Sáng kiến kinh nghiệm Cách sử dụng quy tắc cộng, quy tắc hình bình hành để giải một số bài toán trong chương I-Vectơ (CTC) nhằm giúp học sinh dễ hiểu, dễ nhớ và dễ vận dụng

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO LÀO CAI
TRƯỜNG THPT SỐ 3 HUYỆN VĂN BÀN
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
Đề tài:
CÁCH SỬ DỤNG QUY TẮC CỘNG, QUY TẮC HÌNH BÌNH HÀNH 
ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN TRONG CHƯƠNG I-VECTƠ (CTC) 
NHẰM GIÚP HỌC SINH DỄ HIỂU, DỄ NHỚ VÀ DỄ VẬN DỤNG.
Họ tên tác giả : Phùng Viết Nguyên
Chức vụ: Phó Hiệu trưởng
 Đơn vị công tác: Trường THPT số 3 huyện Văn Bàn
Văn Bàn, tháng 5 năm 2014
MỤC LỤC
	Trang
* Đặt vấn đề......................................................................................................4
* Giải quyết vấn đề...........................................................................................6
1. Cơ sở lý luận...................................................................................................6
2. Thực trạng vấn đề...........................................................................................7
3. Biện pháp tiến hành giải quyết.......................................................................8
4. Hiệu quả sáng kiến........................................................................................16
* Kết luận........................................................................................................	17
* Danh mục tài liệu tham khảo.....................................................................	18
* Phụ lục...........................................................................................................	19
ĐẶT VẤN ĐỀ
1. Lí do chọn đề tài:
Toán học là một môn học đòi hỏi người học phải suy luận và sử dụng nhiều đến trí óc. Hình học là một lĩnh vực nghiên cứu của Toán học, nó được coi là nội dung khó để đạt được kết quả cao trong hoạt động dạy và học vì tính đặc thù trừu tượng. Không chỉ học sinh cảm thấy lúng túng khi học môn Hình học mà kể cả giáo viên gặp không ít khó khăn tìm giải pháp hướng dẫn học sinh tìm hiểu và lĩnh hội kiến thức này.
Vectơ là một trong những khái niệm nền tảng của nhiều ngành toán học hiện đại, là một chủ đề học tập, nghiên cứu tương đối rộng cho nhiều ngành như đại số tuyến tính, hình học giải tích, hình học vi phân, ... Hiện nay, khái niệm vectơ được đưa vào từ đầu năm lớp 10 của chương trình toán học phổ thông nhằm cung cấp cho học sinh một công cụ mới để nghiên cứu hình học. Do tính mới của kiến thức, học sinh tiếp cận lần đầu nên ngay từ đầu học sinh cần phải nắm vững được các khái niệm về vectơ đồng thời hình thành cách thức suy luận để giải quyết các bài toán liên quan.
Trong những năm trước, tôi được nhà trường phân công giảng dạy lớp 10 đây là cơ hội để tôi nắm bắt đặc điểm nhận thức của học sinh đầu cấp, dạy học thực nghiệm một số giải pháp mà bản thân nghiên cứu đã giúp tôi có cách nhìn nhận, điều chỉnh tốt hơn về phương pháp dạy học.
Hiện nay, tôi công tác tại trường THPT số 3 huyện Văn Bàn. Trong những lần sinh hoạt chuyên môn trong và ngoài trường, được chia sẻ kinh nghiệm, trao đổi phương pháp dạy học bài tập Chương I-Vectơ, tôi nhận thấy chúng tôi cùng có các khó khăn chung khi dạy học phần này. Lý thuyết học sinh có thể hiểu được tương đối tốt nhưng khi yêu cầu vận dụng để giải bài tập thì học sinh báo cáo là rất khó khăn, vướng mắc để liên hệ lý thuyết gắn với bài tập nhất là kĩ năng phân tích một vectơ theo hai vectơ không cùng phương. Bởi vậy, tôi đã bắt tay vào việc tìm tòi giải pháp hay để hướng dẫn học sinh dễ hiểu, dễ nhớ, dễ vận dụng khi học tập nội dung này. Trong quá trình nghiên cứu qua giải các bài tập, tôi nhận thấy quy tắc cộng, quy tắc hình bình hành được sử dụng để giải quyết rất nhiều bài toán, nếu sử dụng đúng cách các quy tắc này vào bài toán phân tích vectơ thì có thể đáp ứng giải quyết được những khó khăn của chúng tôi đã đặt ra. Tôi chọn đề tài sáng kiến “Cách sử dụng quy tắc cộng, quy tắc hình bình hành để giải một số bài toán trong Chương I-Vectơ (CTC) nhằm giúp học sinh dễ hiểu, dễ nhớ và dễ vận dụng” để nghiên cứu được kĩ càng hơn vấn đề này, đồng thời cũng là định hướng để tôi tiếp tục nghiên cứu mở rộng hơn với các bài toán có vấn đề liên quan.
Đề tài của tôi đề cập chủ yếu đến vấn đề giải quyết các bài toán phân tích một vectơ theo hai vectơ không cùng phương hay có thể là những bài toán tương đương quy được về bài toán này bằng cách sử dụng quy tắc cộng, quy tắc hình bình hành thông thường nhưng qua việc nghiên cứu, tham khảo của tôi và đồng nghiệp chưa có tài liệu nào ghi chép cách làm giống với cách làm như đề tài tôi nghiên cứu.
2. Mục đích nghiên cứu:
Nghiên cứu cách sử dụng quy tắc cộng, quy tắc hình bình hành nhằm định hướng cho học sinh con đường giải quyết một số bài toán về phân tích vectơ trong chương I-Vectơ (CTC Hình học lớp 10) trở nên đơn giản hơn, dễ hiểu hơn và dễ dàng trong vận dụng giải quyết các bài toán liên quan.
3. Đối tượng nghiên cứu:
Để đánh giá hiệu quả sáng kiến tôi tiến hành trên hai nhóm đối tượng tương đương về học lực 10A1, 10A2 của trường THPT số 3 huyện Văn Bàn. Lớp thực nghiệm 10A1 được áp dụng giải pháp thay thế “Cách sử dụng quy tắc cộng, quy tắc hình bình hành nhằm giải quyết một số bài toán về phân tích vectơ trong chương I-Vectơ (CTC Hình học lớp 10), lớp đối chứng 10A2 thực hiện theo cách hướng dẫn thông thường.
GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
1. Cơ sở lý luận của vấn đề:
	* Một số định nghĩa về vectơ: 
Tổng của hai vectơ: Cho 2 vectơ và . Lấy điểm A tùy ý, xác định các điểm B và C sao cho , . Khi đó vecto  được gọi là tổng của hai vectơ và . Ký hiệu . Phép lấy tổng của hai vectơ được gọi là phép cộng vectơ. Từ đây, ta có các quy tắc:
Qui tắc cộng
Qui tắc hình bình hành
Với ba điểm A, B, C tuỳ ý, ta có: .
Với ABCD là hình bình hành, ta có: .
Dễ thấy , quy tắc này được xây dựng dựa trên quy tắc cộng
Tích của một vectơ với một số: Cho vectơ và số .  Khi đó k. là một vectơ được xác định cùng hướng với (nếu ), ngược hướng với (nếu k<0) và có độ dài 
Điều kiện để hai vectơ () và cùng phương :  
Phân tích một vectơ theo hai vectơ không cùng phương: Cho hai vectơ không cùng phương , và  tuỳ ý. Khi đó duy nhất.
Lấy O tùy ý, ta lần lượt dựng , , , dựng hình bình hành OB’CA’ như hình bên. Khi đó nhận thấy: 
== hay 
Nhận xét: Mọi vectơ bất kì có thể phân tích qua hai vectơ không cùng phương , .
* Qua việc nghiên cứu lý thuyết và các bài tập của chương, có thể thấy rằng việc áp dụng quy tắc cộng, quy tắc hình bình hành được sử dụng rất nhiều trong các bài toán như: chứng minh đẳng thức vectơ, phân tích vectơ, thực hiện phép tính.., việc áp dụng các quy tắc này có thể thuận lợi trong một số trường hợp. Tuy nhiên, có những trường hợp việc áp dụng các quy tắc này trở nên khó khăn, nhất là đối với học sinh học lực trung bình hoặc thấp hơn do hướng tiếp cận để giải quyết bài toán chưa phù hợp (cách hướng dẫn của giáo viên chưa xây dựng, định hướng được con đường giải quyết bài toán)
Sau đây là một vài ví dụ: 
Bài 2 (SGK-17): Cho AK và BM là hai trung tuyến của tam giác ABC. Hãy phân tích các vectơ , , theo hai vectơ , .
Bài 3 (SGK-17). Trên đường thẳng chứa cạnh BC của tam giác ABC, lấy một điểm M sao cho = 3. Hãy biểu diễn vectơ theo hai vectơ , .
Với hai bài toán trên, học sinh gặp khó khăn trong hướng đi phân tích từ một vectơ thành hai vectơ theo yêu cầu bài toán, các vectơ này không có tính tương tự như vectơ trong quy tắc cộng và quy tắc hình bình hành để học sinh có thể dựa vào đó vận dụng ngay được. Vậy vấn đề đặt ra là bài toán này sẽ được tiếp cận giải quyết bằng các quy tắc trên như thế nào để bài toán đơn giản hơn? để học sinh có thể hình thành xây dựng con đường giải quyết được bài toán này?
2. Thực trạng của vấn đề:
Tại trường THPT số 3 huyện Văn Bàn, qua việc thăm lớp, dự giờ khảo sát trước tác động, tôi thấy giáo viên dạy học môn Toán nói chung phân môn Hình học nói riêng gặp không ít khó khăn trong quá trình lên lớp. Về đối tượng học sinh của vùng tôi công tác, khả năng tư duy, tiếp thu kiến thức về hình học còn hạn chế ngay từ việc giáo viên hướng dẫn học sinh cách tiếp cận, lĩnh hội kiến thức để giải quyết bài toán thì việc học sinh phải tự giải được các bài tập sau khi học tại lớp là điều không đơn giản. Với thực tế trao đổi chia sẻ kinh nghiệm dạy học chương I-Vectơ cùng với các đồng nghiệp, tôi nhận thấy chúng tôi gặp phải khó khăn khi dạy học sinh cách giải quyết các bài toán trong chương này mà đề tài đã đề cập đến. 
Năm học 2013-2014, tôi được phân công trực tiếp giảng dạy khối 10. Ngay từ đầu năm học sinh được học tập nội dung “chương I: Vectơ” chủ đề này được xem là nội dung khó đối với học sinh đầu cấp. Trong chương học sinh được học tập bài “Phân tích một vectơ theo hai vectơ không cùng phương” sau khi học tập các phép cộng vectơ, phép trừ hai vectơ, phép nhân vectơ với một số và các tính chất của mỗi phép toán đó. Ngoài ra vectơ còn được áp dụng trong một số bài tập có nội dung vật lý liên quan đến thực tế dạng toán “Phân tích một vectơ lực theo hai vectơ lực không cùng phương”.. Nhìn chung, các bài tập trong chương trình là dạng toán mới và khó đối với các em do các em mới được học về vectơ, thời gian luyện tập, giải bài tập trong sách giáo khoa còn ít, chưa phát huy được tác dụng rèn luyện kỹ năng giải bài tập cho các em, nhiều em lúng túng trong việc tìm cách giải quyết và cách trình bày bài giải.
Thực trạng trên là những điều kiện thuận lợi giúp tôi có thể phân tích kĩ lưỡng các nguyên nhân làm cho học sinh khó khăn khi giải quyết bài toán, tích cực nghiên cứu, tìm tòi các ý tưởng, giải pháp để khắc phục các hạn chế trên. Năm học 2013-2014, trong quá trình thực nghiệm tôi đã tìm được giải pháp phù hợp để khắc phục khó khăn của mình, của nhóm chuyên môn, của học sinh và tôi bắt tay vào việc viết đề tài nghiên cứu. Đề tài sáng kiến “Cách sử dụng quy tắc cộng, quy tắc hình bình hành để giải một số bài toán trong Chương I-Vectơ (CTC) nhằm giúp học sinh dễ hiểu, dễ nhớ và dễ vận dụng” là ý tưởng tuy còn nhỏ bé nhưng tôi hy vọng có thể chia sẻ những khó khăn và cách làm của mình với đồng nghiệp.
3. Các biện pháp đã tiến hành để giải quyết vấn đề:
3.1. Thiết kế nghiên cứu.
Chọn hai lớp 10A1, 10A2 mỗi lớp 20 học sinh có học lực từ trung bình yếu trở lên: Lớp 10A1 làm nhóm thực nghiệm, lớp 10A2 làm nhóm đối chứng. Dùng bài kiểm tra khảo sát đầu năm làm bài kiểm tra trước tác động để chọn mẫu. Kết quả kiểm tra cho thấy điểm trung bình của hai nhóm có sự tương đương.
	Kiểm tra sau tác động: Bài kiểm tra khảo sát cuối chương I- Vectơ.
3.2. Quy trình nghiên cứu
3.2.1. Chuẩn bị của giáo viên.
	Lớp thực nghiệm: vận dụng đề tài “Cách sử dụng quy tắc cộng, quy tắc hình bình hành để giải một số bài toán trong Chương I-Vectơ (CTC) nhằm giúp học sinh dễ hiểu, dễ nhớ và dễ vận dụng”.
	Lớp đối chứng: Sử dụng cách dạy thông thường vào các tiết dạy.
3.2.2. Tiến trình dạy thực nghiệm.
	Thời gian tiến hành thực nghiệm tuân theo kế hoạch và thời khóa biểu để đảm bảo tính khách quan. Cụ thể:
Tiết
Nội dung thực hiện
Lớp
7
Lý thuyết tích của vectơ với một số: Đặt vấn đề phân tích một vectơ theo hai vectơ không cùng phương, những khẳng định cơ bản nhất
10A1
8
Luyện tập: Sử dụng các ví dụ áp dụng để minh họa cho các khẳng định trên, xác định con đường giải quyết bài toán
10A1
8
Bám sát: Học sinh đã thực hiện các nội dung theo cách hướng dẫn ở nhà và trình bày tại lớp
10A1
13
Ôn tập: Khảo sát lại kết quả thực nghiệm
10A1
3.2.3. Những bài tập sưu tầm và chỉnh sửa.
Sưu tầm các bài toán vectơ phù hợp để xây dựng con đường giải quyết bài toán.
3.3. Kế hoạch lên lớp:
Tiết 7: TÍCH CỦA VECTƠ VỚI MỘT SỐ
Trước tiên cần khẳng định được một số nội dung dưới đây để học sinh hiểu rõ hơn và công nhận kết quả từ những khẳng định này.
Bài toán phân tích một vectơ theo hai vectơ không cùng phương: Cho hai vectơ không cùng phương , và  tuỳ ý. Khi đó duy nhất.
Nhận xét:
- Luôn có sự phân tích một vectơ theo hai vectơ không cùng phương.
- Nếu cùng phương với thì k=0; cùng phương với thì h=0. Bài toán này học sinh có thể làm được rất dễ dàng khi được giáo viên định hướng bằng cách cho học sinh nhận xét mối quan hệ các vectơ với mỗi vectơ 
- Nếu không cùng phương với thì giá của các vectơ đôi một cắt nhau hoặc đồng quy.
+ Trường hợp 1: đôi một cắt nhau, tạo thành tam giác, chẳng hạn là ABC:
Khi đó từ được thay tương ứng thành =+ (theo tính chất hai vectơ cùng phương). Vậy ta có hướng giải quyết bài toán đi từ quy tắc cộng =+ rồi lần lượt thay thế để có thì bài toán trở nên đơn giản hơn.
+ Trường hợp 2: đồng quy, thì dựng được hình bình hành, chẳng hạn là ABC:
Khi đó từ được thay tương ứng thành =+ (theo tính chất hai vectơ cùng phương). Vậy ta có hướng giải quyết bài toán đi từ quy tắc hình bình hành =+ rồi lần lượt thay thế để có thì bài toán trở nên đơn giản hơn.
Như vậy, có thể đưa ra khẳng định chung là: Bài toán phân tích một vectơ theo hai vectơ không cùng phương được áp dụng giải quyết bằng quy tắc cộng và quy tắc hình bình hành. Đây là khẳng định mang tính định hướng cho học sinh khi giải quyết loại bài toán này hoặc bài toán tương tự cần tập trung vào cách vận dụng quy tắc cộng, quy tắc hình bình hành sao cho phù hợp nhất. 
Tiết 8: LUYỆN TẬP
Vấn đề được đặt ra tiếp theo là “vận dụng quy tắc cộng, quy tắc hình bình hành sao cho phù hợp nhất”. Để học sinh có cái nhìn rõ hơn tôi đưa ra bài toán sau:
Bài toán 1: Cho tam giác ABC, gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và BC. Hãy phân tích vectơ theo hai vectơ ,
* Phân tích: Học sinh bắt đầu gặp khó khăn trong lời giải tìm sự phân tích vectơ theo hai vectơ ,. Chủ yếu hướng suy nghĩ của các em tập trung vào 3 vectơ trên với công cụ là các quy tắc đã được học mà rất ít em nghĩ đến các đối tượng xung quanh 3 vectơ này. Cho nên thường là các em bắt đầu bằng để phân tích
* Giải pháp thay thế: Theo trường hợp 1 đã khẳng định, bài toán này phải đi từ quy tắc cộng rồi lần lượt thay thế các vectơ trong hệ thức bằng các vectơ theo yêu cầu bài toán (nghĩa là tìm được tam giác thỏa mãn). Bây giờ học sinh đi vào tìm kiếm tam giác bắt đầu cho việc viết ra quy tắc cộng mà các vectơ trong hệ thức có thể thay thế bằng các vectơ theo yêu cầu bài toán. Giáo viên sử dụng phấn màu khác để vẽ đậm các vecơ theo yêu cầu bài toán dụ ý cho học sinh thấy giá của ba vectơ này nằm trùng với đường thẳng nối các cạnh của tam giác nào đó. Đến đây học sinh tìm ra được tam giác MBN để viết quy tắc cộng:
Tiếp theo, thay thế các vectơ: , 
Từ (Bài toán đã được đơn giản hóa, giải quyết ngắn gọn và dễ hiểu)
Bài toán 1: Cho tam giác ABC, gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của AB BC và AC. Hãy phân tích vectơ theo hai vectơ ,
* Phân tích: Học sinh bắt đầu gặp khó khăn trong lời giải tìm sự phân tích vectơ theo hai vectơ ,. Sau khi nghiên cứu bài toán 1 trên, hướng suy nghĩ của các em đã được mở rộng hơn nhưng lại tập trung nhiều hơn vào cách vận dụng quy tắc cộng trong trường hợp này, các em bắt tay vào tìm kiếm tam giác bắt đầu cho quy tắc cộng mà công việc này là rất khó.
* Giải pháp thay thế: Theo trường hợp 2 đã khẳng định, bài toán này phải đi từ quy tắc hình bình hành rồi lần lượt thay thế các vectơ trong hệ thức bằng các vectơ theo yêu cầu bài toán (nghĩa là tìm được hình bình hành thỏa mãn). Bây giờ học sinh đi vào tìm kiếm hình bình hành bắt đầu cho việc viết ra quy tắc hình bình hành mà các vectơ trong hệ thức có thể thay thế bằng các vectơ theo yêu cầu bài toán. Giáo viên tiếp tục sử dụng phấn màu khác để vẽ đậm các vecơ theo yêu cầu bài toán dụ ý cho học sinh thấy giá của ba vectơ này đồng quy tại một điểm là đỉnh thứ nhất của hình bình hành. Đến đây học sinh tìm ra được hình bình hành BNPM để viết quy tắc hình bình hành với đỉnh B chung:
Tiếp theo, thay thế các vectơ: , , 
Từ (Bài toán đã được đơn giản hóa, giải quyết ngắn gọn và dễ hiểu)
Nhận xét: Qua gợi ý, phân tích, định hướng học sinh đã hình thành được lối suy nghĩ để giải quyết bài toán đó là việc khéo léo vận dụng quy tắc cộng và quy tắc hình bình hành vào bài toán. Để khẳng định mang tính hệ thống hơn, tôi đã yêu cầu học sinh phát biểu rút ra từ lời giải các bài toán trên thành các bước tiến hành giải quyết rõ ràng, thuật tiện cho các em tự học ở nhà và có thể làm được bài tập.
Bước 1: Dùng mực khác màu kẻ các vectơ trong sự phân tích để nó tạo ra được hình tam giác (nếu 3 đường đôi một cắt nhau), hình bình hành (nếu 3 đường đồng quy, lấy điểm đồng quy là một đỉnh của hình bình hành, 3 đường kia là các cạnh và đường chéo xuất phát tại điểm đó)
Bước 2: Viết quy tắc cộng với tam giác được tạo thành hoặc quy tắc hình bình hành với hình bình hành được xác định.
Bước 3: Thay thế lần lượt các vectơ trong quy tắc đã viết thành các vectơ theo yêu cầu bài toán rồi suy ra sự phân tích của vectơ theo yêu cầu.
Như vậy có thể thấy rằng, cách đặt và giải quyết vấn đề có cơ sở logic, gọn gàng, rõ ràng thành các bước cơ bản có thể giúp cho học sinh dễ hiểu, dễ nhớ, dễ dàng vận dụng kể cả đối tượng học sinh có học lực trung bình yếu mà giáo viên không phải phân tích giảng giải nhiều.
Lưu ý: Vận dụng linh hoạt để không phải dựng hình bình hành trong một số trường hợp đặc biệt, ví dụ:
Ta có: như vậy vectơ được thay thế trực tiếp với vectơ .
Tiết 8 (chủ đề bám sát): BÀI TOÁN PHÂN TÍCH VECTƠ
Bài tập học sinh vận dụng tương tự ở lớp:
Bài toán (VD-SGK 16): Cho tam giác ABC với G là trọng tâm. Gọi I là trung điểm của đoạn AG và K là điểm trên cạnh AB sao cho AK=AB
a) Hãy phân tích theo 
(trong lời giải của SGK, học sinh đọc cũng khó có thể hiểu phần đầu được (tại sao phải làm như thế) cho nên việc xác định con đường giải quyết bài toán là rất khó, thiếu tính chủ động trong tư duy). Sau khi được định hướng tiếp cận về cách giải quyết trên, học sinh có thể làm được bài tập này dễ dàng. Học sinh có lời giải như sau:
+ Phân tích theo 
Giá của 3 vectơ đôi một cắt nhau, ta có tam giác ACD: ; , . Nên 
+ Phân tích theo 
Giá của 3 vectơ đôi một cắt nhau, ta có tam giác ABC: ; . Nên 
+ Phân tích theo 
	Cách 1: (lấy đã có kết quả phân tích trên thay vào)
Cách 2: Giá của 3 vectơ đồng quy, ta có thể dựng hình bình hành CEIF (IF//CB, IE//AC): ; (do ), (do ). Nên 
+ Phân tích theo 
	Cách 1: (lấy đã có kết quả phân tích trên thay vào)
Cách 2: Giá của 3 vectơ đồng quy, ta có thể dựng hình bình hành CMKN (KN//CB, KM//AC): ; (do ), (do ). Nên 
Bài toán học sinh về nhà tự làm:
Bài 2 (SGK 17) Cho AK và BM là hai trung tuyến của tam giác ABC. Hãy phân tích các vectơ theo hai vectơ .
+ Phân tích theo :
Giá của 3 vectơ đôi một cắt nhau, ta có tam giác AGB: ; , . Nên 
+ Phân tích theo :
Giá của 3 vectơ đôi một cắt nhau, ta có tam giác AGK: ; , , . Nên 
+ Phân tích theo :
Giá của 3 vectơ đôi một cắt nhau, ta có tam giác AGM: ; , , . 
Nên 
Bài 3 (SGK 17) Trên đường thẳng chứa cạnh BC của tam giác ABC lấy một điểm M sao cho . Hãy phân tích vectơ theo hai vectơ và .
Phân tích vectơ theo hai vectơ và :
Giá của 3 vectơ đồng quy, ta có thể dựng hình bình hành APMQ (MQ//AB, MP//AC): ; (do ), (do ). Nên 
	Bài 4 (SGK 17) Gọi AM là trung tuyến tam giác ABC và D là trung điểm của đoạn AM. Chứng minh rằng: 
	Gợi ý: chứng tỏ sự phân tích đúng
	Ta có: 
Bài 7 (SGK 17) Cho tam giác ABC.
Tìm điểm M sao cho 
Gợi ý: từ hệ thức suy ra ba vectơ nằm trên đường thẳng hai cạnh bên và đường chéo của hình bình hành có đỉnh là M.
	Bài 8 (VD1-SBT 25) Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Cho các điểm D, E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CA, AB và I là giao điểm của AD và EF. Phân tích các vectơ theo hai vectơ 
+ Phân tích theo :
Giá của 3 vectơ đồng quy, ta có 
+ Phân tích theo : ta có 
+ Phân tích theo : Dễ thấy cùng phương nên =
+ Phân tích theo : Dễ thấy nên = =
Bài tập học sinh tự rèn luyện:
Bài 1: Cho tam giác ABC, E là trung điểm của cạnh BC. Gọi D, F lần lượt là các điểm thoả , . 
a) Hãy biểu diễn vectơ theo hai vectơ ;
b) Hãy biểu diễn vectơ theo hai vectơ ;
c) Gọi I là trung điểm của AB, J là điểm thỏa . Hãy biểu diễn vectơ theo hai vectơ .
Bài 2: Cho tam giác ABC. Gọi G là trọng tâm tam giác D là điểm đối xứng của B qua G. Hãy phân tích các vectơ , theo hai vectơ và . 
Bài 3: Cho hình vuông ABCD. Điểm E là trung điểm của CD. Hãy phân tích theo hai vectơ và .
Bài 4: Cho tam giác ABC, lấy các điểm M, N, P sao cho: ,