Định hướng khai thác giả thiết vị trí tương đối giữa mặt cầu với mặt phẳng, mặt cầu với đường thẳng để giải một số bài toán phương pháp tọa độ trong không gian - Hình học lớp 12

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ
TRƯỜNG THPT HOẰNG HOÁ 4
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
ĐỊNH HƯỚNG KHAI THÁC GIẢ THIẾT
 VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA MẶT CẦU VỚI MẶT PHẲNG, MẶT CẦU VỚI ĐƯỜNG THẲNG ĐỂ GIẢI MỘT SỐ 
BÀI TOÁN PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ 
TRONG KHÔNG GIAN - HÌNH HỌC LỚP 12
Người thực hiện: Nguyễn Hữu Các
Chức vụ: Giáo viên
SKKN thuộc môn: Toán
THANH HÓA, NĂM 2018
MỤC LỤC Trang
1. MỞ ĐẦU
1.1. Lí do chọn đề tài.
 Toán học là một trong những môn học khó, học sinh muốn học tốt cần phải hiểu được bản chất của các vấn đề, biết được định hướng khai thác các giả thiết để vận dụng giải các bài tập. Mặt khác bài tập toán rất đa dạng và phong phú, trong phân phối chương trình số tiết ôn tập lại không nhiều so với nhu cầu luyện tập các dạng bài tập cho học sinh. Chính vì thế, giáo viên khi giảng dạy cần phải định hướng cho học sinh cách khai thác giả thiết một cách tốt nhất, hiệu quả nhất nhằm giúp các em có định hướng trong việc giải bài tập. Hướng dẫn cho học sinh định hướng khai thác giả thiết sẽ tạo cho học sinh có cảm giác mình đã giải được bài toán, tạo cho học sinh niềm say mê, sự hứng thú và yêu thích môn học. 
	 Trong các đề thi trung học phổ thông Quốc gia, đề thi học sinh giỏi những năm gần đây, các câu hỏi có liên qua tới vị trí tương đối của mặt cầu với mặt phẳng, mặt cầu với đường thẳng rất đa dạng và phong phú, đồng thời nhóm câu hỏi này thường nằm trong các câu hỏi thuộc nhóm câu hỏi vận dụng hay vận dụng cao. Gặp những câu hỏi liên quan đến chủ đề này học sinh thường lúng túng trong việc tìm ra định hướng giải quyết bài toán, cách khai thác giả thiết khi biết vị trí tương đối. Giúp học sinh tìm ra định hướng giải toán là một trong những phương pháp giảng dạy giúp học sinh tự tìm tòi và sáng tạo trong việc lĩnh hội tri thức nhanh nhất và hiệu quả nhất
	 Qua thực tế 15 năm giảng dạy ở trường trung học phổ thông tôi đã tìm tòi và nghiên cứu định hướng khai thác giả thiết thông qua vị trí tương đối giữa mặt cầu với mặt phẳng, mặt cầu với đường thẳng nhằm giúp học sinh giải được các dạng bài tập khó về chủ đề này. Vì vậy tôi chọn đề tài sáng kiến kinh nghiệm để nghiên cứu là: 
“Định hướng khai thác giả thiết vị trí tương đối giữa mặt cầu với mặt phẳng, mặt cầu với đường thẳng để giải một số bài toán phương pháp tọa độ trong không gian – Hình học lớp 12”
1.2. Mục đích nghiên cứu.
 Mục đích của đề tài này là giúp các em học sinh tìm tòi được hướng giải các bài toán có liên quan tới mặt cầu trong chủ đề phương pháp tọa độ trong không gian thông qua việc khai thác giả thiết về vị trí tương đối. Từ đó các em có thể phân loại và đưa ra các phương pháp giải các bài tập liên qua tới mặt cầu một cách nhanh nhất, chính xác và đạt hiệu quả cao nhất.
1.3. Đối tượng nghiên cứu.
Đề tài “Định hướng khai thác giả thiết vị trí tương đối giữa mặt cầu với mặt phẳng, mặt cầu với đường thẳng để giải một số bài toán phương pháp tọa độ trong không gian – Hình học lớp 12” tập trung nghiên cứu hệ thống các kiến thức trọng tâm về vị trí tương đối giữa mặt cầu với mặt phẳng, với đường thẳng và cách khai thác các giả thiết này nhằm tìm ra định hướng giải một số bài toán về phương pháp tọa độ trong không gian trong chương trình hình học lớp 12 THPT.
1.4. Phương pháp nghiên cứu.
1.4.1 Nghiên cứu lí luận.
-Nghiên cứu cơ sở lí luận để làm sáng tỏ cách khai thác giả thiết bài toán nhằm tìm ra định hướng giải toán, áp dụng để giải các dạng bài tập liên quan tới mặt cầu nói riêng và bài tập toán nói chung.
1.4.2. Nghiên cứu thực tiễn.
- Nghiên cứu nội dung sách giáo khoa và tìm hiểu chương trình hình học lớp 12 THPT, nghiên cứu các tài liệu tham khảo có liên quan để xác định các dạng bài tập có liên quan tới mặt cầu. Từ đó xác định các kiến thức về vị trí tương đối giữa mặt cầu với mặt phẳng, với đường thẳng, và các kiến thức liên quan để vận dụng giải các bài tập nhanh và chính xác nhất.
1.4.3. Thực nghiệm sư phạm
- Tiến hành giảng dạy song song với việc tìm hiểu các học sinh lớp 12 trường THPT Hoằng Hoá 4 – Hoằng Hoá – Thanh Hoá . Trên cơ sở phân tích định tính và định lượng kết quả thu được trong quá trình thực nghiệm sư phạm để đánh giá tính khả thi và tính hiệu quả của các biện pháp do đề tài sáng kiến đưa ra. 
- Thời gian tiến hành thực nghiệm sư phạm: Từ tháng 08 năm 2017 đến tháng 05 năm 2018.
- Địa điểm: Trường THPT Hoằng Hoá 4 – Hoằng Hoá – Thanh Hoá  
1.5. Những điểm mới của sáng kiến kinh nghiệm.
- Đề tài “Định hướng khai thác giả thiết vị trí tương đối giữa mặt cầu với mặt phẳng, mặt cầu với đường thẳng để giải một số bài toán phương pháp tọa độ trong không gian – Hình học lớp 12” đã đưa ra định hướng giải bài toán liên quan tới mặt cầu trong trong hệ tọa độ Oxyz thông qua việc khai thác các giả thiết.
- Từ các định hướng này giúp các em học sinh có thể phân loại và đưa ra phương pháp giải phù hợp để giải một số dạng bài tập thường gặp về mặt cầu trong hệ tọa độ Oxyz trong các đề thi THPT quốc gia.
2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm.
 Việc dạy học toán học trong nhà trường phổ thông không chỉ giúp học sinh hiểu được sâu sắc và đầy đủ các kiến thức toán học phổ thông mà còn giúp các em vận dụng các kiến thức đó giải quyết nhiệm vụ của bài tập toán. Để đạt được điều đó, học sinh phải có những định hướng đúng đắn nhất trong việc giải toán. Kỹ năng khai thác giả thiết để tìm ra định hướng giải toán là thước đo độ sâu sắc và vững vàng những kiến thức toán mà học sinh đã được học. 
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm.
 Qua thực tế khảo sát học sinh các lớp trực tiếp giảng dạy và học sinh các khối lớp trong trường tôi nhận thấy việc định hướng tìm ra lời giải của học sinh tương đối thụ động, phụ thuộc vào giáo viên giảng dạy, đặc biệt việc giải các bài toán khó òn rất hạn chế. Khi gặp một dạng bài tập toán học sinh thường lúng túng trong quá trình phân tích, phân loại dạng bài tập và sử dụng kiến thức liên quan để giải quyết bài toán đó. Các tài liệu tham khảo hiện có thường chỉ giải một số bài tập cụ thể, vì vậy học sinh không áp dụng được cho các dạng bài tập ở dạng tương tự. Các năm gần đây, để phân loại học sinh trong các đề thi thường xuyên xuất hiện một số câu hỏi khó về mặt cầu trong hệ tọa độ Oxyz... Khi gặp những dạng bài tập này đòi hỏi học sinh phải sử dụng nhiều kiến thức toán học kết hợp với bản chất về mặt cầu và vị trí tương đối với mặt phẳng, đường thẳng mới đưa ra cách giải nhanh và chính xác. Xuất phát từ thực trạng đó tôi đã viết
đề tài “Định hướng khai thác giả thiết vị trí tương đối giữa mặt cầu với mặt phẳng, mặt cầu với đường thẳng để giải một số bài toán phương pháp tọa độ trong không gian – Hình học lớp 12” nhằm giúp học sinh có cái nhìn tổng quan về dạng toán này, phân loại và đưa ra các phương pháp giải phù hợp với từng dạng bài tập, giúp học sinh khắc sâu kiến thức và vận dụng để giải quyết được các câu hỏi ở mức độ vận dụng và vận dụng cao trong đề thi THPT quốc gia.
2.3. Các biện pháp thực hiện.
I. Các kiến thức trọng tâm về vị trí tương đối giữa mặt cầu với mặt phẳng, mặt cầu với đường thẳng.
1. Vị trí tương đối của mặt phẳng với mặt cầu. [1], [3]
Cho mặt cầu và mặt phẳng . Đặt . Khi đó có các trường hợp sau xảy ra :
TH1) 
TH2) , H là hình chiếu của I trên mặt phẳng . Trong trường hợp này, mặt phẳng (P) gọi là tiếp diện của mặt cầu (S), điểm chung H được gọi là tiếp điểm của (P) với (S).
TH3) , là đường tròn có tâm H là hình chiếu của I trên (P), có bán kính 
2. Vị trí tương đối của đường thẳng với mặt cầu. [1], [3]
Cho mặt cầu và đường thẳng . Gọi H là hình chiếu của I lên . Khi đó có các trường hợp sau xảy ra:
 TH1) : không cắt mặt cầu.
TH2) : tiếp xúc với mặt cầu. là tiếp tuyến của (S) và H là tiếp điểm.
TH3) : cắt mặt cầu tại hai điểm phân biệt.
Trong trường hợp cắt (S) tại 2 điểm A, B thì bán kính R của (S) được tính như sau:, ()
II. Một số ví dụ về việc tìm định hướng giải thông qua việc khai thác giải thiết
Ví dụ 1.[9]: Trong không gian với hệ tọa độ , cho và mặt phẳng . Điểm di động trên mặt phẳng sao cho luôn tạo với mặt phẳng các góc bằng nhau. Biết rằng điểm luôn thuộc một đường tròn cố định, tìm hoành độ của tâm đường tròn .
Phân tích bài toán:
+) Trong hệ tọa độ Oxyz đường tròn được xem là giao tuyến giữa mặt cầu và một mặt phẳng.
+) Do điểm di động trên mặt phẳng nên để chứng tỏ M thuộc một đường tròn cố định ta cần chứng tỏ M thuộc một mặt cầu (S) cố định.
Bài giải:
Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của A và B lên mặt phẳng . Ta có
 Vì MA, MB luôn tạo với các góc bằng nhau nên 
. Gọi I là điểm bất kỳ, khi đó:
Suy ra 
Chọn điểm I sao cho 
Ta có 
Do điểm nên M thuộc đường tròn giao tuyến giữa mặt cầu tâm I bán kính và mặt phẳng . Do đó tâm K của đường tròn là hình chiếu của I lên mặt phẳng . Ta tìm được 
Ví dụ 2.[9]: Trong không gian với hệ tọa độ , cho các điểm (không trùng ) lần lượt thay đổi trên các trục và luôn thỏa mãn điều kiện: tỉ số giữa diện tích của tam giác và thể tích khối tứ diện bằng . Biết rằng mặt phẳng luôn tiếp xúc với một mặt cầu cố định, tính bán kính của mặt cầu đó.
Phân tích bài toán:
+) Để chứng tỏ (ABC) luôn tiếp xúc với một mặt cầu cố định ta cần chứng tỏ (ABC) luôn cách một điểm cố định một khoảng không đổi. 
Bài giải: 	
Giả sử .
Trong mặt phẳng (OAB) kẻ ,
 và 
Từ đó ta có 
Trong mặt phẳng (OHC) kẻ 
Ta có 
Lại có ,
mặt khác .
Vậy mặt phẳng (ABC) luôn tiếp xúc với mặt cầu tâm O bán kính bằng 2.
Ví dụ 3.[9]: Trong không gian với hệ tọa độ , cho hai điểm mặt cầu . Gọi là mặt phẳng đi qua hai điểm A, B và cắt mặt cầu theo giao tuyến là đường tròn sao cho khối nón có đỉnh là tâm của , đáy là có thể tích lớn nhất. Biết mặt phẳng có phương trình dạng. Tính giá trị biểu thức 
Phân tích bài toán:
+) Do mặt phẳng cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là đường tròn nên ta tìm được mối liên hệ giữa chiều cao và bán kính của khối nón.
+) Biện luận để thể tích khối nón lớn nhất ta tìm được khoảng cách từ tâm mặt cầu tới mặt phẳng 
Bài giải:
Mặt cầu có tâm 
Do 
Ta có thể tích khối nón
Dấu bằng xảy ra khi
Vậy .
Ví dụ 4.[9]: Trong không gian với hệ tọa độ , cho đường thẳng (d): và mặt cầu . Hai mặt phẳng chứa đường thẳng và tiếp xúc với mặt cầu . Gọi là hai tiếp điểm. Tính độ dài đoạn thẳng .
Phân tích bài toán:
+) Do mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu (S) nên tiếp điểm là hình chiếu của tâm mặt cầu trên mặt phẳng 
+) Xét mặt phẳng chứa hai tiếp điểm và tâm mặt cầu
Bài giải:
Mặt cầu (S) có tâm bán kính . Gọi là hình chiếu của I lên d. Ta có
Do đó , suy ra khoảng cách từ I đến đường thẳng d là 
Xét mặt phẳng (IMN), mặt phẳng này cắt mặt cầu (S) theo một đường tròn tâm I, bán kính . 
Ta có , tương tự 
Do đó bốn điểm I, M, N, H cùng thuộc mặt phẳng qua I và vuông góc với d.
Ta có .
Ví dụ 5.[10]: Trong không gian với hệ tọa độ , cho mặt cầu , điểm và mặt phẳng . Gọi là đường thẳng đi qua , thuộc và cắt tại hai điểm sao cho ngắn nhất. Biết rằng có một véc tơ chỉ phương là . Tính .
Phân tích bài toán:
+) Do đường thẳng cắt mặt cầu (S) nên ta tìm được mối liên hệ giữa khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng AB với độ dài AB
+) Do đó AB ngắn nhất khi khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng AB dài nhất.
Bài giải:
Mặt cầu (S) có tâm O bán kính , ta có 
Suy ra mặt phẳng (P) sẽ cắt mặt cầu (S) theo một đường tròn giao tuyến có tâm là điểm H và điểm M nằm phía trong mặt cầu. Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng AB.
Ta có Suy ra độ dài đoạn AB nhỏ nhất khi và chỉ khi nhỏ nhất. Ta có , 
suy ra nhỏ nhất khi và chỉ khi 
Mặt khác 
Từ (1) và (2) suy ra 
Ví dụ 6.[10]: Trong không gian với hệ tọa độ , cho hai điểm và mặt phẳng và Xét đường thẳng thay đổi thuộc và đi qua , gọi là hình chiếu vuông góc của trên . Biết rằng khi thay đổi thì thuộc một đường tròn cố định. Tính bán kính đường tròn đó.
Phân tích bài toán:
+) Do H thuộc (P) nên để chứng tỏ H thuộc một đường tròn cố định ta cần chứng tỏ H nhìn một đoạn thẳng không đổi trong mặt phẳng (P) một góc .
Bài giải:
Gọi I là hình chiếu vuông góc của A lên (P) và O, E lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và IB. Ta có vuông tại H. Suy ra H luôn nằm trên đường tròn cố định có tâm là E và bán kính . 
Ta có . Vậy .
Ví dụ 7.[10]: Trong không gian với hệ tọa độ , cho hai điểm và mặt cầu . Mặt phẳng có phương trình dạng đi qua và cắt theo giao tuyến là đường tròn có bán kính nhỏ nhất. Tính 
Phân tích bài toán:
+) Do mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) nên ta có 
+) Do vậy r nhỏ nhất khi d(I;(P)) lớn nhất.
Bài giải:
Mặt cầu (S) có tâm bán kính . Do 
Ta có phương trình đường thẳng AB là . Gọi r là bán kính của đường tròn giao tuyến, K là hình chiếu vuông góc của I lên đường thẳng AB, H là hình chiếu vuông góc của I lên mặt phẳng (P). 
Ta có 
Ta có cùng phương.
Suy ra . Vậy 
Ví dụ 8.[9]: Trong không gian với hệ tọa độ , cho mặt phẳng . Có bao nhiêu mặt cầu có tâm nằm trên mặt phẳng và tiếp xúc với ba trục 
Phân tích bài toán:
+) Do mặt cầu tiếp xúc với ba trục nên tâm mặt cầu cách đều ba trục.
+) Do đó nếu gọi tâm mặt cầu là điểm 
Bài giải:
Gọi tâm mặt cầu là điểm , theo bài ra ta có 
Xét các trường hợp của a, b, c ta có ba bộ số a, b, c thỏa mãn, vậy có 3 mặt cầu thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Ví dụ 9.[10]: Trong không gian với hệ tọa độ , cho ba điểm . Gọilà mặt cầu có tâm , bán kính bằng 2; , là hai mặt cầu có tâm lần lượt là và bán kính đều bằng 1. Hỏi có bao nhiêu mặt phẳng tiếp xúc với cả ba mặt cầu ,, ?
Phân tích bài toán:
+) Gọi (P) là mặt phẳng tiếp xúc với cả ba mặt cầu, khi đó ta có được (P) cách đều B, C và cách A một khoảng bằng 2.
+) Để tìm số mặt phẳng (P) ta cần tìm các hệ số a, b, c, d trong dạng phương trình mặt phẳng. 
Bài giải:
Gọi là VTPT của mặt phẳng (P) tiếp xúc với ba mặt cầu ; M là trung điểm của BC, suy ra 
TH1: (P) đi qua trung điểm M của BC, suy ra phương trình mặt phẳng 
Mặt khác ta có 
Hệ này cho ta bốn nghiệm không trùng nhau nên có bốn mặt phẳng trong TH1.
TH2: (P) song song với BC suy ra phương trình mặt phẳng 
Mặt khác ta có 
Hệ này cho ta ba nghiệm không trùng nhau nên có ba mặt phẳng trong TH2.
Vậy có 7 mặt phẳng thỏa mãn yêu cầu bài toán.
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm
 Khi áp dụng đề tài này trong quá trình giảng dạy môn toán ở trường trung học phổ thông Hoằng Hoá 4, tôi thấy học sinh nắm bắt và vận dụng rất nhanh các định hướng tìm tòi lời giải vào việc giải các dạng bài tập vận dụng cao về mặt cầu trong hệ tọa độ Oxyz.
Kết quả những năm trực tiếp giảng dạy chương trình hình học 12 cụ thể như sau:
2.4.1.Trước khi thực hiện sáng kiến kinh nghiệm.
Kết quả đạt được trong năm học 2016 - 2017 như sau:
- Kết quả tổng kết cuối năm của lớp giảng dạy.
Lớp
Sĩ số
Kết quả học tập môn Toán
Giỏi
Khá
Trung bình
Yếu
12A6
41
10
24%
21
52%
10
24%
0
0%
2.4.2.Sau khi thực hiện sáng kiến kinh nghiệm.
* Kết quả đạt được trong năm học 2017-2018 như sau:
- Kết quả tổng kết cuối năm của các lớp giảng dạy.
Lớp
Sĩ số
Kết quả học tập môn Toán
Giỏi
Khá
Trung bình
Yếu
12A1
43
32
76%
11
24%
0
0%
0
0%
3. KẾT LUẬN VÀ ĐỀ XUẤT
 Trong đề tài này với khả năng còn hạn chế và thời gian không cho phép, vì vậy tôi chỉ đưa ra được một số ví dụ điển hình về dạng bài tập. Qua thực tế giảng dạy, tôi thấy khi giới thiệu đề tài này cho học sinh thì các em tự tin hơn trong việc tìm tòi định hướng giải toán nhanh và cho kết quả chính xác.
 Đề tài có thể phát triển và bổ sung thêm về vị trí tương đối giữa hai mặt cầu, và mở rộng cho các dạng bài tập khác trong chương trình toán học phổ thông trong những năm tiếp theo.
 Tuy đã có nhiều cố gắng nhưng do kinh nghiệm giảng dạy còn hạn chế nên tôi tin chắc rằng trong đề tài này sẽ còn có những thiếu sót. Tôi rất mong được sự nhận xét và góp ý chân thành của hội đồng khoa học ngành, các đồng chí đồng nghiệp và các em học sinh để đề tài được hoàn chỉnh hơn.
 Tôi xin chân thành cảm ơn !
XÁC NHẬN CỦA
 HIỆU TRƯỞNG
Thanh Hóa, ngày 21 tháng 05 năm 2018
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết, không sao chép nội dung của người khác.
Nguyễn Hữu Các
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1]. Sách giáo khoa hình học 12 (Văn Như Cương).
[2]. Sách bài tập hình học 12 (Văn Như Cương).
[3]. Tài liệu chuyên toán hình học 12 (Đoàn Quỳnh).
[4]. Tài liệu chuyên toán bài tập hình học 12 (Đoàn Quỳnh).
[5]. Rèn luyện luyện tư duy qua việc giải bài tập toán (Nguyễn Thái Hòe). 
[6]. Sáng tạo toán học (G.POLYA).
[7]. Toán học và những suy luận có lý (G.POLYA).
[8]. Giải bài toán như thế nào (G.POLYA).
[9]. Các đề thi thi thử THPT Quốc gia của các trường THPT và các Sở GD&ĐT
[10]. Đề thi THPT Quốc gia năm 2017, đề minh họa thi THPT Quốc gia năm 2018.
DANH MỤC CÁC ĐỀ TÀI SKKN ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG
CẤP SỞ GD&ĐT ĐÁNH GIÁ
STT
TÊN ĐỀ TÀI SKKN
HỘI ĐỒNG ĐÁNH GIÁ
LOẠI
NĂM
1.
Các biện pháp phát triển khả năng định hướng giải toán cho học sinh THPT
SỞ GD&ĐT
C
2015
2.
Xây dựng hệ thống câu hỏi định hướng để hướng dẫn học sinh lớp 10 giải các bài toán về phương pháp tọa độ trong mặt phẳng
SỞ GD&ĐT
C
2016