SKKN Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một biểu thức

 NỘI DUNG CHUYÊN ĐỀ: 
TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA MỘT BIỂU THỨC
A.Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một biểu thức:
1). Khái niệm: 
Nếu với mọi giá trị của biến thuộc khoảng xác định nào đó mà giá trị của biểu thức A luôn luôn lớn hơn hoặc bằng ( nhỏ hơn hoặc bằng) một hằng số k và tồn tại một giá trị của biến để A có giá trị bằng k thì k gọi là giá trị nhỏ nhất ( giá trị lớn nhất) của biểu thức A ứng với các giá trị của biến thuộc khoảng xác định nói trên.
2). Phương pháp:
a) Để tìm giá trị nhỏ nhất của A ta cần:
+ Chứng minh với k là hằng số
+ Chỉ ra dấu « = » có thể xảy ra với giá trị nào đó của biến
b Để tìm giá trị lớn nhất của A ta cần:
+ Chứng minh với k là hằng số
+ Chỉ ra dấu « = » có thể xảy ra với giá trị nào đó của biến
Kí hiệu: min A là giá trị nhỏ nhất của A, max A là giá trị lớn nhất của A
B.Các bài tập tìm Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một biểu thức: 
I.Dạng 1: Tam thức bậc hai
Ví dụ 1: 
a)Tìm giá trị nhỏ nhất của A=2x2-8x+1
b)Tìm giá trị lớn nhất của B=-5x2-4x+1
Giải
a)A= 2(x2-4x+4)-7 = 2(x-2)2-7 7 
min A=-7 x=2
b)B= -5(x2+ x)+1 = -5(x2+2.x. + )+ =-5(x+)2 
max B = x= -
Ví dụ 2: Cho tam thức bậc hai P(x) = ax2+bx+c
a)Tìm min p nếu a > 0
b)Tìm max P nếu a < 0
Giải
Ta có: P = a(x2 +x) +c = a(x+)2 + (c -)
Đặt c - = k. Do (x+)2 0 nên: 
a)Nếu a > 0 thì a(x+)2 0 do đó P k Þ min P = k Û x = -
b)Nếu a < 0 thì a(x+)2 0 do đó P k Þ max P = k Û x = -
II)Dạng 2: Đa thức có dấu giá trị tuyệt đối
1)Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của
a)A = (3x-1)2 – 4|3x-1| +5 
đặt |3x-1| = y thì A = y2 -4y +5 = (y-2)2 +1 ≥ 1 
min A =1 Û y = 2 Û |3x-1|=2 Û 
b) B = |x-2| + |x-3|
B = |x-2| + |x-3| = B = |x-2| + |3-x| ≥ |x-2+ 3-x| =1
Þ min B = 1 Û (x-2)(3-x) ≥ 0 Û 2 ≤ x ≤ 3
1) Ví dụ 2: Tìm GTNN của C = |x2 - x+1| +|x2- x - 2| 
Ta có C= |x2 - x+1| +|x2 – x - 2| = |x2 - x+1| +| 2 +x -x2| ≥ | x2 - x+1+ 2 +x -x2| =3 
min C = 3 Û (x2 - x+1)( 2 +x -x2) ≥ 0 Û 2 +x -x2 ≥ 0 Û x2 – x – 2 ≤ 0 
 Û(x+1)(x-2) ≤ 0 Û -1 ≤ x ≤ 2 
2) Ví dụ 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của: T = |x-1| +|x-2| +|x-3| +|x-4| 
Ta có |x-1|+|x-4| =|x-1|+|4-x| ≥ | x-1 +4-x | = 3 (1)
Và |x-2|+|x-3| =|x-2|+|3-x| ≥ | x-2 +3-x | = 1 (2) 
Vậy T = |x-1| +|x-2| +|x-3| +|x-4| ≥ 1+3 =4
Ta có từ (1) Þ dấu bằng xảy ra khi 1 ≤ x ≤ 4
(2) Þ dấu bằng xảy ra khi 2 ≤ x ≤ 3
Vậy T có giá trị nhỏ nhất là 4 khi 2 ≤ x ≤ 3 
III)Dạng 3: Đa thức bậc cao 
1)Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của
a)A = x(x-3)(x-4)(x-7) = (x2-7x)( x2-7x+12)
Đặt x2-7x+ 6 =y thì A = (y - 6)(y+6) = y2 – 36 ≥ 36
Min A = -36 Û y = 0 Û x2 -7x + 6 =0 Û (x-1)(x-6)=0 Û x=1 hoặc x=6
a)B = 2x2 + y2 -2xy -2x +3 = (x2 – 2xy+ y2)+( x2 -2x +1) +2 
= (x-y)2 + (x-1)2+2 ≥ 2 Û Û x=y=1
b)C = x2+xy + y2 -3x-3y = x2 -2x + y2 -2y +xy – x – y 
Ta có C+3 = (x2 -2x+1)+ (y2 -2y +1)+ (xy –x –y +1) 
 = (x-1)2 + (y-1)2 + (x-1) (y-1). Đặt x-1 = a; y-1 =b thì 
 C+3 = a2 +b2 +ab = (a2 + 2.a.+ )+ = (a+)2 + ≥ 0
Min (C+3) = 0 hay min C = -3 Û a=b =0 Û x=y=1 
2)Ví dụ 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của
a)C= (x+8)4+ (x+6)4 
Đặt x+7 =y Þ C= (y+1)4 +(y-1)4 
= y4 +4y3 +6y2 +4y +1 + y4 - 4y3+6y2-4y+1 
= 2y4+ 12y2 +2 ≥ 2 Þ min A = 2 Û y=0 Ûx = -7
b)D= x4 – 6x3 +10x2 -6x +9= x4– 6x3+9x2)+ (x2-6x+9)
 = (x2-3x)2 + (x-3)2 ≥ 0 Þ min D =0 Û x=3
IV)Dạng phân thức: 
1)Phân thức có tử là hằng số, mẫu là tam thức bậc hai
Biểu thức này đạt GTNN khi mẫu đạt GTLN
Ví dụ: Tìm GTNN của A = ==
Vì (3x-1)2 ≥0 Þ (3x-1)2 +4 ≥ 4 ÞÞ ≥ 
Þ A ≥ 
Min A =Û3x-1 =0 Û x=
2)Phân thức có mẫu là bình phương của một nhị thức
 a) Ví dụ 1: Tìm GTNN của A =
+ ) Cách 1: Tách tử thành nhóm các nhân tử chung với mẫu
 A == = 3+ .
Đặt y= thì A= 3-2y+y2 = (y-1)2+2 ≥ 2 Þ min A = 2 Û y=1Û=1 Û x=2
+ ) Cách 2: Viết biểu thúc A thành tổng của một số với một phân thức không âm
A= ==2+ ≥2
Þ min A=2 Ûx-2=0 Ûx=2
b) Ví dụ 2: Tìm GTLN của B =
Ta có B = = . Đặt y=Þx= -10 thì 
B= ( -10).y2 = -10y2+y = -10(y2-2y.y+) + 
=-10(y-)2 + ≤
Max B =Ûy-=0Û y=Û x =10
c)Ví dụ 3: Tìm GTNN của C= 
Ta có: C== =≥
Þ min A =Û x = y
3)Các phân thức có dạng khác 
a)Ví dụ: Tìm GTNN, GTLN (cực trị) của A= 
Ta có: A ===≤ 4
Þ max A = 4 Û x=- 
C.Tìm GTNN, GTLN của một biểu thức biết quan hệ giữa các biến
Ví dụ 1: Cho x+y=1. Tìm GTNN của A = x3+y3+xy
Ta có A= (x+y)(x2-xy+y2) + xy= x2+y2 (vì x+y=1)
a) Cách 1: Biểu thị ẩn này qua ẩn kia, rồi đưa vế một tam thức bậc hai
Từ x+y=1 Þ x=1-y
Nên A = (1-y)2 +y2 = 2(y2-y)+1= 2(y2 -2.y.+ )+ = 2(y - )2 + ≥
Vậy min A = Û x=y= 
b) Cách 2: sử dụng đk đã cho, làm xuất hiện biểu thức mới có chứa A
Từ x+y=1 Þ x2+2xy+y2=1 (1). Mặt khác (x-y)2 ≥ 0 Þ x2-2xy+y2 ≥ 0 (2)
Cộng (1) với (2) vế theo vế, ta có:
2(x2+y2) ≥ 1 Þ x2+y2 ≥ Þ min A = Ûx=y=
Ví dụ 2: Cho x+ y+z=3
a) Tìm GTNN của A = x2+ y2+z2
b) Tìm GTNN của B= xy+yz+xz
Từ x+ y+z=3 Þ (x+ y+z)2=9 Û x2+ y2+z2+ 2(xy+yz+xz) =9 (1)
Ta có x2+ y2+z2 – xy – yz – xz=.2(x2+ y2+z2 – xy – yz – xz)
 = ≥ 0 Þ x2+ y2+z2 ≥ xy+yz+xz (2)
Đẳng thức xảy ra khi x=y=z
Từ (1) và (2) suy ra
9 = x2+ y2+z2 +2(xy+yz+xz) ≤ x2+ y2+z2 +2(x2+ y2+z2) = 3(x2+ y2+z2) 
Þ x2+ y2+z2 ≥ 3 Þ min A =3 Û x = y = z = 1
Từ (1) và (2) suy ra
9 = x2+ y2+z2 +2(xy+yz+xz) ≥ xy+yz+xz +2(xy+yz+xz ) = 3(xy+yz+xz ) 
Þ x2+ y2+z2 ≤ 3 Þ max B = 3 Û x = y = z = 1
Ví dụ 3: 
Tìm giá trị lớn nhất cùa S = xyz(x+y)(y+z)(z+x) với x, y, z > 0 và x+y+z =1
Vì x, y, z > 0, áp dụng BĐT Côsi ta có: x+y+z ≥ 3 Þ ≤ Þxyz ≤
Áp dụng bất đẳng thức Co6si cho x+y; y+z; x+z ta có
(x+y)(y+z)(z+x) 3 ≥Þ 2 ≥ 
Dấu bằng xảy ra khi x = y = z = Þ S ≤ =
Vậy S có giá trị lớn nhất là khi 
4) Ví dụ 4 : Cho xy + yz + zx = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của x4 + y4 + z4
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacốpski cho 6 số (x,y,z) ;(x,y,z)
Ta có (1)
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacốpski cho 6 số (x2,y2,z2) ;(1,1,1)
Ta có : (2)
Từ (1) và (2) suy ra :
Vậy : có giá trị nhỏ nhất là khi 
D. Một số chú ý :
1) Khi tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất ta có thể đổi biến
Ví dụ : Khi tìm giá trị nhỏ nhất của A = (x-1)2 + (x-3)2 , ta đặt x – 2 = y thì 
2)Khi tìm cực trị của một biểu thức, ta có thể thay điều kiên của biểu thức này đạt cực trị bởi điều kiện tương đương là biểu thức khác đạt cực trị :
+) –A lớn nhất A nhỏ nhất
+) lớn nhất nhỏ nhất ( B >0)
+)C lớn nhất C2 lớn nhất
Ví dụ:Tìm cực trị của 
a)Ta có A > 0 nên A nhỏ nhất khi lớn nhất, ta có:
b)Ta có (x2 -1)2 .( Dấu bằng xảy ra khi x2 = 1 )
Vì x4 +1 > 0 
3) Nhiều khi ta tìm cực trị của biểu thức trong các koang3 của biến, sau đó so sanh các cực trị trị đó để tìm giá tri6 lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trong toàn bộ tập xác định của biến
Ví dụ : Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 
a)Xét 
- Nếu x=0 thì B = 0
- Nếu y = 4 thì x = 0 và A=4
- Nếu thì A3
b)Nếu x + y 6 thì A
So sánh các giá trị trên của A, ta thấy max A = 4 
4) Sử dụng hằng đẳng thức
Ví dụ: Tìm giá trị lớn nhất của A= biết 
Áp dung bất đẳng thức Bunhiacốpski cho các số 2,3,x,y ta có 
Max A = 26 
Vậy: maxA= 26 x = 4; y = 6 hoặc x = - 4; y = -6
5) Hai số có tổng không đổi thì tích của chúng lớn nhất khi và chỉ khi chúng bằng nhau
a)Ví dụ 1 :
Tìm giá trị lớn nhất của 
Vì =22 không đổi nên tích lớn nhất khi và chỉ khi 
Khi đó A = 11.11= 121 
b)Ví dụ 2:Tìm giá trị nhỏ nhất của 
Ta có: 
Vì các số x và có tích = 36 không đổi nên nhỏ nhất x = 6
6) Trong khi tìm cực trị chỉ cần chỉ ra rằng tồn tại một giá trị của biến để xảy ra đẳng thức chứ không cần chỉ ra mọi giá trị để xảy ra đẳng thức
Ví dụ : Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
Ta thấy 11m có tận cùng bằng 1 ; 5n có tận cùng bằng 5
Nếu 11m>5n thì A tận cùng bằng 6, nếu 11m<5n thì A có tận cùng bằng 4
Khi m = 2, n = 3 thì A= =4 minA =4, chẳng hạn khi m = 2 ; n = 3.