SKKN Về chiều biến thiên và áp dụng giải một số bài toán chứa tham số nhằm nâng cao năng lực giải toán cho học sinh lớp 10 trường THCS và THPT Nghi Sơn huyện Tĩnh Gia

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA 
 TRƯỜNG THCS VÀ THPT NGHI SƠN
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
VỀ CHIỀU BIẾN THIÊN VÀ ÁP DỤNG GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN CHỨA THAM SỐ NHẰM NÂNG CAO NĂNG LỰC GIẢI TOÁN CHO HỌC SINH LỚP 10 TRƯỜNG THCS VÀ THPT NGHI SƠN HUYỆN TĨNH GIA
Người thực hiện: Nguyễn Bá Đại
Chức vụ: Giáo viên
SKKN thuộc lĩnh vực (môn): Toán
THANH HOÁ, NĂM 2018
MỤC LỤC
Mục
Nội Dung
Trang
1
Mục lục
1
2
1 Mở đầu
2
3
1.1 Lý do chọn đề tài 
2
4
1.2 Mục đích nghiên cứu
2
5
1.3 Đối tượng nghiên cứu
2
6
1.4 Phương pháp nghiên cứu
3
7
2 Nội dung của sáng kiến kinh nghiệm 
3
8
2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm
3
9
2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm
3
10
2.3 Các sáng kiến và giải pháp đã sử dụng giải quyết vấn đề
4
11
2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, bản thân, đồng nghiệp và nhà trường
19
12
3 Kết luận, kiến nghị
20
13
3.1 Kết luận
20
14
3.2 Kiến nghị
20
15
Tài liệu tham khảo
21
MỞ ĐẦU
 Lý do chọn đề tài.
 Khoa học ngày càng phát triển, đòi hỏi con người ngày càng hoàn thiện hơn. Trong toán học cũng vậy ngoài việc đòi hỏi tư duy sáng tạo, kỹ năng tính toán thì phương pháp và cách thức giải một bài toán cũng rất quan trọng. Trong sách giáo khoa hợp nhất năm 2000 có trình bày một công cụ rất hữu hiệu để giải quyết một số bài toán về phương trình đó là “Định lý đảo về dấu của tam thức bậc hai” tuy nhiên sau khi thay đổi sách giáo khoa 2006 thì phần đó bị cắt bỏ và cùng với đó thì công cụ này không được sử dụng trong các trường phổ thông nữa. Qua một số năm được phân công dạy học sinh khối 10 trường THCS và THPT Nghi Sơn, tôi nhận thấy sự bế tắc của học sinh khi gặp bài toán về phương trình, bất phương trình hay hệ phương trình chứa tham số. Chính vì lẽ đó tôi mạnh dạn chọn chuyên đề “Về chiều biến thiên và áp dụng giải một số bài toán chứa tham số nhằm nâng cao năng lực giải toán cho học sinh lớp 10 trường THCS và THPT Nghi Sơn huyện Tĩnh Gia” làm sáng kiến kinh nghiệm cho mình. Mục đính chính của bản Sáng kiến kinh nghiệm này là trình bày một phương pháp khác để giải quyết vấn đề được nêu ở trên, cụ thể là sử dụng chiều biến thiên của hàm số bậc hai trong sách giáo khoa Đại số 10 nâng cao và cùng với đó là sử dụng sự tương quan đồ thị. Cụ thể Sáng kiến kinh nghiệm tập trung vào các vấn đề sau: 
 Trình bày các khái niệm cơ bản về chiều biến thiên của hàm số bậc hai, sự tương quan hình học.
 Các bài toán có nghiệm trên tập bao gồm các bài toán về phương trình, về bất phương trình và hệ bất phương trình có nghiệm trên tập .
 Các bài toán có nghiệm với mọi thuộc bao gồm các bài toán về bất phương trình có nghiệm với mọi thuộc .
 Mục đích nghiên cứu.
Mục đính chính của bản Sáng kiến kinh nghiệm này là trình bày phương pháp chiều biến thiên trong giải một số bài toán chứa tham số lớp 10, cụ thể là sử dụng chiều biến thiên của hàm số bậc hai trong sách giáo khoa Đại số 10 nâng cao và cùng với đó là sử dụng sự tương quan đồ thị. 
 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu.
 Đối tượng nghiên cứu là áp dụng chiều biến thiên của hàm số bậc hai để biện luận một số bài toán về phương trình, bất phương trình và hệ phương trình có tham số.
Phạm vi nghiên cứu là các kiến thức cơ bản về chiều biến thiên của hàm số bậc hai, cùng với sự tương quan về đồ thị để giải quyết vấn đề.
 Phương pháp nghiên cứu. Đọc tài liệu, phân tích tổng hợp, quan sát thực tế và thực nghiệm.
NỘI DUNG CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm.
Bài toán chứa tham số về phương trình, bất phương trình, hay hệ phương trình thường gây khó khăn cho học sinh khi công cụ “Định lý đảo về dấu của tam thức bậc hai” được giảm tải và với học sinh lớp 10 lại chưa tiếp cận được với đạo hàm.
Qua nghiên cứu một số tài liệu liên quan đến vấn đề, tôi thấy nhiều tác giả cũng đã tiếp cận về vấn đề này nhưng việc giải quyết chưa thật triệt để.
Thông qua quá trình giảng dạy những bài toán về phương trình, bất phương trình chứa tham số, tôi thấy việc học sinh nắm vững được các tính chất của hàm số bậc hai cũng như chiều biến thiên của nó thì các em sẽ giải quyết vấn đề dễ dàng hơn.
Với mong muốn góp phần nhỏ vào việc nâng cao chất lượng giảng dạy môn Toán nói chung và phân môn Đại Số nói riêng ở trường THCS và THPT Nghi Sơn, huyện Tĩnh Gia tôi đã nghiên cứu đề tài “Về chiều biến thiên và áp dụng giải một số bài toán chứa tham số nhằm nâng cao năng lực giải toán cho học sinh lớp 10 trường THCS và THPT Nghi Sơn huyện Tĩnh Gia” .
 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm.
Là giáo viên giảng dạy môn Toán ở vùng khó khăn trình độ nhận biết của học sinh ở mức vừa phải tôi nhận thấy áp dụng đề tài này vào các lớp mà tôi phụ trách rất hiệu quả, đặc biệt năm học này tôi đã tiến hành trên lớp 10A2 trường THCS và THPT Nghi Sơn, kết quả thu được tương đối tốt. 
Các em thấy rất khó khăn khi giải các bài toán dạng này, sau khi được tiếp cận, hướng dẫn, rèn luyện thì các em đã giải thành thạo các dạng toán này. Học sinh không còn lúng túng khi gặp dạng toán này nữa.
 Các sáng kiến kinh nghiệm hoặc các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề.
2.3.1 Các khái niệm cơ bản.
Trong phần này, ta nhắc lại một số kiến thức cơ bản về sự biến thiên của hàm số bậc hai và sự tương quan của đồ thị hàm số để giải quyết một số bài toán phương trình, bất phương trình, hệ bất phương trình chứa tham số. 
2.3.1.1 Định nghĩa. [3] Hàm số bậc hai là hàm số được cho bằng biểu thức có dạng trong đó là các hằng số với 
2.3.1.2 Chiều biến thiên của hàm số bậc hai. [3] 
Ta có hai bảng biến thiên của hàm số bậc hai sau:
2.3.1.3 Sự tương quan của đồ thị.
Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thị hàm số và đường thẳng 
(xem hình minh họa ở bên)
Trong trang này: Mục 2.3.1.1 và mục 2.3.1.2 được tham khảo TLTK số 3; Trong mục 2.3.1.3 hình mình họa là “của” tác giả.
 Các bài toán có nghiệm trên tập D
2.3.2.1 Một số kết quả. [2]
 Trong sáng kiến kinh nghiệm này, giả sử các hàm khi kí hiệu hay thì đều tồn tại.
 Điều kiện để phương trình có nghiệm là
 (Số nghiệm của phương trình trên phụ thuộc số giao điểm của đồ thị với đường thẳng trên ).
 Điều kiện để bất phương trình có nghiệm là
.
 Điều kiện để bất phương trình có nghiệm là 
.
Một số bài toán.
2.3.2.2.1 Về phương trình.
Ví dụ 1. Tìm để phương trình sau có nghiệm .
Giải. Ta có 
 Xét trên có hoành độ đỉnh , ta có bảng biến thiên sau
Từ bảng biến thiên ta có, , . Vậy để phương trình có nghiệm thì: .
Trong trang này: Mục 2.3.2.1 được tham khảo TLTK số 2; Ví dụ 1 là “của” tác giả.
Ví dụ 2. Tìm để phương trình sau có 2 nghiệm phân biệt 
Giải. Ta có 
Xét trên có hoành độ đỉnh , ta có bảng biến thiên:
Từ bảng biến thiên ta có, ,. Vậy để phương trình có 2 nghiệm phân biệt thì: .
Ví dụ 3. Tìm m để phương trình sau có nghiệm
Giải. Ta có 
Bài toán quy về tìm để phương trình (3a) có nghiệm thỏa mãn (3b). 
Xét trên có , ta có bảng biến thiên sau:
Từ bảng biến thiên ta có để phương trình có nghiệm thì: .
Trong trang này: Ví dụ 2, Ví dụ 3 là “của” tác giả.
Ví dụ 4. [2] Tìm m để phương trình sau có 2 nghiệm phân biệt 
Giải. Ta có 
Xét hai Parabol có với và Parabol có với , ta có các trường hợp sau.
Trường hợp 1: , ta có bảng biến thiên sau: 
Từ bảng biến thiên ta có để phương trình có 2 nghiệm phân biệt thì: .
Trường hợp 2: , ta có bảng biến thiên sau:
Trong trang này: Ví dụ 4 được tham khảo từ TLTK số 2, lời giải là “của” tác giả.
Từ bảng biến thiên ta có, để phương trình có 2 nghiệm phân biệt:
Trường hợp 3: , ta có bảng biến thiên sau:
Từ bảng biến thiên ta có để phương trình có 2 nghiệm phân biệt thì: 
Tóm lại phương trình có 2 nghiệm phân biệt khi: hoặc 
Ví dụ 5. [4] 
Tìm phương trình sau chỉ có một nghiệm: 
Giải. Ta có 
Đặt, có , ta có các trường hợp sau:
Trường hợp 1: , ta có bảng biến thiên sau: 
Từ bảng biến thiên ta có để phương trình chỉ có một nghiệm thì trường hợp này vô nghiệm.
Trường hợp 2: , ta có bảng biến thiên sau: 
Trong trang này: Ví dụ 5 được tham khảo từ TLTK số 4, lời giải là “của” tác giả.
Từ bảng biến thiên ta có để phương trình chỉ có một nghiệm thì . 
Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất khi hoặc .
Bài tập áp dụng không có hướng dẫn giải.
[6] Tìm để các phương trình sau có nghiệm: 
[6] Tìm để các phương trình sau có nghiệm:
[6] Tìm để các phương trình sau có nghiệm 
[6] Tìm để phương trình sau có nghiệm duy nhất:
[6] Tìm để phương trình sau có 4 nghiệm phân biệt:
Trong trang này: Các bài tập được tham khảo từ TLTK số 6.
2.3.2.2.2 Về bất phương trình.
Ví dụ 1. Tìm để bất phương trình sau có nghiệm 
 Giải. Ta có 
Xét có hoành độ đỉnh trên , ta có bảng biến thiên sau:
Từ bảng biến thiên ta có, . Vậy để bất phương trình có nghiệm thì: .
Ví dụ 2. [6] Tìm để bất phương trình sau có nghiệm
Giải. Đặt .
Khi đó có nghiệm có nghiệm.
Bài toán quy về tìm để bất phương trình: có nghiệm . 
Xét trên có , ta có các trường hợp sau:
Trường hợp 1: , ta có bảng biến thiên sau:
Trong trang này: Ví dụ 1 là “của” tác giả; Ví dụ 2 từ TLTK số 6, lời giải “của” tác giả. 
Từ bảng biến thiên ta có để bất phương trình có nghiệm thì: . 
Trường hợp 2: , ta có bảng biến thiên sau:
Từ bảng biến thiên ta có để bất phương trình có nghiệm thì: . 
Tóm lại, hoặc là giá trị cần tìm.
Ví dụ 3. [2] Tìm để bất phương trình sau có nghiệm
Giải. Đặt .
 Khi đó có nghiệm có nghiệm.
 Bài toán quy về tìm để bất phương trình: có nghiệm .
Với , hệ trở thành hệ có nghiệm, nên là một giá trị cần tìm.
Với . Xét trên có hoành độ đỉnh , ta có các trường hợp sau:
Trong trang này: Ví dụ 3 tham khảo từ TLTK số 2, lời giải là “của” tác giả. 
Trường hợp 1: , ta có bảng biến thiên sau:
Từ bảng biến thiên ta có bất phương trình có nghiệm với .
Trường hợp 2: , ta có bảng biến thiên sau:
Để bất phương trình có nghiệm thì: . 
Tóm lại, là giá trị cần tìm.
Bài tập áp dụng không có hướng dẫn giải.
[6] Tìm để các bất phương trình sau có nghiệm: 
[6] Tìm để các bất phương trình sau có nghiệm: 
[6] Tìm để các bất phương trình sau có nghiệm: 
[6] Tìm để các bất phương trình sau có nghiệm: 
Trong trang này: Bài tập áp dụng 1,2,3,4 tham khảo từ TLTK số 6. 
2.3.2.2.3 Về hệ bất phương trình.
Ví dụ 1. [2] Tìm để hệ bất phương trình sau có nghiệm
Giải. Ta có bài toán quy về tìm để bất phương trình có nghiệm thỏa mãn . Xét có trên , ta có bảng biến thiên sau:
Từ bảng biến thiên ta có để bất phương trình có nghiệm thì .
Ví dụ 2. [2] Tìm để hệ bất phương trình sau có nghiệm
Giải. Ta có , bài toán quy về tìm để bất phương trình có nghiệm thỏa mãn . Xét trên có , ta có các trường hợp sau:
Trường hợp 1: , ta có bảng biến thiên sau: 
Trong trang này: Các ví dụ 1 và ví dụ 2 được tham khảo từ TLTK số 2, lời giải là “của” tác giả. 
Từ bảng biến thiên ta có để bất pt có nghiệm thì . 
Trường hợp 2: , ta có bảng biến thiên sau:
Từ bảng biến thiên ta có để bất phương trình có nghiệm thì .
Trường hợp 3: , ta có bảng biến thiên sau:
Từ bảng biến thiên ta có để bất phương trình có nghiệm thì 
.
Tóm lại hoặc là giá trị cần tìm.
Bài tập áp dụng không có hướng dẫn giải.
[6] Tìm để hệ bất phương trình sau có nghiệm: . 
[6] Tìm để hệ sau có nghiệm duy nhất: . 
[6] Tìm để hệ sau có nghiệm: .
[6] Tìm để hệ sau có nghiệm: .
2.3.3 Các bài toán có nghiệm với mọi x trên tập D. 
Một số kết quả. [2]
 Điều kiện để bất phương trình có nghiệm với mọi là.
.
 Điều kiện để bất phương trình có nghiệm với mọi là.
.
Một số bài toán.
Ví dụ 1. Tìm để bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi 
Giải. Ta có 
Xét có trên , ta có bảng biến thiên sau:
Trong trang này: Các bài tập 1, 2, 3, 4 được tham khảo từ TLTK số 6; Mục 2.3.3.1 được tham khảo từ TLTK số 2; Ví dụ 1 là “của” tác giả. 
Từ bảng biến thiên ta có, . Vậy để bất phương trình nghiệm đúng với mọi thì: . 
Ví dụ 2. Tìm để bất phương trình sau nghiệm nghiệm đúng với mọi 
Giải. Ta có 
Xét có trên , ta có bảng biến thiên sau: 
Từ bảng biến thiên ta có, , . 
Vậy để phương trình nghiệm nghiệm đúng với mọi thì: . 
Ví dụ 3. [5] Tìm để bất phương trình sau đúng với mọi thuộc tập xác định.
Giải. Tập xác định: 
Từ bảng biến thiên ta thấy . Bài toán quy về tìm để bất phương trình sau đúng với mọi . 
Đặt: . Với ta có bảng biến thiên để tìm điều kiện của như sau:
Trong trang này: Ví dụ 2 là “của” tác giả; Ví dụ 3 được tham khảo từ TLTK số 5, lời giải là “của” tác giả. 
Xét trên có , ta có các trường hợp sau:
Từ bảng biến thiên ta để bất phương trình đúng với mọi thì .
Trường hợp 1: , ta có bảng biến thiên sau:
Trường hợp 2: , ta có bảng biến thiên sau:
Từ bảng biến thiên ta để bất phương trình đúng với mọi thì .
Trường hợp 3:, ta có bảng biến thiên sau:
Từ bảng biến thiên ta để bất phương trình đúng với mọi thì .
Tóm lại là giá trị cần tìm.
Bài tập áp dụng không có hướng dẫn giải.
[6] Tìm để bất phương trình sau có nghiệm với mọi thuộc tập xác định
[6] Tìm để bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi 
2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, bản thân, đồng nghiệp và nhà trường.
 Để kiểm tra hiệu quả của đề tài tôi tiến hành kiểm tra trên hai đối tượng có chất lượng tương đương nhau là học sinh lớp 10A2 và lớp 10A3 trường THCS và THPT Nghi Sơn – Tĩnh Gia. Trong đó lớp 10A3 chưa được tiếp cận phương pháp đã sử dụng trong đề tài, kiểm tra bằng hình thức tự luận, thời gian làm bài 45 phút với kết quả thu được như sau:
Lớp
Sĩ số
Điểm < 5
5 Điểm < 8
Điểm 8
Số lượng
%
Số lượng
%
Số lượng
%
10A2
39
2
5.1
10
25.5
27
69.4
10A3
42
23
55
11
26
8
19
 Đối với đồng nghiệp trong trường tôi cũng đã được triển khai ở các buổi sinh hoạt chuyên môn và được các đồng chí đánh giá cao về hiệu quả trong quá trình giảng dạy.
Trong trang này: Các bài tập 1, 2 được tham khảo từ TLTK số 6. 
KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ
3.1 Kết luận.
 Sáng kiến kinh nghiệm đề cập về sự biến thiên của hàm số bậc hai cùng với sự tương quan đồ thị để giải quyết một số bài toán chứa tham số lớp 10. Những kết quả chính của sáng kiến kinh nghiệm là: 
 Nhắc lại một số kiến thức cơ bản về sự biến thiên của hàm số bậc hai, sự tương quan hình học.
 Nhắc lại điều kiện để phương trình, bất phương trình có nghiệm hay có nghiệm với mọi x trên miền D.
 Đưa ra một số bài tập dưới dạng ví dụ để làm sáng tỏ những điều trên.
 Kết quả thu được: Sau nhiều năm tác giả mạnh dạn đưa sáng kiến vào dạy học sinh lớp 10 Trường THCS và THPT Nghi Sơn, đa số học sinh được tiếp cận đều giải được bài toán về phương trình chứa tham số bằng phương pháp chiều biến thiên. 
 Kiến nghị.
Nhà trường cần tổ chức nhiều hơn các buổi trao đổi phương pháp giảng dạy cho toàn thể cán bộ giáo viên. 
Sáng kiến kinh nghiệm có chất lượng nên được phổ biến rộng rãi. 
Học sinh cần tăng cường học tập trao đổi, học nhóm nâng cao chất lượng học tập.
Qua việc nghiên cứu một vấn đề nhỏ này tôi hy vọng cùng các đồng nghiệp có thể góp phần nhỏ cải tiến nâng cao kết quả giảng dạy bộ môn. 
XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ
Thanh Hóa, ngày 20 tháng 4 năm 2018.
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết, không sao chép nội dung của người khác.
(Ký và ghi rõ họ tên)
Nguyễn Bá Đại
DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] Lê Khắc Bảo (2003), 172 bài toán có chứa tham số, Nhà xuất bản giáo dục.
[2] Phan Huy Khải (1999), Phương pháp đồ thị để biện luận hệ có tham số, Nhà xuất bản giáo dục. 
[3] Đoàn Quỳnh – Nguyễn Huy Đoan – Nguyễn Xuân Liêm – Đặng Hùng Thắng – Trần Văn Vuông (2006), Đại số 10 nâng cao, Nhà xuất bản giáo dục.
[4] Đề thi Olympic Toán THPT giải thưởng Lương Thế Vinh – Bình Dương các năm.
[5] Báo Toán học và tuổi trẻ.
[6] Tham khảo từ một số tài liệu trên mạng internet
- Nguồn: https://diendantoanhoc.net
- Nguồn: 
- Nguồn: