SKKN Sử dụng tính chất của tiếp tuyến để chứng minh bất đẳng thức

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA
TRƯỜNG THPT TĨNH GIA I
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
SỬ DỤNG TÍNH CHẤT CỦA TIẾP TUYẾN ĐỂ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC 
Người thực hiện: Nguyễn Thị Hiền
Chức vụ: Giáo viên
SKKN thuộc môn: Toán 
THANH HÓA NĂM 2018
MỤC LỤC
1.LỜI MỞ ĐẦU
Lý do chọn đề tài 
Mục đích nghiên cứu.
Đối tượng nghiên cứu
Phương pháp nghiên cứu 
2.NỘI DUNG SÁNG KIẾN
2.1 Cở sở lí luận
2.2. Thực trạng vấn đề
2.3 Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề
 2.3.1 Các bài toán sử dụng trực tiếp hàm số
 2.3.2 Khai thác dữ kiện tìm hàm số cần xét 
 2.3.3 Sử dụng bất đẳng thức tiếp tuyến
 2.3.4. Khai thác bất đẳng thức đã chứng minh thành các bất đẳng thức mới
 2.4 Hiệu quả đạt được
3. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
1. Kết luận 
2. Kiến nghị
1. LỜI MỞ ĐẦU
Mục tiêu hàng đầu của việc dạy học môn toán trung học phổ thông là trang bị những tri thức, phương pháp và phát triển tư duy, trí tuệ cho học sinh.
Phần bất đẳng thức khá quan trọng trong việc phát triển tư duy sáng tạo, tư duy biện chứng cho học sinh. Sử dụng tính chất của tiếp tuyến để chứng minh bất đẳng thức là một phương pháp rất hiệu quả.Giúp học sinh có định hướng trong việc đánh giá một biểu thức lớn hơn hay nhỏ hơn một biểu thức bậc nhất. Mặt khác từ việc chứng minh một bài toán cụ thể, kết hợp khai thác các kiến thức đã học, các kiến thức liên quan tìm ra các bất đẳng thức mới. Từ đó phát huy tính cực, chủ động, sáng tạo của học sinh trong việc lĩnh hội tri thức và tạo niềm tin, hứng thú trong học tập môn Toán.
1.1 Lý do chọn đề tài
 Chủ đề bất đẳng thức tương đối khó đối với mọi đối tượng học sinh. Sự nhận thức học sinh thể hiện khá rõ:
Học sinh lúng túng không có định hướng khi gặp bài toán chứng minh bất
 đẳng
Khả năng phân tích dữ kiện, tổng hợp các kiến thức liên quan đến bài toán còn hạn chế
Chưa có kỹ năng vận dụng tính chất cơ bản của bất đẳng thức và các bất đẳng thức cổ điển để kiến tạo ra tri thức tổng hợp từ đó vận dụng vào giải bài tập.
Chưa có kĩ năng vận dụng kiến thức đã học vào trong thực tế cuộc sống.
Từ các bất đẳng thức đã chứng minh chưa biết phân tích xây dựng thành các 
bài toán mới.
Vì vậy để khắc phục các hạn chế trên của học sinh, và bồi dưỡng khả năng tư duy cho học sinh khá giỏi, qua đó nâng cao chất lượng mũi nhọn cho nhà trường tôi đã chọn đề tài: Sử dụng tính chất của tiếp tuyến để chứng minh bất đẳng thức.
 Mục đích nghiên cứu.
Từ một bất đẳng thức cụ thể cần rèn luyện cho học sinh kỹ năng xây dựng
 phương trình hàm số thích hợp, từ đó sử dụng tính chất của tiếp tuyến 
 chứng minh bất đẳng thức hoặc tìm giá trị lớn nhất giá trị nhỏ nhất của hàm
 số. 
Giúp giáo viên có định hướng tốt khi giảng dạy chủ đề bất đẳng thức.
 Đối tượng nghiên cứu. 
 Các dạng bài tập chứng minh bất đẳng thức, bài tập tìm giá trị lớn nhất giá trị nhỏ nhất của hàm số sử dụng tính chất tiếp tuyến. 
 Phương pháp nghiên cứu. 
 Xây dựng hệ thống bài tập định hướng
2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN
2.1.Cở sở lý luận
Bổ đề 1: Cho hàm số y = f(x) nếu đường thẳng y = ax + b là tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm A(x0; y0), ( A không phải là điểm uốn ), khi đó tồn tại một khoảng D chứa điểm x0 sao cho hoặc 
Nhận xét: : Nếu đường thẳng y = ax + b là tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm A(x0; y0) . Khi đó ta luôn phân tích được: 
 Bổ đề 2: (bất đẳng thức tiếp tuyến) 
Cho hàm số y = f(x) liên tục và có đạo hàm cấp 2 trên [a; b]. 
- Nếu ta luôn có 
- Nếu ta luôn có 
Chứng minh: +) Với 
Xét hàm số 
Ta có Nên hàm số f’(x) là hàm số đồng biến trên [a;b]. Do đó g’(x) đổi dấu từ dương sang âm khi qua x0 nên g(x) đạt cực tiểu tại x0 hay
Chứng minh tương tự cho trường hợp 
Nhận xét: 
- Hệ thức là phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm x0 . Do vậy nếunên tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm bất kì trên [a;b] luôn nằm phía dưới đồ thị của hàm số. 
- Nếunên tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm bất kì trên [a;b] luôn nằm phía trên đồ thị của hàm số.
Bổ đề 3: 
 Cho hàm số y = f(x) liên tục và có đạo hàm cấp 2 trên (a; b) và n là số thực dương .
+ Nếu thì ta có Với 
+ Nếu thì ta có Với 
Dấu bằng xảy ra khi x1 = x2 =...= xn
Chứng minh: 
Đặt y = . Vì nên áp dụng bổ đề 2 ta có: 
Cộng các vế của n bất đẳng thức trên ta được :
.
Tương tự cho trường hợp f’(x) <0. 
Nhận xét : Ta có thể mở rộng bất đẳng thức trên thành :
 Trong đó là các số thực dương bất kỳ ( CM tương tự)
Cho là các số thực dương có .Khi đó với mọi số thực không âm x1 ,x2, ...,xn ta có: .
 2.2 Thực trạng vấn đề
Phần bất đẳng thức là chủ đề khá quan trọng trong việc phát triển tư duy 
sáng tạo, tư duy biện chứng cho học sinh. Đồng thời cũng thường gặp trong các đề thi đại học và cao đẳng, đề thi học sinh giỏi hàng năm.Trong khi đó số tiết phân phối cho bài học ít. Khả năng vận dụng kiến thức đã học vào giải các bài toán thực tế của học sinh còn hạn chế.
Có rất nhiều phương pháp vận dụng chứng minh bất đẳng , các phương pháp giải đa dạng, một số tài liệu đưa ra cách giải mang tính thủ thuật, không tự nhiên làm cho học sinh không có cách nhìn bao quát về chứng minh bất đẳng thức. Dẫn đến việc học sinh ”sợ” khi gặp bài toán bất đẳng thức.
2.3. Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề
Mấu chốt của bài toán sử dụng tính chất tiếp tuyến là học sinh tìm được hàm đặc trưng, từ đó dùng tính chất của tiếp tuyến ở trên để đánh giá biểu thức chứa biến lớn hơn hay nhỏ hơn một biểu thức bậc nhất. 
2.3.1) Các bài toán sử dụng trực tiếp hàm số 
Để học sinh vận dụng thành thạo nội dung của phương pháp và tạo niềm tin lĩnh hội tri thức cho học sinh. Tôi hướng dẫn học sinh xét các bài toán đơn giản, các bài toán mà hàm số cần xét đã có sẵn.
Bài 1[3]: Cho ba số dương x, y, z thõa mãn: x+ y + z = 1. Chứng minh rằng:
(Ghi chú: [3] ( giải thích cho việc trích dẫn lấy từ tài liệu tham khảo số 3))
Dẫn dắt học sinh: 
 - Bất đẳng thức đối xứng với ba ẩn x, y, z, dấu bằng xảy ra khi x = y = z =
 - Từ giả thiết hướng cho ta việc xét hàm 
Giải: Xét hàm . Ta có 
Phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x = là : y = - 80x +54 
Vì : 
Suy ra : 
Từ đó ta có : 
Dấu bằng xảy ra khi : x = y =z =. 
Bài 2[5]: Cho ba số dương x, y, z thõa mãn: x+ y + z = 1. Chứng minh rằng:
Giải: Xét hàm số: . Ta có: 
Phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x = là:
y =
Vì: 
Suy ra: 
Từ đó ta có: . 
Dấu bằng xảy ra khi x = y = z = .
2.3.2) Khai thác dữ kiện bài toán tìm hàm số cần xét 
 Trong phần này tôi đưa ra các bài toán mà chưa có sẵn hàm số cần xét, mỗi bài 
mở ra một hướng khai thác dữ kiện khác nhau để tìm ra hàm số cần xét, từ đó phát huy khả năng sáng tạo của học sinh.
Bài 1[2]: Cho ba số dương x, y, z thõa mãn: . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
Giải: Ta có
Áp dụng BĐT cosi: 
Suy ra: 
Xét hàm số : 
Phương trình tiếp tuyến tại x = 3 là: 
Vì : 
Nên: 
Khi đó 
Vậy giá trị nhỏ nhất của P = 9 khi x = y = z =3.
Nhận xét: - Giáo viên định hướng học sinh kĩ năng sử dụng bất đẳng thức cổ điển kết hợp đánh giá về một ẩn từ đó tìm ra hàm đặc trưng.
Bài 2[2]: Cho ba số dương x, y, z thõa mãn: . Chứng minh rằng:
Dẫn dắt học sinh:- Bài toán này phương trình hàm số có sẵn tuy nhiên điều kiện ẩn số bậc 2 mà khi sử dụng tính chất tiếp tuyến ta chỉ đánh giá với biểu thức ẩn bậc nhất, nên phải kết hợp cả đánh giá và đặt ẩn phụ để chuyển về bài toán với điều kiện bậc nhất. 
Giải: Đặt: Bài toán trở thành:
Cho ba số dương a, b,c thõa mãn: x + y + z = 3. Chứng minh rằng:
Xét hàm: . Ta có: 
Phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x = là:
y =
Vì: 
Nên: .
Khi đó: 
Dấu bằng xảy ra khi: x = y = z =1
 Bài 3: Cho ba số dương x, y, z thõa mãn: . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: .
Dẫn dắt học sinh:
- Bài toán này phương trình hàm chưa có sẵn và điều kiện ẩn số bậc 2. Vì vậy ta phải khai thác dữ kiện để tìm ra hàm số: 
- Đồng thời phải kết hợp đặt ẩn phụ để chuyển về bài toán với điều kiện bậc nhất. x + y +z = 3
Giải:
 Đặt: , khi đó: 
Xét hàm số : Ta có 
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm x = 1.
Vì: . Nên: 
Ta có 
Vây giá trị nhỏ nhất của biểu thức là: P = 2 khi x = y = z = 1.
Nhận xét: Giáo viên định hướng học sinhsử dụng kĩ năng đặt ẩn phụ từ đó tìm ra hàm cần xét
Bài 4[3]: Cho ba số dương x, y, z thõa mãn: Chứng minh rằng: 
Dẫn dắt học sinh:
 - Học sinh nghĩ ngay đến việc sử dụng: 
- Tuy nhiên điều kiện ẩn số bậc 4 mà khi sử dụng tính chất tiếp tuyến ta chỉ đánh 
giá với biểu thức ẩn bậc nhất, nên phải kết hợp cả đánh giá và đặt ẩn phụ để chuyển về bài toán với điều kiện bậc nhất. 
 Đặt 
 Khi đó: 
 Ta có: 
Từ đó xét hàm : y = 
Giải: 
Đặt ta có a+ b + c 
Vì: nên: (1)
Xét hàm y = Ta có: 
Phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x =4 là:
y =
Vì:
Nên: 
Từ đó ta có: (2)
Từ (1) và (2) Suy ra: . Dấu bằng xảy ra khi: x = y = z =1 
Bài 5[5]: Cho a, b, c là các số dương . Chứng minh rằng: 
Dẫn dắt học sinh: - Bất đẳng thức đúng với a, b,c thì cũng đúng với ka, kb, kc 
- Vì :,Nên
- Đặt x= ka;y= kb;z=kc và chọn k=thì và
- Do đó đối với những bất đẳng thức dạng này ta có thể giả thiết thêm (hoặc nếu chọn ). 
Giải: Không làm mất tính tổng quát giả sử: a + b +c = 1.
Khi đó: 
 Xét hàm số 
Phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x = là:
y =
 Vì: 
 Nên: 
Từ đó ta có: 
 Dấu bằng xảy ra khi x = y = z =1.
Nhận xét: Giáo viên định hướng học sinh kĩ năng chuẩn hóa điều kiện.
Bài 6[3]: Cho ba số dương a,b, c. Chứng minh rằng: 
Dẫn dắt học sinh:
 - Bài toán này phương trình đặc trưng không dễ biến đổi về một ẩn như trong các ví dụ trên. Tuy nhiên vai trò các ẩn bình đẳng và dầu bằng xẩy khi a = b = c. Vậy ta xét hàm (với a là ẩn b là tham số).
Giải: Xét hàm số: Ta có 
Ta đánh giá: 
Suy ra: 
Khi đó: 
Dấu bằng xảy ra khi a = b = c 
Nhận xét: Giáo viên định hướng cho học sinh kĩ năng chuyển về xét hàm với một ẩn đóng vai trò là biến các ẩn còn lại đóng vai trò tham số.
2.3.3) Sử dụng bất đẳng thức tiếp tuyến: 
Bài 1: Cho x,y,z là các số thực không âm thõa mãn: x + y+ z = 3.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: (1).
Giải: Ta có 
Xét hàm số 
Ta có: .
Áp dụng bổ đề 2 ta có:
Cộng các vế của ba bất đẳng thức trên ta được: 
Do đó . Vậy giá trị lớn nhất của P bằng khi x = y = z = 1.
Bài 2[5]: Cho tam giác nhọn ABC tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
 P = sinA.sin2B.sin3C
Giải: Ta có LnP = ln(sinA) +2ln(sinB) + 3ln(sinC)
Xét hàm số: .Vì 
Nên: 
Với X,Y,Z là ba góc nhọn của một tam giác.
Khi đó: 
Do vậy ta chỉ cần chọn các góc X,Y,Z sao cho: 
Mặt khác: tanA.tanB.tanC = tanA + tanB + tanC
Khi đó : 
Giá trị lớn nhất của P = khi 
Nhận xét: 
Qua bài 1 và 2 giáo viên định hướng học sinh sử dụng kĩ năng sử dụng logrit hóa cho bài toán dạng tích các biểu thức với số mũ thực.
Bài toán có thể tổng quát thành: 
Cho tam giác nhọn ABC tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
 P = sinmA.sinnB.sinpC( m, n, p là các số thực dương)
Bài 3: 
Cho x,y,z,t là các số thực dương thõa mãn: 
Chứng minh rằng: .
Giải: 
Xét hàm số y = Ta có . Vì 
Áp dụng bổ đề 3 ta có : 
Dấu bằng xảy ra khi x = 2; y = 4; z = 6; t = 12.
2.3.4) Khai thác bất đẳng thức đã chứng minh thành các bất đẳng thức mới
Với mục tiêu giúp học sinh không chỉ dừng lại ở việc chứng minh một bất đẳng thức, mà từ bất đẳng thức đã chứng minh khai thác tìm tòi ra nhiều bất đẳng thức mới, qua đó phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh và nhu cầu khám phá tri thức mới.
Khai thác bài toán 2(mục 2.3.1): 
 Cho ba số dương x, y, z thõa mãn: x+ y + z = 1. Chứng minh rằng:
Hướng 1: Vì BĐT không phụ thuộc vào số ẩn nên ta có bài toán tổng quát:
Bài toán 1: Cho n số dương thõa mãn: (m > 0). Tìm giá trị nhỏ nhất (hoặc giá trị lớn nhất tùy theo giá trị a, b) của biểu thức:
A= a() 
Hướng 2: Xuất phát từ bất đẳng thức:
Từ đó ta có: 
Ta có bài toán 2: Cho ba số dương x, y, z thõa mãn: x + y + z =1. Chứng minh 
 (Trích đề thi đại học cao đẳng 2005)
Hướng 3: Xuất phát từ bất đẳng thức
- Với cách làm trên thì căn bậc hai và bậc của x không ảnh hưởng trực tiếp vào bài toán, từ đó ta có bài toán sau: 
Bài toán 3: Cho ba số dương x, y, z thõa mãn: x + y + z =1. Chứng minh rằng: 
Ta có thể tăng số biến lên n biến, từ đó ta có bài toán tổng quát: 
Cho n số dương thõa mãn:. Chứng minh rằng: 
Hướng 4: Nhận thấy: . Đặt: X = 
Ta có: 
Sử dụng tính chất tiếp tuyến ta chứng minh được: 
Từ đó suy ra: 
Vì: 
Ta có bài toán 4:
Cho ba số dương x, y, z thõa mãn: x + y + z =1. Chứng minh rằng: 
Tổng quát: 
 Cho n số dương thõa mãn:
 Chứng minh rằng: 
Khai thác bài toán 3(mục 2.3.1): 
Bài toán 2: Cho ba số dương x, y, z thõa mãn: x+ y + z = 1. Chứng minh rằng:
 Hướng 1: Nếu tăng số biến lên n ta có bài toán
Cho n số dương thõa mãn:.Chứng minh rằng:
Hướng 2: Thay biến bởi biểu thức phù hợp ta có bài toán mới:
Hướng 2.1: Đặt 
 Ta có bài toán 2.1: a) Cho ba số dương a, b, c thõa mãn: . Chứng minh rằng: 
b) Tổng quát:
Cho n số dương thõa mãn: .Chứng minh rằng: 
Hướng 2.2: Đặt x = 
Ta có bài toán 2.2:
a) Cho ba số dương a, b, c thõa mãn: . Chứng minh rằng:
b)Tổng quát: Cho n số dương thõa mãn: .Chứng minh rằng: 
Hướng 2.3: Thay 
(Khi đó : 
Ta có bài toán 2.3: Cho ba số dương a, b, c . Chứng minh rằng:
Hướng 3: Kết hợp với các bất đẳng thức cổ điển từ đó tạo ra các bất đẳng thức mới
Hướng 3.1: Ta có: 
Ta có bài toán 3.1: 
Cho ba số dương x, y, z thõa mãn: x + y + z = 1.Chứng minh rằng : 
Hướng 3.2: Xuất phát từ 
 Ta có bài toán 3.2 : Cho ba số dương x, y, z thõa mãn: x + y + z = 1. Chứng minh rằng : 
Hướng 3.3:Xuất phát từ biểu thức: 
Mà: 
Từ đó ta có bài toán 3.3: 
Cho ba số dương x,y,z thõa mãn: x + y + z =1. Chứng minh rằng: 
Hướng 3.4: Sử dụng bất đẳng thức Côsi “ thuận - nghịch”
Vì dấu bằng xảy ra khi nên: 
Từ đó: 
(do )
Ta có bài toán 3.4 :
 Cho ba số dương x,y,z thõa mãn: x + y + z =1. Chứng minh rằng:
Nhận xét :
 - Từ sự dẫn dắt trên học sinh có thể khai thác và tìm thêm nhiều bài toán mới. 
Trên đây tôi hướng dẫn học sinh dựa trên mối liên hệ logic của toán học phát triển bài toán cụ thể thành các bài toán khác nhau, từ đó rèn luyện học sinh đức tính luôn chủ động, tích cực trong việc tiếp thu tri thức. Từ đó phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh. 
2.4 Hiệu quả đạt được
Đề tài được nghiên cứu và thực hiện giảng dạy trong hai năm 2016- 2017; 2017- 2018. Trong một số tiết chữa bài tập và một số tiết bồi dưỡng học sinh khá giỏi. 
Đối tượng thực nghiệm là học sinh các lớp 12A2(2016-2017), 12A2 (2017-2018), 12A1(2017-2018), của nhà trường.
Sau khi giảng dạy tôi tiến hành kiểm tra khả năng tiếp thu của học sinh kết quả thu được như sau :12A2 (2017-2018) (chưa triển khai sáng kiến này),12A1(2017-2018), 12A2( 2017- 2018)(đã triển khai sáng kiến này).
Sĩ số
Giỏi
Khá
TB
Yếu - Kém
SL
%
SL
%
SL
%
SL
%
Lớp 12A2
(2016-2017)
42
5
11,9
12
28,6
18
42,8
7
 16,7
Lớp12A2
(2017-2018)
42
10
23,8
17
40,5
12
28,6
3
7,1
Lớp12A1
(2017-2018)
42
13
30,9
20
45,1
9
19,6
1
2,4
3. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
1. Kết luận 
Qua thời gian nghiên cứu và vận dụng đề tài vào giảng dạy tôi rút ra một số nhận xét sau :
Với cách dạy như trên tạo ra tâm thế hứng thú, sẵn sàng lĩnh hội tri thức, khắc phục tính chủ quan hình thành tính độc lập chủ động của người học.
Giáo viên đã tạo được niềm tin cho học sinh khi đứng trước bài toán về bất đẳng thức, đó là động lực thúc đẩy học sinh khám phá thêm các phần tương tự, các bài toán khó về bất đẳng thức. 
Rèn luyện khả năng phân tích tổng hợp, tư duy trừu tượng hóa, khái quát hóa, phán đoán logic cho học sinh.
2. Kiến nghị
Trong khuôn khổ một sáng kiến tôi chỉ đề xuất một vài hướng giải quyết bài toán, vì vậy theo định hướng này giáo viên phải tiếp tục đào sâu nghiên cứu để xây dựng nhiều bài tập tương tự để dạy cho học sinh đạt kết quả cao.
Duy trì phong trào viết sáng kiến kinh nghiệm hàng năm nhằm nâng cao chất lượng dạy và học.
Rất mong được sự góp ý từ các thầy cô giáo và hội đồng khoa học của Sở GD&ĐT Thanh Hóa để sáng kiến này được hoàn thiện, thuận lợi cho việc bồi dưỡng học sinh giỏi và ôn thi Đại học, cao đẳng. 
XÁC NHẬN CỦA THỦ Thanh Hóa, ngày 20 tháng 05 Năm 2018.
 TRƯỞNG ĐƠN VỊ Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết,
 	 không sao chép nội dung của người khác.
 Nguyễn Thị Hiền
 Tài liệu tham khảo 
[1] Sách đại số và giải tích 12, sách bài tập giải tích 12 nâng cao( Chủ biên: Đoàn Quỳnh – Nhà xuất bản giáo dục 2011). 
[2] Sách “ bất đẳng thức và ứng dụng” (tác giả: Phan Huy Khải – Trần Hữu Nam)
[3] Sách “263 bài toán bất đẳng thức” (tác giả: Nguyễn Vũ Thanh). 
[4] Một số bài lấy từ đề thi đại học và cao đẳng của Bộ giáo dục từ năm 2005 đến 2015.
[5] Đề thi thử đại học của các trường THPT lấy từ trang www.toanmath.com.vn, dethi.violet.vn
Danh mục các SKKN mà tác giả được Hội đồng Cấp sở GD&ĐT đánh giá đạt từ loại C trở lên.
STT
Tên SKKN
Xếp loại
Năm học
1
Rèn luyện kĩ năng sử dụng biểu thức trung gian để chứng minh bất đẳng thức trong dạy học đại số 10
C
2009 - 2010
2
Rèn luyện kĩ năng xây dựng đẳng thức mới từ đẳng thức đã có.
C
2011 - 2012
3
Rèn luyện kĩ năng chứng minh bất đẳng thức bằng phương pháp dồn biến.
C
2013 - 2014