỉ khi 
Ta có . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi I, M, N thẳng hàng 
 .
 b) 
Hai điểm M và N nằm cùng phía đối với mặt thẳng khi và chỉ khi 
Ta có . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi I, M, N thẳng hàng 
 (Nếu thì không tồn tại giá trị lớn nhất)
Hai điểm M và N nằm khác phía đối với mặt thẳng khi và chỉ khi 
Xác định điểm M’ đối xứng với M qua mặt phẳng , khi đó .
Ta có . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi I, M’, N thẳng hàng 
 Ví dụ 5: Trong không gian với hệ trục tọa độ Descartes vuông góc Oxyz, cho hai 
điểm M và N . Tìm điểm I thuộc mặt phẳng (Oxy) sao cho 
nhỏ nhất.
Lời giải:
Mặt phẳng (Oxy) có phương trình .
Ta có 3.5 > 0 suy ra M, N nằm cùng phía với mặt phẳng (Oxy) 
Gọi I là hình chiếu vuông góc của M lên (Oxy) suy ra 
M’ đối xứng với M qua (Oxy) suy ra 
Phương trình NM’: 
 là nghiệm của hệ phương trình 
Vậy I .
 Ví dụ 6: 
Đề thi thử số 9 trên báo Toán học và tuổi trẻ tháng 5 năm 2017 - Số 479
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm M , 
N và mặt phẳng (P) có phương trình . Điểm I thuộc mặt phẳng (P) sao cho đạt giá trị lớn nhất. Khi đó tính [1]. 
Lời giải:
Ta có suy ra M, N nằm cùng phía với mặt phẳng (P) .
Ta có . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi I, M, N thẳng hàng 
 . 
Phương trình MN: 
Mà I . Nên I .
Suy ra .
 Ví dụ 7: Trong không gian với hệ trục tọa độ Descartes vuông góc Oxyz, cho mặt 
phẳng có phương trình và hai điểm M và N . Tìm điểm I thuộc mặt phẳng mp sao cho đạt giá trị lớn nhất [4].
Lời giải:
Ta có suy ra M, N nằm khác phía với mặt phẳng .
Gọi J là hình chiếu vuông góc của M lên suy ra .
M’ đối xứng với M qua suy ra .
Phương trình NM’: 
. Suy ra I .
2.5. Bài toán 5
Ứng dụng bài toán cực trị trong hình học giải tích để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức.
 Ví dụ 8: Cho . Tìm Max y.
Lời giải: 
Gọi điểm M , N và I 
Suy ra 
Ta thấy M và N nằm cùng phía đối với trục hoành, còn I nằm trên trục hoành
Để lớn nhất khi và chỉ khi I, M, N thẳng hàng 
Phương trình MN: 
Vậy Max y = .
 Ví dụ 9: Cho . Tìm Min y.
Lời giải: 
Gọi điểm M , N và I với 
Suy ra y = IM + IN
Ta thấy M và N nằm khác phía đối với trục hoành, còn I nằm trên trục hoành
Để IM + IN nhỏ nhất khi và chỉ khi I, M, N thẳng hàng 
Phương trình MN: 
 ( thỏa mãn )
Vậy Min y = 5 .
Bài tập áp dụng
Bài 1: (ĐHQY – 1996 )
Trong không gian với hệ trục tọa độ Descartes vuông góc Oxyz, cho hai điểm 
A, B và đường thẳng d: . Tìm điểm M trên đường 
thẳng d sao cho tổng độ dài MA + MB nhỏ nhất. 
Bài 2: (ĐHNNI – 1997 )
Trong không gian với hệ trục tọa độ Descartes vuông góc Oxyz, cho hai điểm 
A, B
Viết phương trình đường thẳng AB. Tìm giao điểm P của nó và mặt phẳng (Oxy). Chứng minh rằng với mọi điểm Q (Oxy), biểu thức có giá
trị lớn nhất khi Q trùng với P.
Tìm điểm M thuộc (Oxy) sao cho tổng các độ dài MA + MB nhỏ nhất.
Bài 3: (HVKTQS – 1994 )
Trong không gian với hệ trục tọa độ Descartes vuông góc Oxyz, cho hai điểm 
A, B và mặt phẳng (P): . Tìm điểm M thuộc (P) sao
cho MA + MB nhỏ nhất.
Bài 4: (Sách bài tập hình học Nâng Cao 12 - NXB Giáo Dục năm 2006 )
Trong không gian với hệ trục tọa độ Descartes vuông góc Oxyz, cho hai điểm 
A, B và mặt phẳng (P): . Tìm điểm M thuộc (P) sao
cho đạt giá trị lớn nhất.
Bài 5: 
Trong không gian với hệ trục tọa độ Descartes vuông góc Oxyz, cho hai điểm 
A, B và đường thẳng d: . Tìm điểm M thuộc d sao 
cho đạt giá trị lớn nhất.
Bài 6: ( 500 bài toán chọn lọc về BĐT Phan Huy Khải )
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
2.6. Kiểm nghiệm đề tài
- Để đánh giá kết quả của đề tài tôi đã tiến hành nhiều cuộc đều tra, sau đây là kết quả đều tra.
- Cho hai lớp làm bài kiểm tra thời gian 45 phút, mỗi lớp có 45 học sinh với lực học từ trung bình trở lên.
 ĐỀ KIỂM RA
(Thời gian làm bài 45 phút)
Câu 1: (5 điểm)
Trong không gian với hệ trục tọa độ Descartes vuông góc Oxyz, cho hai điểm 
A, B 
 a) Tìm điểm M thuộc mặt phẳng (Oxy) sao cho MA + MB nhỏ nhất.
 b) Tìm điểm N thuộc mặt phẳng (P): sao cho NA + NB nhỏ nhất.
Câu 2: (5 điểm)
Trong không gian với hệ trục tọa độ Descartes vuông góc Oxyz, cho hai điểm 
A, B và đường thẳng d: . Tìm điểm M thuộc d sao 
cho 
 a) đạt giá trị nhỏ nhất. 
 b) đạt giá trị lớn nhất.
Thu được kết quả như sau
Loại điểm
9 - 10
7 - 8
5 - 6
Dưới 5
S.lượng
%
S.lượng
%
S.lượng
%
S.lượng
%
12B
10
22,22
18
40
14
31,1
3
6,68
12D
7
15,6
20
44,4
15
33,3
3
6,7
3. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
 - Kết quả việc đánh giá cho thấy học sinh tiếp thu đề tài một cách tích cực, biết vận dụng thành thạo vào giải các bài tập tương tự.
 - Cách giải mà tôi đã trình bày trong đề tài hoàn toàn rất tự nhiên, trong sáng.
Do đó đã gây được sự hứng thú trong học tập cho học sinh, nâng cao khả năng tư duy lôgic và khả năng sáng tạo của học sinh.
 - Đề tài có tác dụng tốt trong việc bồi dưỡng học sinh giỏi và ôn luyện thi ĐH,CĐ cho học sinh.
 	Trong khi trình bày đề tài chắc chắn còn những hạn chế, thiếu sót. Mong được sự góp ý từ đồng nghiệp.
 Tôi xin chân thành cảm ơn!
XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ
Thanh Hóa, ngày 25 tháng 05 năm 2017
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết, không sao chép nội dung của người khác.
Lê Đình Chung
TÀI LIỆU THAM KHẢO
*********
1. Báo Toán học và tuổi trẻ tháng 12 năm 2007 – Số 366, 
 Tháng 5 năm 2017 - Số 479.
2. Sách bài tập hình học lớp 10 Nâng Cao - Văn Như Cương (chủ biên),
 Phạm Vũ Khuê, Trần Hữu Nam - Nhà xuất bản Giáo Dục, 2006.
3. Sách bài tập hình học lớp 10 Cơ Bản - Nguyễn Mộng Hy (chủ biên),
 Nguyễn Văn Đoành, Trần Đức Huyên - Nhà xuất bản Giáo Dục, 2006.
4. Sách bài tập hình học lớp 12 Nâng Cao - Văn Như Cương (chủ biên),
 Lê Huy Hùng, Tạ Mân - Nhà xuất bản Giáo Dục, 2006.
5. Sách bài tập hình học lớp 12 Cơ Bản - Nguyễn Mộng Hy (chủ biên),
 Khu Quốc Anh, Trần Đức Huyên - Nhà xuất bản Giáo Dục, 2006.
6. Tham khảo một số tài liệu trên mạng internet - Đề thi đại học của một số 
 trường.
7. 500 bài toán chọn lọc về BĐT Phan Huy Khải - Nhà xuất bản Hà Nội, 
 2001.
DANH MỤC
CÁC ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG ĐÁNH GIÁ XẾP LOẠI CẤP PHÒNG GD&ĐT, CẤP SỞ GD&ĐT VÀ CÁC CẤP CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN
Họ và tên : Lê Đình Chung
Chức vụ : Giáo Viên
Đơn vị công tác : Trường THPT Mai Anh Tuấn
TT
Tên đề tài SKKN
Cấp đánh giá xếp loại (Phòng, Sở, Tỉnh...)
Kết quả đánh giá xếp loại (A, B, hoặc C)
Năm học đánh giá xếp loại
Đưa phương trình vô tỉ về
hệ phương trình gần đối 
xứng.
Sở GD & ĐT
Thanh Hóa
C
2010 - 2011
Ứng dụng của phép quay và
phép đối xứng để giải một
số bài toán hình học giải tích
phẳng.
Sở GD & ĐT
Thanh Hóa
C
2014 - 2015
...
-------------------------------------------