Chuyên đề Rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai

 Trường THCS Tam Hồng
 CHUYÊN ĐỀ
 RÚT GỌN BIỂU THỨC CHỨA CĂN THỨC BẬC HAI
 I. LÝ DO CHỌN CHUYÊN ĐỀ
 Trong quá trình giảng dạy môn toán lớp 9 bản thân tôi nhận thấy học sinh khi 
giải dạng toán liên quan đến rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai: học sinh rất 
sợ và thường rất lúng túng, hay mắc sai lầm như bỏ qua điều kiện, biến đổi sai ....
đặc biệt trong kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 thường có các bài toán liên quan đến 
biểu thức chứa căn.
 Để khắc phục được vấn trên bản thân tôi mạnh dạn đưa ra Chuyên đề “ Rút 
gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai” với mong muốn các em học sinh nắm rõ 
phương pháp giải và có kỹ năng thành thạo khi làm các bài tập liên quan đến “ Rút 
gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai”, đồng thời làm tiền đề cho việc giải nhiều 
dạng toán khác sau này
 Chuyên đề “ Rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai” được xây dựng dựa 
trên kiến thức cơ bản của sách giáo khoa và phát triển dần theo mức độ, được sắp 
xếp thành từng dạng để học sinh rễ học, rễ nhớ.
 II. PHẠM VI VÀ MỤC ĐÍCH CHUYÊN ĐỀ
1. Phạm vi của chuyên đề:
 - Áp dụng với đối tượng học sinh đại trà lớp 9.
2. Mục đích chuyên đề:
 - Trao đổi với giáo viên tổ KHTN một số dạng bài tập và kỹ năng về rút gọn 
biểu thức chứa căn bậc hai trong các giờ bồi dưỡng học sinh đại trà.
 - Giúp học sinh có kĩ năng khai thác và giải một số dạng bài tập về rút gọn 
biểu thức chứa căn thức bậc hai.
 1
 Chuyên đề: “Rút gọn biểu thức chứa căn bậc hai” Trường THCS Tam Hồng
 3. Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử:
 - Đặt nhân tử chung.
 - Dùng hằng đẳng thức.
 - Nhóm các hạmh tử.
 - Tách một hạng tử thành nhiều hạng tử....
 Bằng cách phân tích thành nhân tử ta có thể rút gọn nhân tử chung ở cả tử và mẫu 
 của một phân thức.
 4. Các tính chất cơ bản của một phân thức.
 A A.M 
  (M  0)
 B B.M
 A A : N 
  (N là nhân tử chung của A, B)
 B B : N
 Sử dụng các tính chất này ta có thể nhân với biểu thức liên hợp của tử ( hoặc mẫu) 
 của một phân thức, giản ước cho một số hạng khác 0, đổi dấu phân thức,... đưa 
 phân thức về dạng rút gọn.
 B. CÁC DẠNG TOÁN:
- Dạng 1: Rút gọn biểu thức số
 + Dạng 1.1: Sử dụng các phép biến đổi đơn giản: Đưa thừa số ra ngoài, vào 
 trong dấu căn, khử mẫu biểu thức lấy căn để làm xuất hiện căn đồng dạng.
 + Dạng 1.2: Đưa biểu thức dưới dấu căn về dạng bình phương một tổng hoặc
 hiệu
 + Dạng 1.3: Trục căn thức, quy đồng.
 - Dạng 2. Rút gọn biểu thức chứa chữ.
 + Dạng 2.1: Sử dụng các phép biến đổi đơn giản: Đưa thừa số ra ngoài, vào 
 trong dấu căn, khử mẫu biểu thức lấy căn để làm xuất hiện căn đồng dạng.
 + Dạng 2.2: Đưa biểu thức dưới dấu căn về dạng bình phương một tổng hoặc
 hiệu
 + Dạng 2.3: Trục căn thức, quy đồng.
 - Dạng 3. Các bài toán liên quan đến giá trị biểu thức sau khi rút gọn: (Tính 
 giá trị của biểu thức khi biết giá trị của biến. Tìm giá trị biến biết giá trị biểu thức 
 thoả mãn một điều kiện nào đó. Ví dụ: Tìm GTLN, GTNN, giá trị nguyên của biểu 
 thức....)
 3
 Chuyên đề: “Rút gọn biểu thức chứa căn bậc hai” Trường THCS Tam Hồng
+ Ví dụ 2: Rút gọn biểu thức sau
 27 48 2 75
 A = 2   
 4 9 5 16
 9 49 25
 B = 2  
 8 2 18
  
 C = 8   50 .
 24  6
 3 3 
 1 1
 D = . 2. 125.
 8 5
  1 1 2  
 E = 3  50 : 4 1
  2 24, 5 5 
 2  5 8
 + Dạng 1.2: Đưa biểu thức dưới dấu căn về dạng bình phương một tổng hoặc 
 hiệu.
* Lưu ý thêm: Hướng dẫn học sinh để làm mất dấu căn ta đi biến đổi biểu thức
dưới dấu căn thành bình phương của một tổng hoặc bình phương của một hiệu nhờ 
hằng đẳng thức (A+B)2 = A2 +2AB +B2 hoặc (A – B)2 = A2 –2AB +B2 để áp dụng
được hằng đẳng thức AA 2.
+ Ví dụ 3: Rút gọn các biểu thức sau:
 2
 A  1 2  E  4  7  4  7
 2 F  6  2 2 3  4  2 3
 B  1 3   4  2 3
 C  6  2 5  6  2 5 G  13  6 4  9  4 2
 4  2 3
 D  14  6 5  14  6 5 H 
 6 2
+ Dạng 1.3: Rút gọn biểu thức chứa căn thức bằng cách trục căn thức hoặc 
quy đồng:
 Lưu ý: Tùy từng bài mà ta có thể trục căn thức ở mẫu hoặc quy đồng hoặc 
rút gọn từng số hạng
+ Ví dụ 4: Rút gọn các biểu thức sau:
 3 4
 a) A  
 5  2 6 2
 2 1 2 2 1
 b) B   
 2  2 2  2 2 2
 5
 Chuyên đề: “Rút gọn biểu thức chứa căn bậc hai” Trường THCS Tam Hồng
 1 1 1
 C  5 7x  28x  63x  343x  9 (với x  0 )
 2 3 7
 1 3 x 1
 D  x 1  9x  9  24 ( với x 1)
 2 2 64
 E  16x  32  9x 18  4x 18 ( với x  2 )
 F  5a 64ab3  3. 12a3b3  2ab 9ab  5b 81a3b ( với a  0, b  0 )
 a a b
 I   ab 
 b b a
Ví dụ 2: Rút gọn các biểu thức sau
 A  x2  4x  4  x2  4x  4
 B  x  4  16 8x  x2 với x  4
 C  6  2x  9  6x  x2 với x  3
 D  x  2 x 1  x  2 x 1 với x 2
 E  x  2 2x  4  x  2 2x  4 với x  2
Ví dụ 3: Rút gọn các biểu thức sau
 x x  y y
 A  ( với x 0; y 0; và x  y)
 x y
 a  b a  b
 B   (với a 0; b 0; và a  b)
 a  b a  b
 a  b a3  b3
 C   (với a 0; b 0; và a  b)
 a  b a  b
 x2  2 2x  2
 D  (với x  ) 2
 x2  2
 x3  2x2
 E  4x 8  (với x  2)
 x  2
 2
 x 1  y  2 y 1
 F  ( với x  1; y  1và y  0 )
 y 1  x 14
 1 1
 I  a  (  );(a  1)
 a  a 1 a  a 1
  a b 
 G  + . a - b a với a  0, b  0, a  b
  ab-b ab-a  b 
  
 x  y  2 xy 1
 H  : Với x > 0, y > 0 và x  y.
 x  y x  y
 7
 Chuyên đề: “Rút gọn biểu thức chứa căn bậc hai” Trường THCS Tam Hồng
 x 
 1 x 1 x x 1  x 1 x 1
 a) A = x    
  x 1 x 1 x 1  x 1 x 1
 x x 1 x x  x  x 1
 =
  x 1 x 1
 x x
 
  x 1 x 1
 x
 
 x 1
 3 3
 9 3 3 
 2  2  .2  3
 b/ Với x = ta có x  khi đó A = 2 
 4 2 1 1 2
 3 2
 x
 c) Với x  0, x  1. Để A = 5 thì 5
 x 1
 5 25
 x  5 x  5  4 x  5 x   x  ( thỏa mãn ĐKXĐ)
 4 16
 25
 Vậy x  thì A = 5
 16
 x
d) Với x 0; x  1. Để A < 1 thì  1
 x 1
 x x  x 1 1
  1  0   0   0
 x 1 x 1 x 1
  x 1  0  x  1  x  1
 Vậy với 0  x 1 thì A <1.
 x
 ( Lưu ý cách làm sai của HS là  1 x x 1  0  1 ( vô lý). Vậy không
 x 1
 tìm được x)
 x x 11 1
e) Với x 0; x  1 thì A=   1
 x 1 x 1 x 1
 1
 Để A nhận giá trị nguyên thì nguyên. x 11;1
 x 1
 + nếu x 1  1  x  4 (thỏa mãn ĐKXĐ) 
 + nếu x 1  1  x  0 (thỏa mãn ĐKXĐ)
 Vậy x 0; 4 thì A nhận giá trị nguyên
 ( từ phần e có thể khai thác thêm : Tìm x chính phương để A nguyên
 9
 Chuyên đề: “Rút gọn biểu thức chứa căn bậc hai” Trường THCS Tam Hồng
  5  2  3  2
1) 3  2 2  6  4 2 6) 5 2  3  3  5   2  3  3  5 
  2   2 
2) 21 8 5  21 8 5    
 1 1
3) 8  2 15  8  2 15 7) 
 3  2 3 2
 2  3 1 3
4)  4 1 6
 2 2 8)   
 3 1 3  2 3  3
5) 12  6 3  2112 3 5  3 5  3 5 1
 5 3 12)   
6)  5  3 5  3 5 1
 5  3 5  3 2  3  2  3 2 2  3 
 7  4 3 28 10 3 13) :   .
7)  2  2 6 2 3 
 3  2 5  3  
  3  3  3  3  6  4 2  6  4 2 1
8)  1  1 14) 
 3 1 3 1 7  3 3  2
   
 7  5 6  7 6 5
9) 15)   
 2 4 4  7 4 7
 6  2 5  1
 1 3 5  : 5 2 5 1 6 7  5
  16)    
 4  11 3  7 7  2 2
 2  3 2  3
10)   5  3  5  3
 2  3 2  3 17)  5  3 1: 5  3
  
Bài 3: Rút gọn các biểu thức sau
 1  x  9
 A  3  . với x > 0, x  9
  
  x  3 x x  3  x
 1
  x + 2 x
 B =  1 . ( với x > 0, x  4 ).
  
 x  4 x + 4 x  4  x
 2
  
  1 - a a 1 - a 
 C a 
    1 - a với a ≥ 0 và a ≠ 1.
  1 - a  
 x  x x  4
 D   với x > 0
 x x  2
  x 
 E  1 x  x  x với 0  x 1.
 1 1 1 
 x x 
 9 a  25a 4a 3
 F  với a  0 .
 a2  2a
 G  ( a 1 1)2  ( a 1 1)2 với a > 1
 11
 Chuyên đề: “Rút gọn biểu thức chứa căn bậc hai”