Sáng kiến kinh nghiệm Các phương pháp giải dạng toán tích phân hàm ẩn

MỤC LỤC
Nội dung
Trang
1.MỞ ĐẦU.
2
1.1. Lí do chọn đề tài.
2
1.2. Mục đích nghiên cứu.
2
1.3. Đối tượng nghiên cứu.
3
1.4. Phương pháp nghiên cứu.
3
2.NỘI DUNG
3
2.1. Cơ sở lí luận.
3
2.2.Thực trạng của vấn đề.
4
2.3. Giải pháp cụ thể.
4
2.3.1. Phân dạng, nhận dạng, xây dựng các bài toán tổng quát.
4
 2.3.1.1. Phương pháp 1: Sử dụng các tính chất của tích phân.
4
 2.3.1.2. Phương pháp 2: Phương pháp đổi biến số.
6
 2.3.1.3. Phương pháp 3: Phương pháp tích phân từng phần.
10
 2.3.1.4. Phương pháp 4: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của 
 tích phân.
13
2.3.2. Các bài tập rèn luyện kĩ năng. 
14
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm
20
3.KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ.
20
3.1. Kết luận.
20
3.2. Kiến nghị.
21
TÀI LIỆU THAM KHẢO.
1. MỞ ĐẦU
1.1 Lí do chọn đề tài.
	Năm học 2017 -2018 là năm học tiếp tục thực hiện Nghị quyết 29 của Ban chấp hành TW Đảng khóa XI về “ Đổi mới căn bản và toàn diện giáo dục và đào tạo, đáp ứng yêu cầu công nghiệp hóa, hiện đại hóa trong điều kiện kinh tế thị trường định hướng xã hội chủ nghĩa và hội nhập quốc tế”.
Với xu thế đổi mới phương pháp giáo dục hiện nay của bộ giáo dục, trong quá trình dạy học để thu được hiệu quả cao đòi hỏi người thầy phải nghiên cứu tìm hiểu kỹ chương trình, đối tượng học sinh; đưa ra các phương pháp phù hợp với kiến thức, với các đối tượng học sinh cần truyền thụ. Ý thức được điều đó, tôi luôn tích cực học tập; không ngừng nâng cao năng lực chuyên môn; đổi mới phương pháp dạy học theo hướng phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động sáng tạo của học sinh; bồi dưỡng khả năng tự học, sáng tạo; khả năng vận dụng kiến thức vào thực tế; đem lại sự say mê, hứng thú học tập cho các em.
Trong giảng dạy, tôi luôn nghiên cứu, trao đổi với đồng nghiệp, tìm tòi các phương pháp mới phù hợp nhằm giúp học sinh thích nghi tốt hơn với sự thay đổi của hình thức thi THPT Quốc Gia . Đặc biệt bắt đầu từ năm học 2016 - 2017 (Kỳ thi THPT Quốc Gia năm 2017), môn Toán sẽ áp dụng hình thức thi trắc nghiệm. Đây là thử thách và cũng là cơ hội không chỉ với giáo viên mà cả với học sinh trong giảng dạy và học tập ở tầm phát triển mới. Là người trực tiếp giảng dạy, tôi biết rất nhiều học sinh lo lắng trước thay đổi này. Việc chuyển từ thi tự luận sang trắc nghiệm đồng nghĩa với việc thay đổi cách học, cách làm bài quen thuộc của các em. Do hình thức thi trắc nghiệm môn Toán còn rất mới nên các tài liệu về dạy và học môn Toán theo hình thức thi trắc nghiệm còn ít, các thầy cô, nhà trường cũng chưa có nhiều kinh nghiệm về thi trắc nghiệm môn Toán. 
Làm thế nào để giải quyết được những khó khăn của các em học sinh? Vì vậy tôi đã nghiên cứu xây dựng các chuyên đề ôn luyện cho học sinh chuẩn bị tốt cho các em trong các kì thi THPT Quốc Gia năm học 2016-2017 và năm học 2017 - 2018. Trong các chuyên đề xây dựng ở các năm học 2016-2017 và 2017-2018, có nhiều chuyên đề hay được áp dụng trong kì thi THPT Quốc Gia như: Các bài toán vận dụng Toán học vào thực tế; Bài toán về cực trị hình học; Tuy nhiên, tôi tâm đắc nhất là chuyên đề sử dụng các tính chất của tích phân để tính các tích phân đối với những hàm số chưa xác định biểu thức của nó (dạng chống bấm máy tính). Trong khuôn khổ đề tài này, tôi xin được trình bày: “ Các phương pháp giải dạng toán tích phân hàm ẩn” giúp học sinh học lớp 12 làm bài thi THPT Quốc Gia môn Toán theo hình thức trắc nghiệm. 
1.2 Mục đích nghiên cứu.
	Tích phân hàm ẩn là dạng toán được khai thác từ sách giáo khoa theo hướng chống bấm máy tính áp dụng đúng bản chất Toán. Đây là hướng khai thác mới nên ít tài liệu dạy và học; Trong đó đề thi THPT Quốc Gia năm học 2016-2017 và đề minh họa năm học 2017-2018 khai thác có những câu ở mức độ vận dụng cao. Vì vậy phải xây dựng chuyên đề “ Các phương pháp giải dạng toán tích phân hàm ẩn” để giảng dạy học sinh.
	Mục đích: Xây dựng các dạng - nhận dạng - nêu dạng tổng quát (nếu có) và rèn luyện kĩ năng giải dạng toán “ Tích phân hàm ẩn”. Qua đó học sinh có thể giải được, giải đúng,giải nhanh dạng toán trong các đề thi.
1.3 Đối tượng nghiên cứu.
 +) Lớp 12A1, 12A10 năm học 2016-2017 của trường THPT Yên Định 1.
 +) Lớp 12A9 năm học 2017-2018 của trường THPT Yên Định 1.
1.4 Phương pháp nghiên cứu. 
 Phối hợp nhiều phương pháp trong đó chủ yếu là phương pháp: 
 Phương pháp nghiên cứu xây dựng cơ sở lí thuyết: Dựa trên cơ sở kiến thức sách giáo khoa, đề thi THPT Quốc Gia năm học 2016-2017 và đề minh họa năm hoc 2017-2018; đọc tài liệu tham khảo có liên quan đến đề tài, rèn luyện kĩ năng phân tích, nhận dạng và áp dụng lí thuyết vào bài toán cụ thể.
 Phương pháp thực hành: Soạn và thiết kế chuyên đề theo phương pháp định hướng năng lực, tiến hành thực nghiệm tại lớp 12A1,12A10 năm học 2016-2017 và lớp12A9 năm học 2017-2018.
2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM. 
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm.
 *) Theo luật giáo dục Việt Nam có viết: “ Phương pháp giáo dục phổ thông cần phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động sáng tạo của học sinh, phù hợp với đặc điểm của từng lớp học, môn học, bồi dưỡng phương pháp tự học, rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức, tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho học sinh ”.
 *) Dựa vào các kiến thức về tích phân trong sách giáo khoa giải tích 12 nâng cao.
 1. Công thức định nghĩa tích phân: Cho hàm số f liên tục trên K và a,b là hai số bất kì thuộc K. Nếu F là một nguyên hàm của f trên K thì:
 .
 *) Ghi nhớ: Tính tích phân chỉ phụ thuộc vào biểu thức dưới dấu tích phân mà không phụ thuộc vào biến ký hiệu.
 2. Các tính chất của tích phân.
 Các hàm số f, g liên tục trên K và a,b,c là ba số bất kì thuộc K. Khi đó ta có:
 a) ;	 b) 	
 c) 	 d) 
 e) với 
 3. Một số phương pháp tính tích phân.
 a) Phương pháp đổi biến số: 
 b) Phương pháp tích phân từng phần: Các hàm số u, v có đạo hàm liên 
tục trên K và a, b là hai số thuộc K;
2.2. Thực trạng của vấn đề.
	Hình thức thi trắc nghiệm môn Toán với những bài tính tích phân của một hàm số cụ thể học sinh bấm máy tính để chọn đáp án, do đó bản chất kiến thức toán không được áp dụng. Chính vì vậy bộ giáo dục và đào tạo khi xây dựng đề thi đã chú trọng nhiều hơn dạng toán học sinh phải vận dụng bản chất kiến thức Toán vào bài thi. 
	Ban đầu khi gặp dạng toán tích phân hàm ẩn ở mức độ cơ bản trong sách giáo khoa Giải Tích 12 Nâng Cao thì học sinh có thể suy luận được. Khi bài toán mức độ yêu cầu vận dụng thì học sinh lúng túng và không có định hướng giải bài toán một cách chủ động.
	Đề thi THPT Quốc Gia năm học 2016-2017 và đề minh họa năm học 2017-2018 có những câu về tích phân hàm ẩn ở mức độ vận dụng thậm chí ở mức độ vận dụng cao. Trong quá trình giảng dạy học sinh tôi nhận thấy các em còn gặp nhiều khó khăn trong cách nhận dạng, phương pháp giải và kĩ năng giải. Vì vậy tôi xây dựng “ Các phương pháp giải dạng toán tích phân hàm ẩn” để ôn luyện cho học sinh thi THPT Quốc Gia.
2.3. Giải pháp cụ thể.
 2.3.1. Phân dạng, nêu cách nhận dạng, xây dựng các bài tổng quát.
 2.3.1.1. Phương pháp 1: Sử dụng các tính chất của tích phân.
 Nhận dạng:
 +) Các cận của các tích phân có dạng 
 +) Các hàm số dưới dấu tích phân không phải là hàm số hợp 
Ví dụ 1. ChoTính
Lời giải
Ví dụ 2. Cho Tính 
Lời giải
Ví dụ 3. Cho Tính [1]
Lời giải
.
Ví dụ 4. Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn [1; ln3] và thỏa mãn , . Tính 
Lời giải
Ta có: (gt)
Ví dụ 5. Cho . 
Tính [4]
Lời giải
Ví dụ 6. Cho . Tính . [4]
Lời giải
Trang này ví dụ 3 tác giả tham khảo TLTK số 1; Ví dụ 5, ví dụ 6 tham khảo TLTK số 4.
Ví dụ 7. Cho hàm số thỏa mãn . Tính . [4]
Lời giải
.
Ví dụ 8. Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn [1; 2] và thỏa mãn . Biết và . Tính .[4]
Lời giải
Ta có: (gt)
(gt)
Vậy ta có hệ: 
2.3.1.2. Phương pháp 2: Phương pháp đổi biến số.
Nhận dạng: Các hàm số của bài toán có một trong các đặc trưng;
 +) Các hàm số liên quan đến hàm số hợp.
 +) Trong biểu thức dưới dấu tích phân có hàm số f(x) có tính chất chẵn hoặc lẻ trên 
Ví dụ 9. Cho . Tính [1]
Lời giải
Đặt 
Đổi cận 
Ví dụ 10. Cho Tính trong các trường hợp sau.
 a) là hàm số lẻ trên .
 b) là hàm số chẵn trên .
Trang này ví dụ 7, ví dụ 8 tác giả tham khảo từ TLTK số 4; Ví dụ 9 tham khảo từ TLTK số 1.
Lời giải
 a) 
 Xét 
Đặt 
 b) 
 Xét 
Đặt 
*) Tổng quát: Cho hàm số f(x) liên tục trên và , với a > 0.
 +) , nếu là hàm số lẻ trên .
 +) , nếu là hàm số chẵn trên .
Ví dụ 11. Cho hàm số y = f(x) là hàm số chẵn, có đạo hàm trên biết rằng Tính 
Lời giải
 Xét 
Đặt t = 2x, đổi cận 
Với 
Ví dụ 12. Cho trong đó hàm số là hàm số chẵn trên ; Tính [3]
Lời giải
Xét 
Đặt 
Cộng vế với vế của (1) và (2) ta có 
Vậy .
*) Tổng quát: Cho hàm số f(x) liên tục, là hàm số chẵn trên và , với Khi đó 
Ví dụ 13. Cho hàm số f(x) liên tục trên và thỏa mãn
. Tính .[1]
Lời giải
Đặt t = - x ta có:
Ta có: 
Trang này ví dụ12 tác giả tham khảo từ TLTK số 3, ví dụ 13 tham khảo từ TLTK số 1.
Ví dụ 14. Cho hàm số f(x) liên tục trên thỏa mãn 
 Tính 
Lời giải
Đặt 
Theo bài ra 
Ví dụ 15. Cho hàm số liên tục trên và thỏa mãn . Tính tích phân [4]
Lời giải
+) Xét 
Đặt 
Đổi cận , khi đó 
+) Xét ; Đặt 
Đổi cận , khi đó 
+) Xét ; Đặt , đổi cận 
Khi đó: 
Trang này ví dụ tác giả tham khảo từ TLTK số 4.
2.3.1.3. Phương pháp 3: Phương pháp tích phân từng phần.
 Nhận dạng: Cho f(x) là hàm số có đạo hàm liên tục trên ;
 Tính hoặc, biết u(x) là hàm số liên tục trên.
Ví dụ 16. Cho , f(3) +2 f(0) = -1. Tính 
Lời giải
 Đặt 
Ví dụ 17. Cho hàm số f(x) có đạo hàm trên , .
 Tính [3]
Lời giải
 Đặt 
Ví dụ 18. Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn và Biết Tính .[3]
Lời giải
 Đặt 
Do đó: 
Trang này ví dụ 17 tác giả tham khảo từ TLTK số 3.
Ví dụ 19. Cho hàm số thỏa mãn Tính[3]
Lời giải
Đặt 
Ví dụ 20. Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn thỏa mãn , và . Tính tích phân .[2]
Lời giải
 Đặt 
Mà 
Ta có: 
Trang này ví dụ 18 , ví dụ 19 tác giả tham khảo từ TLTK số 3.
Cộng vế với vế của (1), (2) và (3) ta có:
Theo (4) và (5) ta có:
Ví dụ 21. Cho hàm số f(x) liên tục trên , . Biết Tính giá trị của biểu thức 
Lời giải
Xét ; 
Đặt 
Trang này ví dụ 20 tác giả tham khảo từ TLTK số 2.
Ví dụ 22.
Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên thỏa mãn và .
Tích phân bằng. [4]
Lời giải:	
Ta có:
. 
Suy ra . Hơn nữa ta tính được:
.
Do đó .
Suy ra , do đó . Vì nên .
 Ta được .
2.3.1.4. Phương pháp 4: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của tích phân .
 Nhận dạng: Kiến thức cở sở.
 +) Nếu trên thì 
 +) Nếu trên thì 
Trang này ví dụ 22 tác giả tham khảo từ TLTK số 4.
Ví dụ 23. Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn thỏa mãn với mọi . Tìm giá trị nhỏ nhất của tích phân . [4]
Lời giải: Ta có: 
Khi đó 
Giá trị nhỏ nhất của tích phân là 
Ví dụ 24. Cho hàm số nhận giá trị không âm và liên tục trên đoạn đồng thời ta đặt . Biết với mọi . Tìm giá trị lớn nhất của tích phân .[4]
Lời giải: Đặt 
 là hàm số nghịch biến trên do vậy ta có:
Vậy có giá trị lớn nhất bằng .
2.3.2. Các bài tập trắc nghiệm rèn luyện kĩ năng.
	- Xây dựng các bài tập có đủ 4 mức độ: Nhận biết, thông hiểu, vận dụng thấp, vận dụng cao.
	- Khi giải các bài tập sử dụng 4 phương pháp.
Trang này ví dụ 23, ví dụ 24 tác giả tham khảo từ TLTK số 4.
Câu 1. Cho khi đó là:
A. 3 	 B. 33 	 C. -3 	 	 D.-33
Câu 2. Cho . Tính .	
 A.3 	 	 B. 7 	 	 C. -3 	 D. 10
Câu 3. Cho thì bằng.
 A. -2 B. 8 	 C. 0 	 D.3
Câu 4. Nếu f(x) liên tục trên và, khi đó là.
A. B. C. D.1
Câu 5. Cho ,khi đó bằng:
A . 2 	 B. 4 	 C. D.1
Câu 6. Cho f(x) thỏa mãn khi đó là:
A. 2 	 B. 4 	 C.16 D.8 
Câu 7. Cho và . Tính (3) 
 	A. B. C. D.
Câu 8. Cho f(x) là hàm số chẵn, liên tục trên và . Tính .
A. 5 	 B. 10 	 C. 30 	 D. 
Câu 9. Cho . Tính .
A. 	 B. 	 C. 	 D. 
Câu 10. Cho . Tính 
 	A.3 	 B. -3 	 C. -7 	 D. 7
Câu 11. Cho F(x) là một nguyên hàm của f(x) và . Tính .
 A.10 	 B. 11 	 C. 9 	 D. 8
Câu 12. Cho F(x) là nguyên hàm của f(x),biết . 
Tính 
 A. 1 B. 	 C. 	 D. 
Câu 13. Cho hàm số liên tục và thỏa mãn với . Tính .
	A..	 B.. C.. D..
Câu 14. Biết hàm số là hàm số chẵn trên đoạn và . Tính .
	A..	B.. C.. D..
Câu 15. Cho hàm số liên tục trên , thỏa mãn . Tính .
	A..	B.. C.. D..
Câu 16. Cho hàm số liên tục trên và thỏa mãn . Tính .
	A..	B.. C.. D..
Câu 17. Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn , thỏa mãn "xÎ và . Biết , tính .
	A..	B.. C.. D..
Câu 18. Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên, nhận giá trị dương trên khoảng và thỏa mãn, . Mệnh đề nào đúng?
	A..	B.. C.. D. .
Câu 19.Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên và (). Biết , tính tích phân .
Câu 20.	Cho hàm số nhận giá trị không âm và liên tục trên đoạn đồng thời ta đặt . Biết với mọi . Tích phân có giá trị lớn nhất bằng: 
 A. 	 B. 	 C. 	 D. 
ĐÁP ÁN CÁC BÀI TẬP RÈN LUYỆN KĨ NĂNG
Câu
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Đáp án
C
A
D
A
A
A
A
B
B
B
Câu
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
Đáp án
D
D
B
D
A
D
C
D
A
A
Đáp án chi tiết các câu vận dụng.
Câu 13: Đặt (1) 
Đặt ; Đổi cận: 
(2)
Ta có: Chọn B
Câu 14: Đặt ; 
 Đổi cận: Vì là hàm số chẵn
VậyÞ Chọn D
Câu 15: (1)Đặt ; Đổi cận:
 (2) .Ta có: 
Chọn A
Câu 16: Ta có: ; Đặt 
 (Tính chất đạo hàm hợp: )
Mặt khác, từ gt: 
 (1). Tính Þ ứng với 
Thay vào (1) Þ Chọn D
Câu 17: Từ gt: 
Có
Þ Chọn C
Câu 18: Từ gt: 
Vì 
Þ Chọn D
Câu 19: (1) Đặt Đổi cận: 
(2).
(1) + (2) 
 Chọn A 
Câu 20.
Ta đặt khi đó .
Do vậy .
Xét hàm số: là hàm nghịch biến trên cho nên .
Do đó: 
Chọn A. 
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm.
 	- Trong năm học 2016- 2017 tôi xây dựng hai đề kiểm tra mức độ tương đương nhau kiểm tra học sinh ở các lớp 12A1, 12A10.
 Đề số 1 : Trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm.
 Đề số 2 : Sau khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm.
Lớp
Sĩ số
Tỉ lệ điểm
Trước khi áp dụng
SKKN
Sau khi áp dụng
SKKN
Giỏi
Khá
TB
Yếu
Giỏi
Khá
TB
Yếu
12A1
45
18%
28%
52%
2%
49%
44%
7%
12A10
49
2%
20%
58%
20%
30%
40%
30%
- Đặc biệt trong kì thi THPT Quốc Gia năm 2017, tôi có hai học sinh đạt điểm 10 môn Toán; Có 14 học sinh đạt điểm từ 9 điểm trở lên ( có 1 học sinh lớp chủ nhiệm đạt thủ khoa khối B với số điểm tuyệt đối 30/30). 
- Trong năm học 2017 – 2018 từ các đề của năm học trước tôi bổ sung, xây dựng hai đề kiểm tra mức độ tương đương nhau kiểm tra học sinh ở lớp 12A9.
Lớp
Sĩ số
Tỉ lệ điểm
Trước khi áp dụng
SKKN
Sau khi áp dụng
SKKN
Giỏi
Khá
TB
Yếu
Giỏi
Khá
TB
Yếu
12A9
49
2%
18%
58%
22%
20%
34%
46%
3. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
 3.1. Kết luận.
 Trong quá trình giảng dạy, cho học sinh rèn luyện dạng toán và qua thực nghiệm tôi nhận thấy : Học sinh đã tự tin hơn khi giải dạng toán tích phân hàm ẩn. Việc vận dụng “ Các phương pháp giải dạng toán tích phân hàm ẩn” từng bài toán cụ thể học sinh đã có hướng đi rõ ràng và thành thạo. Học sinh hứng thú học tập dạng toán tích phân hàm ẩn. Trên lớp cũng như làm bài tập về nhà học sinh đã tích cực, chủ động, sáng tạo, độc lập khi giải dạng toán tích phân hàm ẩn.
 Qua hai đề kiểm tra ở trên ta nhận thấy kết quả học tập của học sinh đã tiến bộ rõ dệt, tỉ lệ học sinh đạt yêu cầu đã được nâng cao. Trong các lần thi kiểm tra kiến thức thi THPT Quốc Gia của trường và kì thi THPT Quốc Gia năm 2017 hầu hết các học sinh được học đề tài này đều hoàn thành tốt dạng tích phân hàm ẩn. Điều đó thể hiện sự tiện ích của đề tài.
3.2. Kiến nghị.
 Sau thời gian ôn luyện thi THPT Quốc Gia ở các năm học. Trong quá trình tham khảo các đề thi : THPT Quốc Gia năm 2017 ; Các đề minh họa của các năm học, các tài liệu liên quan trên mạng.
 	Quá trình tìm hiểu khó khăn của học sinh khi giải dạng toán tích phân hàm ẩn. Bản thân tôi suy nghĩ và nghiên cứu tìm giải pháp tháo gỡ khó khăn cho học sinh , khắc phục lối dạy học truyền thụ một chiều, rèn luyện nếp tư duy cho người học. Do đó tôi xây dựng đề tài “ Các phương pháp giải dạng toán tích phân hàm ẩn” cho học sinh lớp 12. Định hướng phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động sáng tạo của học sinh; bồi dưỡng khả năng tự học, sáng tạo; khả năng vận dụng kiến thức vào thực tế; đem lại sự say mê, hứng thú học tập cho các em.
 Tôi mong đề tài “ Các phương pháp giải dạng toán tích phân hàm ẩn” được các đồng nghiệp, những người đam mê dạy và học toán ghi nhận và được giới thiệu rộng rãi, góp phần đổi mới phương pháp giảng dạy phù hợp với thực tiễn về sự thay đổi căn bản và toàn diện của ngành giáo dục.
XÁC NHẬN 
CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ
Thanh Hóa, ngày 22 tháng 5 năm 2018
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết, không sao chép nội dung của người khác.
 Trịnh Văn Hùng
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1]. Các đề thi minh họa, các đề tham khảo và các đề thi chính thức của bộ giáo dục và đào tạo trong kì thi THPT Quốc Gia năm 2017.
[2]. Đề thi minh họa thi THPT Quốc Gia năm 2018.
[3]. Đề thi thử theo cấu trúc đề thi THPT Quốc Gia ở các năm 2017, 2018 của các trường trong cả nước.
[4]. Tài liệu trong nhóm word Toán.