SKKN Ứng dụng đạo hàm để giải phương trình, bất phương trình chứa tham số

PHẦN MỘT: MỞ ĐẦU
1.Cơ sở thực tiễn của vấn đề nghiên cứu
	Trên thực tế học sinh THPT đã được học rất nhiều dạng toán về PT, BPT và hệ PT cụ thể là: Lớp 10 có PT, BPT, hệ PT quy về bậc hai, chứa ẩn dưới dấu căn và chứa ẩn dưới dấu giá trị tuyệt đối. Lớp 11 có PT lượng giác. Lớp 12 có PT, BPT, hệ PT mũ và logarit. Trong đó có khá nhiều dạng bài toán cần phải thực hiện phương pháp đặt ẩn phụ khi tiến hành lời giải và hầu hết đó là các bài toán không chứa tham số. Tuy nhiên trong các đề thi tuyển sinh Đại học và đề thi học sinh giỏi thường có các bài toàn đề cập đến PT, BPT chứa tham mà khi tiến hành lời giải thì phải đặt ẩn phụ và tìm ĐK của ẩn phụ.
Với mười năm làm nghề dạy học tôi đã may mắn được tham gia giảng dạy cho khá nhiều lớp ôn thi Đại học và ôn thi học sinh giỏi tôi thấy có một số vấn đề cần phải giải quyết:
Một là: Việc biến đổi PT, BPT hoặc đặt ẩn phụ để quy PT đã cho về các PT bậc cao thì học sinh được giải quyết khá nhiều ở lớp 10 và lớp 11, nhưng khảo sát hàm số bằng cách ứng dụng đạo hàm thì đến lớp 12 mới được học nên khi làm bài cần phải kết hợp hai việc trên với nhau thì học sinh rất lúng túng nên lời giải nhiều khi không chặt chẽ.
Hai là: Khi học sinh làm bài tập về PT, BPT có ĐK mà trong lời giải có bước đặt ẩn phụ thì tôi thấy nhiều học sinh mắc phải một trong những sai lầm: hoặc là đặt ẩn phụ mà không nghĩ đến tìm ĐK của ẩn phụ hoặc tìm sai ĐK của nó, hoặc đã tìm chính xác ĐK của ẩn phụ nhưng khi lập luận trên PT, BPT theo ẩn phụ thì lại không xét trên ĐK ràng buộc của nó nên dẫn đến kết luận không chính xác.
Ba là: Từ năm 2006 sách giáo khoa không nói đến định lý đảo về dấu tam thức bậc hai, trong khi đó sách tham khảo xuất bản trước đó có rất nhiều bài toán sử dụng định lý đó để thực hiện việc so sánh các nghiệm của một tam thức bậc với các số cho trước nên học sinh đọc sách rất hoang mang. Do đó người giáo viên phải định hướng cho học sinh biến đổi về bài toán sử dụng đạo hàm để khảo sát hàm số nếu là tình huống không thể giải quyết đơn thuần theo kiểu tính biệt thức đenta. 
Những vấn đề trên chính là lý do để tôi chọn đề tài “Ứng dụng đạo hàm để giải phương trình, bất phương trình chứa tham số”
2. Mục đích nghiên cứu	
 Những vấn đề tôi trình bày trong bản sáng kiến với mục đích sau:
 Một là: Giúp học sinh nhận dạng được các bài toán phương trình, bất phương trình có chứa tham số có thể ứng dụng đạo hàm để giải. Trang bị cho học sinh một phương pháp mang lại hiệu quả rõ nét.
 Hai là: Bồi dưỡng cho học sinh về phương pháp kĩ năng giải toán. Qua đó học sinh nâng cao khả năng tư duy sáng tạo. 
 Các vấn đề tôi trình bày trong bài viết của mình có thể hỗ trợ cho các em học sinh lớp 12 có cách nhìn toàn diện hơn về bài toán PT, BPT có tham số có liên quan đến phép đặt ẩn phụ.
3. Đối tượng nghiên cứu và phạm vi nghiên cứu
Để hoàn thành được bài viết của mình với đề tài nói trên tôi đã phải nghiên cứu trên các dạng toán về PT, BPT đặc biệt là các bài toán về PT, BPT chứa tham số và trong lời giải có việc đặt phụ.
Phạm vi nghiên cứu của đề tài là toàn bộ chương trình đại số và giải tích thuộc môn toán Trung học phổ thông đặc biệt là các phần: PT, BPT, hệ PT quy về bậc cao một ẩn. PT, BPT chứa ẩn dưới dấu căn bậc hai và chứa ẩn dưới dấu giá trị tuyệt đối. PT lượng giác. PT, BPT mũ và logarit.
4. Phương pháp nghiên cứu 
Để thực hiện mục đích nhiệm vụ của đề tài trong quá trình nghiên cứu tôi đã sử dụng các phương pháp sau:
-Nghiên cứu các tài liệu sư phạm có liên quan đến đề tài.
- Phương pháp quan sát (công việc dạy – học của giáo viên và học sinh)
- Phương pháp điều tra (nghiên cứu chương trình, hồ sơ chuyên môn)
- Phương pháp đàm thoại phỏng vấn.(lấy ý kiến của giáo viên và học sinh thông qua trao đổi trực tiếp).
- Phương pháp thực nghiệm.
PHẦN HAI: NỘI DUNG
1. Cơ sở lý luận
a) Tìm số nghiệm của phương trình
Xét PT: , (1). Trong đó là ẩn thực và là tham số thực
- Số nghiệm của PT (1) là số giao điểm của đồ thị hàm số, (có thể nhận thấy hình dạng đồ thị hàm số thông qua BBT của nó) và đường thẳng là đường thẳng vuông góc với trục Oy tại điểm có tung độ bằng . 
- Các nghiệm của PT (1) chính là hoành độ của các giao điểm.
b) Tìm tham số trong bài toán bất phương trình
Nếu hàm số có GTLN và GTNN trên tập xác định khi đó
 BPT : thỏa mãn khi và chỉ khi 
 thỏa mãn khi và chỉ khi 
 có nghiệm khi và chỉ khi 
 có nghiệm khi và chỉ khi 
	Trong trường hợp hàm số không có GTLN hoặc GTNN trên tập ta phải kết hợp với BBT hoặc đồ thị của nó để có kết luận thích hợp. 
2. Thực trạng của vấn đề
 Qua thực tiễn học tập và giảng dạy bản thân nhận thấy ứng dụng của đạo hàm trong các bài toán cấp THPT là rất đa dạng đặc biệt là trong giải các phương trình,bất phương trình chứa tham số. Nhưng học sinh thường không tự tin mạnh dạn sử dụng công cụ rất mạnh này.
	Số lượng các bài toán nêu trên xuất hiện ngày càng nhiều trong đề thi THPTQG và phương pháp sử dụng chủ yếu là sử dụng đạo hàm.
3. Các phương pháp đã tiến hành
Để cho việc tiếp thu bài học được dễ dàng tôi chia nội dung bài viết của mình thành bốn dạng sau:
Phương trình, bất phương trình bậc cao một ẩn.
Phương trình, bất phương trình chứa ẩn dưới dấu căn.
Phương trình lượng giác.
Phương trình, bất phương trình mũ và logarit.
Dạng 1: Phương trình, bất phương trình bậc cao một ẩn
Bài 1. Tìm tham số để PT: , (1) có ba nghiệm phân biệt trong đó có đúng một nghiệm bé hơn 1.
Giải:
 PT (1) , (1a) . 
Yêu cầu của đề bài tương đương với PT (1a) có ba nghiệm phân biệt sao cho tức là đường thẳng phải cắt đồ thị hàm số tại ba điểm phân biệt có hoành độ thỏa mãn 
Ta có: 
 ; 
Bảng biến thiên của hàm số 
 -4
- 0 1 2 + 
x
 + 0 - - 0 +
 0
 -2
Từ BBT suy ra điều kiện phải tìm là: 
Nhận xét: Nghiệm của (1a) là hoành độ giao điểm của đường thẳng với đồ thị hàm số tức là từ mỗi giao điểm ta chiếu vuông góc lên trục hoành sẽ suy ra vị trí các nghiệm.
Bài 2. Cho hàm số 
 Hãy tìm tham số để 
Giải: 
Giả sử suy ra
Thử lại: Khi là hàm số liên tục trên đoạn 
 và 
suy ra và nên 
Vậy ĐK phải tìm là 
Nhận xét:
Trong lời giải của bài toán trên việc giả sử chỉ có thể suy ra điều kiện của , có thể là một khoảng nào đó nhưng sẽ giúp ta dễ dàng tìm được điều kiện thỏa mãn yêu cầu đề bài trong bước kiểm chứng ngược lại.
Bài 3. Tìm tham số để BPT , (2) thỏa mãn 
Giải: 
BPT (2) (2a) . Đặt 
BPT (11) thỏa mãn khi và chỉ khi BPT (2a) thỏa mãn 
Ta có: 
; 
Bảng biến thiên 
 0 + 0 
Từ BBT . Vậy ĐK phải tìm là 
Nhận xét:
Trong đề bài trên bậc của tham số bằng nhau nên ta có thể nhóm làm thừa số chung và thực hiện việc chia cả hai vế cho biểu thức dương để cô lập tham số
Bài tập tương tự:
Câu 1.Tìm tham số để PT: có nghiệm duy nhất; 
Câu 2. Tìm tham số để PT: có ba nghiệm dương 
 phân biệt:
Câu 3. Cho hàm số . Tìm tham số để 
Dạng 2: Phương trình, bất phương trình chứa ẩn dưới dấu căn
Bài 1. Tìm tham số để PT: ; (3) có hai nghiệm thực phân biệt:
Giải:
 PT (3) ( với ĐK )
	 ( với )
	, (3a) 
	Dễ thấy không thỏa mãn PT (3a) do đó
	PT (3a) , (3b) với và 
	PT (3) có hai nghiệm thực phân biệt PT (3b) có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn ĐK và tức là đường thẳng phải cắt đồ thị hàm số tại hai điểm phân biệt trên tập 
	Ta có 
 ; ; 
Bảng biến thiên	
 0 +
 + +
Từ BBT suy ra ĐK phải tìm là: .
Nhận xét:
Sau khi biến đổi PT (3) về PT (3a) ta có thể thực hiện lời giải theo cách so sánh các nghiệm của một tam thức bậc hai với số nhưng sẽ khá phức tạp , trong khi đó nếu ứng dụng đạo hàm như trên ta có thể biện luận số nghiệm của PT đã cho.
Bài 2. Biện luận theo tham số số nghiệm của PT:
 ; (4)
Giải:
ĐK: , (*). 
Đặt với 
PT (4) trở thành mà 
Từ , (4a)
Từ PT (4a) suy ra ĐK (*) được thỏa mãn (4a) 
, (4b)
Ta thấy số nghiệm của PT (4) bằng số nghiệm của PT (4b) 
 Xét hàm số trên tập R
; 
;
Bảng biến thiên
 1 +
 0 
Từ BBT suy ra:
Nếu PT (4) vô nghiệm.
Nếu PT (4) có một nghiệm.
Nếu PT (4) có hai nghiệm phân biệt.
Nhận xét:
Việc ứng dụng đạo hàm chỉ sử dụng sau khi đã biến đổi về PT (4b) và đương nhiên là phải khảo sát hàm số trong phạm vi PT đã cho xác định.
Bài 3. Tìm tham số để BPT : 
 (5) có nghiệm. Giải: 
ĐK: . Đặt và 
BPT (5) trở thành với ĐK 
 , (5a) với ĐK 
Xét hàm số 
Ta thấy BPT (5) có nghiệm BPT (5a) có nghiệm 
Bảng biến thiên
 +
 + 0 
Từ BBT suy ra 
Vậy ĐK phải tìm là 
Nhận xét:
Với kiến thức của lớp 10 học sinh có thể giải được bài toán trên thông qua việc so sánh các nghiệm của tam thức bậc hai với số 0, tuy nhiên khá phức tạp.
Bài tập tương tự:
Câu 1.Tìm tham số để PT :
	 có đúng một nghiệm.
Câu 2.Tìm tham số để BPT 
 có nghiệm 
Câu 3.Tìm tham số để PT sau có nghiệm: 
 Hướng dẫn: Khảo sát hàm số trên đoạn .
Câu 4. Tìm tham số để BPT: , thỏa mãn .
 Hướng dẫn : Đặt 
Câu 5. Tìm tham số để BPT: nghiệm đúng với mọi .
Dạng 3: Phương trình lượng giác
Bài 1. Tìm tham số để BPT: (6) nghiệm đúng .
Giải:
 BPT (6) 
 Đặt 
 BPT trên trở thành (6a) với ĐK 
 Xết hàm số 
 BPT (6) nghiệm đúng BPT (6a) nghiệm đúng 
Bảng biến thiên
 + 0 
Tư BBT suy ra 
Vậy ĐK phải tìm là : 
Nhận xét :
Bài toán trên có thể giải theo cách so sánh các nghiệm của một tam thức bậc hai với các số 0 và 1 nhưng khá phức tạp và có thể không xét hết các khả năng. 
Lưu ý rằng 
Bài 2. Tìm tham số để PT: , (7)
 có nghiệm .
Giải: 
PT (7) 
Đặt 
PT trên trở thành: 
 	 (7a) với 
Xét hàm số với 
PT (7) có nghiệm khi và chỉ khi PT (7a) có nghiệm tức là đường thẳng phải cắt đồ thị hàm số trên khoảng 
suy ra hàm số đồng biến trên khoảng mà 
Vậy ĐK phải tìm là: 
Nhận xét:
Trong lời giải của bài toán trên nhất thiết phải tìm được ĐK chính xác cho ẩn phụ.
Trước kia nhờ định lý đảo về dấu của tam thức bậc hai có thể thực hiện lời giải theo cách so sánh các nghiệm của tam thức bậc hai với các số 0 và 1 nhưng khá phức tạp và phải xét nhiều khả năng có thể xảy ra.
Bài 3. Tìm tham số để PT: , (8) 
 có nghiệm.
Giải: 
 PT (8) xác định PT (8) 
Đặt ; 
 và 
Ta được PT: 
	 , (8a) với ĐK 
PT (8) có nghiệm PT (8a) có nghiệm 
Xét hàm số với 
 là hàm số nghịch biến trên đoạn 
Vậy ĐK phải tìm là : 
Nhận xét: 
Cần để ý sự liên hệ giữa và .
Việc tìm ĐK của có thể thực hiện theo cách khảo sát hàm số trên đoạn .
Bài tập tương tự:
Câu 1.Tìm tham số để BPT: 
nghiệm đúng .
Câu 2.Tìm tham số để PT: có nghiệm. 
Câu 3.Tìm tham số để PT: có nghiệm. 
Câu 4.Tìm tham số để PT : có nghiệm . 
Dạng 4: Phương trình, bất phương trình mũ và logarit
Bài 1. Tìm tham số để PT: (9) 
 có hai nghiệm trái dấu.
Giải:
Đặt ; 
PT (9) trở thành 
 (3a) với 
 Nếu 
 Nếu 
 Do đó 
Lưu ý: với mỗi số PT chỉ có một nghiệm ẩn 
PT (9) có hai nghiệm trái dấu PT (9a) có hai nghiệm sao cho tức là đường thẳng phải cắt đồ thị hàm số tại đúng hai điểm với ĐK hoành độ giao điểm thứ nhất thuộc khoảng và hoành độ giao điểm thứ hai trong khoảng 
Hàm số với ĐK 
 Có . 
Bảng biến thiên
 1 
+ 0 
 -1
-3
Từ BBT suy ra ĐK phải tìm là: 
Nhận xét:
Nếu sử dụng định lý đảo về dấu của tam thức bậc hai thì lời giải của bài toán trên khá gắn gọn nhưng sách giáo khoa hiện hành không trình bày. Nhưng giải theo phương pháp nào cùng đều phải tìm được ĐK của ẩn phụ, mối liên hệ giữa số nghiệm theo ẩn phụ và số nghiệm theo ẩn chính.
Bài 2. Tìm tham số để BPT: (10) 
 	nghiệm đúng có tính chất .
Giải:
 BPT (10) 
 Đặt 
 Xét trên tập 
Bảng biến thiên của hàm số 
 +
+
1
Từ BBT của suy ra 
BPT đã cho trở thành với ĐK 
 (10a) với 
Xét hàm số trên nửa khoảng 
BPT (10) nghiệm đúng BPT (10a) nghiệm đúng 
Ta có 
Bảng biến thiên của hàm số 
 1 2 +
 0 +
3
Từ BBT suy ra 
Vậy ĐK phải tìm là .
Nhận xét: Việc tìm ĐK của ẩn phụ chính là việc tìm tập giá trị của hàm số trên tập .
Bài 3. Tìm tham số để PT: (11) có nghiệm duy nhất. 
Giải: 
 PT (11) 
PT (11) có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi PT (11a) có nghiệm duy nhất thỏa mãn ĐK và tức là đường thẳng phải cắt đồ thị hàm số 
 tại đúng một điểm trên tập 
Ta có 
Bảng biến thiên
 0 1 +
 0
 0 +
 0
 4
Từ BBT suy ra ĐK phải tìm là: 
Nhận xét:
- Có thể phát biểu đề bài theo tổng quát hơn: Biện luận theo tham số số nghiệm của PT đã cho 
- Lưu ý nhờ phép biến đổi logic nên PT (11) trở thành PT (11a) với ĐK và 
Bài tập tương tự :
Câu 1. Biện luận theo tham số số nghiệm của PT: .
Câu 2. Tìm tham số để BPT:có nghiệm. 
 Hướng dẫn: xét hàm số trên đoạn .
Câu 3. Tìm tham số để PT: 
 có nghiệm thuộc khoảng .
Câu 4. Tìm tham số m để BPT: thỏa mãn với mọi x.
4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm
Trong quá trình thực hiện đề tài với việc cho học sinh lên bảng làm một số bài tập, người giáo viên có thể nắm bắt được tình hình tiếp thu bài học. Nhưng để có được sự kết luận toàn diện nên cuối học kỳ I năm học 2018 – 2019 khi học sinh đã học song các phần liên quan đến nội dung của bài viết này tôi đã cho các lớp 12C4, 12C6, 12C5 và 12C9 làm bài kiểm tra 45 phút. Trong đó hai lớp 12C4 và 12C5 là các lớp thực nghiệm trong quá trình triển khai đề tài còn hai lớp 12C6 và 12C9 là các lớp đối chứng không tham gia trong việc triển khai đề tài. 
 Với đề kiểm tra như sau:
Câu 1. (2,5 điểm): Tìm ĐK của để PT: có sáu nghiệm phân biệt:
Câu 2. (2,5 điểm ): Tìm tham số để PT: có nghiệm duy nhất: 
Câu 3. (2,5 điểm) 
Tìm tham số để BPT: thỏa mãn 
Câu 4. (2,5 điểm) 
Tìm tham số để PT: có nghiệm .
Sau khi chấm bài kiểm tra tôi thu kết quả với mức điểm được tính phần trăm như sau: 
Lớp thực nghiệm:
 Điểm
Lớp
1 1 – 2,5
3 3 – 4,5
5 – 6,5
7 – 8,5
9 – 10
Lớp 12C4
( 42 HS )
0%
5,5%
29%
38,5%
27%
Lớp 12C5
( 42 HS )
2%
9%
35%
36%
18%
 Lớp đối chứng: 
 Điểm 
Lớp
1 – 2,5
3 – 4,5
5 – 6,5
7 – 8,5
9 – 10
Lớp 12C6
( 42 HS )
11%
24%
44,5%
18,5%
2%
Lớp 12C9
( 42 HS )
13%
28%
44%
15%
0%
	Căn cứ vào kết quả kiểm tra của hai lớp thực nghiệm trước và sau khi thực hiện đề tài sáng kiến. Đối chiếu so sánh kết quả làm bài của hai lớp thực nghiệm và hai lớp còn lại không được tham gia thực nghiệm ta thấy: Với các nội dung đã trình bày trong bài viết này đã giúp các em học sinh lớp 12 thấy được sự liên hệ chặt chẽ giữa bài toán PT, BPT chứa tham số và bài toán khảo sát hàm số đồng thời giúp các em có cái nhìn khá toàn diện về bài toán PT, BPT chứa tham số và ẩn phụ trong phạm vi toán học THPT góp phần đáng kể hỗ trợ cho các em học sinh trong việc ôn thi THPT Quốc gia.
PHẦN BA: KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
1. Kết luận 
	Với việc triển khai giảng dạy cho học sinh lớp 12 trong một số giờ tự chọn nâng cao, chủ yếu là hướng dẫn học sinh tự nghiên cứu nội dung ứng dụng đạo hàm và ẩn phụ để tìm tham số trong bài toán PT, BPT đã giúp cho học sinh thấy được sự liên hệ chặt chẽ giữa số nghiệm của một PT với số giao điểm của các đồ thị của hai hàm số ở hai vế, học sinh biết cách sử dụng đạo hàm trong nhiều bài toán tìm tham số, học sinh làm bài có những lập luận chặt chẽ hơn trong những tình huống tìm tham số và đặt ẩn phụ.
2. Kiến nghị 
 	Mặc dù Sách giáo khoa đã giảm tải khá nhiều nhưng trong đề thi THPT Quốc gia có nhiều bài rất khó được phát triển từ các bài tập trong sách giáo khoa, nên tôi mong muốn chương trình GDPT mới, sau chương ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số Sách bài tập giải tích 12 sẽ có thêm những bài tập tự luyện (có hướng dẫn) thể hiện việc ứng dụng đạo hàm trong những tình huống tìm tham số đối với bài toán PT, BPT để học sinh thấy rõ hơn ý nghĩa của đạo hàm đồng thời có cái nhìn toàn diện hơn về bài toán tìm tham số.
 Do thời gian có hạn nên đề tài này chưa được áp dụng rộng rãi và chắc chắn không tránh hết những thiếu sót. Vì vậy rất mong được sự góp ý của quý thầy cô giáo và các bạn đồng nghiệp để đề tài được hoàn thiện hơn và được áp dụng phổ biến hơn trong những năm học tới. 
 Xin chân thành cảm ơn!
XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ
Thanh Hóa, ngày 28 tháng 04 năm 2019
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của tôi viết, không sao chép nội dung của người khác.
 Người viết đề tài
 Ths Lê Thị Hằng
TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Bộ sách giáo khoa môn toán lớp 10,11,12, của NXBGD năm 2008.
2. Bộ sách bài tập môn toán lớp 10,11,12, của NXBGD năm 2008.
3. WWW.Violet.vn, Các đề thi, kiểm tra thử của các trường THPT.
4. WWW.VNMATH.COM.