Sáng kiến kinh nghiệm Giúp học sinh Lớp 5 giải các bài toán điển hình bằng phương pháp dùng sơ đồ đoạn thẳng

CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
Độc lập – Tự do – Hạnh phúc
MÔ TẢ SÁNG KIẾN
Mã số:..............................
1. Tên sáng kiến: Giúp học sinh lớp 5 giải các bài toán điển hình bằng phương pháp dùng sơ đồ đoạn thẳng.
2. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Chuyên môn Toán 5
3. Mô tả bản chất của sáng kiến: 
3.1. Tình trạng giải pháp đã biết:
Trong quá trình giảng dạy môn toán ở trường tiểu học nói chung, ở lớp 5 nói riêng. Khi phân tích và hướng dẫn cho HS giải một bài toán, giáo viên thường dùng phương pháp gợi mở - vấn đáp, rất ngại với vẽ sơ đồ tóm tắt vì sợ tốn nhiều thời gian dẫn đến học sinh tiếp thu bài chậm, ghi nhớ một cách máy móc nên chưa hình dung được sơ đồ hóa. Trí nhớ của các em chưa thoát khỏi tư duy cụ thể, ngại khó khi gặp các bài toán phức tạp. Từ đó dẫn đến kết quả học tập của các em chưa cao. Chính vì vậy hướng dẫn HS giải toán bằng sơ đồ đoạn thẳng có vai trò đặc biệt quan trọng ở các bài toán điển hình ở tiểu học. Ngoài chức năng tóm tắt bài toán, sơ đồ đoạn thẳng còn giúp trực quan hóa các suy luận, làm cơ sở tìm ra lời giải bài toán.
3. 2. Nội dung giải pháp đề nghị công nhận là sáng kiến:
- Mục đích của giải pháp: Nhằm nâng cao hiệu quả, chất lượng và đổi mới phương pháp giảng dạy môn toán ở trường tiểu học nói chung, ở lớp 5 nói riêng để cuối năm học tỉ lệ học sinh khá - giỏi đạt cao hơn, không còn học sinh yếu - kém. 
- Tính mới của giải pháp: Đây là sáng kiến được áp dụng đầu tiên, không trùng với giải pháp của người khác đã được áp dụng trước đó.
* Các bước cụ thể để giải một bài toán:
Bước 1: Tìm hiểu đề toán, bước này câu hỏi của giáo viên đặt ra rất quan trọng. Bởi HS thường bị phân tán vào các từ ngữ của bài toán. 
Bước 2: Phân tích các điều kiện của đề toán, biểu diễn các đại lượng trên sơ đồ đoạn thẳng.
Bước 3: Dựa trên các sơ đồ, lập kế hoạch giải.
Bước 4: Thực hiện các thao tác giải gồm lời giải và phép tính.
Bước 5: Kiểm tra đánh giá lời giải.
* Ở đề tài này chủ yếu là giúp cho học sinh giải các bài toán dựa vào sơ đồ đoạn thẳng nên tôi chú trọng vào hướng dẫn học sinh giải toán dựa vào sơ đồ mà tìm ra kết quả bài toán một cách dễ dàng. Có thể bỏ qua một vài bước như trên. Sau đây là một số bài toán ví dụ.
Bài toán 1: Một đội thanh niên sửa đường bộ, ngày thứ nhất sửa được 12m đường, ngày thứ hai sửa được nhiều hơn ngày thứ nhất 1m, ngày thứ ba sửa được nhiều hơn ngày thứ nhất 2m. Hỏi trung bình mỗi ngày đội thanh niên đó sửa được bao nhiêu mét đường? 
* Hướng dẫn HS phân tích và giải bài toán
Ta có sơ đồ: 
	 	12m
?
	Ngày thứ nhất: 
	 1m
?
Ngày thứ hai:	 
2m 
?
Ngày thứ ba:
Nhìn vào sơ đồ gợi cho ta cách tìm số mét của ngày thứ hai, số mét của ngày thứ ba. Từ đó tìm được đáp số của bài toán.
Thông thường ta giải bài toán như sau:
Ngày thứ hai đội thanh niên sửa được là:
12 + 1 = 13 (m)
 Ngày thứ ba đội thanh niên sửa được
12 + 2 = 14 (m)
Trung bình mỗi ngày đội thanh niên đó sửa được:
(12 + 13 + 14) : 3 = 13 (m)
 Đáp số: 13 m đường.
Nhận xét: Quan sát kĩ sơ đồ ta thấy nếu chuyển 1 mét từ ngày thứ ba sang ngày thứ nhất thì số mét đường sửa được trong các ngày đều bằng 13m. 
	 	 12m	 1m
Ngày thứ nhất: 
	 1m
Ngày thứ hai:	 
 1m 1m
Ngày thứ ba:
Ta thấy ngay trung bình mỗi ngày đội thanh niên đó sửa được là 13m đường. 
® Như vậy, sơ đồ giúp ta hình dung rõ khái niệm, đôi khi sơ đồ còn giúp ta tính nhẩm nhanh kết quả. 
Bài toán 2: Lớp 5A trồng được 21 cây; lớp 5B trồng được 22 cây; lớp 5C trồng được 29 cây; lớp 5D trồng được số cây bằng trung bình cộng số cây của cả 4 lớp. Hỏi lớp 5D trồng được bao nhiêu cây?
 * Hướng dẫn HS phân tích và giải bài toán
Bài toán này cho số cây của lớp 5D bằng trung bình cộng số cây của cả 4 lớp. Ta dễ thấy tổng số cây của cả 4 lớp chia làm 4 phần bằng nhau thì số cây của lớp 5D là một phần và tổng số cây của cả ba lớp kia là 3 phần. Như thế trung bình cộng số cây của cả 4 lớp chính bằng trung bình cộng số cây của 3 lớp còn lại.
Theo bài ra ta có sơ đồ sau :
TBC
TBC
TBC
TBC
5A + 5B + 5C
5 D
|----------------|----------------|----------------|----------------|
Nhìn vào sơ đồ ta có:
Lớp 5D trồng được số cây là: 
(21 + 22 + 29) : 3 = 24 (cây)
 Đáp số: 24 cây.
Bài toán 3: Một nhóm học sinh có có 24 bạn, trong đó số bạn trai gấp 3 lần số bạn gái. Hỏi nhóm đó có mấy bạn trai, mấy bạn gái? 
 * Hướng dẫn HS phân tích và giải bài toán
Hướng dẫn học sinh vẽ sơ đồ tóm tắt nội dung bài toán như sau: Số bạn trai gấp 3 lần số bạn gái, vì vậy ta vẽ một đoạn thẳng biểu thị số bạn trai trước, sau đó chia đoạn thẳng ra làm 3 phần bằng nhau. Vẽ đoạn thẳng ngắn biểu thị số bạn gái (1 phần).
Sử dụng sơ đồ biểu thị mối quan hệ về tỉ số và các em sẽ tóm tắt bài toán bằng sơ đồ dưới đây: 
?
?
24 bạn
Số bạn trai: 	
Số bạn gái: 
Vẽ sơ đồ đoạn thẳng như thế học sinh dễ dàng thấy được hai điều kiện của bài toán: Cả trai và gái có 24 bạn (biểu thị mối quan hệ về tổng) và có số bạn trai gấp 3 lần số bạn gái ( biểu thị mối quan hệ về tỉ số). 
Dựa vào sơ đồ ta dễ dàng tìm được số bạn trai, số bạn gái. 
Tổng số phần bằng nhau là:
1 + 3 = 4 (phần)
 Số bạn gái là:
24 : 4 = 6 (bạn)
 Số bạn trai là:
6 x 3 = 18 (bạn)
 Hoặc 24 – 6 = 18 (bạn)
	 Đáp số: Trai: 18 bạn
	 	 Gái: 6 bạn. 
Bài toán 4: Lớp 51 và lớp 52 có tất cả 75 học sinh. Tìm số học sinh của mỗi lớp biết 3 lần số học sinh lớp 51 bằng 2 lần số học sinh lớp 52.
 * Hướng dẫn HS phân tích và giải bài toán
Để hướng dẫn học sinh giải bài toán này chúng ta cần hướng dẫn các em vẽ sơ đồ biểu thị “3 lần số học sinh của lớp 51 bằng 2 lần số học sinh của lớp 52” như sau: 
 51 51 51
 |--------|--------|--------|
 52 52
 |------------||------------|
Nhìn vào sơ đồ trên ta thấy nếu chia số học sinh của lớp 51 thành 2 phần và chia số học sinh lớp 52 thành 3 phần thì các phần sẽ bằng nhau. Do vậy chúng ta dễ tìm ra tỉ số học sinh lớp 51 và lớp 52 là 2: 3 hay 
Lúc đó học sinh dễ nhận biết và vẽ sơ đồ biểu thị số học sinh của 2 lớp.
?
75 học sinh 
 Lớp 51: |--------|--------| 
?
Lớp 52: |--------|--------|--------| 
	 Số học sinh ứng với 1 phần là:
 75 : (2+3) = 15 (học sinh)
Số học sinh của lớp 51 là: 
 15 x 2 = 30 (học sinh)
Số học sinh của lớp 52 là:
 15 x 3 = 45 (học sinh)
 Đáp số: 51: 30 học sinh.
 52: 45 học sinh.
	Từ bài toán ví dụ thực tiễn đó nếu học sinh gặp được dạng toán tương tự thì các em biết vẽ sơ đồ để giải bài toán chính xác.
Bài toán 5: Tổng của ba số tự nhiên bằng 189. Tỉ số của số thứ nhất với số thứ hai bằng , tỉ số cùa số thứ hai với số thứ ba bằng . Tìm ba số đó.
 * Hướng dẫn HS phân tích và giải bài toán
Tỉ số của số thứ hai với số thứ ba bằng . Vì vậy nếu ta chia số thứ ba thành 4 phần bằng nhau thì số thứ hai sẽ chiếm 3 phần như thế. Tỉ số của số thứ nhất với số thứ hai bằng . Vì vậy nếu ta chia số thứ hai thành 3 phần bằng nhau thì số thứ nhất sẽ chiếm 2 phần như thế.
?
Ta có sơ đồ
189
?
Số thứ nhất: |--------|--------| 
?
Số thứ hai : |--------|--------|--------|
Số thứ ba : |--------|--------|--------|--------|
Nhìn vào sơ đồ ta thấy:
Số thứ nhất: 189: ( 2 + 3 + 4) x 2 = 42
Số thứ hai: 189: ( 2 + 3 + 4) x 3 = 63
Số thứ ba: 189 – ( 42 + 63) = 84
 Vậy ba số cần tìm là: 42, 63 và 84.
Bài toán 6: Hiệu của hai số là 27. Tỉ số của hai số đó là . Tìm hai số đó.
 * Hướng dẫn HS phân tích và giải bài toán
Tỉ số của hai số là , vì vậy nếu coi số bé là 2 phần bằng nhau (vẽ một đoạn thẳng gồm 2 phần bằng nhau) thì số lớn là 5 phần bằng nhau như thế. 
Học sinh phân tích để vẽ sơ đồ vừa biểu thị mối quan hệ về hiệu, vừa biểu thị mối quan hệ về tỉ số.
Ta có sơ đồ:
?
 Số lớn: 
?
 Số bé: 	27
Với sơ đồ trên học sinh có thể thấy ngay: 
Hiệu số phần bằng nhau là:
 5 – 2 = 3 ( phần)
Số bé là: 
 27: 3 x 2 = 18
Số lớn là: 27: 3 x 5 = 45
 Hoặc 18 + 27 = 45
 Đáp số: Số bé: 18
 Số lớn: 45.
Bài toán 7: Hiện nay, tuổi mẹ gấp 7 lần tuổi con. Sau 10 năm nữa, tuổi mẹ gấp 3 lần tuổi con. Tính tuổi mỗi người hiện nay.
 * Hướng dẫn HS phân tích và giải bài toán
Bài toán yêu cầu tính số tuổi của hai mẹ con hiện nay nhưng chỉ cho biết:
- Tỉ số tuổi của hai mẹ con ở hai thời điểm khác nhau.
- Khoảng cách thời gian giữa hai thời điểm đó.
Nhưng ta có thể dễ dàng phát hiện ra một điều kiện nữa của bài toán, đó là "hiệu số tuổi của hai mẹ con là không đổi". Từ đó ta có thể giải được bài toán như sau:
Hiện nay, nếu tuổi con là 1 phần thì tuổi mẹ là 7 phần như thế. Ta có sơ đồ thứ nhất:
 Tuổi con: 
 Tuổi mẹ: 
Hiệu số tuổi của hai mẹ con hiện nay là: 7 - 1 = 6 (phần)
Hiện nay tỉ số giữa tuổi con và hiệu số tuổi của hai mẹ con là 1 : 6 = 1/6
Sau 10 năm nữa, nếu tuổi con là 1 phần thì tuổi mẹ là 3 phần như thế (mỗi phần bây giờ có giá trị khác mỗi phần ở trên). Ta có sơ đồ thứ hai :
 Tuổi con: 
 Tuổi mẹ: 
Sau 10 năm hiệu số tuổi của hai mẹ con là: 3 - 1 = 2 (phần)
Sau 10 năm tỉ số giữa tuổi con và hiệu số tuổi của hai mẹ con là 1 : 2 = 1/2 
Vì hiệu số tuổi của hai mẹ con không bao giờ thay đổi nên ta có thể so sánh về tỉ số giữa tuổi con hiện nay và tuổi con sau 10 năm nữa.
- Tuổi con hiện nay bằng 1/6 hiệu số tuổi của hai mẹ con.
- Tuổi con sau 10 năm nữa bằng 1/2 hay 3/6 hiệu số tuổi của hai mẹ con.
Vậy tuổi con sau 10 năm nữa gấp 3 lần tuổi con hiện nay. Ta có sơ đồ tuổi con ở hai thời điểm:
10 năm
 Hiện nay: 
 Sau 10 năm: 
Tuổi con hiện nay là: 
 10 : 2 = 5 (tuổi)
Tuổi mẹ hiện nay là: 
 5 x 7 = 35 (tuổi)
 Đáp số: Con: 5 tuổi ; mẹ: 35 tuổi.
Bài toán 8: Bốn bạn: Tuấn, Nam, Dũng và Minh có 1 số quyển vở. Tuấn lấy số vở để dùng, Nam lấy còn lại, Dũng lấy còn lại, cuối cùng Minh dùng nốt 8 quyển vở. Hỏi lúc đầu cả 4 bạn có tất cả bao nhiêu quyển vở ?
 * Hướng dẫn HS phân tích và giải bài toán
Ta có sơ đồ như sau:
|----------------|----------------|----------------|
Tuấn
Nam
|-----------|----------|----------| 
Minh 8 vở
Dũng
|------|-------|-------|
Theo bài ra ta có số vở sau cùng là 8 quyển. 
 Số vở của Dũng và Minh là
 8: 2 x 3 = 12( quyển) 
 Số vở của Dũng, Minh, Nam là:
 12: 2 x 3 ==18 (quyển ) 
Số vở của 4 bạn lúc ban đầu là:
 18: 2 x 3 = 27 (quyển) 
 Đáp số : 27 quyển. 
Bài toán 9: Tổng của ba số là 2007. Số thứ nhất lớn hơn tổng của hai số kia là 67 đơn vị. Số thứ hai lớn hơn số thứ ba là 48 đơn vị. Tìm ba số đó.
* Hướng dẫn HS phân tích và giải bài toán
Ta có sơ đồ biểu thị quan hệ giữa số thứ nhất và tổng của hai số kia như sau:
67
2007
Số thứ nhất: 
Tổng hai số kia:
Dựa vào sơ đồ ta có:
 Số thứ nhất là:
( 2007 + 67): 2 = 1037
 Số tổng hai số kia là:
 1037 – 67 = 970
Ta lại có sơ đồ biểu thị quan hệ giữa số thứ hai là thứ ba là:
48
970
Số thứ hai:
Số thứ ba:
Dựa vào sơ đồ ta có:
 Số thứ ba là:
( 970 - 48): 2 = 461
 Số thứ hai là:
 461 + 48 = 509
 Đáp số: 1037; 509; 461
Bài toán 10: Tổng ba số chẵn liên tiếp bằng 1986. Tìm ba số đó.
 * Hướng dẫn HS phân tích và giải bài toán
Với bài toán này học sinh không áp dụng cách tính trong sách giáo khoa được vì đây là bài toán tổng của ba số.
Ta có thể dùng sơ đồ đoạn thẳng để tóm tắt và giải bài toán theo sơ đồ.
Vì học sinh đã biết hai số chẵn liên tiếp hơn kém nhau 2 đơn vị nên ta vẽ sơ đồ như sau:
2
?
1986
 	Số thứ nhất:
2
 	Số thứ hai:	 
 	Số thứ ba:
Nhìn vào sơ đồ tóm tắt bài toán, học sinh sẽ hiểu được các dữ kiện đề bài toán đã cho. Nếu chuyển hai đơn vị từ số thứ nhất sang số thứ ba thì ta được ba số bằng nhau và bằng số thứ hai. Do đó HS sẽ dễ dàng tìm số thứ hai, sau đó tìm số thứ nhất và thứ ba.
Số thứ hai là:
 1986 : 3 = 662
Số thứ nhất là:
 662 + 2 = 664
Số thứ ba là:.
 662 – 2 = 660
 Đáp số: 664 ; 662 và 660
Bài toán 11: Hà, Phương, Hiếu cùng tham gia trồng su hào. Hà và Phương trồng được 46 cây, Phương và Hiếu trồng được 35 cây, Hiếu và Hà trồng được 39 cây. Hỏi mỗi bạn trồng được bao nhiêu cây su hào?
 * Hướng dẫn HS phân tích và giải bài toán
Theo đầu bài ta có sơ đồ về số cây của mỗi bạn như sau:
 Phương Hà
46 cây
 Phương Hiếu
35 cây
Nhìn trên sơ đồ ta thấy số cây của Hà hơn số cây của Hiếu là: 
46 – 35 = 11 (cây)
Ta vẽ sơ đồ về số cây của Hà và Hiếu như sau :
 Hà
11 cây
39 cây
 Hiếu
Số cây của Hiếu là: 
 ( 39 – 11 ) : 2 = 14 (cây)
Số cây của Hà là: 
 14 + 11 = 25 (cây)
Số cây của Phương là:
 46 – 25 = 21 (cây).
 Đáp số: Hiếu: 14 cây; Hà: 25 cây; Phương: 21 cây.
Bài toán 12: Một ô tô đi từ A đến B hết 4 giờ. Khi từ B trở về A, ô tô tăng vận tốc thêm 15km mỗi giờ, nên thời gian từ B về A hết 3 giờ. Tính quãng đường AB.
* Hướng dẫn HS phân tích và giải bài toán
Lúc ô tô đi từ A đến B hết 4 giờ nên vẽ 4 đoạn thẳng bằng nhau, ta có sơ đồ thứ nhất như sau:
 Lúc đi
Vì cả đi và về trên cùng quãng đường AB. Vậy đoạn thẳng thứ 4 phải là tổng của 3 đoạn 15km, nên ta có sơ đồ thứ hai như sau:
15
15
15
 Lúc về
Dựa vào sơ đồ, HS có thể giải một cách dễ dàng 
Vận tốc ô tô đi từ A đến B là:
 15 x 3 = 45 (km/giờ)
Quãng đường AB là:
 45 x 4 = 180 km.
 Đáp số: 180 km.
Bài toán 13: Cùng một lúc An đi từ A đến B còn Bình đi từ B đến A. Hai bạn gặp nhau lần đầu tại điểm C cách A 3 km, rồi lại tiếp tục đi. An đến B rồi quay lại A ngay, còn Bình đến A rồi cũng trở về B ngay. Hai bạn gặp nhau lần thứ hai tại một điểm D cách B 2 km. Tính quãng đường AB và xem ai đi nhanh hơn?
* Hướng dẫn HS phân tích và giải bài toán
An
Theo đề bài thì An đi từ A đến B rồi quay lại D, còn Bình đi từ B đến A rồi quay lại D, lúc đó hai bạn gặp nhau lần thứ hai ở D. Vì vậy hướng dẫn HS vẽ sơ đồ như sau:
D
C
B
A
2 km
3 km
Bình
Nhìn vào sơ đồ ta thấy, cho đến khi gặp nhau lần thứ hai ở D, cả An và Bình đã đi hết ba lần quãng đường AB. Khi An và Bình gặp nhau lần thứ nhất ở C thì cả hai bạn đã đi được vừa đúng một lần quãng đường AB. Trong khi đó An đi được đoạn AC dài 3km. An đi được quãng đường là: 3 x 3 = 9 (km)
Đoạn đường An đi từ A qua B rồi tới D dài hơn quãng đường AB một đoạn BD dài 2km. Quãng đường AB dài là: 9 – 2 = 7 (km)
Khi gặp nhau lần đầu tiên, An đi được 3km, còn Bình đi được là: 7 – 3 = 4 (km)
Vậy cùng một thời gian Bình đi được một quãng đường dài hơn quãng đường của An, nên Bình đi nhanh hơn An.
3. 3. Khả năng áp dụng của giải pháp:
Áp dụng cho giáo viên ở các trường tiểu học trong tỉnh, có thể giới thiệu cho đồng nghiệp ở các trường ngoài tỉnh tham khảo, vận dụng tùy theo điều kiện của từng trường.
3. 4. Hiệu quả, lợi ích thu được do áp dụng giải pháp:
Thực tế giảng dạy ở trường tiểu học tôi nhận thấy việc sử dụng sơ đồ đoạn thẳng trong dạy toán điển hình hết sức cần thiết và có hiệu quả cao. Tôi đã tiến hành khảo sát học sinh một số bài toán điển hình và thu được kết quả như sau:
Tổng số học sinh là: 27 em.
Kết quả khảo sát đầu năm học:
Điểm 9 – 10
Điểm 7 – 8
Điểm 5 - 6
Điểm dưới 5
2 HS
7,5%
7 HS
25,9%
10 HS
37%
8 HS
29,6%
Kết quả khảo sát giữa học kì 2:
Điểm 9 - 10
Điểm 7 – 8
Điểm 5 – 6
Điểm dưới 5
15 HS
55,6%
8 HS
29,6%
3 HS
11,1%
1 HS
3,7%
So sánh về kết quả khảo sát ở đầu năm và giữa học kì 2 cho thấy chất lượng của học sinh được nâng lên rõ rệt. Tỉ lệ học sinh khá - giỏi tăng lên rất cao, học sinh yếu - kém giảm đi. Vì vậy khi dạy các bài toán điển hình giáo viên cần phải sử dụng sơ đồ đoạn thẳng để hướng dẫn cho học sinh nhằm giúp các em khắc sâu bài học tốt hơn.
 Bến Tre, ngày 27 tháng 3 năm 2013.