SKKN Xây dựng một số bài tập trắc nghiệm vận dụng cao về số phức

Mục lục
A. ĐẶT VẤN ĐỀ....2
I. Lí do chọn đề tài .. 2
II. Mục đích của sáng kiến kinh nghiệm..2
III. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu..2
IV. Phương pháp nghiên cứu2
B. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ....3
I. Cơ sở lý luận. 3
II. Thực trạng và giải pháp...3
1. Hệ thống kiến thức toàn chương3
 2. Một số kiến thức áp dụng.......3
3. Một số bài tập vận dụng.....5
 4. Bài tập ..........16
III. Kiểm nghiệm của đề tài....19
C. KẾT LUẬN..19
A. ĐẶT VẤN ĐỀ
I. Lí do chọn đề tài
	 Ở trường phổ thông, dạy toán là dạng hoạt động toán học. Đối với học sinh có thể xem việc giải toán là hình thức chủ yếu của hoạt động toán học. Hoạt động giải bài tập toán học là một phương tiện rất hiệu quả và không thể thay thế được trong việc giúp học sinh nắm vững tri thức, phát triển tu duy, hình thành kỹ năng kỹ xảo, ứng dụng toán học vào thực tiễn, là điều kiện tốt các mục đích dạy hoc ở trường phổ thông.
Số phức là một nội dung mới được đưa vào giảng dạy ở bậc THPT (bắt đầu từ chương trình phân ban 2006) và được giảng dạy ở lớp 12. Các bài tập trong sách giáo khoa được phân theo nội dung bài học, chưa thành các dạng cụ thể, ở mức độ vận dụng thấp. Phân loại bài tập về số phức thành các dạng toán và đưa ra một số bài tập phong phú giúp ích cho nhiều học sinh khi học nội dung này khi kết hợp khéo léo, linh hoạt các kiến thức liên kết với nhau như công thức cấp số cộng, cấp số nhân, công thức nhị thức Newtơn, bất đẳng thức Bun-nhi-a-cốp-xki, bất đẳng thức hình học trong tam giáckhi học nội dung này từ đó rèn luyện các kỹ năng, nhận dạng tốt để tìm ra kết quả bài toán về số phức trong thời gian ngắn nhất.
Để rèn luyện năng lực tư duy, nắm vững kiến thức, kỹ năng và vận dụng tìm nhanh đáp số phần bài tập trắc nghiêm về phần số phức cho học sinh, các em có thể phát huy được tính sáng tạo và tư duy logic của mình, từ đó các em học sinh giải được nhanh các bài toán liên quan liên quan đến số phức trong đề thi THPT Quốc gia, tôi chọn đề tài sáng kiến kinh nghiệm của mình: “XÂY DỰNG MỘT SỐ BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM VẬN DỤNG CAO VỀ SỐ PHỨC ”.
II. Mục đích của sáng kiến kinh nghiệm	
 Các vấn đề được trình bày trong đề tài này có thể hỗ trợ cho các em học sinh trung học phổ thông có cái nhìn toàn diện hơn về số phức và từ đó hình thành kĩ năng vận dụng linh hoạt hơn trong việc giải các bài tập vận dụng cao.
III. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu: Đề tài này nghiên cứu cách vận dụng các kiến thức phổ thông để hình thành một số bài tập vận dụng cao về số phức.
Phạm vi nghiên cứu: Đề tài thuộc chương trình Giải tích lớp 12. 
IV. Phương pháp nghiên cứu
Thông qua những ví dụ cụ thể với cách tiếp cận khái niệm, cách giải đơn giản, tự nhiên nhằm làm cho học sinh vận dụng được các kĩ năng đã có. Các khái niệm và ví dụ minh họa trong đề tài này được lọc từ các sách giáo khoa, sách bài tập và sáng tạo. Trong các tiết học trên lớp tôi đã dạy bài trên để học sinh biết vận dụng linh hoạt các kiến thức có liên quan.
B. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
I. Cơ sở lý luận.
	Trong đề tài này sử dụng các hệ thống khái niệm, bài tập được chuẩn bị từ SGK, sách bài tập và sáng tạo trên cơ sở các kiến thức học sinh đã biết.
II. Thực trạng và giải pháp.
1. Hệ thống lại kiến thức toàn chương
1.1. Khái niệm số phức
* Định nghĩa 1: Một số phức là một biểu thức dạng , trong đó , là các số thực và số i thoả mãn . Kí hiệu số phức đó là z và viết .
 	 i được gọi là đơn vị ảo, a được gọi là phần thực và b được gọi là phần ảo của số phức .
 Tập hợp các số phức được kí hiệu là C.
 * Chú ý: 
+ Mỗi số thực a đều được xem như là một số phức với phần ảo .
 + Số phức có được gọi là số thuần ảo hay là số ảo.
 + Số 0 vừa là số thực vừa là số ảo.
*Định nghĩa2: Hai số phức (R) và (R)được gọi là bằng nhau nếu : và . Khi đó, ta viết: .
1. 2. Biểu diễn hình học số phức
Mỗi số phức (R) được biểu diễn bởi một điểm trên mặt phẳng toạ độ Oxy. Ngược lại mỗi điểm biểu diễn một số phức 
Mặt phẳng toạ độ với việc biểu diễn số phức được gọi là mặt phẳng phức. Trục Ox gọi là trục thực, trục Oy gọi là trục ảo.
1.3. Phép cộng và phép trừ số phức:
* Định nghĩa 3 : Tổng của hai số phức và
 (R) là số phức .
* Tính chất của phép cộng số phức:
i, với mọi C. 
ii, với mọi C. 
iii, với mọi C.
iv, Với mỗi số phức (R), nếu kí hiệu số phức là thì ta có: . Số được gọi là số đối của số phức .
*Định nghĩa 4: Hiệu của hai số phức , (R)là tổng của hai số phức và , tức là: .
*Ý nghĩa hình học của phép cộng và phép trừ số phức:
Mỗi số phức (R) được biểu diễn bởi cũng có nghĩa là véctơ . Khi đó nếu theo thứ tự biểu diễn số phức thì:
 + biểu diễn số phức 
 + biểu diễn số phức 
1.4. Phép nhân số phức:
*Định nghĩa 5: Tích của hai số phức , (R) là số phức: 
 	*Nhận xét: + Với mọi số thực k và mọi số phức (R), ta có: và với mọi C.
*Tính chất của phép nhân số phức:
i, với mọi C 
ii, với mọi C .
iii, với mọi C 
iv, với mọi C 
1.5. Số phức liên hợp và mô đun của số phức:
*Định nghĩa 6: Số phức liên hợp của số phức (R) là và được kí hiệu là . Như vậy, ta có: 
 	*Nhận xét: 
+ Số phức liên hợp của lại là , tức là . Do đó ta còn nói và là hai số phức liên hợp với nhau.
+ Hai số phức là liên hợp với nhau khi và chỉ khi các điểm biểu diễn của chúng đối xứng nhau qua trục Ox.
*Tính chất: 
i, Với mọi C ta có: ; 
ii, C, (R), số luôn là một số thực và 
*Định nghĩa 7: Mô đun của số phức (R) là số thực không âm và được kí hiệu : .
 -Nếu z=a+bi có biểu diễn hình học là M(a;b) thì .
 -Nếu z1, z2 có biểu diễn hình học là M1, M2 thì 
1.6. Phép chia cho số phức khác 0
* Định nghĩa 8: Số nghịch đảo của số phức khác 0 là . Thương của phép chia số phức cho số phức khác 0 là tích của với số phức nghịch đảo của , tức là . Như vậy, nếu thì 
*) Tính chất môđun của số phức
; ; .
2. Một số kiến thức áp dụng
- Bất đẳng thức: Bun-nhi-a-cốp-xki cho 4 số thực 
 Dấu đẳng thức xảy ra khi ad=bc
- Tổng của n số hạng đầu tiên của cấp số cộng có số hạng đầu u1 và công sai d
- Tổng của n số hạng đầu tiên của cấp số nhân có số hạng đầu u1 và công bội q là .(
- Công thức Newton: .
- Tập hợp các điểm biểu diễn số phức thường gặp
 + Phương trình đường thẳng: ax+by+c=0.
 + Phương trình đường tròn : (x-a)2 +(y-b)2 =R2 .
 + Phương trình đường Elip: 
3. Một số bài tập vận dụng
Dạng 1. Tính các biểu thức của số phức.
Ví dụ 1: Tính các giá trị của các biểu thức sau
S1= 1+i+i2+ i3+.+i2017 bằng 
A. 1 B.i C. -1 D. 1+i.
S2 = 2+i +(1+i)2 +(1+i)3 + +(1+i)2017
22017 -i. B. 22017i. C . 21009- i D. 21009+ i
S3 = 1-i +2i2 -3i3+ 4i4-5i5 + -2015 i2015 
A.-1007+1008i. B.1008-1007i C.1005-1004i D.1004+1008i
S4 = 
0 B. 21008 C. -21008 D. 22015.
Hướng dẫn
S1= 1+i+i2+ i3+.+i2017 là tổng của 2018 số hạng đầu của cấp số nhân có công bội q=i , u1=1 nên 
S1= 1+i+i2+ i3+.+i2017 =.
Chọn D.
 b) S2 = 2+i +(1+i)2 +(1+i)3 + +(1+i)2017 =1 +(1+i)+(1+i)2 +(1+i)3 ++(1+i)2017 là tổng của 2018 số hạng đầu của cấp số nhân có công bội q=1+i , u1=1 nên . 
Chọn C
 c) Ta có : i = i4m+1, i2 = i4m+2 = -1, i3= i4m+3= -i , i4= i4m+4 = 1 với mọi 
 Khi đó
 S3 = 1-i +2i2 -3i3+ 4i4-5i5 + -2015 i2015 = 1 –(1+5+9++2013) i + 
 (2+6+10++ 2014) i2 -(3+7+11++2015) i3+ (4+8++2012) i4
 Chọn A.
d) Ta có (1) mà 
 Từ (1) và (2) suy ra S4= 
 Chọn B
Ví dụ 2. a) Cho 2 số phức z1 ,z2 thỏa mãn và 
 Khi đó giá trị bằng A. 0 B.2 C. 1 D.3
 b) Cho 3 số phức z1 ,z2 , z3 thỏa mãn và z1 +z2 + z3 =0 
 Khi đó giá trị bằng A.0 B.1 C.-1 D.3
 c) Cho hai số phức z1 ,z2 thỏa mãn . 
Tính giá trị biểu thức 
P=1-i B. P= -1-i C.P=-1 D. P=1+i .
Hướng dẫn
Đặt từ 
 , nên
 . 
 Chọn C.
 Mà 
 Do đó 
 Chọn A.
 c)Từ giả thiết, ta có .
 Đặt , khi đó 
 Khi đó . Chọn C.
Dạng 2. Bài toán tìm tập hợp điểm biểu diễn bởi số phức.
Ví dụ 3. Trong mặt phẳng Oxy , tìm tập hợp điểm M biểu diễn bởi số phức w thỏa mãn điều kiện w=(1-2i)z +3.
 a) Biết z là số phức thỏa mãn 
A. Đường thẳng 4x-6y+8=0 B. Đường thẳng 3x-5y-2=0 
C. Đường thẳng 4x-5y +7=0 D. Đường thẳng 6x-2y-43 =0
 b) Biết z là số phức thỏa mãn 
 A. Đường tròn (x-1)2+(y-4)2 =125 B. Đường tròn (x-5)2 + (y-5)2 =125
 C. Đường tròn (x+1)2 +(y-2)2=125 D. Đường thẳng x=2
Hướng dẫn
Gọi có biểu diễn hình học là M1(x;y) trong mặt phẳng tọa độ , Gọi có biểu diễn hình học là M(x’;y’) trong mặt phẳng tọa độ
 Từ w=(1-2i)z +3 
a)
Thay (1) vào (2) ta được 6x’-2y’-43=0
Vậy quỹ tích của số phức z nằm trên đường thẳng 6x-2y-43 = 0.
 Chọn D.
Cách1
 Suy ra (x’-1)2 +(y’-4)2 =125.
Vậy quỹ tích điểm M biểu diễn bởi số phức w là đường tròn
 (x-1)2 +(y-4)2 =125. Chọn C.
Cách 2. 
Vậy quỹ tích điểm M biểu diễn bởi số phức w là đường tròn 
 (x-1)2 +(y-4)2 =125. Chọn C
Nhận xét. Cho số phức Z thỏa mãn khi đó quỹ tích của số phức 
 nằm trên đường tròn được xác định 
 Vậy quỹ tích biểu diễn bởi số phức w nằm trên đường tròn tâm
 I(ac-bd+e;bc+ad+f) ,bán kính 
Ví dụ 4: Cho số phức z thỏa mãn 
Tìm quỹ tích điểm biểu diễn bởi số phức z là
 A. Là một đường thẳng B. là một đường tròn tâm I(4;-4), bán kính r=10
 C.Là đường Elip: D. Là đường Elip: 
 b) Từ đó tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của lần lượt là 
 A. 10 và 4 B. 5 và 4 C. 4 và 3 D.5 và 3
Hướng dẫn
 Gọi có biểu diễn hình học là M (x;y) trong mặt phẳng 
 tọa độ, F1(-4;0), F2(4;0).
 Từ 
 Nên tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z là đường Elip có a=5,c=4,
 b2=a2-c2=9 , có phương trình chính tắc là Chọn C
, . Chọn D.
Ví dụ 5 : Số phức z được biểu diễn trên mặt phẳng tọa độ như hình vẽ. 
 Hỏi hình nào biểu diễn số phức 
Hướng dẫn
 Gọi có biểu diễn hình học là M (x;y) trong góc phần tư thứ nhất nên x,y>0. Ta có 
Do x,y>0 nên điểm biểu diễn số phức w nằm trong góc phần tư thứ 2. Chọn C
Dạng 3. Tìm số phức hoặc tìm môđun lớn nhất (hoặc nhỏ nhất) của số phức thỏa mãn điều kiên cho trước.
Ví dụ 6. a) Cho các số phức z,w thỏa mãn . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức là A. B. C. D. 
b) Cho số phức z thỏa mãn điều kiện Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 
 A. maxT= B. maxT=4 C . maxT= D. maxT=
c) Cho số phức z1 thỏa mãn và số phức z2 thỏa mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của 
 B. C. D. 
Hướng dẫn
 từ 
Nên 
Vậy min. Chọn A
2)Đặttừ 
Kết hợpvới (*), ta được mà
(Áp dụng bất đẳng thức Bun-nhi-a-cốp-xki) 
Vậy max T=4. Chọn B.
3) *)Đặt có biểu diễn hình học là điểm M(x1;y1), z1 thỏa mãn 
 suy ra điểm M thuộc đường thẳng 
 *) Đặt có biểu diễn hình học là điểm N(x2;y2), z2 thỏa mãn 
 suy ra điểm N thuộc đường tròn ( C): (x-4)2 +(y-1)2 =5, tâm I(4; 1) bán kính . Khi đó
 Vậy . Chọn D
Ví dụ 7: a) Cho số phức z thỏa mãn . Gọi m,M 
 lần lượt là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất . Tính P = m +M.
 A. B. C. D. 2
 b) Cho số phức z thỏa mãn . Gọi m,M lần lượt là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất . Tính P = m +M.
 A. B. C. D. 2
Hướng dẫn
Gọi có biểu diễn hình học là M(x;y) trong mặt phẳng tọa độ
Ta có
Số phức z+1-2i = (x+1) + (y-2)i có biểu diễn là điểm M’(x+1; y-2) trong mặt phẳng tọa độ. Đặt A(-1:-1) ,B(3;1) thì từ (1) ta có M’A + M’B= (2) và , từ (2) và (3) suy ra M’ thuộc đoạn thẳng AB. phương trình
 AB : x-2y-1 =0 , nên góc OAB và góc OBM’ là góc nhọn
 . 
 Vậy . Chọn B
Gọi có biểu diễn hình học là M(x;y) trong mặt phẳng tọa độ. Ta có
Đặt A(1; 1) ,B(3;2) , ,từ (1) ta có MA + MB= nên M thuộc đoạn thẳng AB. Ta nhận thấy và góc OAB là góc tù nên ta có
. Vậy Chọn C.
Nhận xét. Một sai lầm thường gặp là đánh giá nhưng góc BAO là góc tù nên không tồn tại điểm M trên đoạn AB để OM vuông góc với AB.
Bài toán: Cho số phức z thỏa mãn 
 1) Tìm 
 2) Tìm số phức z sao cho .
 Giải.
1) Gọi có biểu diễn hình học là M (x;y) trong mặt phẳng tọa độ
 tập hợp điểm M nằm trên đường tròn (C) 
tâm I(a;b), bán kính r. Gọi F(c;d), khi đó
Suy ra 	
Ta lại có 
Suy ra 	
 2)Số phức z sao cho chính là số phức có biểu diễn hình học là điểm M2, Số phức z sao cho chính là số phức có biểu diễn hình học là điểm M1, trong đó M1, M2 được xác định là giao điểm của đường thẳng IF và đường tròn (C), tọa độ M1, M2 được xác định từ hệ phương trình 
Trường hợp đặc biệt. 
Nếu c=d=0 tức tìm .
Số phức z sao cho tương ứng với điểm biểu diễn hình học M2, M1 là giao của đường thẳng OI và đường tròn (C).
Ví dụ 8: Trong các số phức thỏa mãn điều kiện .
Tìm ?
A. B. 
 C. D. 
b) Tìm số phức z có môđun lớn nhất 
 A. z=1+2i B.z=3+6i C. z =3-6i D. z= 3 +2i.
Hướng dẫn
 Tập hợp những điểm M(x;y) biểu diễn bởi số phức z thỏa mãn nằm trên đường tròn tâm I(2;4) , bán kính 
 a) Khi đó
 Chọn A.
 b) Tìm số phức có môđun lớn nhất. Phương trình đường thẳng OI là y=2x. Tọa độ M1, M2 là nghiệm của hệ phương trình 
Số phức z có môđun lớn nhất là z =3+6i ứng với M2(3;6). Chọn B.
Ví dụ 9. Trong các số phức thỏa mãn điều kiện .
 Tìm 
 A.. B. 5 C. 2+1 D. 4.
Hướng dẫn
Gọi có biểu diễn hình học là M (x;y) trong mặt phẳng tọa độ.Tacó tập hợp điểm M nằm trên đường tròn (C) tâm I(3;4),bán kính r=1. Gọi F(1;-2), khi đó 
. Chọn C.
4) Bài tập .
Cho số phức thay đổi luôn có. Khi đó tập hợp điểm biểu diễn bởi số phức là:
A.Đường tròn x2 +(y-3)2 =20 B. Đường tròn 
 C. Đường tròn D. Đường tròn .
 ( Đề thi thử của THPTchuyên Vinh lần 3-2017)
Cho các số phức và thỏa mãn phần thực của số phức u= là 
 A.. B. C. D. .
 ( Đề thi thử của THPTchuyên Vinh lần 3-2017)
Cho số phức z thỏa mãn và điểm A trong hình vẽ bên là điểm
biểu diễn của z. Biết rằng trong hình vẽ bên, điểm biểu diễn của số phức là một trong bốn điểm M,N,P,Q. Khi đó điểm biểu diễn của số phức w là
A. Điểm Q. B. Điểm M. C. Điểm N. D.Điểm P. 
 ( Đề thi thử của THPTchuyên Vinh lần 1-2017)
Cho số phức thỏa mãn điều kiện . Tính giá trị biểu thức 
 B. C. 2 D. 
 ( Đề thi thử của THPT Đặng Thúc Hứa- Nghệ An-2017) 
Với z1,z2 là hai số phức bất kỳ, giá trị của biểu thức 
 A. a=2. B.a=0,5. C.a=1 D.a=1,5.
 (Chuyên KHTN-lần 5)
Với z1,z2 là hai nghiệm của phương trình z2 +z +1=0. Tính giá trị của 
 A.P=1. B. P=-1 C. P=0 D. P=2.
 7)Xét các số phức z thỏa mãn . Gọi m,M lần 
 lượt là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất . Tính P = m +M.
A. B.. C. . D. 
 8)Xét các số phức z thỏa mãn . Gọi m,M lần
 lượt là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất . Tính P = m +M.
 A. P=. B. P= 
 C. P=. D. P= 
 (Đề minh họa của bộ lần 3-năm 2017) 
 9) Tính S1=.
 A.22016	 B. -21008 C. 32016 D. -22016
 10) Tính S2 = 2-i +(1-i)2 +(1-i)3 + +(1-i)2017
 A.1 B.-1 C. 21009-i. D.21009+i
 11) Tính S3 = 1-i +2i2 -3i3+ 4i4-5i5 + -2015 i2015 +2016i2016 -2017i2017
 A. 1008-1009i. B. 1009+1008i C.1008+1009i. D. 1009-1009i
 12) Cho số phức z thỏa mãn . Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn số phức là một đường tròn. Bán kính r của đường tròn đó
A. bán kính R=12 B. bán kính R=10.
C. bán kính R=20 D. bán kính R=22.
13) Cho số phức z thỏa mãn . Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn số phức là một đường tròn. Tìm tâm và bán kính r của đường tròn đó.
A. Tâm I(1,-1), bán kính R=12 B. Tâm I(0; 1), bán kính R=20.
C. Tâm I(0;-1), bán kính R=20 D. Tâm I(3;4), bán kính R=22.
14) Cho số phức z thỏa mãn . Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn số phức là một hình tròn có diện tích bằng:
 A. S=9π. B. S=12π. C. S=16π. D. S=25π.
15) Cho số phức z thỏa mãn . Gọi m,M lần lượt là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất . Tính S = m2 +M2.
 A. S= 34. B. S=82 C.S=68. D. S=36.
 (Sở GD Hưng Yên 2017)
16) Cho số phức z thỏa mãn . Gọi z1, z2 là các số phức có mô đun lớn nhất và nhỏ nhất. Tổng phần ảo của hai số phức z1, z2 bằng
 A.8i B.4 C.-8 D.8. (Sở GD Hà Tĩnh 2017)
17) Trong các số phức z thỏa mãn . Tìm số phức có phần thực không âm sao cho đạt giá trị lớn nhất.
A. . B. C. D. .
18) Trong các số phức z thỏa mãn .Tìm số phức z có mô đun nhỏ nhất
A. z =2-2i. B.z=1+i. C.z=2+2i. D.z=1-i. 
19) Cho số phức z thỏa mãn . Giá trị nhỏ nhất của là
 A. 4 B.5 C. 3 D.6 .
 20) Cho số phức z thỏa mãn Tìm giá trị lớn nhất của
 A. B. C. C. 
 (Chuyên Ngoại ngữ Hà Nội 2017)
21) Cho 2 số phức z1 ,z2 thỏa mãn và 
 Khi đó giá trị bằng A. 0 B. C. D.3
22) Cho 2 số phức z1 ,z2 thỏa mãn và 
 Khi đó giá trị bằng A. 2 B. 0 C. D.4
III. Kiểm nghiệm của đề tài.
	Sau khi đề tài này được thực hành trên lớp và kiểm tra, đa số học sinh tiếp thu và vận dụng tốt.
C. KẾT LUẬN VÀ ĐỀ XUẤT
 Qua các bài tập trong bài dạy vừa nêu trên ta thấy được ưu điểm của việc vận dụng ngắn gọn và dễ hiểu. Mặc dù với tinh thần nghiêm túc, đầy trách nhiệm khi viết đề tài, đồng thời kết hợp với cả giảng dạy trên lớp để kiểm nghiệm thực tế, tuy nhiên trong quá trình viết sẽ khó tránh khỏi các khiếm khuyết rất mong được sự đóng góp của đồng nghiệp để đề tài này có ý nghĩa thiết thực và bổ ích hơn trong nhà trường.
 Xin chân thành cảm ơn!
XÁC NHẬN CỦA HIỆU TRƯỞNG
Thanh Hóa, ngày 29 tháng 5 năm 2017
CAM KẾT KHÔNG COPY
LÊ THỊ NA
TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. SGK lớp 12 – NC.
2. Bài tập Giải tích 12 chuẩn và NC.
3. Phân loại và các phương pháp giải toán Số Phức- Tác giả Lê Hoành Phò.
4. Hệ thống các đề thi thử THPT của một số trường trong cả nước.
5.Một số bài tập về cực trị số phức- Lương Đức Trọng- ĐHSP Hà Nội.