Sáng kiến kinh nghiệm Dùng đạo hàm trong chứng minh bất đẳng thức đối xứng ba biến

MỤC LỤC
 Trang
	PHẦN I: MỞ ĐẦU.......................................................................2
1/ Lí do chọn đề tài .............................................................................. 2 
2/ Mục đích nghiên cứu ........................................................................ 2
3/ Đối tượng nghiên cứu........................................................................ 2
4/ Phương pháp nghiên cứu................................................................... 2
	PHẦN II: NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆMI............3
I/ Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm ............................................3
II/ Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm............3
III/ Các biện pháp tiến hành giải quyết vấn đề.......................................4
IV/ Hiệu quả đạt được của sáng kiến kinh nghiệm................................20 
	PHẦN III: KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ........................................20
PHẦN I: MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài.
	Trong chương trình toán phổ thông, bất đẳng thức được coi là một chuyên đề khó nhất. Nó là câu dùng để phân loại học sinh khá giỏi trong các đề thi tuyển sinh đại học, các đề thi học sinh giỏi.
	Các bài toán bất đẳng thức tỏ ra có sức hấp dẫn mạnh mẽ từ tính độc đáo của các phương pháp giải chúng. Chính vì thế , để chứng minh được bất đẳng thức thì điều mấu chốt là chúng ta phải lựa chọn được phương pháp để chứng minh và cũng không có phương pháp nào là vạn năng để giải được mọi bài toán mà chỉ có những phương pháp để giải được 1 lớp các bài toán mà thôi. Trong quá trình giảng dạy cho đối tượng là học sinh khá giỏi lớp 12, ôn thi đại học hoặc học sinh giỏi, tôi thấy rằng một trong những phương pháp hiệu quả là dùng đạo hàm để ch bất đẳng thức đối xứng ba biến dạng như sau:
"Cho các số thực thỏa mãn: (*)
 Chứng minh rằng: " (**)
	Dạng toán này thường gặp và học sinh cũng dễ dàng nhận dạng khi bắt gặp và phương pháp tôi sử dụng nó gần gũi với học sinh lớp 12 hơn cả. Khi sử dụng đạo hàm bài toán trở nên trực quan hơn, lời giải sáng sủa và dễ hiểu hơn tuy có thể lời giải sẽ dài hơn cách khác, nhưng đổi lại là sự đơn giản trong cách nghĩ. Tuy nhiên, khi chưa được phân tích và cung cấp kĩ thuật thực hành thì khi đọc lời giải của bài toán học sinh không hiểu tại sao lại biết xuất phát từ một hàm số nào đó và sử dụng đạo hàm để khảo sát.
	Với mong muốn đóng góp một chút vào việc nâng cao chất lượng dạy và học về bất đẳng thức, đem lại cho học sinh cách nhìn mới về bất đẳng thức tôi nghiên cứu đề tài: " Dùng đạo hàm trong chứng minh bất đẳng thức đối xứng ba biến".
2.Mục đích nghiên cứu.
	Góp phần giải quyết chỉ một lớp bất đẳng thức đối xứng ba biến và bất đẳng thức đối xứng ba biến thuần nhất bậc k bằng đạo hàm.
	Bồi dưỡng cho học sinh nâng cao về phương pháp, kĩ năng giải toán bất đẳng thức qua đó học sinh nâng cao khă năng tư duy sáng tạo.
	Đề tài nhằm nâng cao nghiệp vụ bản thân, để trao đổi kinh nghiệm với đồng nghiệp và đóng góp 1 phần nào đó vào việc nâng cao chất lượng dạy học bất đẳng thức.
3. Đối tượng nghiên cứu.
	Đối tượng nghiên cứu của tôi chỉ là dạng bất đẳng thức đối xứng ba biến xuất hiện trong các đề thi đại học, thi học sinh giỏi các cấp dạng (hoặc đưa về dạng) (**) với giả thiết là (*)
	Đề tài được áp dụng cho học sinh khá giỏi lớp 12 luyện thi đại học hoặc thi học sinh giỏi.
4. Phương pháp nhiên cứu.
	- Phương pháp nghiên cứu lí luận: Nghiên cứu các tài liệu liên quan,SGK, Tài liệu về bất đẳng thức.
	- Phương pháp tổng kết kinh nghiệm.
	- Phương pháp thực nghiệm
PHẦN II. NỘI DUNG
I. Cơ sở lí luận:
	Phương pháp sử dụng ứng dụng của đạo hàm là phương pháp gần gũi với học sinh lớp 12 hơn cả trong quá trình giải quyết các bài toán chứng minh bất đẳng thức. Để sử dụng được phương pháp này học sinh cần phải nắm được 1 số vấn đề sau đây:
1.Công thức tính đạo hàm .
2. Qui tắc tìm điểm cực trị của hàm số.
3. Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên D
4. Lập được bảng biến thiên của 1 hàm số .
5. Các kiến thức cơ bản về bất đẳng thức: Tính chất cơ bản của bất đẳng thức, các bất đẳng thức cổ điển, các đánh giá thông dụng thường dùng về bất đẳng thức:
6. Có một số kĩ năng đánh giá biểu thức, kĩ năng biến đổi đại số, kĩ năng giải phương trình, kĩ năng xét dấu biểu thức, kĩ năng đưa hàm nhiều biến về hàm 1 biến, kĩ năng chuẩn hóa bất đẳng thức thuần nhất đồng bậc...
II. Thực trạng của đề tài:
Khi giảng dạy về phần bất đẳng thức cho bộ phận học sinh khá giỏi lớp 12 ôn thi Đại học tôi bắt gặp bài toán: " Cho là 3 số thực dương và 
Chứng minh rằng: "	
 (Đại học KA- 2003)
Với rất nhiều cách giải: Sử dụng bất đẳng thức cô-sy với kĩ thuật chọn điểm rơi, sử dụng phương pháp tiếp tuyến... , Nhưng một trong những lời giải tôi thấy ấn tượng là:
Xét hàm số: , với 
, 
Bảng biến thiên .
 0 1/3	 1
	-	 0 +
Từ bảng biên thiên ta có: với 
 với .Thay lần lượt bởi rồi cộng lại ta được: 
(Điều phải chứng minh)
Khảo sát mức độ nhận thức của tất cả các học sinh khá giỏi mà tôi dạy thì hầu hết các em đều nhận xét rằng: Lời giải là ngắn gọn, gần gũi với các em, nhưng học sinh đặt câu hỏi vì sao lại xuất hiện hàm :
 và con số ở đâu ra.
Để giải đáp câu hỏi trên tôi đã nghiên cứu, tham khảo các phương pháp giải và cố gắng tìm tòi và đưa ra cho học sinh phương pháp giải quyết bài toán với cách giải nêu trên bằng sử dụng đạo hàm. Sau đó tổng quát lên thành dạng toán được nêu ở phần lí do chọn đề tài.
III. Các biện pháp tiến hành giải quyết vấn đề.
1. Giới thiệu dạng toán và phân tích.
Xét bài toán bất đẳng thức đối xứng ba biến dạng sau:
" Cho các số thực thỏa mãn: (*) Với số thực .
Chứng minh rằng: (**)"
Trong đề tài này tôi gọi (*) là bất đẳng thức điều kiện với là hàm điều kiện, (**) là bất đẳng thức cần chứng minh,là hàm cần đánh giá thông qua hàm trung gian 
Phân tích: Với các bài toán dạng này thì dấu đẳng thức thường xảy ra khi . Để giải bài toán ta cần đánh giá Thông qua nhằm sử dụng giả thiết (*)
Do vậy, xét hàm số Với 
Số m được xác định sao cho đạt cực tiểu tại cũng là điểm mà tại đó đạt GTNNsuy ra m được xác định: . Khảo sát hàm số để đánh giá thông qua hàm trung gian 
Việc chứng minh với dấu "" hoàn toàn tương tự với là điểm cực đại của hàm số , đồng thời là điểm mà tại đó đạt giá trị lớn nhất.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi .
Trở lại với lời giải bài toán thi Đại học KA - 2003:
"Cho là 3 số dương thỏa mãn .
Chứng minh rằng: "
Theo phân tích trên thì rõ ràng ta xét các hàm:
; và 
Và lời giải đã được trình bày như ở phần II: Thực trạng của đề tài
Khi phân tích như vậy, học sinh đã thấy lời giải hoàn toàn có lí do, sáng sủa, dễ hiểu, tư duy rõ ràng và gần gũi đối với kiến thức đã được lĩnh hội ở trên lớp khi học ứng dụng đạo hàm. Các em thấy phấn khởi và có nhu cầu tìm hiểu về phương pháp này.
Trên cơ sở phân tích như vậy tôi đã đưa ra các bước để thực hiện giải bài toán bất đẳng thức dạng (**) với điều kiện (*) theo phương pháp dùng đạo hàm như sau:
2. Các bước thực hiện giải bài toán bất đẳng thức (**) với điều kiện (*) theo phương pháp dùng đạo hàm:
Bước 1: Đưa bất đẳng thức điều kiện và bất đẳng thức cần chứng minh ở đề bài về dạng (*) và (**).
Bước 2: Dựa vào bất đẳng thức điều kiện(*) và bất đẳng thức cần chứng minh (**) đặt hàm và tương ứng,
Ở đó (dựa vào điều kiện của và bất đẳng thức điều kiện (*) để xác định D)
Bước 3: Lập bảng biến thiên cho hàm số rồi đánh giá: 
. Thay t lần lượt bởi rồi công lại ta suy ra bất đẳng thức cần chứng minh.
Để giúp học sinh nhận diện và phản xạ nhanh khi gặp dạng toán này. Tôi đã cố gắng chia dạng toán này thành 5 loại có ví dụ và phân tích đi kèm, có nhận xét và bài tập tượng tự để học sinh tự rèn luyện phương pháp .
3. Phân loại dạng toán .
Loại 1: Đề bài thể hiện sẵn hàm .
Ví dụ 1.1: Cho và Chứng minh rằng: 
Phân tích và hướng dẫn giải:
+ Dựa vào điều kiện 
Dựa vào điều kiện và bất đẳng thức cần chứng minh xét hàm:
Với và , .
Vậy xét hàm 
+ Bảng biến thiên:
Từ bảng biến thiên ta có:
 .
Thay lần lượt bởi rồi cộng lại ta được.
(Bất đẳng thức được chứng minh).
Ví dụ 1.2: Cho là 3 số dương thỏa mãn .
Chứng minh rằng: (1)
Phân tích: Dự đoán dấu đẳng thức xảy ra khi 
Do và nên .
Dựa vào điều kiện và bất đẳng thức (1) xét hàm: , .Với .
Vậy xét hàm : 
Bài giải:
+ Từ giả thiết suy ra: . Xét hàm số :với 
+ Ta có : 
Bảng biến thiên 
 0 	 
 -	 +
+ Từ bảng biến thiên ta có:
Thay lần lượt bởi rồi cộng lại ta được:
Suy ra điều phải chứng minh.
Nhận xét: Để xét hàm điều kiện đơn giản hơn, dẫn đến xét hàm đơn giản hơn, ta hãy đánh giá điều kiện như sau:
Ta có: 
Bài toán chuyển về: Cho 3 số dương thỏa mãn 
Chứng minh rằng:
Bằng phân tích như trên ta xét hàm: , khảo sát dễ dàng hơn.
 Trong đề tài này cơ bản tôi xét bất đẳng thức đối xứng ba biến ,tuy nhiên ta có thể áp dụng cho bất đẳng thức nhiều biến hơn, thể hiện ở ví dụ sau.
Ví dụ 1.3: Cho dương có tổng bằng 1. Chứng minh rằng:
 (MO- HongKong-2005)
Phân tích: Từ điều kiện suy ra ,dự đoán dấu bằng xảy ra khi . Xét hàm 
Với . Vậy hàm cần xét là: .
Bài giải:+ Từ giả thiết suy ra . Xét 
Bảng biến thiên.
 0 	 
 -	 +
Từ bảng biến thiên ta có: .
Thay lần lượt bởi rồi cộng lại vế theo vế ta được:
.
Suy ra điều phải chứng minh.
Chú ý: Qua các ví dụ trên, ta thấy rằng yếu tố quan trọng nhất để chúng ta có thể sử dụng được phương pháp này là ta chuyển được điều kiện và bất đẳng thức cần chứng minh về dạng cô lập được các biến (hay nói cách khác có dạng tổng hàm: ).
 Trong phần tiếp theo, tôi đưa ra các loại bài toán chưa có sẵn hàm số mỗi loại toán mở ra 1 hướng khai thác dữ kiện khác nhau để tìm ra hàm . Từ đó phát huy tính sáng tạo cho học sinh.
Loại 2: Sử dụng một số đánh giá thường dùng để làm xuất hiện hàm .
Chú ý: 
1. Có 2 chuỗi bất đẳng thức đẳng cấp có tần suất sử dụng nhiều xuất hiện trong các đề thi là: và 
2. Bất đẳng thức dạng cộng mẫu sau cũng hay được chú ý:.
và .
3. Đẳng thức: cũng được quan tâm vì cái hay của đẳng thức này nêu lên mối quan hệ giữa 3 biểu thức là 3 biểu thức hay xuất hiện trong bất đẳng thức đối xứng ba biến.
 Sử dụng các chú ý trên và khéo léo biến đổi, đánh giá ta sẽ làm xuất hiện được hàm .
Ví dụ 2.1: Cho thỏa mãn . 
Chứng minh rằng: (1)
Phân tích: Bất đẳng thức (1) chưa cô lập được các biến để ý đến chuỗi 
Nhằm sử dụng được giả thiết: ta sẽ sử dụng:
 (1) 
 (2)
Bài toán trở thành: Chứng minh bất đẳng thức (2) với điều kiện 
Lúc này hàm 
Với giá trị nhỏ nhất trên (0;1) là - 
Ta có: nên việc chứng minh (2) đã trở lên đơn giản.
Ví dụ 2.2: Cho . 
Chứng minh rằng: (1)
	 (Vô địch Toám Nga 2002)
Phân tích: Do đề bài xuất hiện: ta nghĩ đến 2 điều :
Sử dụng chuỗi bất đẳng thức (a)
Hay sử dụng đẳng thức: (b)
Hướng 1: Sử dụng đẳng thức (b) ta có: 
.
(1) 
 (2)
Ta chứng minh (2) với điều kiện và là xong.
Xét hàm 
Với .
Vậy hàm cần xét là: với .
Bảng biến thiên:
 +	 - +
 0 
Nhìn vào bảng biến thiên ta có: . . 
Thay lần lượt bởi ta được:
 (2) được chứng minh hay (1) được chứng minh.
Hướng 2: Sử dụng chuỗi (a) ta có: 
Ta chỉ cần chứng minh: với là xong, hay cần chứng minh (3).
Xét hàm : với ; 
Vậy hàm cần xét: 
Bảng biến thiên:
 0 	 
 +	 -
.
 Đến đây, nhận xét nếu sử dụng chuỗi đánh giá (a) đôi khi bất đẳng thức bị yếu đi hoặc bị đổi chiều, nên sử dụng chuỗi (a) là không khả thi. Ta sử dụng đẳng thức (b) là hợp lý.
Ví dụ 2.3: Cho là các số dương thỏa mãn: .
Chứng minh rằng: (1)
 (Đại học KA-2005)
Phân tích: Nếu đặt Khi đó 
+ Vế trái (1) chuyển về:
Lúc này cần phải đánh giá thông qua để sử dụng được điều kiện và cô lập được các ẩn của bất đẳng thức cần chứng minh. Nghĩ đến bất đẳng thức cộng mẫu .Ta có:
 .
Bài toán trở thành: Cho và 
Chứng minh rằng: (2). Nếu (2) được chứng minh thì (1) được chứng minh:
Lại xét hàm: với 
Ở đó: .Vậy cần xét hàm 
Bằng lập bảng biến thiên ta cũng đánh giá được 
,. Thay lần lượt bởi ta được 
VT (2) 
(2) được chứng minh hay (1) được chứng minh.
Loại 3: Bất đẳng thức thuần nhất đồng bậc với kĩ thuật chuẩn hóa làm xuất hiện hàm và . 
Để nắm bắt được kĩ thuật này, trước hết ta xem xét những khái niệm có liên quan.
* Hàm số thuần nhất 3 biến:
Hàm số của các biến thỏa mãn điều kiện D được gọi là hàm số thuần nhất ba biến nếu với mọi bộ thỏa mãn điều kiện D, với mọi số thực k sao cho thỏa mãn điều kiện D thì tồn tại số sao cho:
Khi đó, ta nói hàm số là hàm số thuần nhất ba biến bậc . Khái niệm hàm số thuần nhất cho biến tương tự.
* Bất đẳng thức thuần nhất 3 biến:
Bất đẳng thức dạng trong đólà hàm số thuần nhất ba biến được gọi là bất đẳng thức thuần nhất ba biến. Khi đó các bất đẳng thức:cũng được gọi là bất đẳng thức thuần nhất ba biến.
Khái niệm bất đẳng thức thuần nhất biến tương tự.
* Phương pháp chuẩn hóa:
	Để hiểu được phương pháp chuẩn hóa, ta đi xem xét một mệnh đề sau đặc trưng cho bất đẳng thức thuần nhất:
+ Mệnh đề: Nếu là hàm thuần nhất bậc thì với ta có:
 tương đương 
+ Chứng minh: Vì hàm số thuần nhất bậc nên 
Do đó với ta có: 
 (điều phải chứng minh)
+ Phương pháp chuẩn hóa: Do có mệnh đề nói trên nên để chứng minh bất đẳng thức thuần nhất dạng: ta chỉ cần chứng minh bất đẳng thức dạng: . Ở đó ta chỉ việc chọn thích hợp nào đó để thỏa mãn một điều kiện đặc biệt giúp làm xuất hiện hàm và và giảm bớt đi sự vất vả trong việc biến đổi bất đẳng thức.
	Sử dụng mệnh đề nói trên, ta có thể thu hẹp phạm vi cần xét của các biến hơn so với yêu cầu bài toán. Việc chuyển bài toán chứng minh một bất đẳng thức thuần nhất về chứng minh bất đẳng thức trong phạm vị hẹp hơn của các biến như trên gọi là chuẩn hóa bất đẳng thức thuần nhất. Để thể hiện kĩ thuật chuẩn hóa bất đẳng thức thuần nhất nhằm làm xuất hiện hàm và ta đi phân tích thông qua các ví dụ sau:
Ví dụ 3.1: Cho các số thực dương .
 Chứng minh rằng: (1)
Nhận xét: Bài này có hình thức đơn giản, có rất nhiều cách giải, trong đó cách giải ngắn gọn nhất là sử dụng bất đẳng thức cô-sy như sau:
Ta có:
 (Điều phải chứng minh).
	Tuy vậy, để giúp học sinh hiểu về phương pháp chuẩn hóa tôi đã lấy ví dụ này để phân tích.
Phân tích và hướng dẫn giải:
+ Đặt F(). Khi đó F() là hàm thuần nhất bậc 1 vì với thì F. F(a;b;c).
+ Nếu tồn tại mà thì ta chọn là số thỏa mãn: (hay ). và đặt: .Khi đó:
 và . Ta chỉ cần chứng minh 
với và . Hay cần chứng minh bài toán bất đẳng thức sau:
"Cho 
Chứng minh rằng: " (2).
Vì (2) tương đương với:
 (3).
Xét hàm: (do điều kiện và )
Với . Vậy .
Bảng biến thiên.
 0 	 
 -	 +
Từ bảng biến thiên: 
Thay lần lượt bởi rồi cộng lại ta được:
	Vậy bất đẳng thức (3) được chứng minh hay bất đẳng thức (1) cũng được chứng minh.
Chú ý: Nếu không nhầm lẫn trong cách hiểu và tránh phức tạp trong trình bày lời giải thì trong lời giải phân tích ở ví dụ 3.1 từ bất đẳng thức (2); ta có thể dùng bộ số () thay cho bộ số hay nói cách khác với bất đẳng thức đã cho không mất tính tổng quát ta chỉ cần chứng minh trong trường hợp thỏa mãn một điều kiện đặc biệt nào đó, thì vẫn kết luận được bất đẳng thức đúng trong mọi trường hợp của . Sứ dụng chú ý này ta sẽ có lời giải ngắn gọn cho những bất đẳng thức có hình thức phức tạp sau:
Ví dụ 3.2: Cho các số thực dương . 
Chứng minh rằng: (1)
Phân tích và hướng dẫn giải:
+ Đặt 
nên bất đẳng thức thuộc dạng thuần nhất bậc một.
+ Không mất tính tổng quát, ta chỉ cần chứng minh bất đẳng thức (1) đúng trong trường hợp . với điều kiện này (1) chuyển thành:
 (2)
Rõ ràng, ta đã làm xuất hiện hàm 
+ Với cách làm tương tự như ở tất cả các ví dụ đã phân tích ta đi xét hàm:
Bảng biến thiên.
 0 	
 -	 +
Từ bảng biến thiên ta có: 
Thay t lần lượt bởi rồi cộng lại ta được
(2) được chứng minh hay (1) được chứng minh.
Ví dụ 3.3: Cho là các số thực dương. Chứng minh rằng:
 (1)
Phân tích:
+ Kiểm tra thấy bất đẳng thức (1) thuần nhất bậc 4.
+ Không mất tính tổng quát chỉ cần chứng minh (1) đúng trong trường hợp: .
Khi đó bất đẳng thức (1) trở thành: 
 (2)
Lúc này hàm điều kiện là còn và .
Xét hàm: .
Bằng lập bảng biến thiên ta đánh giá được . .
Thay lần lượt bởi a,b,c rồi cộng lại ta được: 
(2) được chứng minh hay (1) được chứng minh.
Ví dụ 3.4: Cho các số thức dương 
Chứng minh rằng: (MO-Japan-1997)
Phân tích: + Do bất đẳng thức là thuần nhất bậc 0 nên không mất tính tổng quát, ta giả sử , Khi đó bất đẳng thức đã cho trở thành:
. .
+ Bằng cách phân tích tương tự ta xét hàm:
 .
 Khảo sát trên thì .
.
Từ đó ta dễ dàng suy ra lời giải của bài toán này.
Loại 4: Sử dụng ẩn phụ để làm xuất hiện hàm .
	Ta sử dụng đặt ẩn phụ 1 cách khéo léo sẽ giúp ta đưa bất đẳng thức cần chứng minh về bất đẳng thức có xuất hiện hàm .
Ví dụ 4.1: Cho và .
Chứng minh rằng: (1)
Phân tích: 
+ Đặt .
Ta có: 
+ Bài toán bất đẳng thức trở thành:
Cho và 
Chứng minh rằng:. (2)
+ Ta thấy hình thức bài toán hết sức đơn giản và hàm xuất hiện . Xét hàm 
Bằng lập bảng biến thiên của ta đánh giá được: 
 (2) được chứng minh, (1) được chứng minh.
Nhận xét: Bài toán này có thể sử dụng trực tiếp bất đẳng thức cộng mẫu như sau: Ta có: 
(Điều phải chứng minh).
	Hoặc có thể chứng minh bất đẳng thức (2) nhờ bất đẳng thức cộng mẫu như sau: .
	Tuy nhiên tôi vẫn lấy ví dụ này phân tích cho phương pháp đặt ẩn phụ làm xuất hiện hàm và nhằm giúp cho học sinh có cách nhìn linh hoạt khi đứng trước 1 bài toán bất đẳng thức giải bằng phương pháp dùng đạo hàm.
Ví dụ 4.2: Cho các số dương và thỏa mãn:.
Chứng minh rằng:. (1).
Phân tích: + Đặt .
và 
+ Bài toán trở thành: Cho và .
Chứng minh rằng: (2).
+ Đến đây, hàm xuất hiện.
Ta xét hàm: .
Bảng biến thiên:
 +	 - +
Từ bảng biến thiên ta có: ..
(2) được chứng minh hay (1) được chứng minh.
Nhận xét: Ta cũng có thể đặt ẩn phụ. hoặc 
Ví dụ 4.3: Cho là các số dương thỏa mãn điều kiện 
Chứng minh rằng:. (1).
Phân tích: + Giả thiết là các số dương, và thỏa mãn điều kiện . Nếu để ý lấy logarit tự nhiên 2 vế ta được tổng: .
+ Đặt . Thì ta có điều kiện và bất đẳng thức (1) đưa về: (2).
+ Hàm xuất hiện.
Xét hàm: với . Do đó .
+ Lập bảng biến thiên ta đánh giá được; ..
Thay lần lượt bởi rồi cộng lại ta được:.
(2) được chứng minh hay (1) được chứng minh.
	Ở tất cả các ví dụ trên thuộc 4 loại tôi đã trình bày đều có xu hướng là sau khi làm xuất hiện hàm thì ta xét hàm 
và ( xuất hiện ở điều kiện ) thì đạt giá trị cực tiểu (cực đại) đồng thời là giá trị nhỏ nhất (lớn nhất) tại đó cũng là ý tưởng chính khi ra đề toán dùng phương pháp này. Nhưng Loại 5 tôi đề cập sau đây, bổ sung thêm một cách xử lý bài toán nếu như đạt giá trị cực tiểu tại , nhưng không phải đó là giá trị nhỏ nhất tại . Tương tự nếu đạt giá trị cực đại tại nhưng không là giá trị lớn nhất tại :
Loại 5: Đề bài thể hiện sẵn hàm và , nhưng phải chia miền để chứng minh.
Ví dụ 5.1. Cho 3 số thực dương thỏa mãn .
Chứng minh rằng: (1)
 (MO- China-2005).
Phân tích: 
+ Khi phân tích, đặt ,
Ta có bảng biến thiên của hàm số như sau:
 -	 + -
Nhìn vào bảng biến thiên của điều mà ta mong muốn là 
để dấu bằng xảy ra khi . nhưng ở đây lại là 
Vậy có cách nào giải quyết không?
+ Nhìn vào bảng biến thiên, ta khẳng định được Hãy chia khoảng để chứng minh:
TH1: Cả 3 số : Khi đó nhìn vào bảng biến thiên suy ra: 
	, (1) đúng.
TH2: Giả sử có 1 số ,chẳng hạn . 
Vì 
Lúc này : 
+ Xét ,với mọi
 nghịch biến trên 
+.Tươngtự 
Vậy trong trường hợp này ta cũng có . (1) được chứng minh
Nhận xét: Con số dùng để chia khoảng đủ gần để thấy .Bài toán sẽ được lập luận tương tự khi dùng con số khác nếu nó có tính chất tương tự
Bài tập tự luyện:
1. Cho 3 số thực và 
Chứng minh rằng: 
2. Cho 3 số thực và 
Chứng minh rằng: 
3. Cho 3 số thực và 
Chứng minh rằng: (Học viện BCVT-2001) 
4. Cho 3 số thực và 
Chứng minh rằng: 
5. Cho 4 số thực và 
Chứng minh rằng: 
6. Cho 3 số thực và 
Chứng minh rằng: 
7. Cho 3 số thực và 
Chứng minh rằng: 
8. Cho 3 số thực và 
Chứng minh rằng: 
9. Cho và . Chứng minh rằng:. 
 (Vô địch Toán Ba Lan 1996)
10. Cho . Chứng minh rằng: 
 (Vô địch Toán Mỹ 2003)
11. Cho . Chứng minh rằng:.
	(Olympic 30-4-Lớp 11-2006)
12. Cho . 
Chứng minh rằng:.
13. Cho >0. Chứng minh rằng:.
14. Cho là độ dài 3 cạnh của tam giác ABC chứng minh rằng:
.
15. Cho 3 số thực và 
Chứng minh rằng: 
16. Cho 3 số thực