Sáng kiến kinh nghiệm Hướng dẫn học sinh tìm hình chiếu của điểm trên mặt phẳng

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ
TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG LÊ HOÀN 
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
 HƯỚNG DẪN HỌC SINH
 TÌM HÌNH CHIẾU CỦA ĐIỂM TRÊN MẶT PHẲNG
 Người thực hiện: Đỗ Thị Dịu
 Chức vụ:Tổ phó.
	 SKKN thuộc lĩnh vực môn: Toán .
THANH HÓA NĂM 2018
 Mục lục
Trang
I. MỞ ĐẦU
Lí do chọn đề tài
3
Mục đích nghiên cứu
3
Đối tượng nghiên cứu
3
Phương pháp nghiên cứu
3
II. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1. Cơ sở lí luận
3
2.2.Thực trạng của vấn đề
4
2.3. Giải quyết vấn đề
2.3.1. Các giải pháp thực hiện
5
2.3.2. Các biện pháp tổ chức thực hiên.
5
2.4. Nội dung thực hiện
5
2.4.1. Bài toán 1: Tìm hình chiếu của điểm M trên mặt phẳng (P). Biết mặt phẳng (P) (Q) chứa M.
5
2.4.2. Bài toán 2: Tìm hình chiếu của điểm M trên mặt phẳng (P). Biết mặt phẳng (P) d nào đó. 
7
2.4.3. Bài toán 3: Tìm hình chiếu của điểm M trên mặt phẳng (P). Biết mặt phẳng (P) chứa hai điểm A, B sao cho MA = MB.
9
2.4.4. Bài toán 4: Tìm hình chiếu của điểm M trên mặt phẳng (P). Biết mặt phẳng (P) chứa chứa điểm A và đường thăng d không đi qua A sao cho MAd.
11
3.KẾT LUẬN
3.1. Kết quả thực nghiệm.
11
3.2. Bài học kinh nghiệm.
12
3.3. Đề xuất.
12
1. MỞ ĐẦU.
1.1.LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI:
Trong quá trình giải các bài toán hình không gian ta gặp rất nhiều bài toán mà khi giải các bài toán đó ta cần tìm hình chiếu của một điểm trên mặt phẳng. Chẳng hạn, khi tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng, tính góc tạo bởi một đường thẳng với mặt phẳng, xác định số đo góc phẳng của nhị diện, Việc xác định được chân đường vuông góc của điểm trên mắt phẳng có vai trò quan trọng trong việc tìm ra lời giải của các bài toán đó, đặc biệt trong các bài toán trắc nghiệm có liên quan thì việc xác định nhanh hình chiếu sẽ giúp học sinh có được sự lựa chọn đáp án nhanh và chính xác. Trong thực tế của việc dạy học tôi nhận thấy bài toán về hình chiếu của điểm về lý thuyết cũng như cách giải khá tổng quan, chưa rõ ràng, chi tiết nên học sinh khó tiếp thu, có rất nhiều em còn lúng túng, bối rối trước vấn đề này. Chính vì vậy, tôi chọn viết đề tài : “Hướng dẫn học sinh tìm hình chiếu của điểm trên mặt phẳng ”.
1.2.MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU:
	Mục đích của việc nghiên cứu và viết đề tài này nhằm giúp học sinh nắm vững phương pháp và dễ dàng hơn trong việc tìm được hình chiếu của điểm trên mặt phẳng.
1.3. ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU.
	Đề tài này nghiêm cứu, tổng kết về hình chiếu của một điểm trên một mặt phẳng chủ yếu ở một số loại hình chóp trong hình học không gian lớp 11.
1.4. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU:
Để thực hiện đề tài này phương pháp chủ yếu của tác giả là : Nghiên cứu xây dựng cơ sở lý thuyết, xây dựng thuật toán, học hỏi, tìm tòi, đúc rút kinh nghiệm và vận dụng giảng dạy ở nhiều năm. 	
2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1.CƠ SỞ LÍ LUẬN.
* Định nghĩa ( Phép chiếu vuông góc): 
Phép chiếu song song lên mặt phẳng (P) theo phương l vuông góc với mặt phẳng (P) gọi là phép chiếu vuông góc lên mặt phẳng (P). [1].
*Từ điểm M nằm ngoài mặt phẳng (P), hạ MH tại H thì H là hình chiếu vuông góc của M trên (P).
M
l
H
P
2.2.Thực trạng của vấn đề .
Với định hướng về việc đổi mới phương pháp dạy học và những phương pháp dạy học tích cực của Bộ GD&ĐT đã và đang diễn ra sâu rộng ở tất cả các bậc học. Từ đó đặt ra nhiệm vụ cho người thầy là phải rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh.
Trong dạy học ở trường THPT, môn Toán được coi là một trong những môn học giúp phát triển trí tuệ và tư duy lôgic, hoạt động giải Toán là hoạt động tạo cơ hội tốt để học sinh bộc lộ, phát triển tư duy sáng tạo qua quá trình đem những tri thức toán học đã được trang bị vào giải quyết những vấn đề trong toán học cũng như trong thực tiễn.
Trong quá trình tìm tòi lời giải học sinh có thể mắc một số sai lầm và lúng túng không biết sai từ đâu, sai ở đâu khi chưa được giáo viên nhấn mạnh đến những sai lầm, chưa rèn luyện kỹ năng giải cho học sinh. Vì vậy, đối với mỗi dạng toán, mỗi loại bài toán người giáo viên phải biết tạo điều kiện cho học sinh có cơ hội rèn luyện các kỹ năng giải.
 Trên thực tế giảng dạy bộ môn Toán, các bài toán thuộc bộ môn hình học không gian thông thường học sinh luôn cảm thấy khó khăn và không có hứng thú học tập vì có tư tưởng đã ăn sâu là “sợ hình”. Đồng thời, phần hình học không gian ở lớp 11 thì hình chiếu vuông góc chỉ được nêu một khái niệm chung về phép chiếu vuông góc ( Định nghĩa 2 trang 100 sách giáo khoa hình học nâng cao 11; trang 102 sách giáo khoa hình học 11) còn các cách xác định hình chiếu của điểm, của một hình trên mặt phẳng không được đề cập tới. Vì vậy, hầu hết giáo viên chỉ nhắc qua cho học sinh cách xác định khi gặp những bài toán cụ thể có liên quan mà không xây dựng cở sở lý thuyết hay thuật toán cụ thể. Tuy nhiên, nếu chỉ dừng lại ở đó thì phần lớn học sinh , đặc biệt là đối tượng học sinh thuộc ban cơ bản sẽ mơ hồ, lúng túng không thể tự giải quyết được các loại bài tập có liên quan đến việc xác định chân đường vuông góc. Là một giáo viên dạy toán tôi luôn trăn trở tìm cách khắc phục thực trạng trên bằng cách tìm tòi các phương pháp tiếp cận mới,cách cụ thể hóa phương pháp giải, cách phân nhỏ bài toán lớn thành các bài toán nhỏđể rèn luyện cho học sinh dần thoải mái hơn, hứng thú hơn đối với việc học hình. 
Trong bài viết này tôi xin phân nhỏ bài toán tìm hình chiếu của một điểm trên một mặt phẳng thành 4 bài toán sau để rèn luyện cho học sinh lớp 11 đặc biệt là đối tượng thuộc ban cơ bản dễ dàng tiếp thu và áp dụng :
Bài toán 1: Tìm hình chiếu của điểm M trên mặt phẳng (P). Biết mặt phẳng (P) (Q) chứa M.
Bài toán 2: Tìm hình chiếu của điểm M trên mặt phẳng (P). Biết mặt phẳng (P) d nào đó. 
 Bài toán 3: Tìm hình chiếu của điểm M trên mặt phẳng (P). Biết mặt phẳng (P) chứa hai điểm A, B sao cho MA = MB.
Bài toán 4: Tìm hình chiếu của điểm M trên mặt phẳng (P). Biết mặt phẳng (P) chứa chứa điểm A và đường thăng d không đi qua A sao cho MAd.
2.3 Giải quyết vấn đề.
2.3.1. Các giải pháp thực hiện.
 1. Tổ chức cho học sinh hình thành kỹ năng thông qua một hay nhiều buổi học với sự hướng dẫn của giáo viên.
 2. Tổ chức rèn luyện khả năng định hướng giải.Trong đó yêu cầu khả năng phân tích các bài toán liên quan đến xác định hình chiếu của điểm trên mặt phẳng. 
2.3.2 Các biện pháp tổ chức thực hiện.
 Nội dung này được triển khai thông qua 2 tiết học:
Tiết 1: Tổ chức hình thành phương pháp và rèn luyện kỹ năng giải bài toán 1+2.
Tiết 2: Tổ chức hình thành phương pháp và rèn luyện kỹ năng giải bài toán 3+4.
2.4. Nội dung thực hiện. 
2.4.1.BÀI TOÁN 1: Tìm hình chiếu vuông góc của điểm M trêm mặt phẳng (P), biết M thuộc mặt phẳng (Q) vuông góc với (P).
Cách xác định: 
Bước 1: Xác định giao tuyến a của (P) và (Q).
Bước 2: Trong mp(Q) qua M kẻ đường thẳng ba tại H.
Bước 3: Kết luận H là điểm cần tìm.
P
Q
a
H
M
b
 Ví dụ 1: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là hình chữ nhật ABCD. Cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Xác định hình chiếu vuông góc của điểm M thuộc cạnh SA trên mặt phẳng (SBC).
Hướng dẫn: Dựa vào đề đã cho, hãy tìm mặt phẳng vuông góc với (SBC).
Giải:Tacó: .
Mà hai mặt phẳng (SAB), (SBC) cắt nhau theo giao tuyến SB. Nên trong mặt phẳng (SAB) từ M hạ MH vuông góc với SB tại H.
Khi đó, H chính là hình chiếu của M trên mặt phẳng (SBC) vì:
 .
S
H
M
D
C
B
A
Ví dụ 2: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là hình chữ nhật ABCD. Cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi (P) là mặt phẳng đi qua giao điểm O của hai đường chéo AC, BD đồng thời song song với BC,
 Xác định hình chiếu vuông góc của điểm S trên mặt phẳng (P).
Hướng dẫn:Tìm mặt phẳng vuông góc với (P). ( chú ý: (P) // BC ).
Giải:
	Ta có 
Mà (P) //BC ; 
S do đó hình chiếu vuông góc của S trên (P) nằm trên giao tuyến của mặt phẳng (P) và (SAB). Gọi MN là giao tuyến của (P) và (SAB). Trong mặt phẳng (SAB) từ S hạ . H chính là hình chiếu của S trên (P).
S
H
N
M
O
B
A
D
C
2.4.2.BÀI TOÁN 2: Tìm hình chiếu vuông góc của điểm M trên mặt phẳng (P). Biết tồn tại một đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P).
Cách xác định: 
Bước 1: Gọi (Q) là mặt phẳng chứa M và đường thẳng d. Xác định giao tuyến a của (P) và (Q).
Bước 2: Trong mp(Q) qua M kẻ đường thẳng // d và cắt giao tuyến a tại H.
Bước 3: Kết luận H là điểm cần tìm
P
a
d
H
M
Q
 Ví dụ 3: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD, Bên trong tam giác SAB lấy điểm M. Xác định hình chiếu vuông góc của M trên mặt phẳng (ABCD).
	Hướng dẫn giải: Tìm đường thẳng vuông góc với mặt phẳng đáy ABCD (sử dụng giả thiết cho hình chóp đều). 
Giải:Gọi O là giao của hai đường chéo AC, BD. Khi đó tao có, SO(ABCD).
Trong mặt phẳng (SAB) kẻ SM cắt AB tai N . Mặt phẳng (SNO) chứa M và SO cắt mặt phẳng (ABCD) theo giao tuyến là NO.
Trong mặt phẳng (SNO), từ M kẻ MH //SO. Khi đó, MH (ABCD) nên H là hình chiếu vuông góc của M trên mặt phẳng (ABCD).
S
A
H
M
O
C
D
B
N
	Ví dụ 4: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại C và cạnh SA vuông góc với đáy. Xác định hình chiếu vuông góc của điểm M thuộc cạnh AB xuống mặt phẳng (SBC).
Hướng dẫn giải: - Hãy tìm một đường thẳng a vuông góc với mp(SBC), chú ý tới các yếu tố vuông góc mà giả thuyết đã cho đó là SA(ABC); BCAC.
Trong mp chứa a và M , kẻ qua M đường thẳng // a.
Giải: 
Trong tam giác SAC,hạ đường cao AK Theo giả thiết , ta có: 	.
Khi đó, AK(SBC) và mặt phẳng đi qua M, chứa AK chính là (ABK) cắt mặt phẳng (SBC) theo giao tuyến là BK. Trong mặt phẳng (ABK), qua M kẻ đường thẳng song song với AK cắt BK tại H. Vậy, H chính là hình chiếu vuông góc của M trên (SBC) vì MH// AK(SBC).	
S
K
H
M
C
B
A
2.4.3. BÀI TOÁN 3: Tìm hình chiếu của điểm M trên mặt phẳng (P). Biết mặt phẳng (P) chứa hai điểm A, B sao cho MA = MB.
Cách xác định: 
* Bước 1:Trong mặt phẳng (P) kẻ đường trung trực d của AB.
* Bước 2: Trong mặt phẳng chứa M và d dựng MH d.
* Bước 3: Kết luận H là điểm cần tìm. 
M
A
B
H
d
P
	Ví dụ 5: Cho hình chóp S.ABC, đáy ABC là tam giác cân tại A và . Xác định hình chiếu vuông góc của S xuống mặt phẳng (ABC).
Hướng dẫn giải:
Tìm trên mặt phẳng (ABC) hai điểm mà cách đều S. (sử dụng giả thuyết cho AB = AC, ).
Giải :
 	Theo giả thuyết, ta có (c.g.c). Suy ra, SB = SC.
Trên mặt phẳng (ABC) kẻ đường trung trực của BC chính là đường cao AI ( I là trung điểm của BC vì ABC cân tại A).
Trong SAI kẻ đường cao SH xuống cạnh AI ( H thuộc AI) . 
Khi đó, H chính là hình chiếu của S trên (ABC) vì .
S
A
B
C
I
H
	Ví dụ 6: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD. Một mặt phẳng () đi qua AB và cắt các cạnh SC, SD lần lượt tại M, N. Xác định hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng ().
Hướng dẫn giải: 
	Trên mặt phẳng () tìm hai điểm cách đều S. Nên chọn các điểm đã cho trong đề ví dụ như A, M,N chẳng hạn.
Giải: Ta có: 
Mà AB// CD nên suy ra MN // CD //AB. 
Trong mp() có A, B thỏa mãn đk SA = SB. Nên trong hình thang ABMN ta kẻ đường trung trực EF của hai cạnh đáy AB, MN. Trong tam giác SEF hạ đường cao SH xuống cạnh EF.
Khi đó H chính là hình chiếu vuông góc của S trên (). 
Vì . 
S
F
E
N
M
D
C
B
A
H
2.4.4. BÀI TOÁN 4: Tìm hình chiếu của điểm M trên mặt phẳng (P). Biết mặt phẳng (P) chứa chứa điểm A và đường thẳng d không đi qua A sao cho MAd.
Phương pháp: Ta tiến hành theo các bước như sau:
* Bước 1: Trong mặt phẳng (P), kẻ đường thẳng d’ đi qua A và vuông góc với d.
* Bước 2: Trong mặt phẳng chứa M và đường thẳng d’, kẻ MH d’.
* Bước 3: Kết luận, H chính là hình chiếu của M trên (P).
H
A
d’
P
d
M
	Ví dụ 7: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC. Xác định hình chiếu vuông góc của A trên mặt phẳng (SBC).
Hướng dẫn: Gọi M là trung điểm của BC. Ta có AMBC, và BC (SBC).
Giải: Gọi M là trung điểm của BC. Hình chóp S.ABC là hình chóp đều nên hình chiếu vuông góc cúa đỉnh S trên mặt đáy (ABC) là trọng tâm G của tam giác ABC. Từ đó ta suy ra, trên mp(SBC) có BC SA. khi đó BC SM. Trong tam giác SAM hạ đường cao AH xuống SM . Khi đó H chính là hình chiếu vuông góc của A trên (SBC).
 A
C
H
M
S
B
	Ví dụ 8: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông. Cạnh SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Xác định hình chiếu vuông góc của C trên mặt phẳng (SBD).
 Hướng dẫn giải: Ta cần tìm trên mp(SBD) một đường thẳng d và một điểm M sao ch CM d ( nên để ý đến các đường thẳng, điểm có sẵn). 
Giải: Theo giả thuyết, ta có: 
Từ đó suy ra .Gọi O là giao của AC và BD. Khi đó, ta có .Trong tam giác SOC kẻ đường cao CH xuống cạnh SO. H chính là hình chiếu của C trên mặt phẳng (SBD) vì 
C
S
B
A
D
O
H
3. KẾT LUẬN
3.1.Kết quả thực nghiệm.
 Liên tục trong các năm học từ 2011-2012 đến 2017- 2018, tôi đã tiến hành thực nghiệm sáng kiến này vào các buổi sinh hoạt chuyên đề hay các tiết dạy tự chọn, cụ thể:
Lớp 11A5 và 11A8 năm học 2011-2012.
Lớp 11A1và 11A9 năm học 2013-2014.
Lớp12A3; 11A3 và 11A2 năm học 2014-2015.
Lớp 11A1 ; 11A7 và 12A8 năm học 2015-2016.
Lớp 11A1 và 11A5 năm học 2017-2018
* Trước khi dạy sáng kiếm kinh nghiệm này, với các bài tập kiểm tra như sau:
 Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có SA = SC, SB = SD và đáy ABCD là hình thoi.
Xác định chân đường vuông góc hạ từ giao điểm hai đường chéo của đáy xuống mặt bên (SAB).
Xác định chân đường vuông góc hạ từ A xuông mặt bên (SBC).
 Bài 2: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có các cạnh AB = AD và . Tìm hình chiếu vuông góc của điểm A’ trên mặt phẳng (ABCD). 
 Bài 3: Cho ba tia Ox, Oy, Oz không đồng phẳng và thỏa mãn điều kiện . Tìm hình chiếu vuông góc của điểm M thuộc Ox xuống mặt phẳng ( yOz).
Đã thu được kết quả như sau:
Tỉ lệ học sinh giải đúng cả 3 bài
Tỉ lệ học sinh giải đúng ít nhất 1 bài
Tỉ lệ học sinh không làm được bài
12-14%
50-63%
23-38%
	 * Sau khi đã rèn luyện cho học sinh các bài toán trên thì với 3 bài tập tương tự đó kết quả đã thay đổi rõ rệt như sau:
Tỉ lệ học sinh giải đúng cả 3 bài
Tỉ lệ học sinh giải đúng ít nhất 1bài .
Tỉ lệ học sinh không làm được bài
70-77%
92-95%
3-5%
3.2. Bài học kinh nghiệm
Do kiến thức về phần hình chiếu vuông góc này chỉ được lồng ghép trong bài “ Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng” mà thời lượng của bài này trong phân phối chương trình của cả hai ban nâng cao và cơ bản đều hạn hẹp( 2 tiết), vì vậy để áp dụng được sáng kiến kinh nghiệm này thì thời gian chủ yếu là bố trí vào các tiết tự chọn đối với học sinh lớp 11, đối với lớp 12 thì được bố trí dạy vào các buổi ôn tập. 
3.3.Đề xuất.
Mặc dù đề tài này tôi nghiền ngẫm, đúc rút kinh nghiệm và vận dụng trong giảng dạy ở nhiều năm, cũng đã giúp được những điều bổ ích cho học sinh học tập tốt hơn. Xong chắc chắn còn phải tiếp tục được hoàn thiện, bổ xung thêm mới đạt được độ hoàn chỉnh cao. Vậy tôi rất mong được sự góp ý chân tình của các em học sinh và các bạn đồng nghiệp.
Xác nhận của đơn vị
Thọ Xuân, tháng 2 năm 2018
 Tôi xin cam đoan SKKN này là do mình viết, không sao chép ở bất cứ tài liệu nào. 
 Người viết:
 Đỗ Thị Dịu
DANH MỤC
CÁC ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG ĐÁNH GIÁ XẾP LOẠI CẤP PHÒNG GD&ĐT, CẤP SỞ GD&ĐT VÀ CÁC CẤP CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN
Họ và tên tác giả: Đỗ Thị Dịu.
Chức vụ và đơn vị công tác:Tổ phó tổ chuyên môn- Trường THPT Lê Hoàn.
TT
Tên đề tài SKKN
Cấp đánh giá xếp loại (Phòng, Sở, Tỉnh...)
Kết quả đánh giá xếp loại (A, B, hoặc C)
Năm học đánh giá xếp loại
Một số ứng dụng của tích vô hướng
Sở GD& ĐT Thanh Hóa
C
2011-2012
Rèn luyện kỹ năng xác định góc giữa hai mặt phẳng thông qua hoạt động giải một số bài toán
Sở GD& ĐT Thanh Hóa
C
2014-2015
----------------------------------------------------
TÀI LIỆU THAM KHẢO
 1/ Sách giáo khoa hình học lớp 11 nâng cao- Văn Như Cương chủ biên- Nhà xuất bản giáo dục, 2007. 
 2/ Giải toán hình học 11- Lê Hồng Đức - Nhóm Cự Môn - Nhà xuất bản Hà Nội, 2008.
3/ Đề thi TNTHPT Quốc gia Quốc gia năm 2015.
4/ Đề minh họa THPT Quốc gia Quốc gia năm 2015.