SKKN Sử dụng tỉ số thể tích giải quyết các bài toán về thể tích và khoảng cách

PHẦN I: MỞ ĐẦU
1.1. Lí do chọn đề tài
Hình học không gian là môn học khó đối với phần lớn học sinh phổ thông. Nhiều học sinh thấy khó và trở nên chán nản khi học môn học này. Dẫn đến các em không tiếp thu được hoặc nắm kiến thức rất sơ sài. Do đó, việc học hình học không gian ở lớp 12, đặc biệt là vấn đề tính thể tích khối đa diện, học sinh tỏ ra rất lúng túng. Trong những năm gần đây các bài toán hình học không gian về thể tích khối đa diện và khoảng cách luôn được đề cập trong các kì thi THPT quốc gia với yêu cầu học sinh phải giải nhanh trong vòng vài phút. Trước tình hình đó cùng với quá trình giảng dạy và nghiên cứu, tôi đã thử giải các bài toán tính thể tích khối đa diện và tính khoảng cách bằng phương pháp tỉ số thể tích thấy rất có hiệu quả và cho được lời giải ngắn gọn rất nhiều; hơn nữa học sinh chỉ cần những kiến thức cơ bản về hình học không gian ở lớp 11 là có thể làm được, lại rất phù hợp với hình thức thi trắc nghiệm hiện nay.
Xuất phát từ lí do trên, với mong muốn có thể cung cấp cho các em học sinh thêm một phương pháp để tính khoảng cách và thể tích của các khối đa diện, tôi nghiên cứu và viết đề tài: “ Sử dụng tỉ số thể tích giải quyết các bài toán về thể tích và khoảng cách ”. 
 Trong đề tài này, tôi trình bày một số bài để các em tham khảo, một số bài hướng dẫn trên lớp và một số bài tập tương tự để các em tự luyện.
1.2. Mục đích nghiên cứu
- Giúp học sinh giải quyết nhanh chóng các bài tập về thể tích và khoảng cách, vận dụng linh hoạt và phát huy tính sáng tạo của học sinh, liên hệ và áp dụng được vào các dạng bài tập liên quan.
- Hưởng ứng phong trào tự học, tự sáng tạo, nâng cao chuyên môn, học hỏi đồng nghiệp qua đợt viết sáng kiến kinh nghiệm và nghiên cứu khoa học mà nhà trường và sở phát động.
1.3. Đối tượng nghiên cứu
 Đề tài hướng tới các đối tượng học sinh khối 12, học sinh ôn thi THPT quốc gia ở trường THPT Tĩnh Gia 2 .
1.4. Phương pháp nghiên cứu
- Phương pháp phân tích: Nghiên cứu thực trạng vận dụng kiến thức vào giải bài toán tính thể tích khối đa diện, tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng. Đặc biệt là các khó khăn học sinh thường gặp với các bài toán khó.
- Phương pháp tổng hợp: Sử dụng các tài liệu tham khảo cùng với thực tế diễn ra trên lớp học, cùng với đóng góp của quý thầy cô giáo tại trường THPT Tĩnh Gia 2.
- Phương pháp thực nghiệm sư phạm: Tổ chức dạy cho học sinh khối 12 sau đó khảo sát các lớp dạy.
PHẦN II: NỘI DUNG
2.1. Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm 
Xuất phát từ những thực tế trên nên trong quá trình dạy lý thuyết cho học sinh tôi đã dùng các ví dụ cụ thể, các mô hình thực tế để học sinh tiếp cận dần dần. Ngoài ra phải bổ trợ các kiến thức về hình học không gian ở lớp 11.
	Trên thực tế các dạng toán về tỉ số thể tích rất phong phú đòi hỏi người dạy phải lựa chọn bài tập để giảng dạy cho phù hợp với từng đối tượng học sinh, giúp học sinh bổ trợ kiến thức có định hướng, khai thác sâu và chắc chắn. 
	Tôi chọn đề tài này, mong muốn giúp học sinh giải quyết nhanh chóng các bài toán về tỉ số thể tích, đồng thời biết vận dụng một cách linh hoạt các kiến thức đó để giải quyết nhiều tình huống khác nhau. 
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm.
	Bài toán về thể tích không phải là bài toán mới nhưng do thiếu hụt kiến thức về hình học không gian ở lớp 11 nên nhiều học sinh gặp nhiều khó khăn trong việc xác định đường cao hoặc diện tích đáy. Qua thực tiễn giảng dạy tôi nhận thấy: đa số các em chưa hiểu cách vận dụng và phân tích, sâu chuỗi vấn đề để đưa ra dạng bài toán liên quan, chưa khai thác triệt để các tích chất, giả thiết của bài toán để đưa ra hướng giải quyết. Để giải quyết nhanh chóng và ngắn gọn dạng bài toán này các em cần tổng hợp và nắm vững kiến thức cơ sở của vấn đề này. 
2.3. Giải pháp để giải quyết vấn đề
2.3.1 Cơ sở lý thuyết
Để tính thể tích của một khối đa diện bất kì, chúng ta chia khối đa diện đó thành các khối đa diện đơn giản đã biết công thức tính ( Khối lăng trụ , Khối chóp , Khối hộp chữ nhật , ) rồi cộng các kết quả lại.
Tuy nhiên trong nhiều trường hợp, việc tính thể tích của các khối lăng trụ và khối chóp theo công thức trên lại gặp khó khăn do không xác định được đường cao hay diện tích đáy, nhưng có thể chuyển việc tính thể tích các khối này về việc tính thể tích của các khối đã biết thông qua tỉ số thể tích của hai khối.
Sau đây ta sẽ xét một số bài toán cơ bản và ví dụ minh hoạ
Bài toán1:
Cho khối chóp S.ABC, trên các đoạn thẳng SA, SB, SC lần lượt lấy các điểm A’, B’, C’ khác điểm S. CMR: (1)
Giải: 
Gọi H và H’ lần lượt là hình chiếu vuông góc 
của A và A’ lên (SBC)
Ta có AH//A’H’. Ba điểm S, H, H’ cùng thuộc hai mp (AA’H’H) và (SBC) nên chúng thẳng hàng. Xét SAH ta có (*)
Do đó 
(**)
Từ (*) và (**) ta được đpcm .
Trong công thức (1), đặc biệt hoá, cho NB và PC ta được
	(1’)
Ta lại có 
Vậy: 	(2)
Tổng quát hoá công thức (2) ta có bài toán sau đây:
Bài toán 2: Cho khối chóp đỉnh S, đáy là 1 đa giác lồi A1A2An (, trên đoạn thẳng SA1 lấy điểm A1’ không trùng với A1. Khi đó ta có
	(2’)
Chứng minh (2’) bằng phương pháp quy nạp theo n; ta chia khối chóp S.A1A2An thành các khối chóp tam giác rồi áp dụng công thức (2)
2.3.2 Các dạng bài tập minh họa
Dựa vào hai bài toán cơ bản ở trên, ta sẽ xét một số bài toán tính tỉ số thể tích của các khối đa diện và ứng dụng của nó vào bài toàn khoảng cách.
DẠNG1: ỨNG DỤNG CỦA TỈ SỐ THỂ TÍCH VÀO BÀI TOÁN THỂ TÍCH
Ví dụ1: 
Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA, SB. P, Q lần lượt nằm trên các cạnh SC, SD sao cho SP = 2 PC; SQ = 2 QD. Tính tỉ số thể tích của hai khối chóp S.MNPQ và S.ABCD
Giải:
Áp dụng công thức (1) ta có
Suy ra
Mà: nên:
Vậy: 
Ví dụ2: 
Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi B’, D’ lần lượt là trung điểm của SB và SD. Mặt phẳng (AB’D’) cắt SC tại C’. Tính tỉ số thể tích của hai khối chóp được chia bởi mp(AB’D’)
Giải:
Gọi O là giao điểm của AC và BD và I là giao điểm của SO và B’D’. Khi đó AI cắt SC tại C’
Ta có 
Suy ra 	
Kẻ OO’//AC’ ( . Do tính chất các đương thẳng song song cách đều nên ta có SC’ = C’O’ = O’C
Do đó Hay 
Ví dụ3: 
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là nửa lục giác đều cạnh a. Mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA và SD. Tính thể tích khối chóp S.BMN theo a.
Giải:
Áp dụng công thức (1) ta có
Suy ra
Ghi chú: 
1/ Việc tính thể tích khối S.BCNM trực tiếp theo công thức gặp nhiều khó khăn, nhưng nếu dùng tỉ số thể tích, ta chuyển việc tính thể tích khối S.BCNM về tính VSBCA và VSCAD dễ dàng hơn rất nhiều
2/ Khi dạy học có thể yêu cầu học sinh tính thể tích khối đa diện ABCDMN
Ví dụ4: 
Cho khối chóp A.BCD có đáy BCD là tam giác đều cạnh a, AB = 2a và AB vuông góc với đáy. Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của B lên các đường thẳng AD và AC. Tính thể tích khối chóp B.CDHK theo a
Giải:
Ta có 
BK và BH lần lượt là các đường cao trong các tam giác vuông ABC và ABD bằng nhau nên ta có 
Tương tự 
Do đó . Vậy 
Mà VS.ABC = . Vậy VB.CDHK = (đvtt)
Ghi chú: 
Ta có hệ thức lượng trong tam giác vuông ABC sau đây 
( Chứng minh dựa vào tam giác đồng dạng)
Ví dụ5: 
Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình chữ nhật, AB =SA = a, AD =a SA vuông góc với đáy. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD và SC, gọi I là giao điểm của BM và AC. Tính thể tích khối tứ diện ANIM theo a
Giải:
Gọi O là giao điểm của AC và BD. Ta có I là trọng tâm của tam giác ABC, do đó
nên (1)
Mặt khác 	(2)
Từ (1) và (2) suy ra 
Mà . 
Vậy (đvtt)
Ví dụ6: 
 Cho khối hộp có thể tích bằng . Gọi là trung điểm của cạnh . Mặt phẳng chia khối chóp thành hai khối đa diện. Tính thể tích phần khối đa diện chứa đỉnh 
Giải:
Gọi  ; . 
Ta có M là trung điểm của AB
 là trung điểm là 
 là trung điểm của và 
Ta có 
Ví dụ7: 
 Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD, đáy là hình vuông cạnh a, cạnh bên tạo với góc Gọi M là trung điểm của SC. Mặt phẳng qua AM và song song với BD, cắt SB, SD lần lượt tại E và F và chia khối chóp thành hai phần. Tính thể tích V của khối chóp không chứa đỉnh S.
Giải:
Gọi 
 là trọng tâm 
+) Ta có 
Có 
+) Gọi là mặt phẳng chứa AM và song song với BD là mặt phẳng đi qua G và song song với BD và cắt SB,SD lần lượt tại E và F. Do đó cắt hình chóp S.ABCD theo thiết diện là tứ giác chia khối chóp S.ABCD thành hai phần là khối chóp S.AEMF và khối đa diện EMFABCD.
+) Ta có EF đi qua G và EF//BD 
+) 
+) 
+) Ta có: 
 Thể tích khối chóp không chứa đỉnh S là:
Ví dụ7: 
 Cho hình chóp , đáy là hình bình hành, mặt phẳng đi qua cắt cạnh lần lượt tại . Tính tỉ số để chia khối chóp thành hai phần có thể tích bằng nhau. 
Giải:
Ta có: . Do đó là (ABMN).
Mặt phẳng chia khối chóp thành 2 phần có thể tích bằng nhau là
Ta có: 
Đặt với , khi đó theo Ta-let ta có .
Mặt khác 
Từ (1) và (2) suy ra 
Đối chiếu điều kiện của ta được .
* Bài tập tham khảo:
Bài1: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC, đáy ABC là tam giác đều có trực tâm H và cạnh bằng a. Gọi I, J, K lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC, CA và M, N, P lần lượt là trung điểm các đoạn SI, SJ, SK. Tính tỉ số thể tích của hai khối chóp H.MNP và S.ABC. Từ đó tính thể tích khối chóp H.MNP
ĐS: 
Bài2: Cho khối tứ diện ABCD có . Tính thể tích tứ diện ABCD.
ĐS: 
Bài3: Cho khối chóp S.ABCD dấy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với đáy và SA = 2a. Gọi B’, D’ lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên SB và SD. Mp(AB’D’) cắt SC tại C’. Tính thể tích khối chóp S.A’B’C’D’ theo a
ĐS: 
Bài4: Cho hình chóp tứ giác có đáy là hình bình hành . Các điểm , thỏa mãn , . Mặt phẳng chứa đường thẳng cắt các cạnh , tại , và đặt . Giá trị nhỏ nhất của là 
ĐS: 
DẠNG2: ỨNG DỤNG TỈ SỐ THỂ TÍCH TÍNH KHOẢNG CÁCH
Việc tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng khó khăn nhất là xác định chân đường cao. Khó khăn này có thể được khắc phục nếu ta tính khoảng cách thông qua thể tích của khối đa diện, mà khoảng cách đó chính là độ dài đường cao của khối đa diện. Sau đây ta sẽ xét một số ví dụ minh hoạ
Ví dụ 1: 
Cho tứ diện ABCD có AD vuông góc mặt phẳng (ABC), AD = AC = 4cm, 
AB = 3cm, BC = 5cm. Tính khoảng cách từ A đến mp(BCD).
Giải:
Ta có AB2 + AC2 = BC2 
Do đó 
Mặt khác CD = , BD = BC = 5
Nên cân tại B, gọi I là trung điểm của CD
Vậy 
Ví dụ2: 
Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình thang, , AD = 2a, BA = BC = a, cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA = . Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên SB. CMR tam giác SCD vuông và tính theo a khoảng cách từ H đến mp(SCD)
Giải:
Ta có 
 vuông tại A và AH là đường cao nên 
Ta có 
Vậy 
Mà . 
 vuông tại C ( do AC2 + CD2 = AD2),
do đó . Vậy 
Ví dụ3: 
Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông, AB = BC = a, AA’ = . Gọi M là trung điểm của BC. Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng AM và B’C
Giải:
Gọi E là trung điểm của BB’,ta có EM//CB’
Suy ra B’C //(AME) nên
d(B’C;AM) = d(B’C;(AME))= d(C;(AME))
Ta có 
Ta có 
Gọi H là hình chiếu vuông góc của B lên AE, ta có 
Hơn nữa , nên ta được AE 
Mà AE = , vuông tại B nên 
 vuông tại B nên 
Do đó 
Vậy: 
Ghi chú: Có thể áp dụng công thức Hê – rông để tính 
Ví dụ4: 
Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có độ dài cạnh bên 2a, đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB = a, và hình chiếu vuông góc của A’ lên mặt phẳng (ABC) trùng với trung điểm của BC. Tính khoảng cách Từ A đến mp(BCC’B’)
Giải:
Theo giả thiết ta có A’H (ABC). 
Tam giác ABC vuông tại A và AH là trung tuyến nên AH = BC = a. vuông tại H nên ta có 
Do đó . 
Mặt khác 
Suy ra 
Ta có 
Vì vuông tại A’
Suy ra B’H = . cân tại B’. Gọi K là trung điểm của BH, ta có . Do đó 
Suy ra 
Vậy 
* Bài tập tương tự:
Bài 1: 
Cho lăng trụ đứng ABCA’B’C’có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = a, AA’ = 2a, A’C = 3a. Gọi M là trung điểm của A’C’, I là giao điểm của AM và A’C. Tính theo a thể tích khối tứ diện IABC và khoảng cách từ A đến mp(IBC)
ĐS: 
Bài2: 
Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AA’ = AB = a, BC = 2a, điểm M thuộc AD sao cho AM = 3MD. Tính khoảng cách từ M đến mp(AB’C)
ĐS: 
Bài3: 
Cho tứ diện ABCD có DA vuông góc với mp(ABC), . Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCD) nếu AD = a, AB = BC = b
ĐS: 
Bài4: 
Cho tứ diện đều ABCD, biết AB = a, M là 1 điểm ở miền trong của tứ diện. Tính tổng khoảng cách từ M đến các mặt của tứ diện
ĐS: 
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm
Việc sử dụng tỉ số thể tích để giải các bài toán hình học không gian, đặc biệt là các bài toán tính thể tích khối đa diện, tính khoảng cách tỏ ra có nhiều ưu điểm, giúp cho lời giải ngắn gọn và không cần sử dụng nhiều kiến thức của hình học không gian lớp 11. Trong quá trình giảng dạy cho học sinh khối lớp 12 ở trường THPT Tĩnh Gia 2 trong học kì I năm học 2018 - 2019, tôi đã đem đề tài này áp dụng và thấy học sinh có thể tiếp cận rất nhanh và biết vận dụng để giải các bài tập mà tôi đã cho kiểm tra trên lớp, đặc biệt là trong giải toán trắc nghiệm. Trong học kì II tôi đã tiếp tục triển khai đề tài này để giảng dạy cho các em học sinh khối 12 ôn thi THPT quốc gia, các em tiếp thu rất tốt.
 Với phương pháp trên tôi đã tổ chức cho học sinh tiếp nhận bài học một cách chủ động, tích cực, tất cả các em đều hứng thú học tập thực sự và hăng hái làm bài tập giao về nhà tương tự. Phương pháp dạy học trên dựa trên nhu cầu cần thiết của người học toán:
- Khả năng vận dụng, khả năng liên hệ kết nối kiến thức cũ và mới.
- Khả năng tư duy sáng tạo và tự học.
- Tính thực tế và đổi mới, ham học và tích luỹ kiến thức biết liên hệ, vân dụng vào thực tiễn.
Qua thực tế giảng dạy các lớp của trường THPT Tĩnh Gia 2. Các em rất hào hứng và sôi nổi trong việc phát hiện, đề xuất cách giải cho mỗi bài toán. Cụ thể kiểm tra khảo sát chất lượng học sinh khối 12 năm học 2018-2019 trước và sau khi áp dụng sáng kiến như sau:
Bảng thống kê
Lớp
Trước khi áp dụng SKKN
Sau khi áp dụng SKKN
Dưới 3đ
Từ 3đ đến 5đ
Từ 5đ đến 7đ
Từ 7đ đến 8đ
Từ 8đ đến 10đ
Dưới 3đ
Từ 3đ đến 5đ
Từ 5đ đến 7đ
Từ 7đ đến 8đ
Từ 8đ đến 10đ
12C3
43 học sinh
0
13
30.3%
16
37.2%
12
27.9%
2
4.6%
0
5
11.6%
20
46.5%
14
32.7%
4
9.3%
12C11
42 học sinh
6
14.2%
20
47.6%
12
28.5%
4
9.7%
0
3
7.1%
14
33.3%
15
35.7%
9
21.6%
1
2.3%
 Qua một năm triển khai thực hiện đề tài này, tôi thấy tính hiệu quả của đề tài rất cao, có thể áp dụng rộng cho nhiều đối tượng học sinh của khối lớp12, ôn thi THPT quốc gia. Vì vậy, trong năm học tới tôi sẽ tiếp tục triển khai áp dụng đề tài này để giảng dạy cho các em học sinh khối 12.
 Hy vọng rằng, với đề tài này, có thể giúp cho các em học sinh có thêm một phương pháp nữa để giải các bài toán hình học không gian trong kì thi THPT quốc gia đạt được kết quả cao.
PHẦN III. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
3.1. Kết luận
Bài học kinh nghiệm: 
 Người dạy luôn say mê tìm tòi để vận dung và điều chỉnh cách dạy cho phù hợp. Biết được nhưng điểm yếu của học sinh về khả năng vận dụng hoặc trình bày lôgíc, phân tích các giả thiết. Áp dụng phải đúng đối tượng phù hợp với chương trình và tạo được ý thức học tập cho học sinh. Thúc đẩy được các đối tượng học sinh cùng học và nghiên cứu, và thực hiện. Sáng kiến kinh nghiệm này cũng là một tư liệu tốt giúp giáo viên giảng dạy cho đối tượng học sinh: Giỏi; Khá; Trung bình.
 	Qua quá trình giảng dạy; tôi nhận thấy: Sau khi đưa ra cách giải quyết như trên học sinh không còn lúng túng nữa và đã làm được phần lớn các bài tập đòi hỏi tính sáng tạo như các bài tập vận dụng trong đề tài. Với kết quả thực nghiệm ở hai lớp dạy là 12C3 và 12C11 trườngTHPT Tĩnh Gia 2 đã chứng tỏ đề tài giúp học sinh phần nào say mê, hứng thú và sáng tạo trong học tập, nghiên cứu. Điều đó làm cho các em tiếp thu bài tốt và khích lệ tinh thần học tập của các em.	Thông qua kinh nghiệm này, bản thân tôi thực sự rút ra được nhiều kinh nghiệm quý báu, giúp tôi hoàn thành tốt hơn công việc giảng dạy của mình.
Trên đây là kinh nghiệm của tôi trong dạy học chủ đề: “Sử dụng tỉ số thể tích giải quyết các bài toán về thể tích và khoảng cách ”.
Tôi rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các đồng nghiệp; và các đồng chí trong hội đồng khoa học của Sở Giáo dục. Tôi xin chân thành cảm ơn.
3.2 Những kiến nghị
 Qua quá trình áp dụng kinh nghiệm sáng kiến tôi thấy để đạt kết quả cao, cần lưu ý một số điểm sau:
 a) Đối với giáo viên: 
 - Phải thường xuyên tự học, tự bồi dưỡng để nâng cao năng lực chuyên môn, nghiệp vụ sư phạm, tích cực đổi mới phương pháp dạy học theo định hướng phát huy năng lực học sinh, sau mỗi tiết dạy cần có sự rút kinh nghiệm, hướng điều chỉnh cho các tiết tiếp theo nhằm giúp các em hứng thú học tập, tích cực hợp tác với các Thày Cô hơn, hiểu bài hơn, tự học tự giác hơn và say mê nghiên cứu môn toán hơn .
 - Phải lựa chọn các bài tập phát huy được tính sáng tạo cho học sinh, kiên trì áp dụng phương pháp dạy học theo định hướng phát huy năng lực học sinh. Trước khi dạy phần kiến thức nâng cao giáo viên cần trang bị cho học sinh thật vững vàng về những kiến thức cơ bản liên quan. 
 - Giáo viên phải thực sự tâm huyết, tận tình với công việc, yêu nghề, có tinh thần trách nhiệm cao trước học sinh. 
 - Đối với bộ môn này có ứng dụng nhiều vào thực tế nên có những nội sinh hoạt ngoại khoá để kích thích tính ham hiểu biết của học trò.
 - Những sáng kiến đạt giải cao nên được phổ biên rộng rãi để đồng nghiệp học tập.
 b) Đối với nhà trường:
 - Cần có sự động viên nhiều hơn nữa trong phong trào đổi mới phương pháp dạy học, kiểm tra đánh giá học sinh theo định hướng phát huy năng lực học sinh, viết và áp dụng SKKN. 
 - Nhà trường mở những chuyên đề hội thảo cho tổ nhóm chuyên môn, giao lưu các tổ nhóm chuyên môn.
 c) Đối với Sở Giáo dục và Đào tạo: 
 - Sở có buổi tập huấn về chuyên môn của từng môn học có hiệu quả hơn, mời các thầy giáo đầu nghành về tập huấn chuyên môn cho các trường.
 - Với các sáng kiến kinh nghiệm hay, tôi và nhiều đồng nghiệp mong muốn Sở GD và ĐT đưa lên trang “ Trường học kết nối ” để nhiều đồng nghiệp khác tham khảo và áp dụng hiệu quả các SKKN đã được HĐKH ngành đánh giá xếp loại.
Trong quá trình biên soạn đề tài tôi đã có nhiều cố gắng, tuy nhiên cũng không tránh khỏi những thiếu sót. Rất mong nhận được sự góp ‏‎ý chân thành của các thầy cô giáo đồng nghiệp và Hội đồng chuyên môn nhà trường để đề tài của tôi được hoàn thiện hơn.
 Cuối cùng xin trân thành cảm ơn các đồng nghiệp trong tổ chuyên môn và các em học sinh đã giúp đỡ tôi hoàn thành SKKN này.
XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯƠNG ĐƠN VỊ
Thanh Hóa, ngày 20 tháng 5 năm 2019
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết, không sao chép nội dung của người khác.
Hoàng Thị Huệ
TÀI LIỆU THAM KHẢO
Sách giáo khoa và sách bài tập hình học 12 (Nhà xuất bản giáo dục)
Giải toán hình học 11(Trần Thành Minh(chủ biên) – Trần Đức Huyên – Trần Quang Nghĩa – Nguyễn Anh Trường – Nhà xuất bản Giáo Dục)
 Báo toán học tuổi trẻ.
Tuyển chọn theo chuyên đề chuẩn bị thi vào Đại học cao đẳng ( Tủ sách toán học và tuổi trẻ).
Các phương pháp giải toán sơ cấp Hình học không gian 11(Phan Huy Khải – Nguyễn Đạo Phương – Nhà xuất bản Hà Nội)
Tuyển tập 500 bài toán Hình học không gian chọn lọc(Nguyễn Đức Đồng chủ biên – Nhà xuất bản Đại học quốc gia Hà Nội)
Tuyển tập 170 bài toán hình học không gian(Võ Đại Mau – Nhà xuất bản trẻ)
Phương pháp giải toán sơ Hình học không gian (Trần Bá Hà – Nhà xuất bản Đại học quốc gia Hà Nội)
Khai thác trên mạng Internet.
 Đề thi đại học và cao đẳng , đề thi THPT quốc Gia.
MỤC LỤC
Phần I
Mở đầu
1
1.1 Lí do chọn đề tài
1
1.2 Mục đích nghiên cứu
1
1.3 Đối tượng nghiên cứu
1
1.4 Phương pháp nghiên cứu
2
Phần II
Nội dung 
3
 2.1. Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm 
3
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm.
3
2.3. Giải pháp để giải quyết vấn đề
3
2.3.1 Cơ sở lý thuyết
3
2.3.2 Các dạng bài tập minh họa
5
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm
17
Phần III
Kết luận và kiến nghị
18
3.1 Kết luận
18
3.2 Những kiến nghị
19