Sáng kiến kinh nghiệm Các phương pháp tính tích phân và những sai lầm thường gặp

 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VĨNH PHÚC
 TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG XUÂN HÒA
 BÁO CÁO KẾT QUẢ 
NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN
 Tên sáng kiến: CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN
 VÀ NHỮNG SAI LẦM THƯỜNG GẶP
 Tác giả sáng kiến: HÀ THỊ THANH
 Mã sáng kiến : 37.52.03
 Vĩnh Phúc, năm 2020 MỤC LỤC
1. Lời giới thiệu....................................................................................................1
2. Tên sáng kiến ...................................................................................................2
3. Tác giả sáng kiến .............................................................................................2
4. Chủ đầu tư tạo ra sáng kiến ...........................................................................2
5. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến ...........................................................................2
6. Ngày sáng kiến được áp dụng lần đầu hoặc áp dụng thử............................2
7. Bản chất của sáng kiến....................................................................................2
Thứ nhất: Về nội dung.........................................................................................2
VẤN ĐỀ I: CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN .....................................2
PHẦN I: KIẾN THỨC CẦN NHỚ.......................................................................2
PHẦN II: CÁC DẠNG BÀI TẬP ĐIỂN HÌNH....................................................4
PHẦN III: KIẾN THỨC MỞ RỘNG..................................................................12
PHẦN IV: CÁC BÀI TOÁN TÍCH PHÂN TRONG ĐỀ THI ĐH 2002-2015 ..16
VẤN ĐỀ II: MỘT SỐ SAI LẦM CỦA HỌC SINH KHI TÍNH TÍCH PHÂN.18
Thứ hai: Về khả năng áp dụng của sáng kiến..................................................30
8. Những thông tin cần được bảo mật (nếu có)...............................................30
9. Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến ........................................30
10. Đánh giá lợi ích thu được hoặc dự kiến có thể thu được do áp dụng sáng 
kiến......................................................................................................................30
11. Danh sách những tổ chức/cá nhân đã tham gia áp dụng thử hoặc áp 
dụng sáng kiến lần đầu (nếu có).......................................................................31 chương trình và nội dung kiến thức cơ bản của hai bộ sách giáo khoa và nội 
dung thường gặp trong các đề thi quốc gia.
2. Tên sáng kiến: 
 CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN VÀ NHỮNG SAI LẦM 
THƯỜNG GẶP
3. Tác giả sáng kiến:
 - Họ và tên: Hà Thị Thanh
 - Địa chỉ tác giả sáng kiến: Giáo viên Toán trường THPT Xuân Hòa
 - Số điện thoại: 0974673955 
 - E_mail: hathithanh.gvxuanhoa@vinhphuc.edu.vn
4. Chủ đầu tư tạo ra sáng kiến:
5. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: (Nêu rõ lĩnh vực có thể áp dụng sáng kiến và 
vấn đề mà sáng kiến giải quyết)
 Do khuôn khổ và thời gian có hạn, với điều kiện thực tế của người thực hiện 
đề tài, tôi chỉ mới dừng lại nghiên cứu và hệ thống các phương pháp tính tích 
phân và những sai lầm mà học sinh dễ mắc trong quá trình làm bài tập.
 - Sáng kiến tập trung nghiên cứu các phương pháp tính tích phân và những 
sai lầm mà học sinh dễ mắc được áp dụng cho hai lớp 12A2 và 12A3 trường 
THPT Xuân Hòa.
6. Ngày sáng kiến được áp dụng lần đầu hoặc áp dụng thử: 
 Học kì 1 năm học 2019 -2020.
7. Bản chất của sáng kiến: 
 Thứ nhất: Về nội dung
 VẤN ĐỀ I: CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN
 PHẦN I: KIẾN THỨC CẦN NHỚ
1) Định nghĩa: Cho hàm số f liên tục trên K, a,b là hai số bất kỳ thuộc K, nếu 
 F là một nguyên hàm của f trên K thì F b  F a được gọi là tích phân 
 b
 của f từ a đến b và kí hiệu là  f  xdx.
 a
 2 PHẦN II: CÁC DẠNG BÀI TẬP ĐIỂN HÌNH
1. Phương pháp 1: Tìm bằng định nghĩa.
 1
Ví dụ 1: Tìm (ex 1)dx .
 0
 Lời giải: Ta có (ex 1)dx  ex  x  C
 1
 1
 Vậy (ex 1)dx  ex  x  e 11 e
    0
 0
 0
Ví dụ 2: Tính  3 x 
   2015x  dx
 1 3 
 Lời giải: Ta có 
 4 2
  3 x   x x 
  2015x  dx   2015    C
  3   4 6 
 0
 0 4 2
  3 x   x x  2015 1 6043
   2015x  dx  2015       
  3 4 6 4 6 12
 1    1
Nhận xét: Nếu sử dụng phương pháp này thì bài toán tính tích phân chính là bài 
toán tìm nguyên hàm chỉ thêm một bước là thế cận để ra kết quả.
2. Phương pháp 2: Sử dụng tính chất của tích phân (đưa tích phân cần tìm về 
 tổng, hiệu của những tích phân đã tính được)
Ví dụ 3: Tính các tích phân sau:
 2 4
 4
 2 4 2
 a) x  3x dx b)  x 1 dx c)  x  2dx
 1 1 1
 Lời giải: 
 2 2
 2 2 2 3 3
 2 4 2 4  x   x  8 1 1 35
 a) x  3x dx  x dx  3x dx     3     1
    3 3 3 3 8 24
 1 1 1   1   1
 3 4
 4
 4 4 4 4 1 4 2 2
 2 x x 4 7
 b) x 1 dx  x  2 x 1 dx  xdx  2 x 2 dx  dx   4  x 
        1
 1 1 1 1 1 2 1 3 6
 1
 4 2 4 2 4
 c)  x  2dx   x  2dx   x  2dx   2  xdx   x  2dx
 1 1 2 1 2
 2 4
  x2   x2  5
   2x      2x 
 2 2 2
   1   2
 4 Đặt u  x2  x 1  u2  x2  x 1 2udu  2x 1dx
 Đổi cận : x  1 u 1; x 1 u  3 
 3 3
 2udu 3
 Ta có I   2du 2u  2 3  2
   1
 1 u 1
 1
 2 2 2 2 2 1
 1 x 1 x 2 2
 c) dx . Trên 1;2 , x  0 nên dx  x dx ( Chứa f x )
  4    4  3  
 1 x 1 x 1 x
 1 1
 Đặt u   du  dx
 x x2
 1
 Đổi cận: x 1 u 1; x  2  u  
 2
 Ta có 
 1/ 2
 1 1  3 
 2 2 1 2 2
 2 1 2 2  1 u 1  1
 I   u u 1du   u 12 d u 1       5 5  2 2
  2  2 3 3 
 1 1  
  2  1
Loại 2: Đặt x=u(t)
 b
 Cần tính  f  xdx
 a
 Với điều kiện f  x liên tục trên [a;b], ut có đạo hàm liên tục trên ; sao 
cho u  a;u  b và a  ut  b;t ;
 B1: Đặt x  ut. Chọn miền D sao cho t  D; xa;b  dx  u'tdt
 B2: Từ phương trình x  ut, 
 đổi cận: x=a a  u t ,t  D  t  ; x=b  b  u t ,t  D  t  
 b 
 B3:  f  xdx   f utu'tdt
 a 
Ví dụ 5: Tính các tích phân sau:
 1 1 1 1 dx 1
 a) 1 x2 dx b) dx c) d) 1 x2 dx
   2  2 
 0 0 1 x 0 4  x 0
Lời giải
 1
a)  1 x2 dx
 0
   
Đặt x  sint,t   ;  dx  costdt ; 
  2 2 
 6 Ghi nhớ: 
 2 2   
1) Có a  x đặt x  acost;t 0; hoặc x  asint;t   ;
  2 2 
 2 2    
2) Có a  x đặt x  a tant;t   ;  hoặc x  acott;t 0;.
  2 2 
 2 2 a       a     
3) Có x  a đặt x  ;t  0;    ; Hoặc x  ;t   ;0  0;
 cost  2   2  sint  2   2 
 
4) Có a  x đặt x  acos2u,0  u 
 a  x 2
 dx 
5) Có 0  a  b đặt x  a  b  asin2 u;0  u 
  x  ab  x 2
 dx    
6) Có ,c  0 đặt ax  b  c tant ; t   ; 
 ax  b2  c  2 2 
Bài tập tự luyện
1) Tính các tích phân sau:
 1
 3 x2
 a) 3 x 1dx b)  dx 
 0 0  x 1 x 1
 7 3
 2 x x
 c) dx A  04 d) dx 
     2
 1 1 x 1 2 x  2
 ln 5 ex ex 1 2 3 1
 e) dx f) dx  A  03
  x  2
 0 e  3 5 x x  4
 1 ex 2 3
 g) dx h) dx
  x 
 0 1 e 1 1 2x
2) Tính các tích phân sau:
  
 2 2
 a) sin3 xcos xdx b) sin2 xcos4 xdx 
 0 0
  
 2 2
 4 1
 c) sin xcos xdx d)  dx 
 0 0 2  sin x
  
 4 1 2 cos x
 e) dx f) dx 
  2 2 
 0 2cos x  sin x 0 1 sin x
 
 2
 cos x  sin x  / 3 sin2 x
 g) dx h) dx 
   6
 0 2  sin 2x  cos x
 4
 8