Sáng kiến kinh nghiệm Dạy học giới hạn theo hướng phát huy tính tích cực học tập của học sinh

 1. Lời giới thiệu :
Giáo dục phổ thông nước ta đang thực hiện bước chuyển từ chương trình trình 
giáo dục tiếp cận nội dung sang tiếp cận năng lực người học, để thực hiện được 
điều đó giáo viên cần phải thay đổi cách dạy và cách học theo hướng tích cực 
hóa người học. Giáo viên cần chú trọng việc hướng dẫn và rèn luyện phương 
pháp học tập cho học sinh. Giúp học sinh củng cố nâng cao kiến thức, vận dụng 
kiến thức giải quyết bài toán thực tế. Đặc biệt là sử dụng hệ thống bài tập nhằm 
phát triển năng lực cho học sinh trong quá trình dạy học. 
Hiện nay, trong xu thế đổi mới của nghành giáo dục về phương pháp dạy học 
cũng như phương pháp kiểm tra đánh giá. Cụ thể là phương pháp kiểm tra đánh 
giá bằng trắc nghiệm khách quan đòi hỏi học sinh không những phải học kĩ, nắm 
vững toàn bộ kiến thức của chương trình mà còn phải có khả năng phản ứng 
nhanh đối với các dạng toán và phải có kĩ năng giải bài tập trắc nghiệm.
 Trong quá trình bồi dưỡng ôn thi đại học, tôi nhận thấy dạng bài tập về 
tính giới hạn của dãy số và tính giới hạn của hàm số thường có mặt trong trong 
đề thi THPT Quốc gia. Dạng bài tập này có từ dễ đến khó, đặc biệt là biết ứng 
dụng nó vào bài toán thực tế thường gây ra nhiều khó khăn, lúng túng cho học 
sinh nhất là những học sinh có kĩ năng phân tích đề không tốt, nhiều học sinh 
chỉ nhớ công thức, nhớ dạng bài một cách máy móc, do đó chỉ làm được các bài 
tập quen thuộc (thậm chí không làm được). Đối với dạng bài tập này nếu giáo 
viên bổ sung cho học sinh thêm bài tập và rèn kỹ năng chuyển bài toán lạ về 
dạng quen thuộc với nhiều tình huống khác nhau từ đó giúp học sinh định hướng 
cách giải cho từng dạng bài cụ thể là rất cần thiết.
 Đối với học sinh của trường Quang Hà là học sinh ở vùng tuyển sinh có 
điểm đầu vào thấp , khả năng phân tích đầu bài còn hạn chế, nên làm thế nào có 
thể nâng cao được điểm thi của các em trong kì thi quốc gia chung, giúp các em 
có thể làm tốt được một lớp câu hỏi trong đề thi Toán nói chung và trong phần 
tính giới hạn và xác định đồ thị hàm số sau nói riêng luôn là sự trăn trở của tôi 
khi giảng dạy nên tôi chọn đế tài “Dạy học giới hạn theo hướng phát huy tính 
tích cực học tập của học sinh”
2. Tên sáng kiến:
Dạy học giới hạn theo hướng phát huy tính tích cực học tập của học sinh
3. Tác giả sáng kiến:
 1 3. Định lý về giới hạn hữu hạn:
 Nếu limun  a và limvn  b thì:
 lim(un  vn )  a  b  lim(un  vn )  a  b
 un a
 lim(un.vn )  a.b  lim  (b  0)
 vn b
 Nếu un  0 (n) và limun  a thì: a  0 & lim un  a
4. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn:
 - Cấp số nhân lùi vô hạn là cấp số nhân vô hạn (un ) có công bội q, với 
| q |1- Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn 
 u
 (u ) : S  u  u  ...  u  ...  1 (| q |1) 
 n 1 2 n 1 q
5. Dãy số dần tới vô cực:
a) Định nghĩa: 
 - Ta nói rằng dãy số (un ) có giới hạn + khi n   , nếu un có thể lớn 
hơn một số dương bất kì, kể từ một số hạng nào đó trở đi.
Kí hiệu: limun   hay un   khi n   .
 - Ta nói rằng dãy số (un ) có giới hạn - khi n   , nếu lim(un )  
Kí hiệu: limun   hay un   khi n   .
 k * n
b) Giới hạn đặc biệt: limn  , (k ¢  ) ; limq  , (q>1)
c) Định lí:
 un
 Nếu limun  a và limvn   thì lim  0
 vn
 Nếu limun  a > 0, limvn  0 và vn > 0 với mọi n thì lim(u n / vn )  
 Nếu limun   và limvn  a  0 thì lim(un.vn )   .
B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN:
 P(n)
1. Giới hạn của dãy số (u ) với u  , P(n), Q(n) là các đa thức của n
 n n Q(n)
Phương pháp: 
- Rút nk ra làm nhân tử (k là bậc cao nhất của n có trong cả hai đa thức 
 P(n), Q(n) ) rồi rút gọn.
- Sử dụng các giới hạn đặc biệt và định lí về giới hạn dãy số.
Chú ý: 
 3 2 3 4 3 4
 2 n (1  ) (1  )
 n  3n  4 2 2 1
 2. lim  lim n n  lim n n 
 2 19 77 19 77
 12n 19n  77 n2 (12   ) (12   ) 12
 n n2 n n2
 1 1
 n2 (4  )  n n 4   n
 4n2 1  n 2 2
3. lim  lim n  lim n
 2
 3n  2 3n  2 n(3  )
 n
 1
 4  1
 2 4 1
  lim n  1
 2
 3  3
 n
 1 1
 n3 (4  )  n n n 4   n
 4n3 1  n 3 3
 4. lim  lim n  lim n
 3 2
 3n  2 3n  2 n n(  )
 n n n
 1 1
 4  
 n2
  lim n  
 3 2
 
 n n n
 1 2
5. lim( 2n2  n  2  n)  lim[n( 2   1)]  
 n n2
 ( n2  n  2  n)( n2  n  2  n)
 6. lim( n2  n  2  n)  lim
 n2  n  2  n
 2
 2 2 n(1 )
 n  n  2  n n  2
  lim  lim  lim n
 n2  n  2  n n2  n  2  n 1 2
 n( 1  1)
 n n2
 2
 1
 1
  lim n  
 1 2 2
 1  1
 n n2
Ví dụ 2: 
a) Tính các giới hạn sau:
 5 u3
Tìm lim n .
 n
Hướng dẫn:
Ta thấy un > 0 với mọi n 
 3 3 3 1
Ta có un1  un  3  3  6 (1)
 un un
 3 3 3 3 3 3
Suy ra: un1  un  3  un  un1  3  un  u0  3n(2) .
 3 3 1 1 3 1 1
Từ (1) và (2), suy ra un1  un  3  3  3 2  un  3   n
 u0  3n (u0  3n) 3n 9n
 n n
 3 3 1 1 1 1
Do đó un  u0  3n     2 (3)
 3 k 1 k 9 k 1 k
 n 1 1 1 1 1 n 1 n 1
Lại có:  2 <1+   ...   2   2.  n.  2  2n
 k 1 k 1.2 2.3 (n 1).n n k 1 k k 1 k
 2 2n u3 u3 u3 2 2
Nên u3  3n  u3  u3  3n   hay 3  0  n  3  0  
 0 n 0 9 3 n n n 9n 3 n
 u3
Vậy lim n  3.
 n
D. BÀI TẬP
Bài 1. Tính các giới hạn sau:
 2n 1 (2n 1)2 (n2  n 1) n2  n 1
1. lim 2. lim 3. lim
 1 3n (1 3n)3 (2n 1) 3n4  2
 2
 2n  n 1 n3  n 1 n2  2  3 3n3 1
 4. lim 5. lim 6. lim
 3n 1 4
 3n  5 4 2n  3n  n
 (2n  3)9.(n2  2n)4
 7. lim 3 3n2 1 1
 (3n3  2n 1)5.(n2 1)83 . lim
 4 2n 1
 2n  3n  n 9. lim[(n 1). ]
 n4  3n2 1
10. lim( n2  3n  n)
 11. lim[n.( n2 1  n)]
 12. lim( n2 1  2n2 1)
 3 3 2 2
 3 3 2 14. lim( n  2n  n  2n)
13. lim( n  9n  n)
 15. lim( 3 1 n2  8n3  2n)
 7 a) Nếu lim un  a vaø lim vn  b thì lim(un  vn )  a  b
 b) Nếu lim un  a vaø lim vn  b thì lim(un  vn )  a  b
 c) Nếu lim un   vaø lim vn   thì lim(un  vn )  0
 n
 d) Nếu lim un  a vaø -1<a<0 thì lim un  0
Câu 2: Với k là số nguyên dương, trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
 1 1
 a) lim nk   b) lim nk   c) lim  0 d) lim  0
 nk nk
 2n3  n2  3n 1
Câu 3: Kết quả lim bằng:
 1 2n3
 a) -1 b) -2 c) -3 d) -4
 n2 16
Câu 4: Kết quả lim bằng:
 n  4
 a) 8 b) 4 c) 6d) 
 3 n3  2n2  n 1
Câu 5: Kết quả lim bằng:
 2n 1
 1 1
 a) b)  c) 2 d) 2
 2 2
 2n  3.5n
Câu 6: Kết quả lim bằng:
 2n1  5n1
 3 3
 a) b)  c) 3 d) 3
 5 5
 n
   2  
Câu 7: Kết quả lim 2     bằng:
 3
    
 a) 2 b) 0 c) 3 d) 1
 8n2 1
Câu 8: Kết quả lim bằng:
 n2
 a) 2b) 2 2 c) 3 2 d) 2
 n2  n  3
Câu 9: Kết quả lim bằng:
 n3  2n
 a) 3 b) 1 c) 2d) 0
 n
 1
Câu 10: Kết quả lim(2  ) bằng:
 n 1
 9 n n2 1  2n2
Câu 20: Kết quả lim bằng:
 4n3  n  3
 a) 2 b) 1 c) 1 d) 0
 3
Câu 21: Kết quả lim(n3  2n2 ) bằng:
 a) 1 b)  c)  d) 0
 n4  5n2  4
Câu 22: Kết quả lim bằng:
 2n2 1
 1
 a) b)1 c)  d) 
 2
Câu 23: Kết quả lim(2n3  n2  3) bằng:
 a)  b)  c) 0 d) -2
Câu 24: Kết quả lim 2n4  3n2 11 baèng:
 a)  b)  c)2 d) 2
 5n2  3n  7
Câu 25: Kết quả lim bằng:
 3n  2
 a)  b)  c)5 d) 3
 2n4  n3  n
Câu 26: Kết quả lim bằng:
 2n  3
 1
 a)  b)  c) d) 2
 2
Câu 27: Kết quả lim  n 1  n n bằng:
 a)  b)  c) 2 d) 0
Câu 28: Kết quả lim  n2  n 1  n  bằng:
 a)  b)  c) 1 d) 0
Câu 29: Kết quả lim 2n  3n  bằng:
 a)  b)  c) 1 d) 0
 3n 1
Câu 30: Kết quả lim bằng:
 1 2n
 a)  b)  c) 1 d) 3
 1
Câu 31: Kết quả lim bằng:
 n2  n  3
 11