Chuyên đề Rèn kĩ năng phân tích đa thức thành nhân tử cho học sinh Lớp 8

 PHÒNG GD & ĐT BÌNH XUYÊN
 TRƯỜNG THCS ĐẠO ĐỨC
 CHUYÊN ĐỀ 
RÈN KĨ NĂNG PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN 
 TỬ CHO HỌC SINH LỚP 8.
 Người viết chuyên đề:
 1. Nguyễn Thi Vân Anh
 2. Nguyễn Thị Tuyết Thanh
 Tổ: Khoa học tự nhiên
 Đạo Đức, tháng 5 năm 2020
 1 cao chất lượng bộ môn nên bản thân đã chọn đề tài: “ Rèn kĩ năng phân tíchđa 
thức thành nhân tử cho học sinh lớp 8”. 
 Nội dung trong đề tài cung cấp một số công thức cơ bản và kĩ thuật áp dụng 
các công thức đó vào các bài tập ví dụ minh họa.
 B. THỰC TRẠNG.
 Tồn tại nhiều học sinh yếu trong tính toán, kĩ năng quan sát nhận xét, biến 
đổi và thực hành giải toán, phần lớn do mất kiến thức căn bản ở các lớp dưới, 
nhất là chưa chủ động học tập ngay từ đầu chương trình lớp 8, do học sinh còn 
lười trong học tập, ỷ lại, chưa nỗ lực tự học, tự rèn, ý thức học tập yếu kém. 
 Đa số các em sử dụng các loại sách bài tập có đáp án để tham khảo, nên khi 
gặp bài tập, các em thường lúng túng, chưa tìm được hướng giải thích hợp, 
không biết áp dụng phương pháp nào trước, phương pháp nào sau, phương pháp 
nào là phù hợp nhất, hướng giải nào là tốt nhất. 
Nhận xét:
 -Đa số học sinh chưa nắm được kỹ năng phân tích bài toán, các hằng đẳng 
thức đáng nhớ, quy tắc dấu, quy tắc dấu ngoặc, cách trình bày bài giải còn lúng 
túng.
Nguyên nhân:
 - Do tư duy của học sinh còn hạn chế nên khả năng tiếp thu bài còn chậm, 
lúng túng từ đó không nắm chắc các kiến thức, kĩ năng cơ bản, do đó mà khó 
giải được bài tập về phân tich đa thức thành nhân tử .
 - Khả năng vận dụng các phương pháp phân tích thành nhân tử còn kém
 - Kĩ năng giải toán của học sinh chưa được tốt.
Một số nhược điểm của học sinh trong quá trình giải bài tập về phân tích 
đa thức thành nhân tử :
 - Đọc đề hấp tấp, qua loa, khả năng phân tích đề, tổng hợp đề còn yếu, lượng 
thông tin cần thiết để giẩi toán còn hạn chế.
 - Kĩ năng vận dụng các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử của 
học sinh còn kém, quy tắc dấu ngoặc sử dụng còn lúng túng
 - Chưa có thói quen định hướng cách giải một cách khoa học trước những 
bài toán về phân tích đa thức thành nhân tử.
Giải pháp đã sử dụng trước đây:
 Dựa vào đặc điểm của địa phương, tình hình chung của nhà trường và chất 
lượng học tập của học sinh trong những năm qua. Tôi đã tiến hành các giải pháp 
sau:
 - Sử dụng phương pháp vấn đáp gợi mở,đặt và giải quyết vấn đề kết hợp với 
việc sử dụng các thiết bị dạy học .
 - Chấm điểm theo quy chế chuyên môn
 3 Ngay từ đầu chương trình Đại số 8 giáo viên cần chú ý dạy tốt cho học sinh 
nắm vững chắc kiến thức về nhân đơn thức với đa thức, đa thức với đa thức, các 
hằng thức đáng nhớ, việc vận dụng thành thạo cả hai chiều của các hằng đẳng 
thức.
 Khi gặp bài toán phân tích đa thức thành nhân tử, học sinh cần chúý:
 -Nhận xét quan hệ giữa các hạng tử trong bài toán (về các hệ số, các biến)
 -Nhận dạng bài toán:
 Xét xem bài toán đã cho thuộc dạng nào?Áp dụng phương pháp nào trước, 
phương pháp nào sau (đặt nhân tử chung hoặc dùng hằng đẳng thức hoặc nhóm 
nhiều hạng tử, hay dạng phối hợp các phương pháp)
 -Chọn lựa phương pháp giải thích hợp:
Từ những cơ sở trên mà ta chọn lựa phương pháp cho phù hợp với bài toán
* Lưu ý: Kinh nghiệm khi phân tích một bài toán thành nhân tử 
 Trong một bài toán phân tích đa thức thành nhân tử
 - Nếu ở bước 1, đã sử dụng phương pháp đặt nhân tử chung thì bước tiếp 
theo đối với biểu thức còn lại trong ngoặc, thường là thu gọn, hoặc sử dụng 
phương pháp nhóm hoặc dùng phương pháp hằng đẳng thức 
 - Nếu ở bước 1, đã sử dụng phương pháp nhóm các hạng tử thì bước tiếp 
theo đối với các biểu thức đã nhóm thường sử dụng phương pháp đặt nhân tử 
chung hoặc dùng phương pháp hằng đẳng thức 
 - Nếu ở bước 1, đã sử dụng phương pháp dùng hằng đẳng thức thì bước tiếp 
theo của bài toán thường sử dụng phương pháp đặt nhân tử chung hoặc dùng 
hằng đẳng thức
* Chú ý:
 - Phương pháp đặt nhân tử chung không thể sử dụng liên tiếp nhau ở hai 
bước liền
 - Phương pháp nhóm không thể sử dụng liên tiếp nhau ở hai bước liền
 -Phương pháp dùng hằng đẳng thức có thể sử dụng liên tiếp nhau ở hai bước 
liền
 - Trong phương pháp đặt nhân tử chung học sinh thường hay bỏ sót hạng tử
 - Trong phương pháp nhóm học sinh thường đặt dấu sai 
 Vì vậy, giáo viên nhắc nhở học sinh cẩn thận trong khi thực hiện các phép 
biến đổi, cách đặt nhân tử chung, cách nhóm các hạng tử, sau mỗi bước giải phải 
có sự kiểm tra. Phải có sự đánh giá bài toán chính xác theo một lộ trình nhất 
định, từ đó lựa chọn và sử dụng các phương pháp phân tích cho phù hợp. 
 Xây dựng học sinh thói quen học tập, biết quan sát, nhận dạng bài toán, nhận 
xét đánh giá bài toán theo quy trình nhất định, biết lựa chọn phương pháp thích 
hợp vận dụng vào từng bài toán, sử dụng thành thạo kỹ năng giải toán trong thực 
 5 Qua ví dụ này giáo viên cần chỉ cho học sinh thấy được mối quan hệ giữa (x –y ) 
và ( y – x ) đó là hai biểu thức đối nhau,biến đổi chúng để xuất hiện nhân tử 
chung.
Tổng quát: A = - (- A )
Ví dụ 3: Phân tích đa thức 9x(x – y) – 10(y – x)2 thành nhân tử.
Giáo viên cần chỉ ra cho học sinh thấy : A 2 = ( -A)2 (Với A và –A là hai biểu 
thức đối nhau)
Vậy -10( y – x )2 = -10 ( x – y )2
Giải :
9x(x – y) – 10(y – x)2 = 9x(x – y) – 10(x – y)2
 = (x – y)[9x – 10(x – y)]
 = (x – y)(10y – x) 
Qua ví dụ trên, giáo viên củng cố cho học sinh:
 -Cách tìm nhân tử chung của các hạng tử (tìm nhân tử chung của các hệ số 
và nhân tử chung của các biến, mỗi biến chung lấy số mũ nhỏ nhất).
 -Quy tắc đổi dấu và cách đổi dấu của các nhân tử trong một tích. 
Ví dụ 4: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
a/ 4xy2 + x2y = xy(4y + x)
b/ 10x – 5y = 5(2x – y)
c/ 5x(x – 1) – 3y(x – 1) = (x – 1)(5x – 3y)
d/ 2x(x – 3) – 5(3 – x) = 2x(x – 3) + 5(x – 3)
 = (x – 3)(2x + 5)
 Đây là những bài tập không khó, nhưng nếu chủ quan học sinh rất dễ bị mắc 
phải sai lầm. Chẳng hạn đối với ví dụ a, thì dễ dàng học sinh thấy được nhân tử 
chung của hai hạng tử là xy, do đó học sinh sẽ thực hiện một cách nhanh chóng. 
Tuy nhiên ở ví dụ b, một số học sinh khẳng định là không có nhân tử chung nào 
(vì x  y) do chỉ chú trọng quan sát phần biến mà quên đi hệ số của hạng tử, còn 
trường hợp ở ví dụ c, thì học sinh gặp khá khó khăn khi không hiểu được nhân 
tử chung ở đây là một đa thức (x – 1). Riêng đối với ví dụ d, học sinh dễ mắc sai 
lầm khi chọn nhân tử chung là (x – 3). Vì thế, trong việc hướng dẫn cho học sinh 
tìm nhân tử chung thì giáo viên cần hướng dẫn thật kĩ và lưu ý những trường 
hợp thường mắc sai sót này.
 Để tránh sai sót ở trường hợp d, cần hướng dẫn học sinh sử dụng tính chất 
đổi dấu A = -(-A).
 Bài tập áp dụng:Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a/( x + 2)2 – (x – 2)(x + 2)
b/2x2 + 5x2 +x2 y
2.1.2.Phương pháp dùng hằng đẳng thức
 7 Phân tích a6 – b6 thành nhân tử 
 a6  b6  (a3 )2  (b3 )2 = (a3 – b3 )( a3 + b3 )
Ví dụ 6: Phân tích a6 – b6 thành nhân tử 
Chú ý: vận dụng các hằng đẳng thức một cách linh hoạt.
Giải:
 a6  b6  (a3 )2  (b3 )2 = (a3 – b3 )( a3 + b3 ) 
 = (a – b)(a2 + ab + b2)(a + b)(a2 – ab + b2)
 Qua các ví dụ trên ta thấy các hằng đẳng thức đáng nhớ, kĩ năng nhận dạng 
hằng đẳng thức qua bài toán, dựa vào các hạng tử, số mũ của các hạng tử mà sử 
dụng hằng đẳng thức cho thích hợp. 
Ví dụ 7: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
a/ x2 + 6x + 9 = x2 + 2.3.x + 32 = (x + 3)2
b/ x2 – 5 = (x + 5 )(x - 5 )
c/ 1 – 27x3 = 13 – (3x)3 = (1 – 3x)[12 + 1.3x + (3x)2] = (1 – 3x)(1 + 3x + 9x2)
d/ (x – y)2 – 2(x – y)(x + y) + (x + y)2 = [(x – y) – (x + y)]2=
 = (x – y – x – y)2 = (-2y)2 = 4y2
 Ở ví dụ trên các hằng đẳng thức đã được khai triển, việc phân tích chỉ là 
cách viết theo chiều ngược lại của các hằng đẳng thức các em học sinh dễ dàng 
thực hiện được nếu như các em thuộc và biết cách vận dụng các hằng đẳng thức. 
Thế như, nếu chủ quan thì học sinh sẽ dễ bị mắc sai lầm, chẳng hạn: ở ví dụ b, 
học sinh sẽ gặp khó khăn khi nhận dạng hằng đẳng thức, vì hạng tử thứ hai (5) 
chưa có dạng bình phương, để có dạng hằng đẳng thức thì giáo viên phải nhắc 
lại khái niệm căn bậc hai của một số (5 =( 5 )2), ở ví dụ c học sinh thường gặp 
khó khăn khi viết 27x3 = (3x)3. Riêng đối với ví dụ d, học sinh sẽ khó nhận dạng 
được hằng đẳng thức, bởi vì thông thường các bài tập hay cho dưới dạng các 
hạng tử là những đơn thức, gặp các hạng tử là những đa thức thì học sinh chưa 
hình dung nhận diện được.
Ví dụ 8: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
 a/ 4x(a2 – b2) + 8(a + b) = 4x(a – b)(a + b) + 8(a + b)
 = 4(a + b) [x(a – b) + 2]
 = 4(a + b) (ax – bx + 2)
 b/ x2– 2xy + y2– z2 = (x2– 2xy + y2) – z2
 = (x – y)2 – z2
 = (x – y – z)(x – y + z)
 Ở những ví dụ này, khi phân tích đa thức thành nhân tử không chỉ riêng 
dùng hằng đẳng thức là đủ mà phải có sự phối hợp tốt giữa các phương pháp : 
đặt nhân tử chung và nhóm hạng tử. Do đó việc nhóm những hạng tử thích hợp 
cũng góp phần thuận lợi cho chúng ta phân tích đa thức thành nhân tử.
 9 Trong phần này học sinh thường hay lúng túng để có thể nhóm các hạng tử 
thích hơp.Giáo viên cần chỉ cho học sinh cách nhóm để có thể xuất hiện nhân tử 
chung hoặc hằng đẳng thức.
Nhóm nhằm xuất hiện phương pháp dùng hằng đẳng thức: 
Ví dụ 11: Phân tích đa thức x2 – 2x + 1 – 4y2 thành nhân tử. 
 Giáo viên có thể gợi ý những hạng tử nào nhóm được với nhau thì xuất hiện 
hằng đẳng thức (Đối với học sinh yếu kém cần chỉ rõ x 2 – 2x +1 có dạng hằng 
đẳng thức nào? )
 Giải:
x2 – 2x + 1 – 4y2 = (x2 – 2x + 1) – (2y)2
 = (x – 1)2 – (2y)2
 = (x – 1 – 2y)(x – 1 + 2y)
Ví dụ 12: Phân tích đa thức x2 – 2xy + y2 –z2 + 2zt – t2 thành nhân tử. 
 Giáo viên cần hướng dẫn học sinh nhóm các hạng tử để xuất hiện hằng đẳng 
thức đặc biệt là ba hạng tử cuối (chú ý quy tắc dấu ngoặc )
 Giải:
x2 – 2xy + y2 –z2 + 2zt – t2 = ( x2 – 2xy + y2) – ( z2 - 2zt + t2 ) 
 = ( x – y )2 – ( z – t )2
 = ( x – y + z – t )( x – y – z + t )
 Bước 2 giáo viên chỉ cho học sinh thấy sử dụng hằng đẳng thức:
A2 – B2(học sinh cần chỉ ra được biểu thức A =( x – y ); B = ( z – t ))
Nhóm nhằm sử dụng hai phương pháp trên: 
Ví dụ 13: Phân tích đa thức x2 – 2x – 4y2 – 4y thành nhân tử.
Giải :
 x2 – 2x – 4y2 – 4y = (x2 – 4y2 ) – (2x + 4y ) 
 = (x + 2y)(x – 2y) – 2(x + 2y)
 = (x + 2y)(x – 2y – 2)
 Ví dụ này học sinh rất dễ nhầm quy tắc dấu ngoặc,giáo viên cần nhắc lại quy 
tắc dấu ngoặc cho học sinh và hướng dẫn học sinh nhóm hạng tử.Tương tự đối 
với ví dụ sau :
Ví dụ 14: Phân tích đa thức 2x – 2y – x2 + 2xy – y2 thành nhân tử.
 Giải :
2x – 2y – x2 + 2xy – y2 =( 2x – 2y ) – (x2 - 2xy + y2 )
 = 2( x – y ) – ( x – y )2
 = ( x – y )( 2 – x + y )
 Qua các ví dụ trên, giáo viên lưu ý cho học sinh:
 11