Phương pháp phân loại dạng toán tính khoảng cách trong hình học không gian

PHƯƠNG PHÁP PHÂN LOẠI DẠNG TOÁN
TÍNH KHOẢNG CÁCH TRONG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
I. MỞ ĐẦU:
1.1. Lý do chọn đề tài.
Năm 2018 là năm thứ 2 triển khai thi trắc nghiệm môn Toán trong kỳ thi THPT quốc gia. Đồng thời đây là năm đầu tiên thi cả chương trình lớp 11 mà đặc biệt hơn nữa nội dung thi của hình học có tới 50% các bài toán hình học không gian tổng hợp, trong đó trọng tâm kiến thức là phần khoảng cách. Qua đề thi THPT quốc gia năm 2017 và đề tham khảo của bộ cho năm 2018 cho ta thấy rằng các bài toán hình học không gian tổng hợp nói chung và bài toán khoảng cách nói riêng thì mức độ của nó ít nhất là thông hiểu phần đa là vận dụng thấp và một số là vận dụng cao. Do đó để đạt được kết quả cao cho bài thi môn toán đòi hỏi học sinh ngoài việc có kiến thức vững vàng còn cần có kỹ năng và linh hoạt trong làm bài vì thời gian rất ngắn số lượng câu hỏi lại nhiều, do vậy đòi hỏi các em khi gặp 1 bài toán cần linh hoạt lựa chọn cho mình cách giải quyết nhanh nhưng lại phải chính xác. Ngoài ra bài toán về khoảng cách trong không gian giữ một vai trò quan trọng, nó xuất hiện ở hầu hết các đề thi đề thi học sinh giỏi những năm gần đây. Vì đây là phần kiến thức đòi hỏi học sinh phải có tư duy sâu sắc, có trí tưởng tượng hình không gian phong phú nên đối với học sinh đại trà, đây là mảng kiến thức khó và thường để mất điểm trong các kì thi nói trên. Đối với học sinh giỏi, các em có thể làm tốt phần này. Tuy nhiên cách giải còn rời rạc, làm bài nào biết bài đấy và thường tốn khá nhiều thời gian.
Trong sách giáo khoa, sách bài tập và các tài liệu tham khảo, loại bài tập này khá nhiều song chỉ dừng ở việc cung cấp bài tập và cách giải, chưa có tài liệu nào phân loại một cách rõ nét các phương pháp tính khoảng cách trong không gian.
Đối với các giáo viên, thì do lượng thời gian ít ỏi và việc tiếp cận các phần mềm vẽ hình không gian còn hạn chế nên việc biên soạn một chuyên đề có tính hệ thống về phần này còn gặp nhiều khó khăn.
Khi còn là học sinh, mỗi khi suy nghĩ các bài toán nhỏ, nhờ sự hướng dẫn của Thầy giáo đã giúp tôi có những bài toán mới, lời giải mới.Và giúp tôi có những phân tích hay, sâu sắc trên bục giảng, có thêm kinh nghiệm, sự sáng tạo, có niềm tin vào chính mình.Vì vậy song song với việc giảng dạy kiến thức cho học sinh trong các giờ lên lớp, tôi luôn luôn coi việc bồi dưỡng năng lực tư duy toán cho học sinh một cách trực tiếp hoặc gián tiếp thông qua giải toán. Đặc biệt là bồi dưỡng năng lực sử dụng phương pháp hàm số cho học sinh là một nhiệm vụ quan trọng của việc giảng dạy toán . Qua nhiều năm đứng trên bục giảng, khi bàn tới vấn đề này, tôi luôn băn khoăn làm thế nào để cho giờ dạy của mình đạt kết quả cao nhất, các em chủ động trong việc chiếm lĩnh kiến thức. Thầy đóng vai trò là người điều khiến để các em tìm đến đích của lời giải. Chính vì lẽ đó trong hai năm học 2016 - 2017 và 2017 - 2018, Tôi đã đầu tư thời gian nghiên cứu đề tài “Phương pháp phân loại dạng toán tính khoảng cách trong hình học không gian ”.
1.2. Mục đích nghiên cứu:
 	Một mặt là giúp học sinh hiểu được bản chất của vấn đề, các em có thể phát hiện được hướng giải các bài toán tính khỏng cách trong hình học không gian tổng hợp, hơn nữa tạo ra cho các em hứng thú trong giải toán nói chung và giải các bài toán liên quan đến hình học không gian nói riêng. Mặt khác sau khi nghiên cứu tôi sẽ có một phương pháp giảng dạy có hiệu quả cao trong các giờ lên lớp, trả lời thoả đáng câu hỏi “Vì sao có thể vẽ được hình đẹp và nhìn ra nhanh như vậy”.
Cung cấp cho học sinh cách tính khoảng cách trong các bài toán hình học không gian tổng hợp.
Giới thiệu một số ví dụ minh họa giải các bài toán tính khoảng cách trong không gian. Từ đó giúp học sinh nâng cao năng lực tư duy hình học.
1.3. Đối tượng nghiên cứu:
	Các bài tập trong sách giáo khoa môn toán THPT và đề thi đại học các năm gần đây về phần tính khoảng cách và các bài toán liên quan.
1.4. Phương pháp nghiên cứu: 
Phương pháp nghiên cứu xây dựng cơ sở lý thuyết. Từ các tài liệu tham khảo và quá trình giảng dạy tôi đúc rút ra được hệ thống lý thuyết về phương pháp hàm số nói chung để giải quyết các bài toán THPT đặc biệt vận dung vào các tính khoảng cách và các bài toán liên quan.
Phương pháp điều tra khảo sát thực tế, thu thập thông tin. Qua quá trình giảng dạy thực tiễn, qua các kênh thông tin khác nhau như giao bài tập, làm đề khảo sát theo chuyên đề rồi từ đó có những điều chỉnh ngày càng phù hợp với thực tiễn nhận thức của học sinh góp phần nâng cao chất lượng giáo dục phần bài tập tính khoảng cách trong không gian.
Phương pháp thống kê, xử lý số liệu. Từ báo kết quả của các bài kiểm tra qua thống kê xử lý số liệu để biết được hiệu quả của sáng kiến từ đó đề ra giải pháp tối ưu cho công tác giảng dạy phần mũ và logarít trong năm học tới.. 
II. PHẦN NỘI DUNG
Phương pháp phân loại dạng toán tính khoảng cách 
trong hình học không gian
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm.
2.1.1. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
Cho điểm O và đường thẳng D. Gọi H là hình chiếu của O trên D. Khi đó khoảng cách giữa hai điểm O và H được gọi là khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng D. Kí hiệu 
* Nhận xét
Để tính khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng D ta có thể
+ Xác định hình chiếu H của O trên D và tính OH
+ Áp dụng công thức
2.1.2. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng
Cho điểm O và mặt phẳng (a). Gọi H là hình chiếu của O trên (a). Khi đó khoảng cách giữa hai điểm O và H được gọi là khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (a). Kí hiệu 
* Nhận xét
Để tính khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (a) ta có thể sử dụng một trong các cách sau:
Cách 1. Tính trực tiếp. Xác định hình chiếu H của O trên (a) và tính OH
* Phương pháp chung.
Dựng mặt phẳng (P) chứa O và vuông góc với (a)
Tìm giao tuyến D của (P) và (a)
Kẻ OH ^ D (). Khi đó . Đặc biệt:
+ Trong hình chóp đều, thì chân đường cao hạ từ đỉnh trùng với tâm đáy
+ Hình chóp có một mặt bên vuông góc với đáy thì chân đường vuông góc hạ từ đỉnh sẽ thuộc giao tuyến của mặt bên đó với đáy
+ Hình chóp có 2 mặt bên vuông góc với đáy thì đường cao chính là giao tuyến của hai mặt bên này
+ Hình chóp có các cạnh bên bằng nhau (hoặc tạo với đáy những góc bằng nhau) thì chân đường cao là tâm đường tròn ngoại tiếp đáy
+ Hình chóp có các mặt bên tạo với đáy những góc bằng nhau thì chân đường cao là tâm đường tròn nội tiếp đáy
Cách 2. Sử dụng công thức thể tích
Thể tích của khối chóp . Theo cách này, để tính khoảng cách từ đỉnh của hình chóp đến mặt đáy, ta đi tính V và S
Cách 3. Sử dụng phép trượt đỉnh
Ý tưởng của phương pháp này là: bằng cách trượt đỉnh O trên một đường thẳng đến một vị trí thuận lợi , ta quy việc tính về việc tính . Ta thường sử dụng những kết quả sau:
Kết quả 1. Nếu đường thẳng D song song với mặt phẳng (a) và M, N Î D thì
Kết quả 2. Nếu đường thẳng D cắt mặt phẳng (a) tại điểm I và M, N Î D (M, N không trùng với I) thì
Đặc biệt, nếu M là trung điểm của NI thì 
	 nếu I là trung điểm của MN thì 
Cách 4. Sử dụng tính chất của tứ diện vuông
Cơ sở của phương pháp này là tính chất sau: Giả sử OABC là tứ diện vuông tại O () và H là hình chiếu của O trên mặt phẳng (ABC). Khi đó đường cao OH được tính bằng công thức
Cách 5. Sử dụng phương pháp tọa độ
Cơ sở của phương pháp này là ta cần chọn hệ tọa độ thích hợp sau đó sử dụng các công thức sau:
 với , 
 với D là đường thẳng đi qua A và có vectơ chỉ phương 
 với là đường thẳng đi qua và có vtcp 
Cách 6. Sử dụng phương pháp vectơ
2.1.3. Khoảng cách từ một đường thẳng đến một mặt phẳng song song với nó.
Cho điểm đường thẳng D song song với mặt phẳng (a). Khoảng cách giữa đường thẳng D và mặt phẳng (a) là khoảng cách từ một điểm bất kì của D đến mặt phẳng (a). Kí hiệu 
* Nhận xét
Việc tính khoảng cách từ đường thẳng D đến mặt phẳng (a) được quy về việc tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.
2.1.4. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song
Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song là khoảng cách từ một điểm bất kì của mặt phẳng này đến mặt phẳng kia. Kí hiệu 
* Nhận xét
Việc tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song được quy về việc tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.
2.1.5. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
Cho hai đường thẳng chéo nhau a và b. Đường thẳng D cắt cả a và b đồng thời vuông góc với cả a và b được gọi là đường vuông góc chung của a và b. Đường vuông góc chung D cắt a tại H và cắt b tại K thì độ dài đoạn thẳng MN gọi là khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b. Kí hiệu .
* Nhận xét
Để tính khoảng cách hai đường thẳng chéo nhau a và b ta làm như sau:
+ Tìm H và K từ đó suy ra 
+ Tìm một mặt phẳng (P) chứa a và song song với b. Khi đó 
+ Tìm cặp mặt phẳng song song (P), (Q) lần lượt chứa a và b. Khi đó 
+ Sử dụng phương pháp tọa độ
* Đặc biệt
Nếu thì ta tìm mặt phẳng (P) chứa a và vuông góc với b, tiếp theo ta tìm giao điểm I của (P) với b. Trong mp(P), hạ đường cao IH. Khi đó 
Nếu tứ diện ABCD có AC = BD, AD = BC thì đoạn thẳng nối hai trung điểm của AB và CD là đoạn vuông góc chung của AB và CD.
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm.
	Bài tập tính khoảng cách trong không gian là 1 trong số những vấn đề khó đối với học sinh nói chung và với học sinh trường Lê Lai nói riêng. Bởi trong toán học bài tập tính khoảng cách trong không gian được coi là nội dung đòi hỏi học sinh phải có khả năng tư duy trừ tượng tốt. Khó khăn lớn nhất của học sinh trong vấn đề này đó là việc dựng độ dài của khoảng cách trong không gian bởi nó đòi hỏi các em phải có nền kiến thức hình học không gian rất chắc, đặc biệt là phần quan hệ vuông góc ở chương III sách giáo khoa lớp 11. 
	Đặc biệt hơn nữa là việc tính khoảng cách trong không gian cần chuyển qua việc tính độ dài một đoạn thẳng do vậy phải ghép nó vào tam giác và giải tam giác đó, vì vậy học sinh cần có kỹ năng giải tam giác trong không gian. Tuy nhiên công việc này không hề đơn giản bởi trong hình biểu diễn các quan hệ vuông góc, bàng nhau thường không bảo tồn do việc sử dụng không gian 2 chiều để biểu diễn không gian ba chiều chính vì vậy việc vận dụng các công thức giải tam giác trong không gian lại càng trở nên khó khăn hơn.
	 Thực tế kết quả kiểm tra trước khi áp dụng sáng kiến này ở các lớp 12 trong năm học 2016 – 2017 như sau.
Lớp kiểm tra
Giỏi
Khá
Trung bình
Yếu
Lớp 12B5
3%
40%
40%
17%
Lớp 12B4
1%
30%
51%
18%
Lớp 12B8
0%
15%
43%
40%
	Từ thực trạng trên tôi đã trăn trở và tìm giải pháp để áp dụng cho các lớp dạy trong năm học 2017 – 2018 nhằm giải quyết khó khăn và nâng cao chất lượng giải bài tập tính khoảng cách trong không gian trong kỳ thi THPT săp tới.
2.3. Các sáng kiến kinh nghiệm hoặc các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề.
2.3.1. Phương pháp tính trực tiếp
Ví dụ 1.
Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O, cạnh a, góc , có SO vuông góc mặt phẳng (ABCD) và SO = a.
Tính khoảng cách từ O đến mặt phẳng (SBC).
Tính khoảng cách từ đường thẳng AD đến mặt phẳng (SBC).
D
B
Lời giải. 
a) Hạ 
Trong (SOK) kẻ 
. 
Ta có đều ; 
Trong tam giác vuông OBC có:
Trong tam giác vuông SOK có:
. Vậy 
b) Ta có 
Kẻ . Do
Ví dụ 2. (Đề thi Đại học khối A năm 2010). 
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và AD; H là giao điểm của CN với DM. Biết SH vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng DM và SC theo a.
Lời giải.
Ta có: 
Do 
Kẻ 
Suy ra HK là đoạn vuông góc chung của DM và SC nên 
Ta có:
, 
Vậy
2.3.2. Phương pháp sử dụng công thức tính thể tích.
Ví dụ 3.
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có AB = a, SA = . Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh SA, SB, CD. Tính khoảng cách từ P đến mặt phẳng (AMN).
Phân tích. Theo giả thiết, việc tính thể tích các khối chóp S.ABCD hay S.ABC hay AMNP là dễ dàng. Vậy ta có thể nghĩ đến việc quy việc tính khoảng cách từ P đến mặt phẳng (AMN) về việc tính thể tích của các khối chóp nói trên, khoảng cách từ P đến (AMN) có thể thay bằng khoảng cách từ C đến (SAB).
Lời giải.
Gọi O là tâm của hình vuông ABCD, khi đó SO ^ (ABCD). 
M, N lần lượt là trung điểm của SA và SB nên 
. 
Vậy:
. .
Vậy 
Ví dụ 4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, SA vuông góc với đáy hình chóp. Cho AB = a, SA = . Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của A trên SB, SD. Tính khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (AHK).
Phân tích. Khối chóp AOHK và ASBD có chung đỉnh, đáy cùng nằm trên một mặt phẳng nên ta có thể tính được thể tích khối chóp OAHK, hơn nữa tam giác AHK cân nên ta tính được diện tích của nó.
Lời giải.
 Cách 1: 
Trong đó: 
I
G
J
; 
Ta có HK và BD đồng phẳng và cùng vuông góc với SC nên HK // BD. 
AI cắt SO tại G là trọng tâm của tam giác SAC, G thuộc HK nên 
. Tam giác AHK cân tai A, G là trung điểm của HK nên AG ^ HK và 
 Tứ diện ASBD vuông tại A nên:
Tam giác OHK cân tại O nên có diện tích S bằng 
Cách 2: Ta chứng minh 
Ta có: 
Cách 3: Giải bằng phương pháp tọa độ như sau:
Chọn hệ tọa độ Oxyz sao cho O º A, B(a ; 0 ; 0), D(0 ; a ; 0), S(0 ; 0 ; ).
Tính SH, SK suy ra tọa độ của H, K, O
Áp dụng công thức 
Cách 4: SC ^ (AHK) nên chân đường vuông góc hạ từ O xuông (AHK) có thể xác định được theo phương SC.
* AH ^ SB, AH ^ BC (do BC ^ (SAB)) Þ AH ^ SC
Tương tự AK ^ SC. Vậy SC ^ (AHK)
* Giả sử (AHK) cắt SC tại I, gọi J là trung điểm của AI, khi đó OJ // SC 
Þ OJ ^ (AHK). 
SA = AC = Þ DSAC cân tại A Þ I là trung điểm của SC.
Vậy 
2.3.3. Phương pháp trượt
Ví dụ 5. (Đề thi Đại học khối B năm 2011). 
Cho lăng trụ ABCDA1B1C1D1 có đáy ABCD là hình chữ nhật . Hình chiếu vuông góc của điểm A1 trên mặt phẳng (ABCD) trùng với giao điểm của AC và BD, góc giữa hai mặt phẳng (ADD1A1) và (ABCD) bằng 600. Tính thể tích của khối lăng trụ đã cho và khoảng cách từ điểm B1 đến mặt phẳng (A1BD) theo a.
Phân tích. Do B1C // (A1BD) nên ta trượt đỉnh B1 về vị trí thuận lợi C và quy việc tính thành tính 
Bài giải.
* Gọi O là giao điểm của AC và BD 
Gọi E là trung điểm AD
 suy ra 
* Tính :
Cách 1: 
Do B1C // (A1BD)
Hạ 
Cách 2: 
Trong đó: 
Ví dụ 6. Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O có cạnh bằng a, và vuông góc với mặt phẳng (ABCD).
 a) Tính khoảng cách từ O đến (SBC).
 b)Tính khoảng cách từ trọng tâm tam giác SAB đến (SAC).
Phân tích: Do , nên thay vì việc tính ta đi tính , tương tự như vậy ta có thể quy việc tính thông qua việc tính hay 
Lời giải.
a) Ta có: nên:
Gọi H là hình chiếu của A trên SB ta có:
Trong tam giác vuông SAB có:
b) Gọi E là trung điểm AB, G là trọng tâm tam giác SAB.
Do nên 
Ta có: 
2.3.4. Phương pháp sử dụng tính chất của tứ diện vuông
Định nghĩa. Tứ diện vuông là tứ diện có một đỉnh mà ba góc phẳng ở đỉnh đó đều là góc vuông.
Tính chất. Giả sử OABC là tứ diện vuông tại O () và H là hình chiếu của O trên mặt phẳng (ABC). Khi đó đường cao OH được tính bằng công thức
Chứng minh.
Giả sử , (1) 
 (2)
Từ (1) và (2) suy ra . Trong các tam giác vuông OAD và OBC ta có
Vì vậy 
Mục tiêu của phương pháp này là sử dụng các phép trượt để quy việc tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng về việc tính khoảng cách từ đỉnh của tam diện vuông đến mặt huyền của nó và vì vậy áp dụng được tính chất trên
Ví dụ 7. Cho lăng trụ đều có tất cả các cạnh đều bằng a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của và . Tính khoảng cách giữa và CN
Phân tích. Để tính khoảng cách giữa và CN ta tìm một mặt phẳng chứa CN và song song với , tiếp theo ta dùng các phép trượt để quy việc tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng về việc tính khoảng cách trong tứ diện vuông. 
Lời giải.
Gọi O, D lần lượt là trung điểm của BC và CN thì OACD là tứ diện vuông tại O. là hình bình hành . Mặt phẳng (ACN) chứa CN và song song với nên 
Áp dụng tính chất của tứ diện vuông ta được
. Vậy 
Ví dụ 8. Cho hình lập phương có cạnh bằng a. Gọi M là trung điểm của . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng CM và .
Lời giải. 
Gọi N là trung điểm của thì là hình bình hành nên . Mặt phẳng () chứa và song song với nên
 với . Gọi thì G là trọng tâm của tam giác . Do đó .
Tứ diện vuông tại A nên 
.
Vậy 
2.3.5. Sử dụng phương pháp tọa độ.
* Phương pháp:
Bước 1: Chon hệ toạ độ Oxyz gắn với hình đang xét.
Bước 2: Chuyển bài toán từ ngôn ngữ hình học sang ngôn ngữ toạ độ - véc tơ
Bước 3: Giải bài toán bằng phương pháp toạ độ, rồi chuyển sang ngôn ngữ hình học.
Ví dụ 9.
Cho hình lập phương ABCDA’B’C’D’ cạnh bằng 1. Một mặt phẳng bất kì đi qua đường chéo B’D.
 a) Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng (ACD’) và (A’BC’)
 b) Xác định vị trí của mặt phẳng sao cho diện tích của thiết diện cắt bởi mp và hình lập phương là bé nhất.
Phân tích: Với một hình lập phương ta luôn chọn được một hệ toạ độ thích hợp, khi đó tạo độ các đỉnh đã biết nên việc tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng (ACD’) và (A’BC’) trở nên dễ dàng. Với phần b, ta quy việc tính diện tích thiết diện về việc tính khoảng cách từ M đến đường thẳng DB’.
Lời giải.
Chọn hệ toạ độ sao cho gốc toạ độ 
Gọi M là điểm bất kì trong đoạn thẳng C’D’, tức 
a) Dễ dàng chứng minh được (ACD’) // (A’BC’)
Mặt phẳng (ACD’) có phương trình: 
b) Giả sử cắt (CDD’C’) theo giao tuyến DM, do hình lập phương có các mặt đối diện song song với nhau nên cắt (ABB’A’) theo giao tuyến B’N//DM và DN//MB’. Vậy thiết diện là hình bình hành DMB’N.
Gọi H là hình chiếu của M trên DB’. Khi đó:
.
Ta có: 
 Dấu đẳng thức xảy ra khi 
Nên diện tích nhỏ nhất khi , hay M là trung điểm D’C’
Hoàn toàn tương tự nếu 
Vậy diện tích nhỏ nhất khi M là trung điểm D’C’ hoặc M là trung điểm D’A’.
Ví dụ 10.
 Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. . Gọi M là điểm di động trên cạnh CD. Xác định vị trí của M để khoảng cách từ điểm S đến BM lớn nhất, nhỏ nhất.
Lời giải.
Chọn hệ toạ độ trực chuẩn Oxyz sao cho M là điểm di động trên CD nên với .
Xét hàm số trên [0;1]
Ta có bảng biến thiên:
t
 0 1 
f’(t)
-
+
-
f(t)
2
Từ bảng biến thiên ta có , đạt được khi t = 0
	 , đạt được khi t = 1
Do đó lớn nhất khi 
 nhỏ nhất khi 
2.3.6. Sử dụng phương pháp véc tơ.
* Phương pháp:
Bước 1: Chon hệ véc tơ gốc, đưa các giả thiết kết luận của bài toán hình học đã cho ra ngôn ngữ “véc tơ”.
Bước 2: Thực hiện các yêu cầu của bài toán thông qua việc tiến hành biến đổi các hệ thức véc tơ theo hệ véc tơ gốc.
Bước 3: Chuyển các kết luận “véc tơ” sang các kết quả hình học tương ứng.
Ví dụ 11. (Đề thi đại học khối D năm 2007).
Cho hình chóp có đáy là hình thang. , . Cạnh bên vuông góc với đáy và . Gọi là hình chiếu vuông góc của trên . Tính khoảng cách từ đến mặt phẳng .
Lời giải. Đặt 
Ta có: 
Gọi là chân đường vuông góc hạ từ lên mặt phẳng (SCD)
Dễ dàng tính được 
Khi đó : 
Ta có: 
Cách 2: 
Gọi lần lượt là khoảng cách từ các điểm H và B đến mp(SCD), ta có: 
Trong đó 
Ta có: 
Cách 3: Sử dụng tính chất của tứ diện vuông.
Phân tích. Trong bài toán này, việc tìm chân đường vuông góc hạ từ H xuống mặt phẳng (SCD) là khó khăn. Vì vậy, ta sẽ tìm giao điểm K của AH và (SCD) và quy việc tính khoảng cách từ H đến (SCD) về việc tính khoảng cách từ A đến (SCD)
Gọi M là giao điểm của AB và CD, K là giao điểm của AH với SM. Ta có:
. Suy ra H là trọng tâm của tam giác SAM.
Từ đó ta có: 
Do tứ diện ASDM vuông tại A nên:
Vậy 
* Nhận xét: Việc lựa chọn hệ véc tơ gốc là rất quan trọng khi giải quyết một bài toán bằng phương pháp véc tơ. Nói chung việc lựa chọn hệ véc tơ gốc phải thoả mãn hai yêu cầu:
 + Hệ véc tơ gốc phải là ba véc tơ không đồng phẳng.
 + Hệ véc tơ gốc nên là hệ véc tơ mà có thể chuyển những yêu cầu của bài toán thành ngôn ngữ véc tơ một cách đơn giản nhất.
Ví dụ 12. (Đề thi ĐH khối B năm 2007)
Cho hình chóp tứ giác đều có đáy là hình vuông cạnh . là điểm đối xứng của qua trung điểm của . lần lượt là trung điểm của và . Tính khoảng cách giữa và . 
Giải: 
Đặt : 
Ta có : 
Gọi là đoạn vuông góc chung của và , ta có:
Cách 2: 
Ta có: ; nên tứ giác là hình bình hành
Do hình chóp SABCD đều 
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường.
Tâm lý học sinh ngại họ