Chuyên đề Ứng dụng của hệ thức Vi-et trong giải toán

 A. NỘI DUNG CHUYÊN ĐỀ GỒM : 
 I. Ứng dụng 1 Nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn 
 II. Ứng dụng 2 Lập phương trình bậc hai
 III. Ứng dụng 3 Tìm hai số biết tổng và tích của chúng 
 IV. Ứng dụng 4 Tính giá trị của biểu thức nghiệm của phương trình 
 V. Ứng dụng 5 Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình sao cho hai nghiệm 
 này không phụ thuộc vào tham số 
 VI. Ứng dụng 6 Tìm giá trị tham số của phương trình thỏa mãn biểu thức chứa nghiệm 
 Xác định dấu các nghiệm của phương trình bậc hai 
 VII. Ứng dụng 7
 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức nghiệm 
 VIII. Ứng dụng 8
 B. CỤ THỂ: ỨNG DỤNG CỦA HỆ THỨC VI-ÉT TRONG GIẢI TOÁN
 Cho phương trình bậc hai: ax2 + bx + c = 0 (a0) (*)
 b   b  
 Có hai nghiệm x  ; x 
 1 2a 2 2a
 b    b   2b b
 Suy ra: x  x   
 1 2 2a 2a a
 (b  )(b  ) b2   4ac c
 x x    
 1 2 4a2 4a2 4a2 a
 b
 Vậy đặt : - Tổng nghiệm là S : S = x  x 
 1 2 a
 c
 - Tích nghiệm là P : P = x x 
 1 2 a
 Như vậy ta thấy giữa hai nghiệm của phương trình (*) có liên quan chặt chẽ với các hệ số a, b, c. 
Đây chính là nội dung của Định lí VI-ÉT, sau đây ta tìm hiểu một số ứng dụng của định lí này trong giải 
toán.
I. NHẨM NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH :
1. Dạng đặc biệt:
Xét phương trình (*) ta thấy :
 a) Nếu cho x = 1 thì ta có (*)  a.12 + b.1 + c = 0  a + b + c = 0
 c
 Như vây phương trình có một nghiệm x 1 và nghiệm còn lại là x 
 1 2 a
 b) Nếu cho x = 1 thì ta có (*)  a.( 1)2 + b( 1) + c = 0  a  b + c = 0
 c
 Như vậy phương trình có một nghiệm là x  1 và nghiệm còn lại là x 
 1 2 a
Ví dụ: Dùng hệ thức VI-ÉT để nhẩm nghiệm của các phương trình sau:
 1) 2x2  5x  3  0 (1) 2) 3x2  8x 11  0 (2)
Ta thấy :
 1 S  x1  x2  5
Theo hệ thức VI-ÉT ta có  vậy x1; x2 là nghiệm của phương trình có dạng:
 P  x1x2  6
 x2  Sx  P  0  x2  5x  6  0
Bài tập áp dụng: 
 1. x1 = 8 vµ x2 = -3
 2. x1 = 3a vµ x2 = a
 3. x1 = 36 vµ x2 = -104
 4. x1 = 1 2 vµ x2 = 1 2
2. Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm thoả mãn biểu thức chứa hai nghiệm của một phương 
trình cho trước:
 2
V í dụ: Cho phương trình : x  3x  2  0 có 2 nghiệm phân biệt x1; x2 . Không giải phương trình trên, hãy 
 1 1
lập phương trình bậc 2 có ẩn là y thoả mãn : y1  x2  và y2  x1 
 x1 x2
Theo h ệ th ức VI- ÉT ta c ó:
 1 1  1 1  x1  x2 3 9
S  y1  y2  x2   x1   (x1  x2 )      (x1  x2 )   3 
 x1 x2  x1 x2  x1x2 2 2
 1 1 1 1 9
P  y1 y2  (x2  )(x1  )  x1x2 11  2 11 
 x1 x2 x1x2 2 2
Vậy phương trình cần lập có dạng: y2  Sy  P  0
 9 9
 hay y2  y   0  2y2  9y  9  0
 2 2
Bài tập áp dụng:
 2
1/ Cho phương trình 3x  5x  6  0 có 2 nghiệm phân biệt x1; x2 . Không giải phương trình, Hãy lập 
 1 1
phương trình bậc hai có các nghiệm y1  x1  và y2  x2 
 x2 x1
 5 1
 (Đáp số: y2  y   0 hay 6y2  5y  3  0 )
 6 2
 2
2/ Cho phương trình : x  5x 1  0 có 2 nghiệm x1; x2 . Hãy lập phương trình bậc 2 có ẩn y thoả mãn 
 4 4
y1  x1 và y2  x2 (có nghiệm là luỹ thừa bậc 4 của các nghiệm của phương trình đã cho).
 (Đáp số : y2  727y 1  0 )
 2 2
3/ Cho phương trình bậc hai: x  2x  m  0 có các nghiệm x1; x2 . Hãy lập phương trình bậc hai có 
các nghiệm y1; y2 sao cho :
 a) y1  x1  3 và y2  x2  3 b) y1  2x1 1 và y2  2x2 1
(Đáp số a) y2  4y  3 m2  0 b) y2  2y  (4m2  3)  0 )
III. TÌM HAI SỐ BIẾT TỔNG VÀ TÍCH CỦA CHÚNG
 Nếu hai số có Tổng bằng S và Tích bằng P thì hai số đó là hai nghiệm của phương trình :
 x2  Sx  P  0 (điều kiện để có hai số đó là S2  4P  0 )
Ví dụ : Tìm hai số a, b biết tổng S = a + b = 3 và tích P = ab = 4
 3 2 x1  5
*) Nếu a  b 11 và ab = 30 thì a, b là hai nghiệm của phương trình : x 11x  30  0  
 x2  6
 Vậy nếu a = 5 thì b = 6 ; nếu a = 6 thì b = 5.
IV. TÍNH GIÁ TRỊ CỦA CÁC BIỂU THỨC NGHIỆM
 Đối các bài toán dạng này điều quan trọng nhất là phải biết biến đổi biểu thức nghiệm đã cho về 
biểu thức có chứa tổng nghiệm S và tích nghiệm P để áp dụng hệ thức VI-ÉT rổi tính giá trị của biểu thức
1. Biến đổi biểu thức để làm xuất hiện : ( x1  x2 ) và x1x2
 2 2 2 2 2
Ví dụ 1 a) x1  x2  (x1  2x1x2  x2 )  2x1x2  (x1  x2 )  2x1x2
 b) x3  x3  x  x x2  x x  x2  x  x  x  x 2  3x x 
 1 2  1 2  1 1 2 2   1 2   1 2  1 2 
 2 2
 4 4 2 2 2 2 2 2 2 2  2  2 2
 c) x1  x2  (x1 )  (x2 )   x1  x2   2x1 x2  (x1  x2 )  2x1x2   2x1 x2
 1 1 x  x
 d)   1 2
 x1 x2 x1x2
Ví dụ 2 x1  x2  ?
 2 2 2
Ta biết  x1  x2    x1  x2   4x1x2  x1  x2    x1  x2   4x1x2
Từ các biểu thức đã biến đổi trên hãy biến đổi các biểu thức sau:
 2 2
 1. x1  x2 (   x1  x2  x1  x2  =.)
 2. x3  x3 ( = x  x x2  x x  x2  x  x  x  x 2  x x  =. )
 1 2  1 2  1 1 2 2   1 2   1 2  1 2 
 4 4 2 2 2 2
 3. x1  x2 ( =  x1  x2  x1  x2  = )
 6 6 2 3 2 3 2 2 4 2 2 4
 4. x1  x2 ( = (x1 )  (x2 )   x1  x2  x1  x1 x2  x2  = ..)
 Bài tập áp dụng
 6 6 5 5 7 7 1 1
 5. x1  x2 6. x1  x2 7. x1  x2 8. 
 x1 1 x2 1
2. Không giải phương trình, tính giá trị của biểu thức nghiệm
a) Cho phương trình : x2 8x 15  0 Không giải phương trình, hãy tính
 2 2 1 1  8 
 1. x1  x2 (34) 2.   
 x1 x2 15 
 x1 x2  34  2
 3.    4.  x1  x2  (46)
 x2 x1  15 
b) Cho phương trình : 8x2  72x  64  0 Không giải phương trình, hãy tính:
 1 1  9  2 2
 1.    2. x1  x2 (65)
 x1 x2  8 
c) Cho phương trình : x2 14x  29  0 Không giải phương trình, hãy tính:
 1 1  14  2 2
 1.    2. x1  x2 (138)
 x1 x2  29 
d) Cho phương trình : 2x2  3x 1  0 Không giải phương trình, hãy tính:
 5 2
Ví dụ 2: Gọi x1; x2 là nghiệm của phương trình : m 1 x  2mx  m  4  0 . Chứng minh rằng biểu thức 
A  3 x1  x2   2x1x2 8 không phụ thuộc giá trị của m.
Để phương trình trên có 2 nghiệm x1 và x2 th ì :
 m  1
 m 1  0 m  1 m  1 
    2     4
 V'  0 m  (m 1)(m  4)  0 5m  4  0 m 
  5
Theo hệ thức VI- ÉT ta c ó :
  2m
 x  x 
  1 2 m 1
  thay v ào A ta c ó:
 m  4
 x .x 
  1 2 m 1
 2m m  4 6m  2m 8 8(m 1) 0
 A  3 x  x   2x x 8  3.  2. 8    0
 1 2 1 2 m 1 m 1 m 1 m 1
 4
 Vậy A = 0 với mọi m  1 và m  . Do đó biểu thức A không phụ thuộc vào m
 5
Nhận xét:
 - Lưu ý điều kiện cho tham số để phương trình đã cho có 2 nghiệm
 - Sau đó dựa vào hệ thức VI-ÉT rút tham số theo tổng nghiệm, theo tích nghiệm sau đó đồng nhất 
các vế ta sẽ được một biểu thức chứa nghiệm không phụ thuộc vào tham số.
Bài tập áp dụng:
 2
1. Cho phương trình : x  m  2 x  2m 1  0 có 2 nghiệm x1; x2 . Hãy lập hệ thức liên hệ giữa x1; x2 
sao cho x1; x2 độc lập đối với m.
Hướng dẫn: Dễ thấy   m  22  42m 1  m2  4m  8  m  22  4  0
do đó phương trình đã cho luôn có 2 nghiệm phân biệt x1 và x2 
Theo hệ thức VI- ÉT ta có
 m  x1  x2  2(1)
 x1  x2  m  2 
  
   x1x2 1
 x1.x2  2m 1 m  (2)
  2
Từ (1) và (2) ta có:
 x x 1
 x  x  2  1 2  2 x  x   x x  5  0
 1 2 2 1 2 1 2
2. Cho phương trình : x2  4m 1 x  2m  4  0 .
Tìm hệ thức liên hệ giữa x1 và x2 sao cho chúng không phụ thuộc vào m.
Hướng dẫn: Dễ thấy   (4m 1)2  4.2(m  4) 16m2  33  0 do đó phương trình đã cho luôn có 2 
nghiệm phân biệt x1 và x2 
Theo hệ thức VI- ÉT ta có
 7