Sáng kiến kinh nghiệm Chứng minh bất đẳng thức bằng phương pháp hàm số

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA
TRƯỜNG THPT HÀM RỒNG
____________________________________
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC 
BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ
Người thực hiện : Nguyễn Văn Hải
Chức vụ : Tổ trưởng chuyên môn
SKKN thuộc lĩnh vực môn Toán 
THANH HÓA NĂM 2016
MỤC LỤC 
 1. Mở đầu : 	 	 
Lý do chọn đề tài Trang 2
Mục đích nghiên cứu Trang 3
Đối tượng nghiên cứu Trang 3
Phương pháp nghiên cứu Trang 3
 2. Nội dung sáng kiến kinh nghiệm
2.1 Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm Trang 4
2.2 Chứng minh bất đẳng thức bằng phương pháp hàm số: Trang 5
2.2.1 Chọn một đại lượng làm biến Trang 5
2.2.2. Chọn lần lượt các đại lượng làm biến Trang 8
 2.2.3 Chọn nhóm các đại lượng làm biến (kỹ thuật dồn biến) Trang 11
 3. Kết luận 	 
 3.1. Kết quả thực nghiệm Trang 16
 3.2. Bài học kinh nghiệm Trang 16
 3.3. Kết luận Trang 16
 3.4. Kiến nghị Trang 17
 Tài liệu tham khảo Trang 18
1. MỞ ĐẦU
Lý do chän ®Ò tµi 
 Trong chương trình toán học bậc Trung học phổ thông. Chøng minh bÊt ®¼ng thøc hoặc tìm giả trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức lµ mét bài to¸n phæ biÕn vµ quan träng và rÊt th­êng gÆp trong c¸c ®Ò thi tuyÓn sinh vµo §¹i häc – Cao ®¼ng trước đây và trong đề thi Tốt nghiệp THPT Quốc Gia hiện nay. Bài toán chøng minh bÊt ®¼ng thøc hoặc tìm giả trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức còn lµ mét chuyªn ®Ò bồi dưỡng học sinh giỏi trong nhà trường và thường gặp trong c¸c ®Ò thi häc sinh giái các cấp ë bậc học Trung học phæ th«ng hiện nay.
 C¸c bµi to¸n chøng minh bÊt ®¼ng thøc hoặc tìm giả trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức rÊt ®a d¹ng vµ phong phó. C¶ lý luËn vµ thùc tiÔn d¹y häc ®Òu chøng tá chóng rÊt cã hiÖu qu¶ trong viÖc ph¸t triÓn t­ duy cho häc sinh . 
Bài toán chứng minh bất đẳng thức hoặc tìm giả trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức là một trong những nội dung khó trong chương trình Toán học phổ thông. Để làm tốt loại bài toán này đòi hỏi học sinh phải có kiến thức cơ bản, hệ thống cùng với óc sáng tạo, khả năng tồng hợp và tư duy logic.Trong các đề thi tuyển sinh vào Đại học và Cao đẳng môn Toán trước đây và trong đề thi Tốt nghiệp THPT Quốc Gia hiện nay, bài toán chứng minh bất đẳng thức hoặc tìm giả trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức dành để kiểm tra đánh giá năng lực của nhóm học sinh khá giỏi. Trong thang điểm nó được đánh giá ở bậc điểm chín và điểm mười.Tuy nhiên trong chương trình của môn Toán PTTH học học sinh chỉ được học và luyện tập trong năm học lớp 10, số tiết dạy dành cho nội dung này quá ít, vì vậy đa số học sinh ngay cả các em học sinh khá cũng gặp không ít khó khăn, lúng túng khi găp dạng toán này.
 C¸c tµi liÖu, s¸ch tham kh¶o ®· tr×nh bµy kh¸ ®Çy ®ñ vÒ các phương pháp chứng minh bất đẳng thức, trong bµi viÕt nµy t«i xin tËp trung vµo ph­¬ng ph¸p hµm sè mà học sinh đã được trang bị đầy đủ kiến thức trong chương trình môn Toán lớp 12 Trung học phổ thông.
Qua kinh nghiÖm gi¶ng d¹y, cùng với nghiên cứu tài liệu, trong bµi viÕt nµy, t«i ®­a ra ph­¬ng ph¸p gi¶i bµi to¸n chứng minh bất đẳng thức bằng phương pháp hàm số với mục đích giúp học sinh có hướng giải quyết một dạng bài toán khó, rèn luyện tư duy và phát huy tính tích cực trong học tập và rèn luyện kỹ năng giải toán.
Hy väng víi néi dung võa ph¶i , bµi viÕt nµy phÇn nµo gióp c¸c em häc sinh c¶m thÊy tù tin h¬n tr­íc bài bài toán chứng minh bất đẳng thức. Cñng cè kiÕn thøc ®Ó chuÈn bÞ thi vµo Tốt nghiệp THPT Quốc gia.
MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU
Với mục đích giúp học sinh nắm vững phương pháp hàm số để giải bài toán chứng minh bất đẳng thức. Đặc biệt có thể giúp học sinh lớp 12 chuẩn bị ôn thi tốt nghiệp THPT Quốc gia được tốt hơn. 
Do đây là phần nội dung kiến thức khó nên nhiều học sinh còn chưa quen với tính tư duy logic của nó, nên tôi nghiên cứu nội dung này nhằm tìm ra những phương pháp truyền đạt phù hợp với học sinh, bên cạnh cũng nhằm tháo gỡ những vướng mắc, khó khăn mà học sinh thường hay gặp phải với mong muốn nâng dần chất lượng giảng dạy môn Toán THPT.
ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU
Đối tượng nghiên cứu trong đề tài là học sinh khối 12 qua các năm giảng dạy từ trước đến nay, các học sinh đang chuẩn bị thi THPT Quốc Gia PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
	Phương pháp nghiên cứu là trên cơ sở lý thuyết hàm, phân tích sự biến thiên giữa các đại lượng thay đổi, thiết lập mối quan hệ giữa các đại lượng biến thiên đề đưa ra các bài khảo sát hàm số.
 Thông qua việc tạm quy ước lại vai trò các đại lượng biến thiên, ta có thể chứng minh một bất đẳng thức đại số nhiều biến nhờ khảo sát hàm số một biến. Phương pháp này về nguyên tắc luôn có hiệu quả, còn trong thực tế áp dụng được cho nhiều dạng bài toán chứng minh bất đẳng thức, hơn nữa có khả năng mang lại những lời giải hay, độc đáo cho dạng bài tập này.
2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1 CƠ SỞ LÝ LUẬN CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
 Một bất đẳng thức đúng cho mọi giá trị của nhiều đại lượng biến thiên (có thể thỏa mãn một số ràng buộc nào đó). Vậy với giá trị xác định của một nhóm đại lượng và giá trị biến thiên của chỉ một nhóm đại lượng còn lại bất đẳng thức vẫn phải đúng. Do đó nếu ta coi nhóm đại lượng còn lại đó là biến thì hàm số với biến đó phải đạt được giá trị max hoặc min. Như vậy ta đưa bài toán chứng minh bất đẳng thức về bài toán khảo sát hàm số, tìm giá trị max, min. Từ bài toán “ Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên khoảng (a; b) hoặc trên đoạn [a; b]” trong chương trình lớp 12, ta có thể chuyển bài toán chứng minh bất đẳng thức hoặc tìm giả trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức thành bài toán Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số
Ta xét hai bài toán cơ bản sau:
Bài toán 1: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trên khoảng (a; b).
Phương pháp giải:
*Tìm tập xác định của hàm số ( Chỉ xét trên (a;b))
* Tính dạo hàm và tìm điểm tới hạn của hàm số trên thuộc khoảng (a; b)
* Lập bảng biến thiên
* Dựa vào bảng biến thiên kết luận về giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất
Bài toán 2: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [a; b].
Phương pháp giải:
* Tìm tập xác định của hàm số ( Chỉ xét trên [a;b])
* Tính dạo hàm và tìm điểm tới hạn xi của hàm số trên thuộc khoảng (a; b)
* Tính 
 Trên cơ sở hai bài toán trên chứng minh bất đẳng thức hoặc tìm giả trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức bằng phương pháp hàm số theo các bước sau:
* Biến đổi các số hạng của bất đẳng thức về cùng một đại lượng giống nhau 
 * Đặt biến mới t bằng đại lượng đã biến đổi được ở trên
 * Tìm điều kiện cho biến t. Giả sử t thuộc D
 * Xét hàm số P=f (t) trên D
 * Giải bài toán: Tìm giá trị lớn nhất( nhỏ nhất) của hàm số f(t) trên D
Chú ý :
 Trường hợp không xây dựng trực tiếp được hàm số f(t) thì ta tìm hàm số f(t) thỏa mãn ( Đối với bài toán tìm giá trị nhỏ nhất) hoặc ( Đối với bài toán tìm giá trị lớn nhất) 
 Nếu P là biểu thức gồm nhiều đại lượng thay đổi thì có thể coi P là một hàm số với biến số là một trong các đại lượng thay đổi đó và tìm giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của hàm số P 
2.2. Chøng minh bÊt ®¼ng thøc b»ng ph­¬ng ph¸p hµm sè
 2.2.1 Chọn một đại lượng làm biến , các đại lượng còn lại làm tham số . Xét hàm số theo biến được chọn
VÝ dô 1.1: Cho a,b,c . Chøng minh r»ng :
Lời giải:
 Coi a là biến x. XÐt hµm số: trªn [0;1]. Ta có : ( Víi D lµ h»ng sè )
Râ rµng f’(x) lµ mét hµm ®ång biÕn trªn kho¶ng ®· xÐt ( v× f’’(x) > 0 )
* NÕu f’(x) th× 
 = 1
* NÕu f’(x) th×
* NÕu f’(x) nhËn hai dÊu trªn ®o¹n [0;1] th× b¶ng biÕn thiªn cña f(x) ph¶i cã d¹ng:
x
1
0
+
- 
0
f’(x)
f(0)
f(1)
f(x)
f()
 Khi ®ã : 
VËy bµi to¸n ®­îc chøng minh.
VÝ dô 1.2: Cho a,b . Chøng minh r»ng : 
Lời giải:
 Coi a là biến x. XÐt hµm f(x) = trªn [0;1]
 f’(x) = 
Râ rµng f’(x) lµ mét hµm ®ång biÕn trªn kho¶ng ®· xÐt ( v× f’’(x) > 0 )
* NÕu f’(x) th× 
 * NÕu f’(x) th× = 1
 * NÕu f’(x) nhËn hai dÊu trªn ®o¹n [0;1] th× b¶ng biÕn thiªn cña f(x) ph¶i cã d¹ng:
0
x
1
+
- 
0
f’(x)
f(x)
f(1)
f(0)
f()
Khi ®ã : 
VËy bµi to¸n ®­îc chøng minh.
Nhận xét: Có thể mở rộng bài toán như sau:
Cho . Chøng minh r»ng: 
 , ë ®©y s = 
VÝ dô 1.3: 1. Cho a, b 1. Chứng minh rằng : 
 2. Cho a, b, c 1. Chứng minh rằng : 
Lời giải:
 1. Không mất tính tổng quát giả sử 1 b a .
Coi b là biến x, xét hàm f(x) = trên [1; a].
Đạo hàm f’(x) = chứng tỏ f’(x) nghịch biến (đpcm)
 2. Không mất tính tổng quát giả sử 1 a c b .
Coi c là biến x, xét hàm f(x) = trên [a; b]
Đạo hàm f’(x) = từ đó ta có bảng biến thiên :
- 
0
+
b
x
a
f’(x)
f(x)
f(a)
f(b)
f()
minf(x) = f() = (theo câu 1)
Nhận xét: Có thể mở rộng bài toán như sau: 
Chứng minh rằng với a1 , a2 , an 1 thì 
2.2.2. Chọn lần lượt các đại lượng làm biến , đại lượng còn lại làm tham số. Xét lần lượt hàm số theo biến được chọn.
Ví dụ 2.1: Cho , chứng minh rằng 
Lời giải: 
Không mất tính tổng quát giả sử 
Coi c là biến x. Xét hàm số trên 
Đạo hàm 
Từ đó f’(x) đồng biến. Ngoài ra trên suy ra f đồng biến trên .
 .Lại coi b như biến t , xét hàm .Ta có 
 trên suy ra điều phải chứng minh.
Ví dụ 2.2: Cho , chứng minh rằng 
Lời giải:
 Không mất tính tổng quát giả sử 
Coi c là biến x , xét hàm số trên 
suy ra f đồng biến trên .
Lại coi b như biến t , xét hàm trên .Ta có g đồng biến 
 suy ra điều phải chứng minh.
Nhận xét: Có thể mở rộng bài toán như sau:
Cho , chứng minh rằng 
Ví dụ 2.3 Cho , chứng minh rằng 
Lời giải: Không mất tính tổng quát giả sử . Coi d là biến x.
 Xét hàm số trên 
Từ đó f’(x) đồng biến .Lại coi c như biến t , xét hàm trên .Ta có 
Suy ra g đồng biến trên 
 Lại coi b là biến u , xét hàm số trên 
Đạo hàm suy ra h đồng biến trên 
 (đpcm)
Ví dụ 2.4 Cho chứng minh rằng 
Lời giải:
 Không mất tính tổng quát giả sử 
Coi c là biến x , xét hàm số trên 
Đạo hàm f đồng biến trên 
* Coi b là biến t xét hàm số trên 
Đạo hàm đồng biến đpcm
Ví dụ 2.5: Cho chứng minh rằng : 
Lời giải:
 Không mất tính tổng quát giả sử 
Coi c là biến x , xét hàm số trên 
Đạo hàm 
Phương trình f’ = 0 có 
* Nếu 
* Nếu , f’ có hai nghiệm 
Dễ thấy .Bảng biến thiên của f có dạng :
 x - b + 
 f’(x) + 0 - f() + + + 
 f(x) f() + 
-
 f( ) f(b) 
Vậy ta luôn có suy ra (đpcm
2.2.2. Chọn nhóm các đại lượng làm biến (kỹ thuật dồn biến), biểu thị nhóm biến khác theo biến. Xét lần lượt hàm số theo biến được chọn.
Ví dụ 3.1: Cho . Chứng minh 
Lời giải:
Đặt từ giả thiết ta có hay . 
Áp dụng BĐT hay suy ra . 
Ta có 
Hàm số liên tục và đồng biến trên 
Do đó Max P=4 đạt dược khi hay và suy ra 
Ta có min P=0 khi hay 
Ví dụ 3.2: Cho thỏa mãn . Chứng minh 
Lời giải:
Đặt từ giả thiết ta có và .
Áp dụng BĐT hay 
Khi đó 
Xét hàm số 
Bảng biến thiên: 
T
0	 1
F’(t) 
 	 0 
F(t) 
Từ BBT ta có đạt được khi 
Vậy . Đẳng thức xảy ra 
Ví dụ 3.3: 
Cho thỏa mãn . Chứng minh 
Lời giải:
Đặt ta có nên 
Áp dụng BĐT suy ra . 
Ta có 
Xét hàm số trên 
Bảng biến thiên: 
t
F’(t) 
 0 0 
f(t) 
 2 2
Từ Bảng biến thiên ta có đạt được khi (x;y)=(1;0) hoặc (0;1)
Vậy . Đẳng thức xảy ra và hoán vị
Nhận xét: 
 Kỹ thuật dồn biến là một bài toán khó. Sử dụng phương pháp này ta có thể giải bài toán trong đề thi Đại học và Cao đẳng và đề thi Tốt nghiệp THPT Quốc Gia. Các bài toán này thường được cho dưới dạng tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức.
Ví dụ 3.4: (Khối B–2007) 
Cho các số thực không âm thỏa mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
Lời giải:
Đặt 
Xét hàm số 
Đạo hàm 
Bảng biến thiên: 
T
0	 
f’(t) 
 	 0 
f(t) 
 	 2 
Dựa vào bảng biến thiên, ta được 
Đẳng thức xảy ra khi hay hoán vị của bộ 
Ví dụ 3.6: (Khối B–2012) Cho các số thực x,y,z thỏa mãn và . Tìm GTLN của biểu thức 
Lời giải:
Nếu thì 
Thật vậy: Vì nên dễ có được 
Mà nên ta chỉ cần tìm GTLN của:
Đặt với x thuộc 
Bảng biến thiên: 
X
1 1
f’(x) 
 0 0 
f(x) 
Từ bảng biến thiên ta có 
Vậy khi x,y,z là bộ hoán vị của 
Ví dụ 3.6: (Thi THPT Quốc Gia năm 2015) Cho các số thực a,b,c tthuộc đoạn và thỏa mãn điều kiện . 
Tìm GTLN của biểu thức 
Lời giải:
Đặt . 
Ta có 
Mặt khác 
Và 
Khi đó: 
Đặt với t thuộc . Ta có 
f(t) nghịch biến trên đoạn 
Vậy P đạt 
Nhận xét: 
Dạng bài toán tìm GTNN- GTLN của biểu thức bằng cách đặt ẩn phụ kết hợp các BĐT cơ bản hoặc thế hai biến qua một biến còn lại cũng như việc sử dụng kỹ thuật dồn biến, từ đó chuyến được về bài toán tìm GTLN, GTNN hàm số được sử dụng nhiều trong các đề thi tuyển sinh vào Đại học và Cao đẳng. Đây là một bài toán khó. Tuy nhiên nếu học sinh vận dụng tốt các kỹ năng biến đổi để xuất hiện biến mới thì bài toán được giải quyết dễ dàng hơn. Các bạn có thể giải các bài toán sau đây để rèn luyện thêm kỹ năng giải các bài toán dạng này:
Bài 1. Cho x,y,z là ba số thực dương có tổng bằng 3.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
Hướng dẫn 
Xét hàm số , với 0<x<3.
Bài 2. (Khối A – 2009) 
Cho x,y,z là các số thực dương thỏa mãn .
 Chứng minh rằng 
Bài 3. (Khối B-2009) 
Cho các số thực x, y thay đổi và thoả mãn Tìm GTNN của biểu thức 
Bài 4. (Khối B-2006) 
Cho x, y là các số thực dương không đổi. Tìm GTNN của biểu thức: 
HD. Áp dụng: , (dấu bằng xảy ra khi ad-bc = 0), 
Bài 5. (Khảo sát chất lượng lớp 12THPT Sở GDĐT Thanh Hóa năm 2015)
Cho x, y , z là các số thực thỏa mãn và Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Bài 6. (Khảo sát chất lượng lớp 12THPT Sở GDĐT Thanh Hóa năm 2016)
Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của tam giác. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
3 . KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ 
3.1 Kết quả thực nghiệm
3.1.1 Kết quả kiểm tra
Lớp
Sĩ số
Điểm TB 
(5 đến 6,4)
Điểm khá 
(6,5 đến 7,9)
Điểm giỏi 
(từ 8 trở lên)
Đạt yêu cầu
SL
%
SL
%
SL
%
SL
%
12C1
45
20
44,44
12
26,67
8
17,78
40
88,89
12C12
45
18
40,0
15
33,33
6
13,33
39
86,67
3.1.2 Kết quả chung:
Sau khi triển khai sáng kiến với hai lớp 12C1 và 12C12. Tôi thấy nếu làm tốt sáng kiến này chất lượng học tập của HS tăng nên rõ rệt. Góp phần không nhỏ vào luyện trí thông minh, khả năng tư duy sáng tạo của học sinh. Bởi khi giải những dạng bài tập này học sinh phải vận dụng hợp lí. Xem xét bài toán dưới dạng đặc thù riêng.
3.2 Bài học kinh nghiệm
Qua quá trình áp dụng sáng kiến này tôi thấy để có thể đạt được kết quả cao giáo viên cần lưu ý một số vấn đề sau:
1. Dành thời gian để nghiên cứu tài liệu SGK, SGV và tài liệu tham khảo.
2. Lượng bài tập phải phù hợp với đối tượng học sinh
3. Giáo viên nên khai thác vấn đề ở nhiều khía cạnh khác nhau để củng cố và rèn luyện khả năng tư duy học sinh.
3.3 Kết luận 
Sau một thời gian nghiên cứu và được sự giúp đỡ đóng góp ý kiến của đồng nghiệp đề tài hoàn thành với một số ưu nhược điểm sau:
3.3.1 Ưu điểm
 -Cách đặt vấn đề là sáng tạo :từ chỗ chứng minh bất đẳng thức chuyển sang tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất, từ bài toán bất đẳng thức chuyển sang bài toán hàm số.
- Việc coi c như là biến để khảo sát hoàn toàn có thể chấp nhận được do vai trò của a , b, c như nhau , từ chỗ 3 đại lượng biến đổi chỉ còn 1 , hay nói cách khác là ta coi 2 đại lượng kia như là các tham số. 
- Sáng kiến đã đạt được những yêu cầu đặt ra ở phần đặt vấn đề.
- Tìm hiểu và đưa ra hệ thống bài tập tương đối đầy đủ có lời giải chi tiết.
- Phần lớn bài tập đưa ra phù hợp với trình độ nhận thức của học sinh khá - giỏi THPT. Bên cạnh đó đề tài đưa ra bài tập khó dành cho học sinh giỏi.
- Giúp học sinh có những bài tập tương tự để phát triển tư duy.
3.3.2 Nhược điểm:
- Hệ thống bài tập chưa phong phú.
- Có những lời giải đưa ra vẫn còn dài chưa thật ngắn gọn.
3.3.3 Hướng phát triển
- Do thời gian thực hiện đề tài có hạn nên tôi chỉ giới hạn trong hệ thống bài tập - Xây dựng hệ thống bài tập phong phú và đa dạng hơn.
- Đưa ra các lời giải ngắn gọn hơn.
3.4 Kiến nghị
 Để việc bồi dưỡng nhân lực, đào tạo nhân tài đạt kết quả tốt, tôi cũng mong các cấp các ngành cung cấp tài liệu nâng cao cho giáo viên và tổ chức các đợt bồi dưỡng giáo viên với qui mô lớn để chúng tôi có thể trao đổi học hỏi kinh nghiệm của bạn bè đồng nghiệp, nâng cao trình độ nghiệp vụ sư phạm cho bản thân.
 Trong quá trình viết sáng kiến này tôi đã sử dụng một số tư liệu của đồng nghiệp và có thể không tránh phải những sai xót, mong sự góp ý của tất cả các bạn để sáng kiến được hoàn thiện hơn. 
Tôi xin chân thành cảm ơn !
XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ
Thanh hóa, ngày 25 tháng 3 năm 2016
Tôi xin cam đoan SKKN này là của tôi, không có sự sao chép của người khác. Người viết:
Nguyễn Văn Hải
TÀI LIỆU THAM KHẢO :
1.Polya . Sáng tạo toán học . NXB Giáo dục, Hà Nội, 1976
2.Bùi Văn Nghị .Sáng tạo (creativity)-Bài giảng chuyên đề .
3.Nguyễn Vũ Thanh . Bất đẳng thức . NXB tổng hợp Đồng Tháp, 1993
4.Phan Huy Khải . 500 Bài toán về bất đẳng thức . NXB Giáo dục, Hà Nội, 1993
5.Tạp chí Toán học tuổi trẻ .
6.Bộ đề thi tuyển sinh vào các trường Đại học, Cao đẳng . NXB Giáo dục, Hà Nội, 1993