Vận dụng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử để giải một số dạng bài toán ở môn Đại số lớp 8

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ 
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUAN HÓA
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
VẬN DỤNG PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH
ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ ĐỂ GIẢI MỘT SỐ
DẠNG BÀI TOÁN Ở MÔN ĐẠI SỐ LỚP 8
 Người thực hiện: Lê Văn Khâm 
 Chức vụ: Giáo viên
 Đơn vị công tác: Trường THCS Hiền Kiệt
 SKKN thuộc lĩnh mực (môn): Toán
THANH HÓA NĂM 2017
MỤC LỤC
1. MỞ ĐẦU	
1.1. Lí do chọn đề tài	
Trang 4
1.2. Mục đích nghiên cứu	
Trang 4
 1.3. Đối tượng nghiên cứu	
Trang 4
1.4. Phương pháp nghiên cứu	
Trang 5
1.5. Những điểm mới của SKKN	
Trang 5
2. NỘI DUNG SKKN	
2.1. Cơ sở lí luận	
Trang 5
2.2. Thực trạng 	
Trang 6
2.3. Các giải pháp	
Trang 7
 2.4. Hiệu quả của SKKN	
Trang 17
3. KẾT LUẬN – KIẾN NGHỊ
 3.1. Kết luận	
Trang 18
 3.2. Kiến nghị	
Trang 18
Tài liệu tham khảo	
Trang 19
1. MỞ ĐÂU
	1.1. Lí do chọn đề tài
Toán học là môn học hết sức quan trọng ở các trường phổ thông, học tốt bộ môn toán sẽ giúp học sinh học tốt các môn học khác. Hơn nữa chương trình toán THCS là những viên gạch đặt nền móng đầu tiên cho cả quá trình học tập sau này. Nhưng thực trạng hiện nay cho thấy, học sinh học tốt bộ môn toán ở trường THCS Hiền Kiệt nói riêng và học sinh vùng sâu, vùng xa của huyện Quan Hóa nói chung chiếm tỉ lệ rất thấp, đa số các em rất ngại, thậm trí là sợ học toán. Vì vậy, không những chất chất lượng đại trà môn toán thấp mà còn kéo theo nhiều môn học khác cũng thấp, đặc biệt là các môn học thuộc ban khoa học tự nhiên. 
Xuất phát từ lòng thương yêu học sinh như con em của mình và lương tâm của một người thầy giáo. Tôi thực sự băn khoăn, trăn trở trước những khó khăn, chán nản của học sinh khi học môn toán. Bởi vậy trong quá trình giảng dạy tôi luôn học hỏi đồng nghiệp và tìm tòi những phương pháp thích hợp để giúp các em học sinh học tốt môn toán và yêu thích môn toán hơn. Với mong muốn nâng cao chất lượng dạy - học tại đơn vị. Vì vậy năm học 2016–2017 tôi mạnh dạn áp dụng chuyên đề “Vận dụng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử để giải một số dạng toán ở môn đại số lớp 8” nhằm nâng cao chất lượng học bộ môn toán lớp 8 nói riêng và cũng như môn toán nói chung cho học sinh nhà trường.
	1.2. Mục đích nghiên cứu	
	Với những lí do trên ở đề tài này bản thân mong muốn:
	 - Không những củng cố kiến thức đã học như: những hằng đẳng thức đáng nhớ, cộng, trừ, nhân, chia đa thức, phép toán chia hết, mà còn muốn rèn luyện kỹ năng phân tich đa thức thành nhân tử cho học sinh, bước đầu làm quen với phương pháp giải phương trình tích (các em sẽ được học ở học kỳ II), đồng thời thông qua chuyên đề này giúp học sinh phân loại một số dạng toán thường gặp ở lớp 8 và phương pháp giải, từ đo hình thành kỹ năng , rèn luyện tính chính xác, phát triển tư duy, tính tự lập, chủ động trong học tập, tự tin vào bản thân, yêu thích môn học, từ đó nâng cao chất lượng giáo dục tại địa phương.
	- Thông qua việc dạy thực nghiệm đề tài này bản thân cũng tìm hiểu sâu hơn nội dung chương trình, nâng cao trình độ chuyên môn, đúc rút kinh nghiệm trong quá trình giảng dạy, đồng thời có điều kiện trao đổi với bạn bè đồng nghiệp, từ đó rút ra phương pháp dạy học đạt hiệu quả cao nhất.
	1.3. Đối tượng nghiên cứu
 Vận dụng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử để giải một số dạng toán ở môn đại số lớp 8.
 Đối tượng áp dụng là học sinh lớp 8B trường THCS Hiền Kiệt.
1.4. Phương pháp nhiên cứu
Đề tài này được hoàn thành trên phương pháp thống kê tổng hợp, quan sát, phân tích nguyên nhân và phương pháp thực nghiệm sư phạm.
1.5. Những điểm mới của SKKN
	 SKKN “Vận dụng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử để giải một số dạng toán ở môn đại số lớp 8” được phát triển từ SKKN từ “một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử” mà bản thân đã áp dụng giảng dạy năm học 2012 – 2013. Điểm mới của SKKN này là vận dụng việc phân tích các đa thức thành nhân tử để giải các bài toán liên quan, qua đó củng cố kỹ năng phân tích đa thức thành nhân tử.
	2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
	2.1. Cơ sở lí luận
Đặc điểm của lứa tuổi THCS là muốn tự mình khám phá, tìm hiểu trong quá trình nhận thức. Các em có khả năng điều chỉnh hoạt động học tập, sẵn sàng tham gia các hoạt động học tập khác nhau nhưng cần phải có sự hướng dẫn, điều hành một cách khoa học và nghệ thuật của thầy cô giáo. Hình thành tính tích cực, tự giác, chủ động và đồng thời phát triển năng lực tự học của học là một quá trình lâu dài, kiên nhẩn và đòi hởi người giáo viên phải có phương pháp phù hợp, để phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động và năng lực tự học của học sinh. Trong quá trình giảng dạy, giáo viên phải hướng dẫn học sinh: 
- Tìm ra phương pháp nghiên cứu giải quyết vấn đề, khắc phục các tư tưởng rập khuôn, máy móc.
- Có khả năng ghi nhớ và kỹ năng vận dụng kiến thức đã học vào việc giải các bài toán liên quan.
 - Có kĩ năng phát hiện những kiến thức liên quan với nhau, phân loại các dạng bài toán và phương pháp giải.
	Là giáo viên có nhiều năm công tác tại trường THCS Hiền Kiệt, nên bản thân tôi hiểu rất rõ chất lượng học sinh tại nhà trường, phải thẳng thắn nhìn nhận rằng chất lượng học sinh tại nhà tương đối thấp, đặc biệt là môn toán. Đối với môn toán học, đa số các em chỉ rừng lại ở mức độ biết, một số ít học sinh đạt được mức độ hiểu, còn khả năng vận dụng đối với các em gần như không có. Qua tìm hiểu nguyên nhân cho thấy, địa bàn trường trực thuộc vùng xâu, vùng xa của huyện Quan Hóa, học sinh đa số là con em đồng bào dân tộc thái, điều kiện kinh tế còn khó khăn; trình độ dân trí thấp, nên việc đầu tư về vật chất cũng như thời gian cho con cái học tập chưa cao; ngoài giờ đến lớp các em còn phải giúp đỡ bố mẹ các công việc gia đình, không có thời gian để tự học; sự quan tâm kèm cặp con cái của phụ huynh còn rất nhiều hạn chế; ý thức học tập của một số em chưa cao, phương pháp học tập chưa phù hợp, dẫn đến chất lượng học tập của học sinh còn thấp, vì thế hầu hết các em sợ học môn toán. Đây cũng là điều mà bản thân luôn luôn tôi luôn trăn trở, cố gắng tìm tòi phương pháp giảng dạy, đặc biệt là đưa các chuyên đề, phân loại dạng toán để học sinh có thể nhận biết và giải những bài tập mang tính vận dụng từ đó giúp học sinh tự tin hơn trong học tập. 
	Tuy nhiên việc xác định nội dung kiến thức nào là cần thiết cho học sinh thì đòi hỏi người giáo viên đánh giá chính xác mực độ nhận thức, đồng thời qua một chuyên đề có thể củng cố được nhiều kiến thức cho học sinh. Trong quá trình giảng dạy tôi thấy việc vận dụng kiến thức phân tích đa thức thành nhân tử có vai trò quan trọng trong nội dung chương trình đại số lớp 8, vì vậy tôi chọn nội dung này để dạy thử nghiệm. Ở chuyên đề này tôi không đi vào dạy các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử (học sinh đã được học) mà là vận dụng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử để giải các toán liên quan, qua đó vừa được cũng cố kiến thức, rèn luyện kỹ năng phân tích đa thức mà còn có thể phân loại được một số dạng bài toán ở chương trình lớp 8 và phương pháp giải.
	Rút kinh nghiệm từ năm học 2015–2016, năm học 2016-2017 tôi đã đưa đề tài: “Vận dụng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử để giải một số dạng toán ở môn đại số 8” vào giảng dạy thực nghiệm ở lớp 8B. Bản thân chọn lớp 8B dạy thử nghiệm bỡi vì tôi nhận thấy rằng học sinh lớp 8B học yếu hơn học sinh lớp 8A, từ đó mới thấy được hiệu quả của đề tài và rút kinh nghiệm trong qua trình giảng dạy của bản thân.
	Trên cơ sở trên, bản thân mạnh dạn viết đề tài này đề cùng đồng nghiệp chia sẻ và cho ý kiến, bản thân tôi luôn lăng nghe ý kiến chia sẻ của đồng nghiệp, từ đó sẽ hoàn thiện hơn đề tài.
	2.2. Thực trạng
	Khảo sát ở hai lớp 8A, 8B năm học 2016–2017 tại nhà trường về nội dung kiến thức “Phân phân tích đa thức thành nhân tử” cho thấy chất lượng học sinh là tương đối thấp.
Lớp
Sĩ số học sinh
Giỏi
Khá
T. bình
Yếu
Kém
SL
TL
SL
TL
SL
TL
SL
TL
SL
TL
8A
33
0
0
3
9,1
18
54,5
9
27,2
3
9,2
8B
34
0
0
2
5,8
10
29,4
15
44,1
7
20,7
 	Qua việc chấm bài làm cùa học sinh và trực tiếp giảng dạy, tôi nhận thấy:
	- Việc ghi nhớ công thức toán học của học sinh là máy móc.
	- Việc vận dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ, phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử là rất hạn chế, chỉ mới dừng lại ở những bài toán đơn giản,... chưa có khả năng vận dụng giải các bài toán liên quan.
	- Học sinh ngại học môn toán. Nhất là đối với học sinh vùng xâu, vùng xa, khi mà nhận thức của đại đa số các em còn nhiều hạn chế.
	Học hết chương trình đại số 8, học sinh đã được học rất nhiều định nghĩa, định lý, công thức toán học., đặc biệt là những hằng đẳng thức đang nhớ, các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử, . Tuy nhiên đa số các em mới chỉ biết vận dụng giải các bài tập đơn giản (triển khai hằng đẳng thức theo chiều thuận), phân tích đa thức mới dừng lại phương pháp đặt nhân tử chung, việc vận dụng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử để giải một số dạng bài toán liên quan gần như các em không có kỹ năng này. Thậm trí đối với đa sô học sinh việc cộng, trừ, nhân, chia đa thức còn gặp nhiều khó khăn.
	Để giải quyết thực trạng trên, tôi đã áp dụng đề tài: “Vận dụng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử để giải một số dạng toán ở môn đại số 8” vào đối tượng học sinh lớp 8B để dạy thử nghiệm.
	2.3. Các giải pháp 
	a) Đối với học sinh
	- Yêu cầu học sinh nắm vững cách cộng, trừ, nhân, chia đa thức, ghi nhớ các hằng đẳng thức đáng nhớ, các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử, ...
	- Dành nhiều thời gian cho học môn toán, đọc thêm các tài liệu tham khảo, vận dụng các công thức toán học vào thực tế đời sống,
	b) Đối với giáo viên
	- Sử dụng một bài toán điển hình và nhóm thành từng dạng để học sinh dể nhận biết.
	- Rèn luyện khả năng tư duy cho học sinh, đặc biệt là khả năng phân tích bài toán, phân tích đa thức thành nhân nhân tử. Vận dụng các hằng đẳng thức một cách linh hoạt.
	- Rèn luyện cho học sinh khả năng tự học, tự nghiên cứu, tính chính xác, khoa học, động viên khuyến khích học sinh học tập, từ đó khơi dậy tính sáng tạo và yêu thích môn học.
	Trong quá trình giảng dạy tôi đã sử dụng một số bài toán điển hình, nhằm thông qua bài toán này để dạy các phương pháp phân tích khác nhau, để học sinh có thể so sánh, khắc sâu và ghi nhớ được các phương pháp phân tích đó.
	c) Tổ chức thực hiện 
	Cơ sở lý thuyết
Những hằng đẳng thức đáng nhớ	
1. (A + B)2 = A2 + 2AB + B2
2. (A – B)2 = A2 – 2AB + B2
3. A2 – B2 = (A - B)(A + B)
4. (A + B)3= A3 + 3A2B + 3AB2 + B3
5. (A – B)3 = A3 - 3A2B + 3AB2 - B3
6. A3 + B3 = (A+B)(A2 - AB + B2)
7. A3 - B3 = (A - B)(A2 + AB + B2)
8. (A + B + C) = A2 + B2 + C2 + 2AB + 2AC + 2BC	
Các phương pháp phân tích đa thành nhân tử:	
- Phương pháp đặt nhân tử chung: 
AB + AC - AD = A(B + C - D)
- Phương pháp sử dụng hằng đẳng thức đáng nhớ.
- Phương pháp nhóm nhiều hạng tử.
- Phương pháp phối hợp nhiều phương pháp.
- Phương pháp đặt ẩn phụ.
- Phương pháp thêm bớt hạng tử.
- Phương pháp hệ số bất định,	
	Vận dụng cơ sở lý thuyết trên. Giáo viên hướng dẫn học sinh vận dụng vào để giải một số bài toán liên quan đến các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử.
	Dạng 1: Tính nhanh
	Phương pháp giải: 
	Phân tích biểu thức cần tính nhanh ra thừa số rồi tính.
	Ví dụ 1: Tính nhanh 
	a) 732 - 272	
	b) 372 – 132	
	c) 20022 - 22	[1]
	Hướng dẫn: Phân tích vế biểu thức thành nhân tử bằng cách dùng hằng đẳng thức “hiệu của hai bình phương”; thực hiên phép nhân số nguyên.
Giải
	a) 732 - 272 = (73 – 27)(73 + 27) = 46 . 100 = 4600
	b) 372 – 132 = (37 – 13)(37 + 13) = 24 . 50 = 1200
	c) 20022 - 22 = (2002 – 2)(2002 + 2) = 2000 . 2004 = 4008000
	Ví dụ 2: Tính nhanh 
a) 37,5 . 6,5 – 7,5 . 34 – 6,6 . 7,5 + 3,5 . 37,5
452 + 402 – 152 + 80 . 45 [1]	
	Hướng dẫn: Phân tích biểu thức thành nhân tử bằng cách đặt nhân tử chung, nhóm hạng tử (câu a); nhóm hạng tử rồi dùng hai hằng đẳng thức bình phương một tổng và hiệu hai bình phương (câu b).
Giải
37,5 . 6,5 – 7,5 . 3,4 – 6,6 . 7,5 + 3,5 . 37,5
 = (37,5 . 6,5 + 3,5 . 37,5) – (– 7,5 . 3,4 + 6,6 . 7,5)
 = 37,5(6,5 + 3,5) – 7,5( 3,4 + 6,4)
 = 37,5 . 10 – 7,5 . 10
 = 375 – 75
 = 3000
b) 452 + 402 – 152 + 80 . 45
= (452 + 2 . 40 . 45 + 402) – 152
= (45 + 40)2 – 152
= 852 - 152
= (85 – 15)(85 + 15)
= 70 . 100
= 7000 
	Dạng 2: Tính giá trị của biểu thức
Phương pháp giải
- Trước hết phân tích đa thức thành nhân tử
- Thay giá trị của biến vào biểu thức đã phân tích 
	Ví dụ 3: Tính nhanh
a) x2 + x + với x = 49,75
b) x2 – y2 – 2y – 1 với x = 93, y = 6
	Hướng dẫn: 
	- Phân tích biểu thức thành nhân tử bằng cách dùng hằng đẳng thức: bình phương một tổng (câu a); nhóm hạng tử và dùng hai hằng đẳng thức bình phương của một tổng và hiệu hai bình phương (câu b).
	- Thay giá trị x, y vào để tính.
	Lưu ý: không được thay trực tiếp vào biểu thức để tính.
Giải
	a) x2 + x + = x2 + 2 . x . + = 
	Với x = 49,75 thì: 
	(x + 0,25)2 = (49,75 + 0,25)2 = 502 = 2500
	b) x2 – y2 – 2y – 1 = x2 – (y2 + 2y + 1) 
 = x2 – (y + 1)2
 = (x – y – 1)(x + y + 1) 
Với x = 93, y = 6 thì :
(x – y – 1)(x + y + 1) = (93 – 6 – 1)(93 + 6 + 1) = 86.100 = 8600
	Ví dụ 4: 
	Tính giá trị của biểu thức sau:
a) 15.91,5 + 150.0,85
b) 5x5(x – 2z) + 5x5(2z – x) với x = 1999 ; y = 2000 ; z = - 1	[1]
	Hướng dẫn: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách đặt nhân tử chung, nhóm nhiều hạng tử.
Giải
a) 15 . 91,5 + 150 . 0,85 
= 15 . 91.5 + 15 . 8,5 = 15(91,5 + 8,5) = 15 . 100 = 1500
b) 5x5(x – 2z) + 5x5(2z – x) = 5x5(x – 2z + 2z – x) = 5x5 . 0
Với x = 1999; y = 2000; z = - 1 thì: 5x5 . 0 = 0
	Dạng 3: Tìm x thỏa mãn đẳng thức đã cho (phương trình tích)
	Phương pháp giải
- Chuyển vế tất cả các số hạng về vế trái của đẳng thức, vế phải bằng 0
- Phân tích vế trái thành nhân tử để được dạng A . B = 0 suy ra: A = 0 hoặc B = 0.
- Lần lượt tìm x từ các đẳng thức A = 0, B = 0 ta tìm được kết quả.	[2]
	Ví dụ 5: 
	Tìm x biết:
a) 5x(x – 2000) – x + 2000 = 0
b) x3 – 13x = 0	[1]
Hướng dẫn: Phân tích vế trái thành nhân tử bằng phương pháp nhóm nhiều hạng tử; vận dụng tính chất A . B = 0 suy ra: A = 0 hoặc B = 0
Giải
5x(x – 2000) – x + 2000 = 0
 5x(x – 2000) – (x – 2000) = 0
 (x – 2000)(5x – 1) = 0
 x – 2000 = 0 hoặc 5x – 1 = 0
 Vậy x = 2000 hoặc x = 
b) x3 – 13x = 0
 x(x2 – 13) = 0
 x(x - )(x + ) = 0
 x = 0 hoặc x - = 0 hoặc x + = 0
Vậy x = 0 hoặc x = hoặc x = - 
	Ví dụ 6: 
	Tìm x biết:
	a) 2 – 25x2 = 0	
	b) x2 – x + = 0	[1]
	Hướng dẫn: Tương tự ví dụ 5
Giải
a) 2 – 25x2 = 0
 ( - 5x)( + 5x) = 0
 - 5x = 0 hoặc + 5x = 0
Vậy x = hoặc x = - 
b) x2 – x + = 0
 (x - )2 = 0
 x - = 0
 x = 
	Ví dụ 7: Tìm x biết
	a) x(x – 2) + x – 2 = 0	
	b) 5x(x – 3) - x + 3 = 0
	c) (2x – 1)2 – (x + 3)2 = 0
	Hướng dẫn: Phân tích vế trái thành nhân tử bằng các phương pháp nhóm nhiều hạng tử; hàng đẳng thức đáng nhớ.
Giải
	a) x(x – 2) + x – 2 = 0
	 x(x – 2) + (x – 2) = 0
	 (x – 2)(x + 1) = 0
 	 x – 2 = 0 hoặc x + 1 = 0
Vậy x = 2 hoặc x = - 1
b) 5x(x – 3) - x + 3 = 0
 	 5x(x – 3) – (x – 3) = 0
 (x – 3)(5x – 1) = 0
x – 3 = 0 hoặc 5x – 1 = 0
Vậy x – 3 hoặc x = 
c) (2x – 1)2 – (x + 3)2 = 0
 (2x -1 – x – 3)(2x – 1 + x + 3) = 0
 (x – 4)(3x + 2) = 0
 x – 4 = 0 hoặc 3x + 2 = 0
Vậy x = 4 hoặc x = - 
	Dạng 4: Áp dụng vào chứng minh tính chia hết trong số học
	Phương pháp giải
- Phân tích đa thức chia thành nhân tử sao cho xuất hiện số chia
	- Áp dụng tính chất nếu số nguyên a chia hết cho số nguyên b nếu có số nguyên q sao cho a = q.b.	[2]
	Ví dụ 8:
	Chứng minh rằng 55n + 1 – 55n chia hết cho 54 (với n là số tự nhiên)	[2]
	Hướng dẫn: Phân tích đa thức bị chia thành nhân tử và sử dụng tính chất chia hết
Giải
	Ta có 55n + 1 – 55n = 55n(55 – 1) = 54.55n chia hết cho 54 với mọi n
	Ví dụ 9: 
	Chứng minh rằng (5n + 2)2 – 4 chia hết cho 5 với mọi nZ.	[1]
	Hướng dẫn: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp tách hạng tử và nhóm nhiều hạng tử; sử dụng tính chât chia hết.
Giải
Ta có (5n + 2)2 – 4 = (5n + 2 – 2)(5n + 2 + 2) = 5n(5n + 4) chia hết cho 5 với mọi nZ
	Ví dụ 10: Chứng minh rằng với mọi nZ	
	a) n3 – n chia hết cho 6	
b) n3 -13n chia hết cho 6
c) n5 – 5n3 + 4n chia hết cho 120
d) n3 – 3n2 – n + 3 chia hết cho 48 với n lẻ	[2]
	Hướng dẫn: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp, đặt nhân tử chung, tách hạng tử và nhóm nhiều hạng tử; sử dụng tính chât chia hết
Giải
a) n3 – n = n(n2 – 1) = n(n – 1)(n + 1). 
Vì n – 1, n, n + 1 là 3 số nguyên liên tiếp nên có ít nhất một số chia hết cho 2 và có một số chia hết cho 3 nên tích:
	 n(n – 1)(n + 1) chia hết cho 2.3 = 6 vì (2,3) = 1. 
	Vậy n3 – n chia hết cho 6.
b) n3 -13n = (n3 – n) – 12n 
Theo câu a thì n3 – n chia hết cho 6; 12n chia hết cho 6 nên (n3 – n) – 12n chia hết cho 6 hay n3 -13n chia hết cho 6.
c) n5 – 5n3 + 4n = n5 – n3 – 4n3 + 4n
 	 = n3(n2 – 1) – 4n(n2 – 1)
	 = n(n2 – 1)(n2 – 4)
	 = n(n – 1)(n + 1)(n – 2)(n + 2) là tích của 5 số nguyên liên tiếp. 
Trong 5 số nguyên liên tiếp có ít nhất hai số là bội của 2 (trong đó có một số là bội của 4, nên có tích hai số là bội của 8), một số là bội của 3, một số là bội của 5. Do đó tích của 5 số nguyên liên tiếp chia hết cho 8 . 3 . 5 = 120 (vì 3, 5, 8 là ba số đôi một nguyên tố cùng nhau). 
Vậy n5 – 5n3 + 4n chia hết cho 120.
d) n3 – 3n2 – n + 3 = n2(n – 3) – (n – 3) 
= (n – 3)(n2 – 1) 
= (n – 3)(n – 1)(n + 1)
	Vì n lẻ nên ta đặt n = 2k + 1 thay vào ta có (kZ)
	(2k – 2)2k(2k + 2) = 8k(k – 1)(k + 1)8
	Mặt khác k(k – 1)(k + 1) là tích của ba số nguyên liên tiếp nên k(k – 1)(k + 1) 6. 
	Vậy chia hết cho 48
	Dạng 5: Tìm các cặp số nguyên (x, y) thỏa mãn đẳng thức cho trước
	Phương pháp giải
- Phân tích một vế của đẳng thức thành tích của hai thừa số, vế còn lại là một số nguyên n.
- Phân tích số nguyên n thành tích hai thừa số bằng tất cả các cách, từ đó tìm các cặp số (x, y) tương ứng.
	Ví dụ 11: Tìm các cặp số nguyên (x, y) thỏa mãn một trong các đẳng thức sau:
	a) x + y = xy	b) xy – x + 2(y – 1) = 13	[2]
	Hướng dẫn: Sử dụng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách tách hạng tử, nhóm nhiều hạng tử.
Giải
	a) Ta có: x + y = xy xy – x - y = 0
	 	x(y – 1) – (y – 1) = 1
	 (y – 1)(x – 1) = 1 mà 1 = 1.1 = ( -1)(- 1) nên ta có:
	 hoặc 
	 hoặc 
	Vậy các cặp số (x, y) cần tìm là (0, 0) hoặc (2, 2)
	b) xy – x + 2(y – 1) = 13
	 x(y – 1) + 2(y – 1) = 13
	 (y – 1)(x + 2) = 13 mà 13 = 1.13 = 13.1 = (- 1)(- 13) = (- 13)(- 1) nên ta có:
	Hay
	Vậy các cặp số nguyên (x,y) cần tìm là: (- 1 , 14); (11 , 2); (- 3 , -12); (-15 , 0)
	Dạng 6: Chứng minh đẳng thức
	Phương pháp giải
	- Phân tích đa thức thành nhân tử của vế trái để đưa đẳng thức về dạng tích bằng 0.
	- Xét từng thừa số bằng 0 rồi chứng minh đẳng thức, nhiều trường hợp phải dùng đến đặt ẩn phụ.
	Ví dụ 11: Chứng minh rằng nếu a3 + b3 + c3 = 3abc thì a = b = c hoặc
 a + b + c = 0	[2]
	Hướng dẫn: Sử dụng hằng đẳng thức đáng nhớ phân tích đa thức thành nhân tử.
Giải
	 a3 + b3 + c3 = 3abc a3 + b3 + c3 - 3abc = 0.
	Ta có: b3 + c3 = (b + c)(b2 + c2 - bc) 
 = (b + c)[(b + c)2 – 3bc]
 = (b + c)3 – 3bc(b + c)
	a3 + b3 + c3 - 3abc = a3 + (b + c)3 – 3bc(b + c) – 3abc
	= (a + b + c)[a2 – a(b + c) + (b + c)2] – 3bc(a + b + c)
	= (a + b + c)(a2 + b2 + c2 – ab – bc – ca)
	Do đó, nếu a3 + b3 + c3 - 3abc = 0 thì a + b + c = 0, hoặc:
	a2 + b2 + c2 – ab – bc – ca = 0 hay (a – b)2 + (b – c)2 + (c – a)2 = 0.
	Suy a = b = c.
	Ví dụ 12: Chứng minh rằng
	(b – c)3 + (c – a)3 + (a – b)3 = 3(a – b)(b – c)(c – a)
	Hướng dẫn : Sử dụng đặt ẩn phụ, hằng đẳng thức đáng nhớ phân tích đa thức thành nhân tử
Giải
	Đặt x = b – c, y = c – a, z = a = b. Áp dụng ví dụ 11 ta có :
	x3 + y3 + z3 – 3xyz = (x + y + z)(x2 + y2 + z2 – xy – yz – zx) = 0 
(vì x + y + z = 0).
 x3 + y3 + z3 = 3xyz, điều phải chứng minh.
	BÀI TẬP VẬN DỤNG
	Bài 1. Tính nhanh (dạng 1)
a) 	
b) 	[2]
	Bài 2. Tính giá trị của biểu thức (dạng 2)
a) A = x(2x – y) – z(y – 2x) với x = 1,5 ; y = 2 ; z = 1,8
b) B = (x – 1)x2 – 4x(x – 1) + 4(x – 1) với x = 4
	Bài 3. Tìm x biết (dạng 3)
a) (2x – 1)2 – 16 = 0	
b) 8x2 – 32x = 0
c) (x – 3)(x2 + 2x + 7) + 2(x2 – 9) – 5(x – 3) = 0
d) 2(x + 3) – x2 – 3x = 0
e) 4x2 – 25 – (2x – 5)(2x + 7) = 0
	Bài 4. Chứng min