Nâng cao năng lực tự học cho học sinh lớp 11 thông qua bài toán tính khoảng cách trong hình học không gian

1. MỞ ĐẦU
1.1. Lý do chọn đề tài
Nghiên cứu, đổi mới phương pháp giảng dạy là những nhiệm vụ quan trọng của mỗi giáo viên trong giai đoạn hiện nay. Các trường trung học phổ thông đã và đang rất coi trọng việc bồi dưỡng nâng cao năng lực nghiên cứu khoa học cho đội ngũ giáo viên của nhà trường thông qua nhiều hình thức như: Đổi mới sinh hoạt tổ, ứng dụng CNTT trong các các giờ dạy; phát động phong trào viết chuyên đề; sáng kiến kinh nghiệm giảng dạy; nghiên cứu các đề tài khoa học sư phạm ứng dụng; tổ chức ngoại khoá, phát động phong trào “mỗi thầy cô là tấm gương sáng tự học, tự sáng tạo”
Toán học là bộ môn quan trọng trong chương trình phổ thông. Trong môn toán có nhiều đơn vị kiến thức, giáo viên không những tích cực trau dồi, bồi dưỡng kiến thức và phương pháp mới để đạt hiệu quả cao khi truyền tải kiến thức mà còn phải biết khơi dậy và phát huy năng lực tự học và sáng tạo của học sinh. Hơn nữa, trong giai đoạn hiện nay, với cấu trúc đề thi THPT Quốc Gia môn toán có những câu hỏi phân loại mức vận dụng và vận dụng cao, vì vậy mỗi giáo viên phải tìm tòi, sáng tạo hơn nữa để giúp học sinh tìm ra phương pháp mới để có thể tự giải quyết các câu hỏi, bài toán khó trong các đề thi học sinh giỏi, thi THPT Quốc Gia. 
Trong chương trình toán THPT, sách giáo khoa Hình học 11 cơ bản các bài toán tính khoảng cách giữa các đối tượng trong hình học không gian được đưa ra khá đơn giản, học sinh chưa được tiếp cận với cách tính cụ thể dẫn đến phần lớn học sinh học phần hình học không gian lớp 11 còn gặp rất nhiều khó khăn và vướng mắc. Với suy nghĩ làm thế nào để học sinh tự tháo gở những vướng mắc đó và nâng cao năng lực tự học cho bản thân. Từ kinh nghiệm giảng dạy của mình, để giúp học sinh nâng cao năng lực tự học để có thêm kiến thức , sự tự tin trong việc giải quyết các bài toán khó. Đồng thời giúp cho quý Thầy, Cô và các bạn đồng nghiệp dạy Toán có thêm một tài liệu tham khảo trong quá trình giảng dạy bộ môn của mình. Vì vậy, tôi chọn đề tài: 
 ''Nâng cao năng lực tự học cho học sinh lớp 11 thông qua bài toán tính khoảng cách trong hình học không gian''.
1.2. Mục đích nghiên cứu
Giúp các em học sinh lớp 11 rèn luyện kĩ năng giải bài toán tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng trong hình học không gian lớp 11 từ đó học sinh tự tìm ra việc tính khoảng giữa các đối tượng trong hình học không gia là quy về bài toán tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.
Giúp học sinh tự tìm ra phương pháp tối ưu để giải các bài toán tính khoảng cách, đặc biệt là khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau dưới dạng câu hỏi tự luận cũng như dưới dạng câu hỏi trắc nghiệm như hiện nay.
Chia sẻ kinh nghiệm dạy học với quý Thầy, Cô và các bạn đồng nghiệp.
1.3. Phương pháp nghiên cứu.
 	Phương pháp nghiên cứu lí luận: Nghiên cứu sách giáo khoa, tài liệu tham khảo, một số tài liệu liên quan và nguồn tài liệu trên mạng
	Phương pháp quan sát: Quan sát quá trình dạy và học tại trường THPT Như Thanh, Thanh Hoá.
	Phương pháp thực nghiệm sư phạm: Tổ chức dạy học cho học sinh khối 11.
1.4. Phạm vi nghiên cứu của đề tài.
Bài khoảng cách trong hình học không gian lớp 11
Phương pháp, kỹ thuật quy về điểm hình chiếu vuông góc của một điểm lên một mặt phẳng để tính khoảng cách trong hình học không gian lớp 11.
Phương pháp tối ưu để tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau trong không gian và áp dụng vào câu hỏi trắc nghiệm một cách linh hoạt hơn.
Phạm vi áp dụng: Đề tài này có thể áp dụng rộng rãi cho các em học sinh lớp 11, 12 ôn thi THPT Quốc Gia , các em học sinh giỏi và tất cả Thầy, Cô giáo giảng dạy môn Toán ở các trường trung học phổ thông tham khảo
1.5. Điểm mới trong kết quả nghiên cứu.
Nghiên cứu phương giải nhanh bài toán tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng bằng kỹ thuật quy tính khoảng cách từ điểm (là hình chiếu vuông góc của một điểm lên một mặt phẳng lên một mặt phẳng.
Nâng cao năng lực tự học và tạo hứng thú cho học sinh khi giải bài toán tính khoảng cách trong hình học không gian.
Xây dựng hệ thống các bài tập trắc nghiệm mức độ vận dụng và vận dụng cao về bài toán tính khoảng cách trong hình học không gian. 
2. NỘI DUNG 
2.1. Cơ sở lý luận
	Hiện nay, nền giáo dục nước ta đang đổi mới và áp dụng những phương pháp giáo dục hiện đại, nhằm phát huy năng lực tự học, năng lực tư duy sáng tạo, và năng lực giải quyết vấn đề của người học. 
	Việc đổi mới phương pháp dạy và học trong nhà trường phổ thông đang được thực hiện. Việc đổi mới này nhắm đến người học, người học làm trung tâm, chủ động tìm hiểu và giải quyết vấn đề. Người dạy là người hướng dẫn, định hướng và phát huy được năng lực tụ học cho người học.
	Hình học không gian là môn học có cấu trúc chặt chẽ, nội dung phong phú, là môn học đòi hỏi học sinh có tư duy lôgic, trí tưởng tượng không gian, và tính sáng tạo cao. Đặc biệt là bài toán tính khoảng cách là bài toán khó yêu cầu học sinh phải có vốn kiến thức tổng hợp về hình không gian, hình học phẳng từ vẽ hình đến các kiến thức cơ bản để vận dụng vào bài toán cụ thể. 
	Vì vậy, là giáo viên tôi phải áp dụng nhiều phương pháp giáo dục khác nhau trong dạy học phù hợp với từng đối tượng học sinh. Trong đó, việc tổ chức các hoạt động học tập để giúp các em học sinh nắm bắt được những kiến thức cơ bản của hình học không gian nói chung và bài toán tính khoảng cách nói riêng. Bồi dưỡng cho các em khả năng tự học, tự nghiên cứu, độc lập tư duy và nhất là tạo cho các em có sự hứng thú trước các vấn đề khó hay các bài toán khó. Từ đó giúp các em đạt được kết quả cao trong quá trình học tập và vận dụng được các kiến thức, kỹ năng được học vào hoạt động thực tiễn.
2.2. Thực trạng của vấn đề
	Thực trạng học môn Toán hiện nay ở các trường THPT nói chung và trường THPT Như Thanh nói riêng là một bộ phận không nhỏ các học sinh học toán nhưng không hiểu rõ bản chất, chưa chủ động tìm hiểu sâu về một vấn đề dẫn đến các em gặp phải nhiều khó khăn trong quá trình học tập môn toán cũng như các môn học khác.
Ở trường các em học sinh được học sách Hình học 11 cơ bản, các bài tập tương đối đơn giản nhưng trong thực tế bài tập có yêu cầu cao hơn; hình thức thi trắc nghiệm cũng đòi hỏi học sinh phải giải quyết nhanh các bài toán dẫn đến học sinh đã không mấy hứng thú với môn hình học không gian lại còn thấy lúng túng và bế tắc hơn. 
Giáo viên còn hạn chế trong việc nâng cao hiệu quả sử dụng phương pháp, phương tiện, công cụ, thiết bị đồ dùng dạy học bộ môn, phần lớn giáo viên mới chỉ dừng lại ở mức trang bị lý thuyết và giao nhiệm vụ cho học sinh với một vài bài tập cụ thể mà không có hệ thống cho học sinh, chưa khai thác bài toán ở nhiều dạng khác nhau.
Bên cạnh đó còn có nguyên nhân như các em chưa xác định đúng đắn động cơ học tập, chưa có phương pháp học tập cho từng bộ môn, từng phân môn hay từng chuyên đề mà giáo viên đã cung cấp cho học sinh. Cũng có thể do chính các thầy cô chưa chú trọng rèn luyện cho học sinh khả năng tự học, hay phương pháp truyền đạt kiến thức chưa tốt làm giảm nhận thức của học sinh... 
Từ thực trạng trên, là giáo viên dạy Toán trực tiếp giảng dạy khối lớp 11, tôi đã mạnh dạn đưa ra giải pháp để nâng cao năng lực tự học cho các em học sinh và rèn luyện kỹ năng giải các bài toán tính khoảng cách giữa các đối tượng trong hình học không gian lớp 11.
2.3. Giải pháp và tổ chức thực hiện
Trong kỳ thi THPT QG năm 2018, đề thi môn Toán có bài toán:
 Câu 29. Cho hình chóp có là hình chữ nhật , vuông góc với đáy. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng và . 
Đây là bài tương đối khó đối với hầu hết các em học sinh phổ thông, theo tôi lí do là làm thế nào để xác định được đoạn thẳng vuông góc chung của hai đường thẳng AC và SB. Tuy nhiên để tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau không phải lúc nào cũng đi tìm đoạn thẳng vuông góc chung của chúng. Sau đây là cách giải bài toán này.
Giải
Kẻ đường thẳng BE sao cho , 
ta có: , suy ra:
Kẻ tại , tại . Khi đó: 
. Suy ra 
Trong tam giác vuông ABE, ta có: 
Tam giác vuông tại và đường cao nên .
Nhận xét: Để học sinh có thể tự giải được các bài toán dạng câu hỏi trên, đòi hỏi các em đó phải có tổng hợp kiến thức về hình học không gian mà điều này rất ít học sinh có được. Do vậy, các thầy, cô giáo ngoài việc trang bị cho học sinh các kiến thức cơ bản sách giáo khoa còn phải hướng dẫn cho học sinh giải các bài toán về khoảng cách từ dễ đến khó. Từ đó, tôi thấy cần thiết phải xây dựng một cách có hệ thống cách giải và giải nhanh bài toán khoảng cách bằng cách đưa về tính khoảng cách từ điểm (là chân đường vuông góc của đường thẳng với nặt phẳng) đến mặt phẳng, qua đó phát huy được năng lực tự học của học sinh và giúp học sinh giải quyết các câu hỏi vận dụng và vận dụng cao trong đề thi trắc nghiệm THPT QG môn toán hiện nay. 
2.3.1. Giải pháp để giải quyết vấn đề được nêu:
Bước 1. Tổ chức cho học sinh nắm bắt các kiến thức cơ bản về lí thuyết và giải được các bài tập cơ bản của Bài 5: Khoảng cách (SGK Hình học 11, cơ bản) theo phân phối chương trình dạy học. 
Bước 2. Tổ chức bồi dưỡng rèn luyện kĩ năng đua bài toán tính khoảng cách về bài toán tính khoảng cách từ điểm ( là hình chiếu vuông góc của một điểm lên một mặt phẳng) đến một mặt phẳng.
Thời lượng thực hiện thông qua các tiết bài tập và thời lượng các tiết dạy học tự chọn. Qua đây cũng rèn luyện khả năng tự học, phương pháp tư duy sáng tạo và tạo hứng thú học môn hình học không gian cũng như giải các bài toán khó cho học sinh.
2.3.2. Tổ chức thực hiện giảng dạy nội dung: 
	Bài toán tính khoảng cách trong hình học không gian lớp 11
Phần I. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng và khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng 
a) Kiến thức cần nhớ ( SGK Hình học 11, cơ bản).
+ d(M, a) = MH trong đó là hình chiếu của trên a (Hình 1).
+ d(M, (P)) = MH trong đó là hình chiếu của trên ( Hình 2).
Lưu ý: Giáo viên cần củng cố cho học sinh một số kiến thức, như:
+ Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong thì d vuông góc với .
+ Nếu hai mặt phẳng vuông góc với nhau thì bất kì đường thẳng nào nằm trong mặt phẳng này và vuông góc với giao tuyến thì vuông góc với mặt phẳng kia.
b) Bài toán 1: Tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng bằng cách sử dụng điểm hình chiếu vuông góc của một điểm lên một mặt phẳng.
	Giáo viên tổ chức hoạt động cho học sinh rèn luyện kỹ năng tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.
 Cho một điểm M và không chứa , xác định khoảng cách từ đến mp(P)? Vì khoảng cách ( Hình 2) nên luôn nằm trên một nào đó mà vuông góc với . Vì vậy, để xác định khoảng cách này ta cần làm theo các bước sau:
Bước 1. Dựng đi qua và vuông góc với 
Bước 2. Xác định giao tuyến d của và 
Bước 3. Kẻ MH vuông góc với d tại H thì: 
Lưu ý: Các trường hợp đặc biệt :
+ Hình chóp đều có hình chiếu vuông góc của đỉnh lên mặt đáy là tâm của đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy.
+ Hình chóp có các cạnh bên bằng nhau hoặc cùng tạo với mặt đáy một góc bằng nhau thì hình chiếu vuông góc của đỉnh lên mặt đáy là tâm của đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy. 
+ Hình chóp có các mặt bên cùng tạo với mặt đáy một góc thì hình chiếu vuông góc của đỉnh lên mặt đáy là tâm của đường tròn nội tiếp đa giác đáy. 
c) Áp dụng.
Ví dụ 1. Cho hình chóp có là hình vuông cạnh bằng . vuông góc với đáy và . Tính khoảng cách 
a) Từ đến . b) Từ đến 
Hướng dẫn giải.
a) ( Học sinh dễ dàng tính được)
Ta có: 
b) Giáo viên cần hình thành cho học sinh tìm khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng qua ba bước sau:
Bước 1: Xác định được 
.
Bước 2: 
Bước 3:Trong kẻ tại H thì , suy ra .
ÞÞ.
Ví dụ 2. Cho hình chóp đều có cạnh bằng , là trọng tâm của tam giác và N là trung điểm của AB. Tính khoảng cách 
a) Từ đến . b) Từ đến 
c) Từ N đến 
Hướng dẫn giải.
a) ( Học sinh áp dụng trường hợp đặc biệt)
 là hình chóp đều nên trọng tâm của tam giác và cũng là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác . Ta có: 
 mà 
 = .
b) Giáo viên tiếp tục rèn luyện cho học sinh tìm khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng qua ba bước sau:
Ta có: là trung điểm của , hay , và .
Kẻ tại , suy ra: 
. Vậy =
Nhận xét 1: Trong Ví dụ 2. nếu thay yêu cầu tính khoảng cách từ điểm G đến mp(SBC) bằng tính khoảng cách từ trung điểm N của AB đến mp(SBC) thì việc tìm mp(Q) qua N và vuông góc với (SBC) khá là khó đối với học sinh khi mới làm quen với bài toán tính khoảng cách. Vì vậy, giáo viên gợi mở cho học sinh có thể tính khoảng cách đó bằng cách quy về tính khoảng cách từ G đến (SBC), ( G là hình chiếu vuông góc của điểm S lên (ABC)) và sử dụng kết quả sau:
* Nếu không thuộc mà cắt mp(P) tại và thì: 
Thậtvậy, 
 ( Hình 3)
Ví dụ 2. c) Tính khoảng cách từ ( trung điểm của ) đến ()?
 Giải: 
Ta có: (theo câu b) Ví dụ 2).
Ví dụ 3.( Trích đề thi tuyển sinh- Khối A – 2014, môn Toán) Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh bằng a, , hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng () là trung điểm của . Tính khoảng cách từ điểm A đến .
Phân tích bài toán: để tính khoảng cách từ điểm A đến ta cần dựng được hình chiếu vuông góc của A lên , tuy nhiên nếu việc làm này khó khăn thì ta có thể dùng cách khác để tính . Nếu theo Nhận xét 1 ta có thể đưa về tính khoảng cách khác. Vậy, ta có thể đưa việc tính về tính khoảng cách từ điểm nào đến ? Điểm đó có gì đặc biệt?
Áp dụng Bài toán 1.
+ Học sinh lập luận và đưa ra lời giải: 
Bước 1: Đưa việc tính về tính .
Bước 2: Tính với H là hình chiếu vuông góc của S lên (ABCD).
Giải.
Gọi là trung điểm của , nên . Ta có: 
 .
Kẻ tại thì hay ,.
Trong kẻ tại , suy ra: . Ta có: 
 .
Tam giác vuông tại , là đường cao nên: 
.
Vậy .
Nhận xét 2: Trong các ví dụ trên việc tích khoảng cách từ một điểm A đến một mặt phẳng () chúng ta đều phải dựng hình chiếu vuông góc của A lên (). Bài toán dễ dàng giải được nếu ta đưa khoảng cách đó về khoảng cách từ điểm đến (), mà là hình chiếu vuông góc của một điểm trên () lên () nào đó và () phải cắt ().
Khi đó việc tính khoảng cách từ đến () như sau:
+Bước 1: Sử dụng Nhận xét 1. Đưa việc tính về tính 
+Bước 2: Tính .
- Kẻ MI vuông góc với giao tuyến d của () và () tại .
- Kẻ tại thì , suy ra: 
Ví dụ 4. Cho hình lăng trụ đứng tam giác đều có , là trọng tâm của tam giác . Tính khoảng cách từ điểm đến 
Giải.
Gọi là tâm của , ta có: 
=> 
Gọi là trung điểm của , ta có: => hayvà
Trong kẻ tại , suy ra: .
 và 
 .
Vậy .
Phần II. Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song, giữa hai mặt phẳng song song
a) Kiến thức cần nhớ. ( SGK Hình học 11, cơ bản)
+ d(a,(P)) = d(M,(P))	 với a // (P), M là điểm bất kì nằm trên a ( Hình 4).
+ d((P),(Q)) = d(M,(P)) với (P) // (Q), M là điểm bất kì nằm trên (Q) (Hình 5).
b) Bài toán 2: Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song, giữa hai mặt phẳng song song.
Phương pháp giải: 
Bước 1. Bằng định nghĩa chuyển khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song, giữa hai mặt phẳng song song về khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.( tức là chuyển Bài toán 2 về Bài toán 1)
Bước 2. Giải Bài toán 1.
c) Áp dụng.
 Ví dụ 5. Cho hình chóp có tất cả các cạnh bẳng a. Tính khoảng cách giữa và .
Giải.
Ta có: nên . 
Gọi là tâm của thì mà , suy ra: 
Gọi là trung điểm của . Ta có: hay và .
Trong kẻ tại thì nên .
Ta có: , 
Vậy =2.=.
 Ví dụ 6. Cho hình lập phương có cạnh bẳng a. Gọi lần lượt là trung điểm của và . Tính khoảng cách:
a) Giữa và . b) Giữa và . 
Giải.
a) Ta có , suy ra: .
Gọi là tâm của , vì nên .
Ta có: hay mà .
Kẻ tại thì suy ra . 
. Vậy .
b) Ta có:
 nên .
Gọi là giao của và thì là trọng tâm của tam giác , suy ra: , 
 khi đó: 
=. (theo câu a))
Vậy = .
Nhận xét 3: Trong các Ví dụ 5, Ví dụ 6 thì việc tính khoảng cách giữa các đối tượng đều dùng kỹ thuật quy về khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng và điểm đó phải là hình chiếu vuông góc của một điểm lên một mặt phẳng. Đây là kỹ thuật rất cần thiết và quan trọng mà học sinh cân có trong tính khoảng cách.
Phần III. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
a) Kiến thức cần nhớ. ( SGK Hình học 11, cơ bản)
a) Đường thẳng d cắt cả a, b và cùng vuông góc với a, b được gọi là đường vuông góc chung của a, b.
b) Nếu d là đường thẳng vuông góc và cắt a, b tại thì được gọi là đoạn vuông góc chung của a, b.
c) Độ dài đoạn vuông góc chung MN của a, b được gọi là khoảng cách giữa a, b. 
+ trong đó là đoạn vuông góc chung của a và b ( Hình 6).
b) Bài toán 3: Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau.
	Trong không gian cho hai đường thẳng chéo nhau a và b, xác định khoảng cách giữa hai đường thẳng a và b. Ngoại trừ trường hợp đoạn vuông góc chung có sẵn, ta thường dựng đoạn vuông góc chung của a và b như sau:
Cách 1 (Áp dụng khi hai đường thẳng a, b vuông góc):
Bước 1. Dựng chứa b, vuông góc với a tại A ( Hình 7).
Bước 2. Kẻ vuông góc với b tại . Đoạn là đoạn vuông góc chung của a và b.
Cách 2:
Bước 1. Dựng mp() chứa b song song với a, 
Bước 2.Dựng mp() chứa a () ^ (), () cắt b tại 
Bước 3. Từ B dựng cắt a tại . Đoạn là đoạn vuông góc chung của a và b. (Hình 8)
Cách 3:
Bước 1. Dựng tại O và dựng hình chiếu vuông góc b' của b lên ().
Bước 2. Dựng hình chiếu vuông góc của lên b'
Bước 3. Qua dựng d // a và d cắt b tại B, kẻ ^ a tại . Đoạn là đoạn vuông góc chung của a và b. (Hình 9) 
c) Áp dụng.
 Ví dụ 7. Cho hình tứ diện có đôi một vuông góc và . Gọi là trung điểm của . Xác định và tính khoảng cách:
a) Giữa và . b) Giữa và .
Hướng dẫn giải 
a)( Học sinh dễ dàng giải được)
Ta có: nên mà tam giác cân tại . Suy ra là đoạn vuông góc chung của và .
Ta có: 
Nhậ xét: Ở câu a) thì nên việc dựng đoạn vuông góc chung khá dễ dàng. Nhưng ở câu b) này thì việc dựng đoạn vuông góc chung khó hơn, vậy ta sẽ dựng theo cách nào? Nếu quan sát thật kỹ thì có nên ta có thể dùng cách 3 để dựng đoạn vuông góc chung của và như sau:
b) Hướng dẫn giải
Ta có: 
Bước 1 Ta đi dựng hình chiếu vuông góc của lên :
Qua kẻ và cắt tại trung điểm , suy ra , nên là hình chiếu vuông góc của lên . 
Bước 2 Kẻ tại .
Bước 3 Hoàn thành dựng đoạn vuông góc chung của và :
Kẻ () và kẻ (). Khi đó là đoạn vuông góc chung của và và . Ta có: 
. Vậy .
Ví dụ 8. Cho hình chóp có là hình vuông cạnh bằng a, vuông góc với và = a. Tính khoảng cách giữa và . 
Hướng dẫn giải.
Ta đi dựng đoạn vuông góc chung của và theo cách 2 như sau:
Dựng đường thẳng , dựng tại , suy ra , kẻ tại , kẻ ( ) và kẻ (). Khi đó là đoạn vuông góc chung của và và . 
Ta có là hình vuông nên , tam giác vuông tại và là đường cao nên
 . Vậy = .
Nhận xét 4: 
+ Ở Ví dụ 7a) thì việc dựng đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau này rất đơn giản nên học sinh có thể áp dụng và làm rất nhanh.
+ Còn ở Ví dụ 7b), Ví dụ 8 thì việc dựng đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau gặp khó khăn. Nếu như học sinh không nắm được cách dựng cho mỗi trường hợp cụ thể, nhất là không nắm rõ bản chất của nó dẫn đến học sinh không mấy hứng thú gì đến bài toán này. 
Khi đó học sinh cần biết cách chuyển khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau qua các khoảng cách quen thuộc hơn nhờ hai kết quả sau ta có thể chuyển bài toán này qua Bài toán 1.
Kết quả 1: ( SGK Hình học 11, cơ bản) Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b bằng khoảng cách giữa một trong hai đường thẳng đó đến mặt phẳng song song với nó và chứa đường thẳng còn lại.( Hình 10)
Kết quả 2: ( SGK Hình học 11, cơ bản) Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song lần lượt chứa hai đường thẳng đó.( Hình 11)
* Đến đây giáo viên cần cho học sinh xác định rõ các bước (hay kỹ thuật) chuyển Bài toán 3 về Bài toán 1 như sau:
Bước 1: Dựng mp() chứa đường thẳng b và () // a. ( Hình 10, Hình 11)
Bước 2: Quy 
Bước 3: Quy , M là điểm thuộc đường thẳng a.(Bài toán 1)
Ví dụ 8. Cách giải 2:
Dựng đường thẳng thì nên: 
Kẻ tại , suy ra hay . Kẻ tại và suy ra: .
Ta có là hình vuông nên .
Tam giác vuông tại và là đường cao nên . Vậy = 
Ví dụ 7. câu b) Cách giải 2:
Kẻ thì nên: 
=. Ta có . 
Kẻ thì 
. Tam giác vuông tại và là chiều cao nên: .
Vậy .
Ví dụ 9. Cho hình chóp có là hình chữ nhật , và . Gọi lần lượt là trung điểm của và . Tính khoảng cách giữa và . 
Giải.
Ta có thì nên 
, mà suy ra: . 
Ta có hay 
.
Kẻ tại thì 
Tam giác vuông tại l