Một số giải pháp rèn kĩ năng giải các bài toán về đếm hình cho học sinh năng khiếu lớp 4, 5

1.MỞ ĐẦU
1.1 Lí do chọn đề tài
Quá trình dạy học Toán trong chương trình Tiểu học được chia thành hai giai đoạn : giai đoạn các lớp 1, 2, 3 và giai đoạn các lớp 4, 5. Ở giai đoạn lớp 1, 2, 3 có thể coi là giai đoạn học tập cơ bản còn giai đoạn lớp 4, 5 có thể coi là giai đoạn học tập sâu( so với giai đoạn trước). Ở lớp 1, 2, 3 học sinh chủ yếu chỉ nhận biết khái niệm ban đầu, đơn giản qua các ví dụ cụ thể với sự hỗ trợ của các vật thực hoặc mô hình, tranh ảnh, ... do đó chủ yếu chỉ nhận biết “ cái toàn thể”, “cái riêng lẻ”, chưa làm rõ các mối quan hệ, các tính chất của sự vật, hiện tượng. Giai đoạn lớp 4, 5 học sinh vẫn học tập các kiến thức và kĩ năng cơ bản của môn toán nhưng ở mức sâu hơn, khái quát hơn, tường minh hơn . Nhiều nội dung toán học có thể coi là trừu tượng, khái quát đối với học sinh ở giai đoạn lớp 1, 2, 3 thì đến lớp 4, 5 lại trở nên cụ thể, trực quan và được dùng làm chỗ dựa ( cơ sở) để học các nội dung mới. Một minh chứng cụ thể cho điều này là nội dung Hình học ở Tiểu học: Chẳng hạn ở lớp 1, 2, 3 học sinh chỉ nhận biết về hình tam giác, hình tròn dựa vào biểu tượng. Sang lớp 4, 5 học sinh nhận biết hình tam giác, hình tròn, ... dựa vào đặc điểm của hình( các yếu tố cạnh, góc, đỉnh của hình tam giác; các yếu tố như tâm bán kính, đường kính của hình tròn). Chính vì điều này mà yêu cầu về kiến thức, kĩ năng, phương pháp dạy ở mỗi giai đoạn cũng có sự khác nhau. 
Bản thân tôi là một giáo viên nhiều năm được phân công dạy lớp 4, 5. Bên cạnh đó tôi còn được phân công mảng bồi dưỡng học sinh năng khiếu môn Toán. Khi dạy, tôi rất quan tâm và đầu tư cho phần Hình học vì đây là một nội dung khó đối với học sinh. Nội dung của Hình học ở tiểu học rất đa dạng và xuyên suốt từ lớp 1 đến lớp 5. Ví dụ : điểm, đoạn thẳng... ở lớp 1; hình vuông , hình chữ nhật... ở lớp 2; chu vi, diện tích, ...ở lớp 3; hình bình hành, hình thoi ở lớp 4; diện tích xung quanh, thể tích, ...ở lớp 5 . Dạng bài tập về đếm hình cũng là một nội dung được chương trình đề cập đến suốt từ lớp 1 đến lớp 5.
Ngay từ lớp 1, học sinh đã được học các bài toán về đếm hình nhưng ở dạng đơn giản, sang lớp 2, 3, 4 lượng bài tập về dạng này ngày càng tăng và yêu cầu về ,mức độ mỗi ngày một khó hơn. Chính vì thế đếm hình trở nên gần gũi và quen thuộc đối với các em. Đếm hình giúp cho các em có một cách suy nghĩ, một phương pháp “tương tự” , năng lực khái quát khi tập quan sát giải quyết vấn đề trước một bài toán ( một tình huống) có trong thực tế.
Nói đến đếm hình tưởng như đơn giản nhưng khi dạy đếm hình, tôi thấy mình còn gặp nhiều khó khăn về phương pháp dạy .Song với trách nhiệm của một giáo viên, tôi đã có được sự đầu tư nhất định trong việc nghiên cứu, tìm tòi để đưa ra một phương pháp dạy phù hợp giúp cho quá trình dạy bồi dưỡng học sinh giỏi của mình đạt hiệu quả.Trong khuôn khổ bài viết tôi xin được nêu ra 
“ Một số giải pháp rèn kĩ năng giải các bài toán về đếm hình cho học sinh năng khiếu lớp 4, 5”. Rất mong bạn đọc góp ý để giúp tôi có thêm kinh nghiệm vận dụng vào quá trình dạy học được tốt hơn.
1.2. Mục đích nghiên cứu: 
Mục đích nghiên cứu của đề tài là tìm ra các phương pháp nhằm giúp học sinh  rèn kĩ năng giải các bài toán về đếm hình trong chương trình toán lớp 4,5. 
1.3 Đối tượng nghiên cứu: 
	- Các bài toán về đếm hình trong chương trình lớp 4,5.
Học sinh lớp 4,5 .
1.4 Phương pháp nghiên cứu:
 - Tìm hiểu và phân tích nguyên nhân.	
 - Gợi mở vấn đáp, luyện tập thực hành...	
 - Xây dựng hệ thống bài tập.
 - Lên kế hoạch và tổ chức thực hiện kế hoạch, đánh giá rút kinh nghiệm. 
2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM.
2.1. Cơ sở lí luận:
	ViÖc d¹y to¸n ë TiÓu häc nh»m gióp c¸c em biÕt vËn dông kiÕn thøc to¸n tõ lý thuyÕt vµo thùc hµnh, rÌn luyÖn kü n¨ng thùc hµnh víi nh÷ng yªu cÇu hÕt søc ®a d¹ng vµ phong phó. MÆt kh¸c, th«ng qua viÖc gi¶i to¸n, häc sinh x¸c lËp l¹i ®­îc kiÕn thøc lý thuyÕt ®· häc tõ ®ã t¹o kh¶ n¨ng t×m ra nhiÒu c¸ch gi¶i míÝ cã tÝnh thùc tiÔn cao h¬n.
	Trong d¹ng to¸n “®Õm h×nh” chøa ®ùng trong nã lµ mèi quan hÖ gi÷a : §iÓm - §o¹n th¼ng - H×nh h×nh häc ( §iÓm vµ ®o¹n th¼ng lµ gèc rÔ cña h×nh häc trong ch­¬ng tr×nh phæ th«ng). Nh­ vËy d¹ng to¸n đếm hình cã thÓ x©y dùng ph­¬ng ph¸p gi¶i th«ng qua viÖc x¸c ®Þnh sè ®iÓm vµ sè ®o¹n th¼ng trong h×nh.
	Víi nh÷ng lý do ®· nªu, bµi tËp nghiªn cøu nghiÖp vô s­ ph¹m nµy xin ®­îc ®Ò cËp ®Õn vÊn ®Ò : " Ph­¬ng ph¸p d¹y häc d¹ng to¸n ®Õm h×nh cho häc sinh TiÓu häc" .
 Việc dạy Toán ở Tiểu học nhằm giúp các em biết vận dụng kiến thức toán từ lí thuyết vào thực hành, rèn luyện kỹ năng thực hành với những yêu cầu hết sức đa dạng và phong phú. Mặt khác, thông qua việc giải toán, học sinh xác lập lại được kiến thức lý thuyết đã học, từ đó tạo khả năng tìm ra nhiều cách giải mới có tính thực tiễn cao hơn.
 Trong dạng toán “ đếm hình” chứa đựng trong đó là mối quan hệ giữa : Điểm – Đoạn thẳng – Hình hình học ( Điểm và đoạn thẳng là gốc rễ của hình học trong chương trình Toán Tiểu học). Như vậy dạng toán đếm hình có thể xây dựng phương pháp giải thông qua việc xác định số điểm và số đoạn thẳng trong hình.
Xác định rõ nhiệm vụ trọng tâm của quá trình dạy học và nâng cao hiệu quả giảng dạy.Từ kinh nghiệm giảng dạy của mình, bản thân tôi đã nghiên cứu tìm tòi và rút ra được “ Một số giải pháp rèn kĩ năng giải các bài toán về đếm hình cho học sinh năng khiếu lớp 4, 5”. 
 2.2.thực trạng về việc dạy- học dạng bài đếm hình
a. Thực trạng dạy của giáo viên
Những năm học trước, khi dạy bồi dưỡng học sinh năng khiếu Toán phần Hình học (dạng bài về đếm hình), do chưa có kinh nghiệm nên tôi thường gặp đâu dạy đấy, không dạy theo một hệ thống phương pháp hay một quy tắc nào. Hơn nữa là sự chủ quan của bản thân vì tôi cho rằng đếm hình là dễ đối với học sinh, chỉ dùng phương pháp đếm “thủ công” học sinh cũng có thể đếm được nên khi dạy tôi thường bỏ qua một số giai đoạn thực sự cần thiết giúp cho các em có kĩ năng làm bài .Chẳng hạn: khi dạy học sinh đếm số hình vuông hoặc hình chữ nhật trong một hình cho trước tôi thường cho học sinh dựa vào trực giác( quan sát hình bằng mắt) để đếm từng hình sau đó rút ra kết luận về số hình mà đề bài yêu cầu chứ không hình thành và khắc sâu cho học sinh một quy tắc hay một kĩ năng đếm nào cả. Dẫn đến học sinh nắm bài một cách hời hợt, kết quả bài làm thấp.
b. Thực trạng học của học sinh:
Do những lí do từ phía giáo viên nên khi dạy dạng toán này cho học sinh tôi nhận thấy một thực tế : các em thường rất lúng túng trong khâu làm bài như: Không biết đếm loại hình nào trước, loại hình nào sau; không biết dựa vào cơ sở nào để đếm. Đa số các em gặp đâu đếm đó, cũng có em đã biết phân loại hình để đếm nhưng số này rất ít. Nói chung kĩ năng đếm hình của các em còn hạn chế . Còn về khâu trình bày lời giải các em cũng bộc lộ nhiều điểm yếu như : Không biết trình bày lời giải hoặc trình bày lời giải cộc lốc theo câu hỏi mà đề bài đã hỏi . Chẳng hạn: ở hình vẽ có a hình tam giác; hoặc ở hình vẽ có b hình tứ giác; số hình tam giác có trong hình là...Chính vì thế mà kết quả nắm kiến thức và vận dụng vào bài làm của học sinh những năm học trước là rất khiêm tốn.
c. Kết quả của thực trạng trên
Điều tra thực trạng tôi đã phân loại hai thực trạng như sau: 
Đánh giá kĩ năng làm bài của học sinh 
Tỉ lệ phần trăm
Đếm đủ số hình theo yêu cầu của đề bài
45,4 %
Đếm đủ số hình bé mà bỏ sót hình lớn
27,3 %
Đếm hình bi lặp lại 
18,2 %
Chưa biết vận dụng hoặc còn lúng túng
9,1 % 
Để khắc phục tình trạng trên tôi đã tìm tòi, nghiên cứu và đưa ra cho mình một phương pháp dạy phù hợp với trình độ và năng lực của học sinh, nâng cao hiệu quả dạy học.
2.3. Các giải pháp thực hiện
a.Giải pháp thứ nhất: Tìm hiểu và phân tích nguyên nhân
Sau khi điều tra tìm hiểu nguyên nhân tôi thấy có 3 lí do dẫn đến chất lượng bài làm thấp đó là:
- Nguyên nhân thứ nhất: Giáo viên hướng dẫn học sinh lĩnh hội kiến thức không có hệ thống gặp đâu dạy đấy vì vậy học sinh nắm bài hời hợt.
- Nguyên nhân thứ hai: Trong quá trình dạy, giáo viên chưa biết cách giúp học sinh ghi nhớ về phương pháp giải từng dạng bài.
- Nguyên nhân thứ ba là : Một số học sinh chưa nắm vững đặc điểm, bản chất của một số hình đã học.
b. Giải pháp thứ hai: Nghiên cứu tài liệu sách tham khảo kết hợp với những kinh nghiệm của bản thân để xây dựng cho mình một phương pháp dạy phù hợp với trình độ và năng lực của học sinh.Cụ thể các phương pháp áp dụng là: Gợi mở vấn đáp, luyện tập thực hành...
c. Giải pháp thứ ba: Xây dựng hệ thống bài tập theo từng mức độ và từng giai đoạn nhận thức của học sinh.hệ thống bài tập gồm:
- Bài tập củng cố.
- Bài tập nâng cao.
- Bài tập mở rộng và vận dụng thực tế 
d. Giải pháp thứ tư: Lên kế hoạch và tổ chức thực hiện kế hoạch, có đánh giá rút kinh nghiệm 
*. Các biện pháp tổ chức thực hiện: 
Khi dạy dạng toán về đếm hình tôi thường làm theo một quy trình như sau.
1. Củng cố cho học sinh cách đếm hình bằng phương pháp thông thường đã học ở lớp dưới
Như chúng ta đã biết, ở lớp 1, 2, 3 học sinh đã làm quen với các bài toán về đếm hình như: Đếm số hình tam giác, đếm số hình vuông, hình chữ nhật, đếm số đoạn thẳng... nhưng các bài toán này thường ở dạng đơn giản mà bằng cách đếm “ thủ công” học sinh cũng có thể đếm được. Lên lớp 4,5 có nhiều bài toán nếu dùng cách đếm ấy chắc chắn học sinh sẽ gặp rất nhiều khó khăn. Vì vậy mục đích của việc củng cố này là giúp học sinh khắc sâu những kiến thức đã học trước đó và tiếp sau đó khi học những bài toán cùng dạng nhưng mức độ khó hơn, yêu cầu cao hơn thì học sinh thấy được sự khó khăn khi dùng cách đếm cũ ( đã học ) từ đó mà giáo viên gợi mở được vấn đề giúp các em tìm ra cách làm mới có hiệu quả .
a. Những ví dụ minh hoạ
* Ví dụ 1: Hình dưới có bao nhiêu đoạn thẳng?
A
C
D
E
B
H
 	 - Bước 1:Phân tích
 Trước hết giáo viên cần củng cố cho học sinh hiểu rõ về điều kiện để có một đoạn thẳng là :
+ Có hai đầu mút, hai đầu mút chính là hai điểm .
+ Nếu chọn một trong các điểm của hình là đầu mút thứ nhất thì điểm còn lại làm đầu mút thứ hai.
+ Kể từ trái sang phải : Ta chọn lần lượt từng điểm làm đầu mút thứ nhất của đoạn thẳng thì các điểm còn lại làm đầu mút thứ hai, thứ ba,...
 	-Bước 2: Hướng dẫn giải bài toán : 
Bài giải
- Cách1:
+ Có 5 đoạn thẳng nhận A làm đầu mút thứ nhất của mỗi đoạn thẳng
+ Có 4 đoạn thẳng nhận C làm đầu mút thứ nhất của mỗi đoạn thẳng
+ Có 3 đoạn thẳng nhận D làm đầu mút thứ nhất của mỗi đoạn thẳng
+ Có 2 đoạn thẳng nhận E làm đầu mút thứ nhất của mỗi đoạn thẳng
+ Có 1 đoạn thẳng nhận B làm đầu mút thứ nhất của mỗi đoạn thẳng
 Vậy số đoạn thẳng có trong hình là
 5 +4 + 3 + 2 + 1 = 15 ( đoạn thẳng)
 Đáp số : 15 đoạn thẳng
Cách 2:
+ Có 5 đoạn thẳng mà mỗi đoạn thẳng chỉ có 1 đoạn thẳng nhỏ
( AC; CD; DE; EH ; HB)
+ Có 4 đoạn thẳng mà mỗi đoạn thẳng gồm 2 đoạn thẳng nhỏ
( AD; CE; DH;EB)
+ Có3 đoạn thẳng mà mỗi đoạn thẳng gồm 3 đoạn thẳng nhỏ
(AE; CH; DB)
+ Có 2 đoạn thẳng mà mỗi đoạn thẳng gồm 4 đoạn thẳng nhỏ
(AH; CB)
+ Có 1 đoạn thẳng mà mỗi đoạn thẳng gồm 5 đoạn thẳng nhỏ
(AB)
 	Vậy số đoạn thẳng có trong hình là: 
 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15( đoạn thẳng)
Đáp số : 15 đoạn thẳng
 Sau phần này tôi lưu ý học sinh: Có thể đếm theo cách quen thuộc đã gặp : đếm số đoạn thẳng nhỏ trước rồi đếm các đoạn thẳng lớn hơn sau đó cộng tổng các đoạn thẳng lại.
A
* Ví dụ 2: Ở hình bên
2
3
1
có bao nhiêu tam giác ? 
K
C
B
H
-Bước 1: Phân tích
 	Ta thấy tất cả các tam giác đều có chung đỉnh A nên cứ lấy điểm A kết hợp với hai điểm còn lại nằm trên đoạn thẳng BC ta lại được một tam giác .Vậy số lượng các tam giác phụ thuộc vào hai điểm còn lại, hai điểm đó tạo thành đoạn thẳng nằm trên BC ( Số đoạn thẳng đó nằm trên đoạn thẳng lớn BC gồm các đoạn thẳng: BH,HK, KC, KB, HC, BC ) 
 	Ngoài ra nếu ta đánh số thứ tự như hình vẽ ta có thể thấy các tam giác gồm một tam giác nhỏ ; hai tam giác nhỏ; ba tam giác nhỏ vì vậy ta có thể đếm hình dựa vào số thứ tự có trong hình đó
- Bước 2: Hướng dẫn giải bài toán
Bài giải
 	+ Cách 1: Ta thấy tất cả các tam giác đều có chung đỉnh A và đáy tam giác đó là đoạn thẳng nằm trên đoạn BC vậy ta liệt kê được 6 tam giác theo tên đỉnh của nó là: ABH, AHK, AKC, AKB, AHC, ABC
 	+ Cách 2: Nếu đánh số thứ tự và liệt kê các tam giác ta được 6 tam giác theo số thứ tự đã ghi trong hình là: : Hình 1, Hình 2, Hình 3, Hình( 1+2); Hình( 2+3); Hình( 1+2+3)
	*Để tránh việc áp đặt học sinh, sau phần này tôi lưu ý các em: Không chỉ có hai cách đếm nêu trên mà còn có các cách đếm khác nữa các em có thể tham khảo thêm hoặc tìm tòi nghiên cứu để tìm thêm một số cách đếm khác nâng cao kĩ năng làm bài cho mình.
 A
B
1
* Ví dụ 3: 
N
M
Hình bên có bao nhiêu hình chữ nhật? 
2
Q
PP
3
CP
D
Bài giải
Cách 1: Nếu đặt tên cho các điểm trong
 hình ta liệt kê được 6 hình chữ nhật có tên 
là: ABNM; MNPQ; QPCD; ABPQ; MNCD; ABCD. 
 Cách 2: Nếu đánh số cho các hình ta sẽ tìm được 6 hình chữ nhật đó là: Hình1; Hình 2; Hình3; Hình( 1+2); Hình(2+3); Hình(1+2+3)
 	b. Rút ra những điểm cần lưu ý sau 3 ví dụ trên:
 	- Cách đếm thứ nhất không theo một quy luật nào nên cách đếm này thường chỉ phù hợp với những bài toán có số lượng hình yêu cầu đếm ít ( như ba ví dụ trên). Còn nếu có những bài toán mà đỉnh của các tam giác như trong ví dụ 1 nhiều lên hoặc số điểm nằm trên đường thẳng của ví dụ 1 tăng lên thì chắc chắn học sinh sẽ đếm thiếu hoặc đếm bị lặp lại.
 - Cách đếm thứ hai có tốt hơn vì việc đánh số thứ tự hình đơn, hình ghép đôi, hình ghép ba thì khi đếm sẽ không bỏ sót hình nhưng cũng sẽ vất vả hơn khi phải liệt kê quá nhiều tam giác( trường hợp số đỉnh trong ví dụ 2 nhiều lên hoặc số điểm trên đường thẳng tăng lên.)
 	 2. Vận dụng đếm hình bằng phương pháp thông thường với những bài toán có tính chất nâng cao.
 	Với những cách đếm hình nêu trên , tôi tiếp tục ra cho học sinh những bài toán tương tự nhưng với số lượng hình cần đếm tăng lên. Mục đích của việc dạy các bài toán này là giúp học sinh thấy được cái thuận lợi và khó khăn khi vận dụng từng cách đếm vào bài làm của mình để từ đó tìm tòi phát hiện ra cách đếm thuận lợi nhất cho các bài toán dạng này
 	 a. Những ví dụ minh hoạ
* Ví dụ 1: Hình bên có bao nhiêu tam giác? 
- Bước1: Phân tích
 	Ở hình vẽ có những tam giác mà chỉ gồm một tam giác nhỏ, có những tam giác gồm 4 tam giác nhỏ gộp lại. Ở đây không có hình tam giác nào mà mỗi hình gồm 2 hoặc ba tam giác.Vậy dựa vào những căn cứ nêu trên ta có thể đếm theo từng loại tam giác : Tam giác có một tam giác nhỏ, tam giác có 4 tam giác nhỏ,...
 	- Bước 2: Hướng dẫn giải bài toán:
Bài giải
+Có 9 hình tam giác mà mỗi hình chỉ gồm 1 tam giác nhỏ
+Có 3 hình tam giác mà mỗi hình chỉ gồm 4 tam giác nhỏ
+Có 1 hình tam giác mà mỗi hình gồm 9 tam giác nhỏ
 Vậy số hình tam giác đếm được là: 9 + 3 + 1= 13( hình)
 Đáp số : 13 hình
* Ví dụ 2. Ở hình vẽ bên (Các hình chữ nhật nhỏ có cùng chiều dài và chiều rộng). Đếm số hình chữ nhật có trong hình vẽ đó? Có những loại hình chữ nhật nào 
- Bước 1: Phân tích.
 	Nếu ta coi chiều dài của mỗi hình chữ nhật bé là a, chiều rộng của mỗi hình chữ nhật bé là b. Ta có 
 + Loại hình chữ nhật có chiều dài là a,chiều rộng là b.
 + Loại hình chữ nhật có chiều dài là a x 2; a x 3... chiều rộng là b...v v
 	Dựa vào đặc điểm đó ta sẽ đếm được số hình chữ nhật theo từng loại
-Bước 2: Hướng dẫn Giải bài toán
Bài giải
 	+ Có 9 hình chữ nhật có chiều dài là a ;chiều rộng là b
+ Có 6 hình chữ nhật có chiều dài là a x 2 ; chiều rộng là b;
+ Có 3 hình chữ nhật có chiều dài là a x 3; chiều rộng là b;
+ Có 6 hình chữ nhật có chiều dài là a; chiều rộng là b x 2;
+ Có 4 hình chữ nhật có chiều dài là a x 2; chiều rộng là b x 2;
+ Có 2 hình chữ nhật có chiều dài là a x 3 ;chiều rộng là b x 2 ;
+ Có 3 hình chữ nhật có chiều dài là a ;chiều rộng là b x 3;
+ Có 2 hình chữ nhật có chiều dài là a x 2 ;chiều rộng là b x 3;
+ Có 1 hình chữ nhật có chiều dài là a x 3; chiều rộng là b x 3;
 	 Số hình vẽ đã cho trong hình chữ nhật là
 	 9 + 6 + 3 + 6 + 4 + 2 + 3 + 2 + 1 = 36 (hình)
( Lưu ý hình chữ nhật có chiều dài là a và chiều rộng là b , thì cũng chính là hình chữ nhật có chiều rộng là b và chiều dài là a.Tương tự hình chữ nhật có chiều dài là bx2 và a x2... ) 
 	Đáp số: 36 hình
 	* Ví dụ 3. Mỗi hình vuông nhỏ trong hình có cạnh 1 cm
 	a. Ở hình vẽ có bao nhiêu hình chữ nhật .
 	b. Tính tổng chu vi và tổng của tất cả các hình vuông , hình chữ nhật
- Bước 1: Phân tích. 
 	+ Yêu cầu ở câu a là đếm số hình chữ nhật trong hình có nghĩa là ngoài việc đếm số hình chữ nhật ta còn phải tính cả hình vuông (vì hình vuông là hình chữ nhật đặc biệt có chiều dài bằng chiều rộng)
 	+ Yêu cầu ở câu b đã yêu cầu tính riêng số hình vuông thì ta chỉ xét những hình chữ nhật có chiều dài lớn hơn chiều rộng .
 Chính vì thể trong cách đếm hình cần chỉ rõ hai loại hình chữ nhật: có chiều dài bằng chiều rộng và hình chữ nhật có chiều dài lớn hơn chiều rộng
- Bước 2: Hướng dẫn giải bài toán.
	Bài giải
a. Đếm số hình chữ nhật có chiều dài bằng chiều rộng( Hình chữ nhật đặc biệt thông thường ta gọi là hình vuông) ta được:
+ Số hình vuông có cạnh 1 cm là 12 hình
+ Số hình vuông có cạnh 2 cm là 6 hình
+ Số hình vuông có cạnh 3 cm là 2 hình
 Đếm số hình chữ nhật có chiều dài lớn hơn chiều rộng ta có:
+ 17 hình chữ nhật chiều rộng 1 cm chiều dài 2 cm 
+ 10 hình chữ nhật chiều rộng 1 cm chiều dài 3 cm 
+ 3 hình chữ nhật chiều rộng 1 cm chiều dài 4 cm 
+ 7 hình chữ nhật chiều rộng 2 cm chiều dài 3 cm 
+ 2 hình chữ nhật chiều rộng 2 cm chiều dài 4 cm 
+ 1 hình chữ nhật chiều rộng 3 cm chiều dài 4 cm
 	Vì hình vuông là hình chữ nhật đặc biệt nên tổng số hình chữ nhật có trong hình là
 	12 + 6 + 2 + 17+ 10 + 3 + 7 + 2 + 1 = 60 (hình)
 b. Tổng chu vi của tất cả các hình là:
 1 x4 x 12 + 2 x 4 x 6 + 3 x 4 x 2 = 120( cm)
 ( Vì đã có số hình cụ thể nêu ở câu a nên ta chỉ việc thay giá trị cụ thể vào từng trường hợp là tính được kết quả)
 	b. Một số điểm rút ra từ phương pháp dạy các bài tập đếm hình bằng phương pháp thông thường
 	- Cách đếm này rèn luyện cho học sinh đức tính cẩn thận , chu đáo với công việc vì: Quá trình đếm rất cụ thể , theo một trình tự khoa học.
 	- Khi đếm hình học sinh phải tự sắp xếp cho mình cách trình bày rõ ràng mạch lạc.
 	- Quá trình đếm cũng đã nâng cao năng lực khái quát cho học sinh cụ thể đến tổng thể , giúp học sinh định hướng được cách giải quyết vấn đề khi đứng trước một vấn đế cụ thể.
 	Tuy nhiên cách đếm này rất tỉ mỉ tường minh nên thường chỉ vận dụng vào những bài toán có có số hình yêu cầu đếm vừa phải . Đặc biệt là những bài toán liên quan đến chu vi diện tích của mỗi hình cụ thể có trong hình, còn với những bài toán đếm hình với số lượng nhiều nếu vận dụng phương pháp này chắc chắn học sinh sẽ gặp khó khăn.
 	3. Hình thành cách đếm hình bằng phương pháp vận dụng quy luật 
 	Từ việc rút ra những ưu điểm, nhược điểm của các cách đếm hình ở những ví dụ trước tôi đã dẫn dắt học sinh đi đến một cách đếm phù hợp với những bài toán có số lượng hình nhiều bằng phương pháp vận dụng quy luật để đếm.
 	* Ví dụ 1: Hình vẽ bên có bao nhiêu đoạn thẳng
A
B
C
D
G
E
-Bước 1: Phân tích. Trước hết cần giúp học sinh nắm được điều kiện để xác định được một đoạn thẳng ( Đã nêu ở phần 1)
 Giúp học sinh nhận ra:
+ Cứ mỗi điểm là một đầu mút của một đoạn thẳng thì hình vẽ có 6 điểm. Vậy sẽ có 6 cách chọn đầu mút thứ nhất của đoạn thẳng
+ Cứ mỗi điểm của đầu mút thứ nhất sẽ kết hợp với một điểm của đầu mút còn lại ( 6 –1 = 5 điểm) được một đoạn thẳng
+ Một điểm ứng với 5 đoạn vậy 6 điểm ứng với 6 x 5 = 30 đoạn
 Nhưng trong đó mỗi đoạn thẳng được tính 2 lần ( chẳng hạn đoạn thẳng AB cũng là đoạn thẳng BA) nên số đoạn thẳng là thực tế có trong hình là: (6 x 5) : 2 = 15 đoạn 
- Bước 2: Hướng dẫn giải bài toán:
 Vì có 6 điểm riêng biệt nên có 6 cách chọn đầu thứ nhất của mỗi đoạn thẳng . Cố định cách chọn đầu thứ nhất của đoạn thẳng thì ta có 6 – 1 cách chọn đầu thứ hai của đoạn thẳng. Với cách chọn như thế , mỗi đoạn thẳng đã được tính hai lần , vì vậy số đoạn thẳng trong hình là đã cho là
 6 x ( 6 – 1 ): 2 = 15 ( đoạn thẳng)
- Bước 3:Giúp học sinh nhận ra quy luật.
 	Từ bài toán trong ví dụ 1 t