SKKN Ứng dụng về tính chất dãy tỉ số bằng nhau để hướng dẫn học sinh giải các dạng toán về tỉ lệ thức nhằm bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 7 đạt hiệu quả ở trường THCS Thành An

1. MỞ ĐẦU
1.1 Lí do chọn đề tài:	 
 Trong quá trình phát triển, xã hội luôn đề ra những yêu cầu mới cho sự nghiệp đào tạo con người. Chính vì vậy mà dạy toán không ngừng được bổ sung và đổi mới để đáp ứng đòi hỏi của xã hội. Vì vậy, mỗi người giáo viên dạy toán phải luôn luôn tìm tòi, sáng tạo, đổi mới phương pháp dạy học để thực hiện chủ trương đổi mới của Đảng và Nhà nước đặt ra. 
 Chương trình Toán trung học cơ sở rất phong phú và đa dạng, các dạng toán cũng được đề cập đến tương đối nhiều. Trong số đó, các bài toán về tỉ lệ thức là một mảng kiến thức quan trọng. Tuy nhiên ở sách giáo khoa chưa đề cập nhiều đến các bài toán khó vì thời lượng tiết dạy hạn hẹp và khó đối với các đối tượng học sinh trung bình, yếu. Bởi vậy muốn bồi dưỡng và phát triển đối tượng học sinh khá, giỏi, bản thân người dạy phải nghiên cứu tài liệu tìm tòi các dạng toán về tỉ lệ thức và các phương pháp dễ hiểu, dễ vận dụng nhằm bổ trợ và nâng cao kịp thời cho các em. Ở phần mỗi bài toán về tỉ lệ thức đòi hỏi một cách giải phù hợp với đặc điểm của từng bài toán. Điều đó có tác dụng rèn luyện tính tư duy toán học linh hoạt và sáng tạo của người học. Do đó các bài toán về tỉ lệ thức thường có mặt trong các kỳ thi chọn học sinh giỏi, thi chọn học sinh giỏi cấp huyện, cấp tỉnh, các kì thi Violimpic Toán....
 Các bài toán về tỉ lệ thức được đề cập trong sách giáo khoa ngay từ đầu năm lớp 7 và có yêu cầu khác nhau nên làm cho người học và người dạy vất vả nhất là học sinh lớp 7. Với Trường THCS Thành An công tác bồi dưỡng học sinh giỏi được đặt lên hàng đầu đó là nhiệm vụ trọng tâm của nhà trường trong tất cả các năm học. Bồi dưỡng học sinh giỏi toán 7 là nhiệm vụ quan trọng đặc biệt là các bài toán về tỉ lệ thức , đây là nền tảng cho công tác bồi dưỡng học sinh giỏi các lớp tiếp theo nhất là lớp 9 dự thi học sinh giỏi cấp tỉnh.
 Từ những yếu tố khách quan và chủ quan đó. Tôi đã tìm tòi nghiên cứu đề tài “Ứng dụng về tính chất dãy tỉ số bằng nhau để hướng dẫn học sinh giải các dạng toán về tỉ lệ thức nhằm bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 7 đạt hiệu quả ở trường THCS Thành An”. Nhằm tìm ra các biện pháp hữu hiệu, để có những phương án thích hợp giúp học sinh tiếp cận với các bài toán tỉ lệ thức một cách chủ động, sáng tạo, hứng thú trong quá trình học.
 Các bài toán về tỉ lệ thức rất phong phú về dạng toán, nhưng trong nội dung sáng kiến này tôi chỉ nghiên cứu một số dạng toán điển hình và một số phương pháp giải cơ bản cho từng dạng toán đó.
1.2. Mục đích nghiên cứu:
 - Tìm ra các phương pháp giải các dạng toán về tỉ lệ thức .
 - Xây dựng hệ thống bài tập theo từng dạng thức cụ thể, đảm bảo tính chính xác, khoa học, phù hợp với đối tượng học sinh.
 - Góp phần nâng cao chất lượng bồi dưỡng học sinh giỏi toán.
- Để bản thân rút ra một số phương pháp, biện pháp thích hợp giúp học sinh lớp 
7 khi giải các dạng toán về tỉ lệ thức tốt hơn.
1.3. Đối tượng nghiên cứu.
 Hướng dẫn học sinh giải các dạng toán về tỉ lệ thức để bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 7 đạt hiệu quả ở trường THCS Thành An. 
1.4. Phương pháp nghiên cứu
 - Phương pháp điều tra, thực nghiệm, phân tích - tổng hợp, gợi mở, vấn đáp 
 - Nghiên cứu lý luận: Đọc tài liệu, sách giáo khoa, sách tham khảo có liên quan.
2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM.
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm:
 Toán học là môn khoa học nghiên cứu về các số, cấu trúc, không gian và các phép biến đổi. Nói một cách khác, người ta cho rằng đó là môn học về "hình và số." Theo quan điểm chính thống, nó là môn học nghiên cứu về các cấu trúc trừu tượng định nghĩa từ các tiên đề, bằng cách sử dụng Luận lý học (lôgic) và ký hiệu toán học. 
 	Môn Toán là môn học đòi hỏi phải có kĩ năng giải toán và ứng dụng của mỗi dạng toán, là môn khoa học đòi hỏi tư duy cao của người dạy và người học. Thông qua việc giảng dạy môn Toán nhằm rèn luyện cho người học năng lực phân tích, tổng hợp, tư duy linh hoạt, khả năng sáng tạo nhằm hình thành nhân cách cho người lao động trong tương lai. Học sinh muốn có kiến thức toán sâu thì phải luyện tập và thực hành nhiều để tích luỹ vốn kiến thức toán học của mình. Đây cũng là vấn đề khó đối với người học, chính vì vậy thì đòi hỏi người dạy cần truyền đạt cho các em sự ham thích học toán bằng cách phân dạng các bài toán về tỉ lệ thức một cách khoa học nhất.
 Trong toán học, tỉ lệ thức là đẳng thức của hai tỉ số dạng tổng quát hoặc a : b = c : d. Các số hạng a và d gọi là ngoại tỉ; b và c gọi là trung tỉ.
Hiện nay công tác bồi dưỡng học sinh giỏi trong các nhà trường THCS đang được quan tâm đặc biệt, đó là một trong những vấn đề đánh giá chất lượng của một nhà trường. Nghị quyết Trung Ương 2 khóa VIII yêu cầu của nhiệm vụ bồi dưỡng tạo dựng đội ngũ nhân tài cho tương lai phải xác định rõ hơn, kết quả học sinh giỏi cũng là kết quả của phong trào "hai tốt" ở các nhà trường, nó gắn liền với việc nâng cao chất lượng đại trà, giáo dục toàn diện đối với học sinh.
 Chính vì vậy, các nhà trường THCS cần xác định được mục tiêu đó là nhằm cung cấp cho các em học sinh những kiến thức phổ thông cơ bản và thiết thực, hình thành và rèn luyện cho các em các kĩ năng giải toán và ứng dụng vào thực tiễn, rèn luyện kĩ năng suy luận hợp lí, sử dụng ngôn ngữ chính xác, bồi dưỡng các phẩm chất tư duy linh hoạt, độc lập, sáng tạo. Xuất phát từ mục tiêu trên phương pháp dạy học hiện nay là tích cực hoá hoạt động của học sinh, rèn luyện khả năng tự học, tự giải quyết vấn đề của học sinh nhằm hình thành và phát triển ở học sinh các tư duy cần thiết.
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm.
a.Thực trạng
 Ưu điểm: Trường THCS Thành An có một số học sinh có tư chất thông minh, 
 có thiên hướng học các môn khoa học tự nhiên, nhiều em yêu thích môn toán.
Nhược điểm: 
Về học sinh: Không biết cách về giải các bài toán về tỉ lệ thức. Không biết cách trình bày. Không nắm được các dạng toán về tỉ lệ thức một cách cụ thể.
 Về giáo viên: Giáo viên chưa bao quát hết các dạng toán về tỉ lệ thức .
 Nhiều giáo viên không chú trọng đến mảng kiên thức này, chưa quan tâm đúng mức đến tất cả các dạng toán về tỉ lệ thức .
 Nguyên nhân:
Nguyên nhân khách quan:
 +Thời lượng dành cho đơn vị kiến thức này theo phân phối chương trình còn ít.
 + Sách giáo khoa chưa đưa ra nhiều bài toán nâng cao về các dạng toán về tỉ lệ thức .
- Nguyên nhân chủ quan:
+ Học sinh chưa nắm vững kiến thức cơ bản, kiến thức bổ trợ nâng cao về tỉ lệ thức 
 	 Kĩ năng trình bày của từng học sinh ở từng dạng toán chưa được rèn luyện nhiều. Giáo viên chưa tìm ra được những giải pháp hữu hiệu khi dạy phần kiến thức về tỉ lệ thức . 
 Qua một số năm được phân công tham gia bồi dưỡng học sinh khá, giỏi tôi thường trực tiếp tham khảo nhiều tài liệu viết về nội dung này và tôi thấy việc cần thiết phải có những phân loại, phương pháp giải thích hợp giúp học sinh một phần nào đó có cơ sở để tìm tòi giải các bài toán về tỉ lệ thức. Ở trường trung học cơ sở các dạng toán có liên quan đến tỉ lệ thức xuất hiện nhiều ở lớp 7 đặc biệt là các đề học sinh giỏi.
b. Kết quả thực trạng
 Từ thực trạng trên với mục đích khảo sát cụ thể để đánh giá và từ đó có biện pháp giảng dạy có hiệu quả tôi đã đã tham khảo rất nhiều tài liệu, tham gia giải cùng học sinh các bài toán và tiến hành khảo sát các em trong đội tuyển 8 em mà tôi đảm nhận. Cụ thể hai bài toán sau:
Bài toán 1: Tìm x, y, z biết 
 a) ; và 2x + 5y -2z = 100 b) và xyz = 20 
Bài toán 2: Cho 3 số x ,y, z 0 thỏa mãn điều kiện :
 Hãy tính giá trị của biểu thức : B = 
 Bài toán 3: Cho b = ac ; c = bd. Với b,c,d 0 ; b+c d ; b+c d
 Chứng minh rằng : = 
Kết quả thu được sau khi các em làm 3 bài tập trên như sau: 
Giỏi
Khá
Trung bình
Yếu
SL
TL%
SL
TL%
SL
TL%
SL
TL%
0
0
3
37,5
3
62,5
0
0
 Trên đây là bảng tổng hợp kết quả mà bản thân đã khảo sát trước khi thực hiện
 Trong trang này: Bài toán 1 tham khảo từ TLTK số ; Bài toán 2 tham khảo từ TLTK số ; Bài toán 3 tham khảo từ TLTK số .
 với công việc phân loại các bài tập về tỉ lệ thức . 
2.3. Các sáng kiến kinh nghiệm hoặc các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề.
* Hướng dẫn học sinh nắm vững kiến thức cơ bản:
- Bằng cách cung cấp lý thuyết trong những tiết dạy lý thuyết.
- Củng cố trong những tiết luyện tập.
Nội dung kiến thức các tính chất của tỉ lệ thức:
Tỉ lệ thức là đẳng thức giữa hai hai tỉ số , trong đó a, b, c, d là các số hạng
 a, d là ngoại tỉ; b,c là trung tỉ.
Tính chất cơ bản: ad = bc (b, d 0)
Tính chất hoán vị: Từ tỉ lệ thức (a, b, c, d 0) suy ra ba tỉ lệ thức khác nhau bằng cách: Đổi chỗ ngoại tỉ cho nhau; Đổi chỗ trung tỉ cho nhau; Đổi chỗ ngoại tỉ cho nhau và đổi chỗ trung tỉ cho nhau;
Tính chất của dãy tỉ số bằng nhau:
 Nếu = = k thì = k (Giả thiết các tỉ số đều có nghĩa)
 Chú ý: Các số x, y, z tỉ lệ với a, b, c 
  Ta còn có thể viết x : y : z = a : b : c
Kiến thức nâng cao: Cho n tỉ số bằng nhau: ===...= 
thì = = nN, n2, x0, i,k 
Kiến thức bổ sung: 
1)Luỹ thừa của một thương: . Với n N, x 0 và x, y Q
2) Một số tính chất khác: * Với m 0.	
 * Với n 0.
 * Với n N.
Ứng dụng về tính chất dãy tỉ số bằng nhau để hướng dẫn học sinh giải các dạng toán về tỉ lệ thức là rất phong phú và đa dạng ở các mức độ khác nhau. Quá trình giảng dạy tôi xin phân thành 4 dạng và trình bày sau đây:
 DẠNG 1: VẬN DỤNG TÍNH CHẤT DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU ĐỂ TÌM CÁC GIÁ TRỊ.
Phương pháp chung: Dạng toán này rất nhiều, phong phú và đa dạng. Đề bài cho thường có 2 dữ kiện , có những bài chỉ có một dữ kiện. Từ các mối quan hệ đó ta có thể tìm được kết quả, những cũng có những bài phải biến đổi rồi mới tìm được. Quá trình làm nên chú ý đến dấu của số cần tìm trong trường hợp số mũ chẵn hoặc tích của 2 số, nhằm tránh tìm ra số không thoả mãn đề bài. Đồng thời phải chú ý đến các trường hợp có thể xảy ra không bỏ xót những giá trị cần tì.
Bài toán 1: Cho x, y, z thoả mãn . Tìm x, y, z trong các trường hợp:
a) 2x - 3y + 4z = 5 b) =36 
Giải
a) Cách 1: Từ . Đặt = k x = 2k; y = 3k; z = k.
Thay vào 2x - 3y + 4z = 5, suy ra 2.2k - 3.2k + 4.2k = 5 k = - 5
 Do đó: x = -10; y = - 15; z = -5.
Cách 2: Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:
 = = . Suy ra x = -10; y = - 15; z = - 5.
b) Cách 1: Từ = 36 .Đặt =kx = 2k; y = 3k; z = k.
 Thay vào =36 ta được: (2k).(3k).k= 36 k =1 k= 1
* Với k = 1, suy ra : x = 2; y = 3; z = 1.
* Với k = - 1, suy ra : x = - 2; y = - 3; z = -1.
 Vậy các cặp (x; y; z) là (2; 3; 1); (-2; -3; -1).
Cách 2: Từ = = = = 1
Suy ra = 1=1 x = 2
 * Với x = 2, suy ra y = 3; z = 1.
 * Với x = - 2, suy ra y = - 3; z = -1
Nhận xét: Trong phần a), phần b) cách 1 đặt dãy tỉ số bằng nhau bằng k, rồi rút x, y, z theo k. Sau đó thay vào đề bài. Trong cách 2 sử dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau thì sẽ nhanh hơn.
Bài toán 2: Tìm cặp số x; y thoả mãn: 
Giải
Cách 1: * Xét 5x + 9y -21 = 0, thì x = - , y = thoả mãn đề bài.
 * Xét 5x + 9y -21 0, thì x - , y . 
Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau: 
 Suy ra: x = 3; y = 6. Vậy các cặp (x; y) là: (3; 6); 
Cách 2: Đặt =k.
Trong trang này: Bài toán 1a dựa vào TLTK số ; Bài toán 1b dựa vào TLTK số ; Bài toán 2 dựa vào TLTK số . 
Suy ra 5x = 9k - 3; 3y = 5k +8; 5x + 9y -21=81kx8k(x-3) = 0 k = 0; x = 3.
Với k = 0 suy ra (x; y) = 
Với x = 3 suy ra (x; y) = (3; 6)
Vậy các cặp (x; y) là :(3; 6), 
Nhận xét: Trong cách giải 1, ta áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau để xảy ra sai sót là xét thiếu trường hợp. Trong cách giải 2 đã khắc phục được khả năng xét thiếu trường hợp.
Bài toán 3. Tìm x, y, z biết: 
Giải
*Xét x = 0, từ đề bài y = z = 0. Bộ ba số (x, y, z) = (0; 0; 0) thoả mãn.
*Xét x 0 y, z, x + y + z 0, theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
 = = = (vì x + y + z 0)
Do đó ta được x + y + z = 0,5, thay vào đề bài ta được:
 Vậy bộ (x, y, z) là : (0; 0; 0), ( ; ; -)
Nhận xét : Trong lời giải trên xét trường hợp x = 0, từ đó tìm được bộ giá trị (x, y, z). Sau đó xét trường hợp x 0. Trong quá trình giải bài 3, một số em xét thiếu trường hợp x = 0.
Bài toán 4 : Cho và 2x = - 3y = 4z. Tìm x, y, z. 
Giải
Cách 1: Từ 2x = - 3y = 4z = 
Suy ra: 2x = 1x = ; -3y = 1y = - ; 4z = 1z = .
 Vậy bộ (x; y; z) = (; -;)
Cách 2: Đặt 2x = - 3y = 4z = = 2k; = -3k; = 4k
 Suy ra 2k - 3k + 4k = 3 k = 1. Vậy (x, y, z) = (; -; )
 Nhận xét: Trong cách giải 1 cần xuất hiện dãy tỉ số bằng nhau phù hợp để kết hợp với điều kiệm đề bài. Từ đó vận dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau để 
giải bài toán. Cách giải 2 đặt dãy tỉ số bằng nhau bằng , từ đó biểu diễn x,y,z 
Trong trang này: Bài toán 3 dựa vào TLTK số ; Bài toán 4 tham khảo từ TLTK số .;
theo k để giải bài toán.
Bài toán 5: Tìm các số x, y, z biết: 
Giải
Xét x = 0, từ đề bài suy ra y = z = 0. Suy ra 2y + 4x = 0 (vô lí ).
Do đó x, y, z 0, từ đề bài suy ra 
	 (1)
 Suy ra: 
Từ (1) suy ra 2.= (2)
Đặt = k k= 
Thay vào (2) suy ra: k = k k(k-1) = 0 k – 1 = 0 (do k 0) k = 1.
 Suy ra : x = 1; y = 2; z = 3.
Nhận xét: Trong lời giải bài toán trên cần xét trường hợp x = 0 và x 0, từ đó xuất hiện dãy tỉ số bằng nhau đơn giản hơn. Vận dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau.
 Dạng toàn này tương đối phức tạp , trình bày không cẩn thận thì rất dễ bị nhầm lẫn. Kiến thức thì không phải là khó nhưng cần đến khả năng quan sát và kĩ năng biến đổi. Khi làm bài cần vận dụng khéo léo để đưa bài toán về dạng quen thuộc.
DẠNG 2: TÍNH GIÁ TRỊ CỦA BIỂU THỨC
Bài toán 6: Cho tỉ lệ thức ( x z; x0; z0)
 Tính M = . 
Giải
Từ tỉ lệ thức k = = (do x0)
 x + y = x + z y = z. 
Do đó M = = = 
Nhận xét: Trong bài toán trên ta áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau để chỉ ra được y = z, cũng có thể thay tính M bằng việc so sánh M với 1.
Bài toán 7: Cho ba số thực a, b, c khác 0 thoả mãn: 
 Tính giá trị biểu thức P = 
Giải
Trong trang này: Bài toán 5 dựa vào TLTK số ; Bài toán 6, 7 dựa vào TLTK số ;
Ta có 
Vì a, b, c 0 nên suy ra ab + bc = ab + ac = cb + ab
a = b= c.Vậy P = == 1
Bài toán 8: Cho a, b, c, d > 0 thoả mãn . 
 Tính A = +++ 
Giải
Từ =( vì a, b, c, d > 0). Suy ra a = b = c = d
Thay vào biểu thức A ta được:
A=+++=+++=2
Nhận xét: Từ điều kiện ban đầu ta có thể biến đổi bằng cách đưa các tỉ số đó trở về các tỉ số trên có cùng tử số là abc đối với bài toán 7 và làm xuất hiện a+b+c+d ở cả tử và mẫu đối với bài toán 8, rồi sau đó vận dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau để chỉ ra được a = b = c (Bài 7) và a = b = c = d (Bài 8) từ đó thay vào biểu thức rồi tính giá trị. 
Bài toán 9:Cho x = (a,b,c 0).Tính giá trị A =(x-x+1) 
Giải
* Xét a + b + c = 0 nên a + b = - c. Suy ra x = 
 Do đó A = = 3= 59049
* Xét a + b + c 0 , theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:
 x = = 
 Suy ra A = (2-2+1) = 3 = 59049
 Vậy trong mọi trường hợp ta đều có A = 59049
Nhận xét: Trong bài toán trên nếu áp dụng dãy tỉ số bằng nhau ta phải xét đủ các trường hợp. Trong bài toán này nhiêu hoc sinh khi giải hay làm thiếu trường hợp a+b+c = 0, nên khi dạy cần hướng dẫn học sinh trường hợp này.
Bài toán 10: Cho x, y, z là các số thực thỏa mãn .
 Tính giá trị của biểu thức: A = 4036.x + (y + z)2018. 
Giải.
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có: ====2
Trong trang này: Bài toán 8 dựa vào TLTK số ; Bài toán 9 dựa vào TLTK số ;Bài toán 10 dựa vào TLTK số .
====2
 Þx + y + z = 0,5Þ =2Þ x = ; y = ; z = - 
Khi đó ta có 4036.x + ( y + z)2018 = 4036. + 0 = 2018
Vậy với x, y, z là các số thực thỏa mãn 
thì giá trị của biểu thức 4036.x + (y + z)2018 là 2018.
Nhận xét: Bài toán trên cũng có thể đưa về dạng 1 với yêu cầu là tìm x, y, z (Giống bài toán 3).
Bài toán 11: Cho x, y, z > 0 và 
 Tính P = 
Giải
Từ giả thiết, ta có: = 
 = === 2 
Khi đó P = = = = 
Nhận xét: Trong quá trình giải bài toán trên cần vận dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau một cách phù hợp khi kết hợp 2 hoặc 3 tỉ số bằn nhau.
Bài toán 12: Cho 3 số x , y , z, t khác 0 thỏa mãn điều kiện : 
 (n N)
và x + y + z + t = 8072 . Tính giá trị của biểu thức P = x + 2y – 3z + t 
Giải
Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:
 = 3 - n
Suy ra y +z +t - nx = 3x–nx y +z + t= 3x4x=x + y + z + t=8072 x = 2018
 Tương tự x = t = z = t = 2018. Vậy P = 2018
Nhận xét : Bài toán trên cũng có thể đưa về dạng bài toán tìm x,y,z,t
Bài toán 13: Tìm số tự nhiên M nhỏ nhất có 4 chữ số thỏa mãn điều kiện:
 M = a + b = c + d = e + f
 Biết a, b, c, d, e, f thuộc tập N* và ;; 
Giải. Ta có: = = k a = 7k; b = 11k a + b = 18k.
Trong trang này: Bài toán 11 dựa vào TLTK số ; Bài toán 12 tham khảo từ TLTK số .; Bài toán 13 tham khảo từ TLTK số .; 
 = m c = 11m; d = 13m c + d = 24m.
 = n e = 13n; f = 17n e + f = 30n. Với k, m, n N
Do M = a + b = c +d = e + f 18k = 24m = 30n 3k = 4m = 5n
BCNN(3; 4; 5) = 60 = = = = = p ( pN)
 k = 20p; m = 15p; n = 12p M = a + b = 18. 20p = 360p
Vì M là số tự nhiên nhỏ nhất có 4 chữ số suy ra p = 3, lúc đó M = 1080
Nhận xét: Đây là bài toán mà ta vận dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau sau khi tìm được a + b; c + d; e +f và tìm được BCNN của chúng.
Bài toán 14: Cho = ==
 Tính giá trị của A = 
Giải
* Nếu x + y +z + t = 0 x + y = - (z + t) ; y + z = - (t + x) ; 
 z + t = - (x + y) ; t + x = - (y + z)
A = = - 1 – 1 – 1 – 1 = - 4
* Nếu x + y +z + t 0. Ta có : 
 = = = = = 
 + 1 = + 1 = + 1 = +1
 = = = 
 x = y = z = t (do x + y +z + t 0)
 Vậy A = = 1 + 1 + 1 + 1 = 4
Bài toán 15: Cho dãy số 
Tính giá trị của biểu thức P = 
Giải
Cách 1: Từ giả thiết, ta có: 
Suy ra 
* Nếu x + y + z + t 0, thì x = y = z = t, khi đó P = 1+1+1+1+1 = 4.
* Nếu x + y + z + t = 0 thì x + y = - (z + t) ; y + z = - (t + x) ; 
 z + t = - (x + y) ; t + x = - (y + z)
Trong trang này: Bài toán 14 dựa vào TLTK số ; Bài toán 15 tham khảo từ TLTK số .
Khi đó P = = 
 P = (-1) + (-1) +(-1) +(-1) = -4
Cách 2: Đặt = k
Suy ra: 2x+y +z + t=kx; x + 2y + z + t = ky; x + y + 2z + t= kz; x+y + z +2t = kt.
Cộng các đẳng thức trên ta có : 5(x + y + z + t) = k(x +y+z+t)
 (x + y + z + t)(5 - k) = 0 
* Nếu x+y+z +t 0 thì k=5, suy ra x+y +z + t=4x = 4y = 4z = 4t x = y = z = t
 Khi đó P = = 4
* Nếu x + y + z + t = 0 thì x + y = - (z + t) ; y + z = - (t + x) ;
 z + t = - (x + y) ; t + x = - (y + z).
 Khi đó P = = - 4
Bài toán 16: Cho d·y tØ sè b»ng nhau:
 = = = 
TÝnh 
Giải
Ta có: ===
 = 
Trường hợp 1: Nếu a + b + c + d = 0 nên suy ra a + b = - (c+d); b + c= - (d + a);
 c + d = - (a + b); d + a = - (b + c)
 = - 4
Trường hợp 2: Nếu a + b + c + d 0
=== 
 = = 2018.
===
= = 2018
 a = b = c = d
Vậy M = 4
Nhận xét: Bài toán 14,15,16 cùng một dạng toán. Trong cách giải vận dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, cần chú ý xét đủ các trường hợp. Từ bài toán trên 
Trong trang này: Bài toán 16 dựa vào TLTK số .
ta có thể đề xuất bài toán: Cho d·y tØ sè b»ng nhau:
 = = = 
 TÝnh 
Tổng quát hơn là bài toán: Cho d·y tØ sè b»ng nhau:
 == = 
 TÝnh 
Bài toán 17: Cho các số a, b, c, d khác 0 . Tính T = x2017 + y2017 + z2017 + t2017
 Biết x, y, z, t thỏa mãn: =+++ 
Giải
Theo đề bài : = +++ (1)
Ta có : 
 =+++ 
Từ (1) suy ra : +++
= +++
( - ) + ( - ) +
 ( - ) + ( - ) = 0.
x. ( - ) + y.( - ) 
+ z.( - ) + t.( - ) = 0.
x.+ y.+
 + z.+ t. = 0 . (2)
Do a, b, c, d 0 nên suy ra a, b, c, d > 0
Suy ra > 0,> 0, 
 > 0, > 0.
 Mà x 0, y 0, z 0, t 0.
Trong trang này: Bài toán 17 dựa vào TLTK số .
Dấu “ = ” xảy ra tại (2) khi và chỉ khi x = y = z = t = 0.
 Vậy T = x2017 + y2017 + z2017 + t2017 = 0
Nhận xét: Đây là bài toán rất khó, từ đề bài ta lấy tử chia cho mẫu đối vế trái sau đó sử dụng biến đổi là chuyển vế rồi đưa về các nhóm có chứa cùng mẫu. 
Cuối cùng là dùng lập luận với các yếu tố cho sẵn và chỉ ra được dấu bằng xảy 
ra khi x = y =z= t. Để từ đó tính T.
DẠNG 3: CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC
Phương pháp chung:
- Ở dạng toán này đề bài sẽ cho sẵn một số điều kiện nào đó và yêu cầu chứng minh biểu thức. Để làm xuất hiện các biểu thức cần chứng minh thì chúng ta có thể biến đổi từ đề bài và vận dụng tính chất của tỉ lệ thức. Với tính chất của các phép toán và tính chất của dãy tỉ số bằng nhau mà chúng ta biến đổi linh hoạt điều đã cho thành điều cần có.
Lưu ý: Khi biến đổi chứng minh nên luôn nhìn về biểu thức cần chứng minh để tránh biến đổi dài, vô ích.
Bài toán 18: Cho 3 số a , b, c