SKKN Ứng dụng tích phân vào bài toán diện tích trong thực tế

MỤC LỤC
 1. MỞ ĐẦU
 1.1.Lí do chọn đề tài.
 1.2. Mục đích nghiên cứu.
 1.3. Đối tượng nghiên cứu.
 1.4. Phương pháp nghiên cứu.
 1.5. Những điểm mới của SKKN.
 2. NỘI DUNG
 2.1. Công thức tính diện tích của các hình bằng tích phân.
 2.2. Các ví dụ điển hình .
 3. Kết luận và kiến nghị.
 4.TÀI LIỆU THAM KHẢO
 1. MỞ ĐẦU
 1.1. Lí do chọn đề tài 
 - Ở các lớp THCS chúng ta đã biết cách tính diện tích của hình tam giác, hình thang, hình chữ nhật và các hình đa giác có thể đưa về các hình tam giác, hình thang hay hình chữ nhật để tính diện tích. Nhưng trong thực tế cuộc sống cũng như trong khoa học kỹ thuật, chúng ta cần phải tính diện tích của những hình phẳng phức tạp như: ta phải tính diện tích của một cánh rừng, diện tích các thửa ruộng (như hình ảnh sau).
Nhưng không phải lúc nào chúng ta cũng có thể chia các hình chúng ta cần tính diện tích về các hình tam giác, hình thang hay hình chữ nhật. Vậy thì ta có thể tính được diện tích các hình phức tạp đó không. Nếu có thể tính được thì chúng ta tính diện tích đó như thế nào? 
 - Ta đã biết nội dung chương trình môn Toán ở chương trình phổ thông mới sẽ tinh giản nhiều so với chương trình hiện hành, chú trọng tính ứng dụng thiết thực, gắn với đời sống thực tế .
 - Theo Ban Phát triển các chương trình môn học (Bộ GD-ĐT), ở chương trình phổ thông mới, môn Toán là môn học bắt buộc và được phân chia theo hai giai đoạn:
 Giai đoạn giáo dục cơ bản: giúp học sinh nắm được một cách có hệ thống các khái niệm , nguyên lý, quy tắc toán học cần thiết nhất cho tất cả mọi người, làm nền tảng cho việc học tập ở các trình độ học tập tiếp theo hoặc có thể sử dụng trong đời sống hàng ngày.
 Giai đoạn giáo dục định hướng nghề nghiệp: giúp học sinh có cái nhìn tương đối tổng quát về Toán học, hiểu được vai trò và những ứng dụng của Toán học trong đời sống thực tế... 
 Nói tóm lại: Toán học sẽ rất gần gũi với cuộc sống hàng ngày và sử dụng Toán học để giải quyết các vấn đề nảy sinh trong cuộc sống, đó cũng là mục tiêu cơ bản.
Chính vì vậy sự xuất hiện những bài toán thực tiễn trong các đề thi THPTQG cũng không thể thiếu những nội dung này, nhằm định hướng dần cách suy nghĩ về học Toán.
Vì lẽ đó tác giả chọn đề tài “ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN VÀO BÀI TOÁN DIỆN TÍCH TRONG THỰC TẾ” nhằm giúp học sinh có cái nhìn mới trong đổi mới cách tiếp cận kiến thức Toán học .
 1.2. Mục đích nghiên cứu
- Xây dựng giải pháp phù hợp, tích cực trong giờ dạy học.
- Giúp học sinh tiếp cận dần các bài toán tìm diện tích bằng Tích phân .
 - Thiết kế giáo án thực nghiệm. 
 1.3. Đối tượng nghiên cứu
- Khai thác một số ví dụ về bài toán tìm diện tích hình phẳng bằng tích phân trong thực tiễn.
 1.4. Phương pháp nghiên cứu
- Nhóm phương pháp nghiên cứu lý luận: các tài liệu tham khảo, giáo trình có nội dung liên quan.
- Nhóm phương pháp nghiên cứu thực tiễn: Quan sát, điều tra, khảo sát, dự giờ đồng nghiệp, tổng kết kinh nghiệm, tham khảo ý kiến chuyên gia
- Nhóm phương pháp xử lý thông tin: Thống kê, phân tích, tổng hợp
 1.5. Những điểm mới của SKKN
Người viết lựa chọn đề tài về một mảng kiến thức còn mới mà sách giáo khoa hiện hành chưa đề cập nhiều. 
 2. NỘI DUNG
2.1. Công thức tính diện tích của các hình bằng tích phân. 
 a. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi: đồ thị hàm số
 y = f(x) liên tục trên , trục hoành và các đường thẳng x = a; x = b.
- Cho hàm số y = f(x) liên tục trên thì diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), trục hoành và các đường thẳng x = ; x = b được tính theo công thức: 
 .
- Nhận xét: Để tính diện tích hình phẳng ta cần phải tính tích phân có chứa dấu giá trị tuyệt đối. Vì vậy mà ta phải tìm cách phá dấu giá trị tuyệt đối đó .
 b. Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số liên tục trên đoạn và hai đường thẳng là: 
 * Đối với những hình không thuộc dạng cơ bản trên ta sẽ tìm cách quy về bằng các chọn hệ trục tọa độ thích hợp đồng thời tìm hàm biểu diễn và sau đó ứng dụng tích phân.
 2.2. Một số bài toán điển hình.
Bài toán 1. Thầy An làm một cái cửa nhà hình Parabol có chiều cao từ mặt đất đến đỉnh là 2,25 mét, chiều rộng tiếp giáp với mặt đất là 3 mét. Giá thuê mỗi mét vuông là 1500000 đồng. Vậy số tiềnThầy Tâm phải trả là
A.12750000 đồng.	B.3750000 đồng.	C.6750000 đồng.	D.33750000 đồng.
Lời giải
Chọn C
Chọn hệ trục như hình vẽ, khi đó Parabol là đồ thị của hàm có dạng . Vì chiều cao bằng 2,25m nên , lại có chiều rộng biên giáp với mặt đất bằng 3m nên Parabol đi qua điểm . Do vậy phương trình Parabol là . Dẫn đến mái vòm có diện tích bằng
 . 
Số tiền cần trả: (VNĐ).
 Bài toán 2. Sân trường có một bồn hoa hình tròn tâm . Một nhóm học sinh lớp 12 được giao thiết kế bồn hoa, nhóm này định chia bồn hoa thành bốn phần, bởi hai đường parabol có cùng đỉnh và đối xứng nhau qua . Hai đường parabol này cắt đường tròn tại bốn điểm , , , tạo thành một hình vuông có cạnh bằng (như hình vẽ). Phần diện tích , dùng để trồng hoa, phần diện tích , dùng để trồng cỏ (Diện tích làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai). Biết kinh phí trồng hoa là đồng /1m2, kinh phí để trồng cỏ là đồng/1m2. Hỏi nhà trường cần bao nhiêu tiền để trồng bồn hoa đó? (Số tiền làm tròn đến hàng chục nghìn)
A. đồng.	B. đồng.	C. đồng D. đồng.
Lời giải
Chọn D
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ
Parabol có hàm số dạng có đỉnh là gốc tọa độ và đi qua điểm nên có phương trình 
Đường tròn bồn hoa có tâm là gốc tọa độ và bán kính nên có phương trình là . Do ta chỉ xét nhánh trên của đường tròn nên ta chọn hàm số nhánh trên là .
Vậy diện tích phần 
Do đó, diện tích trồng hoa sẽ là 
Vậy tổng số tiền để trồng bồn hoa là: đồng.
Làm tròn đến hàng chục nghìn nên ta có kết quả là đồng.
 Bài toán 3. Trong Công viên Toán học có những mảnh đất mang hình dáng khác nhau. Mỗi mảnh được trồng một loài hoa và nó được tạo thành bởi một trong những đường cong đẹp trong toán học. Ở đó có một mảnh đất mang tên Bernoulli, nó được tạo thành từ đường Lemmiscate có phương trình trong hệ tọa độ là như hình vẽ bên.Tính diện tích của mảnh đất Bernoulli biết rằng mỗi đơn vị trong hệ tọa độ tương ứng với chiều dài mét.
A.	B.	C.	D.
Lời giải
Chọn D.
Vì tính đối xứng trụ nên diện tích của mảnh đất tương ứng với 4 lần diện tích của mảnh đất thuộc góc phần tư thứ nhất của hệ trục tọa độ .
Từ giả thuyết bài toán, ta có .
Góc phần tư thứ nhất 
Nên . 
Bài toán 4. Một công ty quảng cáo X muốn làm một bức tranh trang trí hình ở chính giữa của một bức tường hình chữ nhật có chiều cao , chiều dài (hình vẽ bên). Cho biết là hình chữ nhật có; cung có hình dạng là một phần của cung parabol có đỉnh là trung điểm của cạnh và đi qua hai điểm , . Kinh phí làm bức tranh là đồng/.
Hỏi công tyX cần bao nhiêu tiền để làm bức tranh đó?
A. đồng.	B. đồng.	C. đồng.	D. đồng.
Lời giải
 Chọn B
- Ta chọn hệ trục tọa độ có gốc là trung điểm O của MN, trục hoành trùng với đường thẳng MN thì parabol có phương trình là .
- Khi đó diện tích của khung tranh là 
 - Suy ra số tiền là: đồng.
 Bài toán 5. Người ta cần trồng hoa tại phần đất nằm phía ngoài đường tròn tâm gốc toạ độ, bán kính bằng và phía trong của Elip có độ dài trục lớn bằng và trục nhỏ bằng (như hình vẽ). Trong mỗi một đơn vị diện tích cần bón phân hữu cơ. Hỏi cần sử dụng bao nhiêu phân hữu cơ để bón cho hoa?.
A..	B..	C..	D..
Lời giải
Chọn C
Diện tích hình phẳng giới hạn giữa elip và đường tròn chính là diện tích hình elip trừ diện tích hình tròn.
· Phương trình elip có trục lớn , trục nhỏ là .
Áp dụng công thức diện tích ta được .
· Phương trình đường tròn tâm bán kính là .
Áp dụng công thức diện tích .
* Vậy diện tích hình phẳng .
Do đó khối lượng phân cần bón (kg).
+ Chứng minh công thức diện tích elip: với Û.
Do tính đối xứng nên .
Đặt Þ; đổi cận .
. Vậy .
.
 Bài toán 6. Một sân chơi dành cho trẻ em hình chữ nhật có chiều dài và chiều rộng là người ta làm một con đường nằm trong sân (như hình vẽ). Biết rằng viền ngoài và viền trong của con đường là hai đường elip và chiều rộng của mặt đường là . Kinh phí để làm mỗi làm đường đồng. Tính tổng số tiền làm con đường đó. (Số tiền được làm tròn đến hàng nghìn)
A..	B..	C..	D..
Lời giải
Chọn C
Gọi là diện tích của elip ta có .
Chứng minh 
Xét hệ trục tọa độ sao cho trục hoành và trục tung lần lượt là các trục đối xứng của hình chữ nhật trong đó trục hoành dọc theo chiều dài của hình chữ nhật.
Gọi là elip lớn, là elip nhỏ ta có:
 Diện tích của nó là 
 Diện tích của nó là 
Diện tích con đường là 
Do đó số tiền đầu tư là .
 Bài toán 7. Một mảnh vườn hình tròn tâm bán kính . Người ta cần trồng cây trên dải đất rộng nhận làm tâm đối xứng, biết kinh phí trồng cây là đồng. Hỏi cần bao nhiêu tiền để trồng cây trên dải đất đó (số tiền được làm tròn đến hàng đơn vị)
A. đồng.	B. đồng.
C. đồng.	D. đồng.
Lời giải
Chọn D
Xét hệ trục tọa độ oxy đặt vào tâm khu vườn, khi đó phương trình đường tròn tâm O là
. Khi đó phần nửa cung tròn phía trên trục Ox có phương trình 
Khi đó diện tích S của mảnh đất bằng 2 lần diện tích hình phẳng giới hạn bởi trục hoành, đồ thị và hai đường thẳng 
Đặt . Đổi cận:;
Do đó số tiền cần dùng là đồng
 Bài toán 8. Ông An muốn làm cửa rào sắt có hình dạng và kích thước như hình vẽ bên, biết đường cong phía trên là một Parabol. Giá của rào sắt là đồng. Hỏi ông An phải trả bao nhiêu tiền để làm cái cửa sắt như vậy (làm tròn đến hàng nghìn).
A. đồng.	B. đồng.	C. đồng.	D. đồng.
Lời giải
Chọn C
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ.
Trong đó , , .
Giả sử đường cong phía trên là một Parabol có dạng , với .
Do Parabol đi qua các điểm , , nên ta có hệ phương trình
.
Khi đó phương trình Parabol là .
Diện tích của cửa rào sắt là diện tích phần hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số , trục hoành và hai đường thẳng , .
Ta có .
Vậy ông An phải trả số tiền để làm cái cửa sắt là
(đồng).
Bài toán 9. Thành phố định xây cây cầu bắc ngang con sông dài 500m, biết rằng người ta định xây cầu có 10nhịp cầu hình dạng parabol,mỗi nhịp cách nhau 40m, biết 2 bên đầu cầu và giữa mối nhịp nối người ta xây 1 chân trụ rộng 5m. Bề dày và bề rộng của nhịp cầu không đổi là 20 cm (mặt cắt của một nhịp cầu được mô phỏng như hình vẽ). Hỏi lượng bê tông để xây các nhịp cầu là bao nhiêu (làm tròn đến hàng đơn vị).
A. 	B. 	C. 	D. .
Lời giải
 Chọn A
Chọn hệ trục toạ độ Oxy như hình vẽ. Gọi parabol đi qua điểm I là (P1) và có phương trình: Do ( P1 )đi qua gốc toạ độ nên 
Sử dụng tiếp dữ kiện (P1 ) đi qua I và A ta suy ra 
Do đó parabol phía dưới có phương trình là 
Khi đó diện tích mỗi nhịp cầu là là với phần diện tích giới hạn bởi các parabol và trong khoảng (0;25).
Suy ra: 
 Thể tích của mỗi nhịp cầu là: 
Suy ra lượng bê tông để xây dựng các nhịp cầu là: (*).
Do làm tròn đến hàng đơn vị nên ta cần .
 Bài toán 10. Người ta muốn làm một vườn hoa trang trí hình chữ nhật trong khuôn viên của một ngôi nhà có thiết kế như hình vẽ bên dưới, biết chiều dài bằng 4m, đường cong OC là nửa cung Parabol với O là đỉnh, OA=1m.Hỏi chiều rộng của vườn bằng bao nhiêu để cung OC chia hình chữ nhật thành hai phần có diện tích bằng nhau?.
A..	B..	C..	D..
Lời giải
 Chọn D
 Trong mặt phẳng tọa độ, cho hình chữ nhật có một cạnh nằm trên trục hoành, và có hai đỉnh trên một đường chéo là và , với . Biết rằng đồ thị hàm số chia hình thành hai phần có diện tích bằng nhau, tìm .
Gọi là hình chữ nhật với nằm trên trục , và 
Nhận thấy đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 0 và đi qua . Do đó nó chia hình chữ nhật ra làm 2 phần là có diện tích lần lượt là ,. Gọi là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường và trục , và là diện tích phần còn lại. Ta lần lượt tính ,.
Tính diện tích .
Đặt ; Khi .
Do đó .
Hình chữ nhật có nên 
Do đồ thị hàm số chia hình thành hai phần có diện tích bằng nhau nên (Do ). Vậy chiều rộng cần tìm bằng 3m.
3. Kết luận và kiến nghị
 Khi giảng dạy nội dung này học sinh vô cùng hào hứng, các em say mê tìm tòi lời giải, đưa ra những cách làm sáng tạo và tư duy thông minh, hơn nữa sau mỗi buổi học , đặc biệt là các em được tiếp cận trực tiếp hình ảnh thật và bằng quan sát , phân tích và đưa đến lời giải cuối cùng , tất cả rất háo hức , chính vì thế Toán học không còn xa lạ hay khiên cưỡng với các em nữa , thay vào đó là việc tiếp thu kiến thức là rất chủ động.
 Rõ ràng đây là nội dung rất quan trọng trong nội dung chương trình Toán học phổ thông và đặc biệt là nội dung chương trình Sách giáo khoa mới chuẩn bị đưa vào sử dụng, với ý đồ như vậy tác giả muốn giới thiệu đến người đọc một dạng toán quan trọng rất gần gũi với thực tiễn cuộc sống.
 Vì thời gian có hạn cũng như quy định nội dung của một Sáng kiến kinh nghiệm nên tác giả không thể truyền tải hết những ý tưởng của mình và cũng muốn rằng các đồng nghiệp của mình tiếp tục những ý tưởng đó để ngày một càng hoàn thiện hơn.Rất mong sự đóng góp ý kiến của đồng nghiệp và đặc biệt là người đọc sáng kiến này. Xin chân thành cám ơn. 
Thanh hóa ngày 20 tháng 5 năm 2019
Người viết sáng kiến kinh nghiệm
Nguyễn Văn Chinh
Tôi xin cam đoan SKKN là do tôi viết, không sao chép của bất kì tác giả nào. Nếu vi phạm tôi xin chịu hoàn toàn trách nhiệm.
Xác nhận của cơ quan
TÀI LIỆU THAM KHẢO
1/ Một số tư liệu lấy từ mạng Internet.
2/ Những vấn đề chung về đổi mới giáo dục Trung học phổ thông (Bộ Giáo dục và Đào tạo, NXBGD, 2007).
3/ Hướng dẫn thiết kế bài giảng trên máy tính (Th.s Trương Ngọc Châu, NXBGD, 2005). 
4/ SGK GIẢI TÍCH 12 (Bộ Giáo dục và Đào tạo, NXBGD).
5/ Sách Bài tập GIẢI TÍCH 12 (Bộ Giáo dục và Đào tạo, NXBGD).
6/ Tài liệu chủ đề tự chọn nâng cao (Bộ Giáo dục và Đào tạo, NXBGD).
7/ Tài liệu bồi dưỡng giáo viên thực hiện chương trình, SGK THPT môn TOÁN (Bộ Giáo dục và Đào tạo, NXBGD).