Áp dụng cách tìm hình chiếu của một điểm trên một mặt phẳng vào bài toán khoảng cách trong không gian thuộc chương trình Hình học 11 cho học sinh ở trường THPT Quảng Xương 4

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA
TRƯỜNG THPT QUẢNG XƯƠNG 4
-----š›&š›-----
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
 ÁP DỤNG CÁCH TÌM HÌNH CHIẾU CỦA MỘT ĐIỂM 
 TRÊN MỘT MẶT PHẲNG VÀO BÀI TOÁN KHOẢNG CÁCH
 TRONG KHÔNG GIAN THUỘC CHƯƠNG TRÌNH 
 HÌNH HỌC 11 CHO HỌC SINH Ở TRƯỜNG 
 THPT QUẢNG XƯƠNG 4 
š&›
 Người thực hiện: Lê Thị Dịu
	 Chức vụ: Giáo viên
	 SKKN thuộc lĩnh vực: Toán học
 THANH HÓA, NĂM 2018
MỤC LỤC
Trang
 A. PHẦN MỞ ĐẦU............................................................................................
2
 I. Lý do chọn đề tài ......................................................................................
2
 II. Mục đích nghiên cứu.............................................................................
2
 III. Đối tượng nghiên cứu..........................................................................
2
 IV. Phương pháp nghiên cứu...................................................................
2
 B. PHẦN NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM....................
3
 I. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm.......................................
3
 II. Thực trạng của vấn đề ..
4
 III. Một số bài toán vận dụng.....................................................
4
Bài toán áp dụng1: Tính khoảng cách giữa một đường thẳng và một mặt phẳng song song............................................................
7
Bài toán áp dụng 2: Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song.............................................................................................
9
Bài toán áp dụng 3: Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau ...
9
 IV. Các bài tập đề nghị .............................................................
11
 V.Kết quả nghiên cứu..................................................................................
 12
C.KẾT LUẬN......................................................................................................
13
TÀI LIỆU THAM KHẢO
14
 A.MỞ ĐẦU
I. Lí do chọn đề tài 
Phần các bài toán về tính khoảng cách là một trong những phần quan trọng trong chương trình THPT là một phần không thể thiếu trong các kỳ thi học sinh giỏi và THPT Quốc Gia. 
 Để xác định khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng, khoảng cách giữa một đường thẳng và một mặt phẳng song song,khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau học sinh phải dựa trên các định nghĩa, định lý của quan hệ song song và quan hệ vuông góc . Việc học sinh xác định khoảng cách này nhiều khi còn lúng túng hoặc xác định được khoảng cách nhưng cách tính lại rườm rà phức tạp. 
 Việc áp dụng cách tìm hình chiếu của một điểm trên một mặt phẳng làm cho nhiều bài toán trở nên đơn giản hơn rất nhiều và từ chuyên đề nhỏ này cùng với kinh nghiệm mà tôi tích lũy được các em có thể mở rộng tư duy tiếp cận một số bài toán khác trong kỳ thi THPT Quốc gia. 
II. Mục đích nghiên cứu. 
 Để tìm lời giải bài toán tính khoảng cách trong không gian thì trước hết phải xác định được các loại khoảng cách ,qua thực tế giảng dạy tôi rút ra được một số kinh nghiệm nhỏ về việc hướng dẫn học sinh xác định các loại khoảng cách. Một thao tác hết sức quan trọng mà học sinh cần có là tìm đúng hình chiếu của một điểm trên mặt phẳng xác định. Vì vậy trong bài viết này tôi chủ yếu vận dụng phương pháp tìm hình chiếu của một điểm trên một mặt phẳng vào tìm khoảng cách trong không gian. 
III. Đối tượng nghiên cứu. 
 Để thực hiện đề tài này, tôi đã tiến hành nghiên cứu sâu việc khai thác phương pháp tìm khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng ; với đối tượng chủ yếu là học sinh lớp 11 và một số buổi ôn tập đối với học sinh lớp 12. 
IV. Phương pháp nghiên cứu. 
Đề tài sáng kiến kinh nghiệm đã được sử dụng các phương pháp nghiên cứu sau:
- Phương pháp nghiên cứu lý luận: Sử dụng các phương pháp phân tích, tổng hợp để nhằm xây dựng cơ sở lý luận cho đề tài.
- Phương pháp nghiên cứu thực tiễn: Sử dụng phương pháp quan sát, đánh giá thực tiễn, điều tra thông tin.
- Phương pháp thống kê toán học.
B. PHẦN NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
I.CƠ SỞ LÍ LUẬN CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
Cơ sở lí luận của đề tài được viết dựa trên cơ sở lí thuyết về quan hệ song song, quan hệ vuông góc trong không gian thuộc chương trình hình học lớp 11 đặc biệt là các phần lí thuyết sau:
1.Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng:
 Định nghĩa: Đường thẳng d được gọi là vuông góc với mặt phẳng (P) nếu nó vuông góc với mọi đường thẳng a nằm trong mặt phẳng (P).
 Định lí: Nếu một đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau thuộc một mặt phẳng thì nó vuông góc với mặt phẳng ấy. 
 2. Mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng
Định nghĩa: Hai mặt phẳng được gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa hai mặt phẳng đó là góc vuông.
Định lí: Điều kiện cần và đủ để hai mặt phẳng vuông góc là mặt phẳng này chứa một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng kia.
Hệ quả: Nếu hai mặt phẳng vuông góc với nhau thì bất cứ đường thẳng nào trong mặt phẳng này và vuông góc với giao tuyến thì vuông góc với mặt phẳng kia. 
Hệ quả này cho chúng ta cách tìm hình chiếu của một điểm O lên phẳng (P) như sau:
 Bước 1 : Xác định mặt phẳng (Q) chứa O mà 
 Bước 2 : Trong mặt phẳng (Q) kẻ .
 Theo định lí thì 
 H là hình chiếu vuông góc của O trên (P).
3. Khoảng cách từ O đến mặt phẳng (P):
Định nghĩa: Nếu H là hình chiếu vuông góc của O lên mặt phẳng (P) thì độ dài OH là khoảng cách từ O đến mặt phẳng (P). 
 4. Khoảng cách giữa một đường thẳng và một mặt phẳng song song:
Khi a // (P) thì khoảng cách giữa a và (P) là khoảng cách từ một điểm A bất kỳ trên a đến mặt phẳng (P). 
5. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song:
Nếu (P) // (Q) thì khoảng cách giữa (P) và (Q) là khoảng cách từ một điểm A bất kỳ trên a đến mặt phẳng (Q). 
6. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b:
Định nghĩa: Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b là độ dài đoạn vuông góc chung của a và b. 
Ngoài ra, khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b còn được tính bằng:
 + Khoảng cách giữa một trong hai đường thẳng và mặt phẳng song song với đường thẳng đó ,chứa đường thẳng còn lại.
 + Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song lần lượt chứa hai đường thẳng đó. 
II. THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ
 Qua một thời gian giảng dạy tại trường THPT Quảng Xương 4, tiếp cận với học sinh, nắm bắt được khả năng của học sinh, tôi thấy nhiều em còn lúng túng, thao tác chậm khi làm các bài toán về khoảng cách, đặc biệt khi bài toán không còn là bài toán cơ bản thì các thao tác và tư duy hình học lại càng chậm .Tôi đã cố gắng đọc các tài liệu, sách báo, tìm hiểu đề trong các kỳ thi và kinh nghiệm của bản thân, tôi đã nghiên cứu sâu vào vấn đề này để biên soạn và hệ thống mảng tính khoảng cách cho học sinh khối 11, 12 nhằm mục đích tạo điều kiện phù hợp với từng học sinh từ yếu đến trung bình, khá, giỏi. 
III. MỘT SỐ BÀI TOÁN VẬN DỤNG
Bài toán cơ bản: (Tìm khoảng cách từ một điểm A tới một mặt phẳng (P) )
(A (P))
Cho hình chóp S. ABC có SA (ABC) ,ABC vuông tại A; AB = a, AC = b, SA = c. Tính khoảng cách từ A đến mp (SBC) ? 
Phân tích:
Trước tiên tôi hướng dẫn học sinh xác định khoảng cách từ A đến mp (SBC) :
Trong(ABC) kẻ AMBC (M BC).Trong (SAM) kẻ AH SM ( HSM) 	 
Ta có: 
Khi đó mặt phẳng (SAM) đóng vai trò như mặt phẳng (Q) và mặt phẳng (SBC) đóng vai trò như mặt phẳng (P) trong mục 2 kiến thức cơ bản. 
Giải:
Trong(ABC) kẻ AM BC (M BC)
Trong (SAM) kẻ AH SM ( HSM) 	 
Ta có: 
Khi đó mặt phẳng (SAM) 
=> BC AH mà AH SM 
=> AH (SBC) 
Tính AH = ? 
SAM vuông tại A, AH là đường cao 
=> AH = 
Sau khi làm song bài tập này tôi chú ý cho học sinh trong trường hợp ABC vuông tại B (hoặc tại C) thì H AB (hoặc H SC) 
Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tâm O. Cạnh bên SA vuông góc với đáy , SA= a. Tính khoảng cách:
a. Từ A đến mp (SBD). 
b. Từ O đến mp (SCD). 
Phân tích:
Từ hình vẽ và giả thiết của bài toán học sinh rất khó phát hiện hình chiếu của A lên mp(SBD). Nhưng nếu thực hiện theo các bước tìm hình hiếu đã nêu trên thì bài giải sẽ không còn mấy khó khăn.
Chẳng hạn: 
Câua: Tôi chú ý cho học sinh mp(SBD) đóng vai trò như mp (SBC) , điểm O đóng vai trò như điểm M trong bài toán cơ bản.
Câub: khoảng cách từ O đến mặt phẳng (SCD) bằng một phần hai khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SCD) ,sau đó quay trở lại mô hình trong bài toán cơ bản.
Giải:
 A
B
S
D
C
I
K
O
J
H
 a. Theo giả thiết : 
 Lại có : (SAC) (SBD) = SO. (2) 
 Trong mp (SAO) kẻ AH SO. (3)
 Từ (1), (2) và (3) ta có : AH (SBD)
 H là hình chiếu vuông góc của A lên (SBD).
 Vậy AH là khoảng cách từ A đến (SBD).
 Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông SAO.
 Ta có : 
AH = 
 b. Khoảng cách từ O đến mặt phẳng (SCD):
Cách 1:khoảng cách từ O đến mặt phẳng (SCD) bằng một phần hai khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SCD) ,sau đó quay trở lại mô hình trong bài toán cơ bản.
Cách 2: Tôi hướng dẫn học sinh chọn mặt phẳng chứa O và vuông góc với mp(SCD) là (OIJ) trong đó I, J là trung điểm của CD, SC. 
Ta có :
 K là hình chiếu của O lên mp(SCD) 
 OK là khoảng cách từ O đến mp(SCD).
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông SAO OIJ ta có:
 = + = 
Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD, ABCD là hình vuông cạnh a; SD = hình chiếu vuông góc của S trên (ABCD) là trung điểm của AB. 
Tính khoảng cách từ A đến mp(SBD) . (Đề khối A – 2014) 
Phân tích:
Gọi H là trung điểm của AB. Suy ra SH^ (ABCD)
Ta có d(A,(SBD))=2d(H,(SBD)) 
Mô hình tính khoảng cách này giống trong bài toán cơ bản.
Giải:
Gọi H là trung điểm của AB. Suy ra SH ^ (ABCD)
Gọi K, E lần lượt là hình chiếu vuông góc của H trên BD và SK
Ta có BD ^ HK và BD ^ SH nên BD ^ (SHK)
Þ BD ^ HE mà HE ^ SK
Þ HE^(SBD)
 Ta có HK= HB.45= 
 ==
Þ d(A,(SBD)) = 2d(H,(SBD)) = 2HE = 
Bài toán áp dụng1: Tính khoảng cách giữa một đường thẳng và một mặt phẳng song song.
Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABCD, ABCD là hình vuông cạnh a và tất cả các cạnh bên bằng a.Tính khoảng cách giữa AB và mp(SCD). 
Phân tích:
Þ d(AB,(SCD)) = d(A,(SCD)) = 2d(O,(SCD)). 
Mô hình tính khoảng cách bài toán này giống như trong bài toán cơ bản mp(SCD) đóng vai trò như mp (SBC) điểm O đóng vai trò như điểm A.
Giải:
Ta có d(AB,(SCD)) = d(A,(SCD)) = 2.d(O,(SCD)). 
Ta có 
Gọi M và H lần lượt là hình chiếu vuông góc của O trên CD và SM
 Þ d(AB,(SCD)) = d(A,(SCD)) = 2. OH = 
Ví dụ 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là nửa lục giác đều nội tiếp trong đường tròn đường kính AD và có SA vuông góc với đáy, SA = a. Tính khoảng cách giữa đường thẳng AD và mp(SBC). 
 A
E
B
C
H
S
D
Phân tích:
 Ta có: AD // BC AD // (SBC) Þ d(AD,(SBC)) = d(A,(SBC)) .
Như vậy mô hình bài toán quay về mô hình trong trong bài toán cơ bản .
Giải:
 Mà BC (SBC) (2)
 H là hình chiếu của A lên mp(SBC) 
 AH là khoảng cách từ A đến mp(SBC).
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông SAE ta có:
 Vì góc 
Trong tam giác vuông AEB ta có : AE = AB.sin60o = 
 Vậy =+= 
Bài toán áp dụng2: Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song
Ví dụ 5:Cho hình lập phương , có cạnh là a. Tính khoảng cách giữa mặt phẳng và .
Phân tích: Mặt phẳng //nên khoảng cách giữa mặt phẳng và bằng khoảng cách từ C đến mặt phẳng bằng khoảng cách từ A đến mặt phẳng . Như vậy mô hình bài toán quay về mô hình trong bài toán cơ bản.
Giải: Gọi . Mặt phẳng //nên khoảng cách giữa mặt phẳng và bằng khoảng cách từ C đến mặt phẳng bằng khoảng cách từ A đến mặt phẳng .
Ta có: 
Suy ra .
Kẻ thì 
Hay 
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có:
Bài toán áp dụng3: Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau.
Ví dụ 6: Cho hình chóp S.ABCD, ABCD là hình vuông cạnh a có SA vuông góc với đáy, SA = a .Tính khoảng cách giữa đường thẳng AC và SD. 
Phân tích: Hai đường thẳng AC và SD chéo nhau nhưng không vuông góc với nhau nên ta dùng cách tính khoảng cách tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng cách tính khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song.
Trong mặt phẳng (ABCD) kẻ Dt // AC mp(S, Dt) // AC
Trong mp (ABCD) kẻ AI Dt ().Trong mp(SAI) kẻ AE SI () .
Vậy khoảng cách d(AC,SD)= d(AC,(S, Dt))=d(A,(S, Dt))=AE.
 Như vậy mô hình bài toán quay về mô hình trong trong bài toán cơ bản.
Giải:
Trong mặt phẳng (ABCD) kẻ Dt // AC mp(S, Dt) // AC
Vậy khoảng cách d(AC,SD)= d(AC,(S, Dt))=d(A,(S, Dt)).
Trong mp (ABCD) kẻ AI Dt ().
 SI Dt (định lý ba đường thẳng vuông góc).	
 (S, Dt) (SAC) (1)
 Lại có : (2)
Trong mp(SAI): kẻ AESI (3)
Từ (1), (2) và (3) ta có: AE(S, Dt)
d(AC,SD) = d(AC,(S, Dt)) = d(A,(S, Dt)).
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông SAI ta có:
 Từ giả thiết suy ra : AI = AD.sin 45 = 
Do đó: 
 AE = 
 Ví dụ 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Góc giữa SC và (ABCD) bằng 45 . 
Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa SB và AC. 
(Đề khối A-2015) 
Phân tích: Kẻ Bx qua B và song song với AC Þ d(SB,AC) = d(A,(S,Bx))
Như vậy mô hình bài toán quay về mô hình trong bài toán cơ bản
Giải:
Theo giả thiết suy ra 
 Þ SA = AC = a 
 Þ V = SA.S = 
Kẻ Bx qua B và song song với AC Þ d(SB,AC) = d(A,(S,Bx))
Gọi M,H lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên Bx và SM
Þ d(SB,AC) = d(A,(S,Bx)) = AH
 Ta có tam giác ABM vuông cân tại M suy ra AM = 
Þ . 
 Vậy d(SB,AC) = AH = 	
IV. Các bài tập đề nghị:
 Bài 1: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a và SA(ABC). 
 Đặt SA = h . Tính khoảng cách từ A dến mặt phẳng (SBC) theo a và h.
 Bài 2: Hình chóp S.ABC có SA (ABC) đáy ABC là tam giác cân tại A. 
AB = AC = 2a, BC = a và góc tạo bởi hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng 600 
Hãy tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SC và AB. 
(Đề thi thử ĐH Hồng Đức 2016)
 Bài 3: Cho hình chóp S. ABCD có đáy là hình chữ nhật tâm O ,AB = a,
BC= a, tam giác SOA cân tại S. Gọi I là trung điểm của AO; hình chiếu vuông góc của S trên mp (ABCD) là giao điểm của đường thẳng BI với cạnh AD , góc giữa SD và (ABCD) bằng 600. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và AC. 
(Đề thi GV tháng 4 trường THPT Quảng xương 4 -2016)
 Bài 4: Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm I và có cạnh bằng a; góc BAD bằng 600. Gọi H là trung điểm của IB và SH (ABCD. Góc giữa SC và (ABCD) bằng 450. Tính d (A, (SCD) = ? 
Bài 5 :Cho hình lập phương ABCD. A’B’C’D’ có cạnh bằng 1. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng A’C và MN. 
V.KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU
 Trong khuôn khổ của một bài viết tôi chỉ đưa ra 7 ví dụ điển hình. Từ 7 ví dụ này dưới sự hướng dẫn của cô giáo học sinh tìm tòi các lời giải của các bài toán.Sau khi giải được mỗi bài toán, tôi hướng dẫn học sinh thay đổi cách tiếp cận bài toán , để đưa ra sự so sánh về tính khả thi và hiệu quả của phương pháp.
Trong quá trình tìm tòi học sinh không những tự giác mà còn rất phấn chấn tiếp nhận những kỹ năng giải các bài toán dạng này, biết phân tích một bài toán dưới nhiều góc độ khác nhau.
	Qua quá trình giảng dạy và ôn luyện cho các lớp có trình độ tương đương vào các tiết ôn tập buổi sáng và vào buổi chiều để so sánh tôi thấy kết quả thực nghiệm tốt hơn nhiều so với lớp đối chứng. Cụ thể tỉ lệ học sinh khá giỏi nâng lên, tỉ lệ học sinh yếu, kém và trung bình giảm xuống.Cụ thể theo khối được thể hiện dưới bảng sau: 
 Kết quả 
Khối lớp
Giỏi (%)
Khá (%)
Trung bình (%)
Yếu (%)
11(Đối chứng )
10
20
50
20
11(Thực nghiệm) 
30
40
26
4
12(Đối chứng )
15
20
50
15
12(Thực nghiệm) 
35
40
22
3
 C. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
I. KẾT LUẬN
Trong bài viết này tôi chỉ áp dụng các bước tìm hình chiếu của một điểm trên mặt phẳng và xác định khoảng cách sau đó áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông để tính khoảng cách. Đây không phải là cách duy nhất để giải dạng toán này. Từ định nghĩa các loại khoảng cách trong không gian kết hợp giả thiết của bài toán mà người học cần linh hoạt vận dụng phương pháp giải cho phù hợp. 
 Mặc dù đã cố gắng biên soạn chuyên đề nhưng không thể tránh khỏi thiếu sót và hạn chế, rất mong được sự góp ý của quý bạn đọc và thầy cô giáo để chuyên đề hoàn thiện hơn,có thể trở thành tài liệu cho giáo viên tham khảo và kích thích hứng thú học tập, tìm tòi sáng tạo của học sinh
Xin chân thành cảm ơn! 
II. KIẾN NGHỊ
Trong quá trình giảng dạy và áp dụng nội dung này tôi thiết nghĩ rằng chúng ta cần thiết phải có sự đổi mới trong cách dạy và cách học. Cần chỉ ra cho học sinh những quy trình mô phỏng đang còn mang tính chất máy móc để học sinh tự mình tư duy tìm ra con đường giải toán.
Thanh Hóa, ngày 18 tháng 5 năm 2018
XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG 	Tôi xin cam đoan đây là SKKN 
 ĐƠN VỊ 	 của mình viết, không sao chép 
	 nội dung của người khác 
 Tác giả 
 Lê Thị Dịu 
 TÀI LIỆU THAM KHẢO
SGK Hình học 11- Trần Văn Hạo , Nguyễn Mộng Hy, Khu Quốc Anh, Nguyễn Hà Thanh, Phan Văn Viện .
SGK Hình học 11 nâng cao -Đoàn Quỳnh, Văn Như Cương, Phạm Khắc Ban , Tạ Mẫn .
Sách bài tập Hình học 11- Nguyễn Mộng Hy, Khu Quốc Anh, Nguyễn Hà Thanh.
Sách giáo viên Hình học 11 – Đoàn Quỳnh, Văn Như Cương, Phạm Khắc Ban , Tạ Mẫn. 
Các dạng toán và phương pháp giải hình học 11-Nguyễn Hữu Ngọc.
Giải toán hình học 11- Lê Hồng Đức, Nhóm Cự Môn.
Phân dạng và phương pháp giải hình học 11-Trần Đình Thi.
Bài tập nâng cao và một số chuyên đề hình học 11- Trần Văn Tấn.
Đề thi đại học và đề thi THPT quốc gia môn toán từ năm 2010-2017