SKKN Sử dụng phương pháp tọa độ giải một số bài toán về góc giữa hai mặt phẳng trong hình học không gian

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA
TRƯỜNG THPT HOẰNG HÓA IV
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 
ĐỀ TÀI: " SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG
TRONG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN "
 Người thực hiện: Nguyễn Thị Kim Dung
 Chức vụ: Giáo viên
 Đơn vị công tác: Trường THPT Hoằng Hóa IV
 SKKN thuộc môn: Toán
THANH HÓA NĂM 2018
Mục lục
 Trang
1. MỞ ĐẦU ..	2
 1.1. Lý do chọn đề tài ...	2
 1.2. Mục đích của đề tài 2
 1.3. Đối tượng nghiên cứu ... 3
 1.4. Phương pháp nghiên cứu	3
 1.5. Những điểm mới của SKKN.. 3
2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 4
 2.1. Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm .. 4
 2.2. Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm...4
 2.3. Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề ...4
 2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm ..18 
3. KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ 19
 Tài liệu tham khảo  20
 Danh mục các đề tài SKKN của bản thân đã được Hội đồng cấp Sở 
 Giáo dục và đào tạo đánh giá từ loại C trở lên.. 20
1. MỞ ĐẦU
1. 1. Lý do chọn đề tài
Để bồi dưỡng cho học sinh năng lực sáng tạo, năng lực giải quyết vấn đề, lý luận dạy học hiện đại đã khẳng định: “Cần phải đưa học sinh vào vị trí chủ thể hoạt động nhận thức, học trong học tập”. Học sinh bằng hoạt động tự lực, tích cực của mình để chiếm lĩnh kiến thức. Quá trình này được lặp đi lặp lại nhiều lần sẽ góp phần vào hình thành và phát triển cho học sinh tư duy sáng tạo.
Trong năm học 2017 – 2018 được nhà trường phân công dạy môn Toán 12 ban cơ bản. Hình học không gian là một bộ môn khó trong chương trình Toán trung học phổ thông, đòi hỏi phải có trí tưởng tượng không gian và trình bày gọn gàng, đầy đủ, chặt chẽ. Qua giảng dạy tôi nhận thấy: Học sinh ban cơ bản học rất yếu về phần này và thời lượng cho luyện tập ít. Trong thực tế bài toán về tính góc giữa hai mặt phẳng trong đề thi trung học phổ thông quốc gia bài tập rất phong phú, lần đầu tiên thi trắc nghiệm về hình học 11, mà chỉ có số ít các em biết phương pháp giải, tốc độ chậm, thậm chí còn mắc một số sai lầm không đáng dẫn đến chọn sai phương án. Tại sao lại như vậy ?
Lý do ở đây là: Bài tập trong sách giáo khoa chương trình SGK Hình Học lớp 12 được trình bày rất ít và hạn hẹp, mặt khác thời lượng dành cho chương này còn ít nên giáo viên không thể đưa ra được nhiều cách giải cho các dạng bài tập để hình thành kỹ năng giải cho học sinh. 
Chính vì vậy tôi chọn đề tài sáng kiến kinh nghiệm là: 
“Sử dụng phương pháp tọa độ giải một số bài toán về góc giữa hai mặt phẳng trong hình học không gian”
1. 2. Mục đích của đề tài
Trước tình hình “quá tải” về trí tưởng tượng không gian, giải các bài toán góc giữa hai mặt phẳng đòi hỏi học sinh phải nắm vững nhiều kiến thức, phải có tư duy ở mức độ cao; tôi đã hướng dẫn các em sử dụng phương pháp tọa độ. Phương này mang tính tính toán song cứ tuân thủ quy tắc mà sách giáo khoa đã xây dựng thì thực hiện lời giải một cách tự nhiên, bớt tư duy trừu tượng và đã có máy tính bỏ túi hỗ trợ việc tính toán. Qua đề tài này rèn luyện tư duy là một quá trình bao gồm nhiều khâu:
+ Rèn luyện khả năng phân tích giải bài toán: Phải biết nhìn bài toán dưới dạng chính quy, mẫu mực. Tuy vậy lại phải biết cách nhìn bài toán dưới dạng đặc thù, riêng lẻ, nên học sinh cần phải được rèn luyện nhiều mới biết cách khai thác hết mọi khía cạnh.
+ Rèn luyện khả năng định hướng và xác định đường lối giải bài toán: Vốn kiến thức của học sinh nhiều hay ít ảnh hưởng lớn đến việc rèn luyện khả năng xác định phương hướng giải bài toán. Học sinh cần nắm vững các đường lối chung, lại phải phát hiện đúng cái riêng của mỗi bài toán để chọn một đường lối 
thích hợp nhất.
+ Rèn luyện khả năng lựa chọn các phương pháp và công cụ thích hợp để giải toán: Công việc xác định các phương pháp và công cụ cũng như các phép biến đổi mang tính chất kỹ thuật. Bài toán có những đặc điểm nào mà từ đó dẫn
tới việc chọn lựa phương pháp và công cụ tương ứng với đặc điểm đó. 
+ Rèn luyện khả năng kiểm tra bài toán: Bài tập nhằm đánh giá mức độ, kết quả dạy học, đánh giá khả năng học toán và trình độ phát triển của học sinh cũng như khả năng vận dụng kiến thức đã học. 
Thực tiễn sư phạm cho thấy, giáo viên thường chưa chú ý đến việc phát huy tác dụng giáo dục của bài toán, mà thường chú trọng cho học sinh làm nhiều bài tập. Trong quá trình dạy học, việc chú ý đến chức năng của bài tập là chưa đủ mà giáo viên cần quan tâm tới lời giải của bài tập toán. Thường học sinh phạm sai lầm trong khi giải bài tập do các nguyên nhân sau:
- Sai sót về kiến thức toán học, tức là hiểu sai khái niệm hay giả thiết hay là kết luận của bài toán.
- Sai sót về phương pháp suy luận.
- Sai sót do tính sai, dùng ký hiệu, ngôn ngữ diễn đạt hay do hình vẽ sai.
+ Rèn luyện khả năng tìm kiếm các bài toán liên quan và sáng tạo các bài toán mới: Mục đích cuối cùng của những bài toán được tìm ra là dựng, thu được, xác định được ... một đối tượng nào đó, tức là tìm ra ẩn số của bài toán. Học sinh ít đi sâu, ít suy nghĩ xem liệu có những bài toán nào liên quan đến bài này không ? Nếu thay một một điều kiện nào đó của bài toán ta sẽ có bài toán như thế nào ? giải được không ? Bài toán tổng quát của dạng này ra sao ? ... Nếu cứ tiến hành thường xuyên và áp dụng đúng đối tượng thì việc rèn luyện khả năng phân tích, tổng hợp, tổng quát hóa, đặc biệt hóa, trừu tượng hóa ... Từ đó thúc đẩy sự phát triển tư duy sáng tạo của học sinh. 
Qua đó đã rèn luyện cho học sinh biết lựa chọn cách giải sao cho gọn gàng, đầy đủ, chặt chẽ và vận dụng Hình học giải tích để làm một số bài tập góc của hai mặt phẳng của hình học không gian nhằm nâng cao chất lượng Toán 12 ban cơ bản, tiếp cận với đề thi trung học phổ thông quốc gia.
1. 3. Đối tượng nghiên cứu
	Để phát huy ưu điểm của phương pháp tọa độ, tôi đặt câu hỏi: Bài toán loại nào có thể giải bằng phương pháp tọa độ ? Nếu được thì gắn hệ tọa độ như thế nào ? Sau đó chọn cách tính toán và trình bày sao cho hợp lý nhất ? ... Từ đó dần dần truyền thụ cho học sinh phương pháp, kinh nghiệm tìm tòi, suy nghĩ phát hiện lời giải, coi phương pháp tọa độ là 1 công cụ để giải quyết một số bài toán hình học không gian một cách thuần thục.	
Xây dựng, thử nghiệm và rút kinh nghiệm thông qua học sinh lớp 12 của trường THPT Hoằng Hóa 4.
1. 4. Phương pháp nghiên cứu
	Phương pháp phân tích tổng hợp tài liệu, nghiên cứu sách giáo khoa Hình học 12, Hình học nâng cao 12, Tự chọn nâng cao 12, Phương pháp vấn đáp gợi mở , kiểm tra đánh giá. Sau đó thống kê để xử lí số liệu thu được và rút
 kinh nghiệm cho bài học sau.
1. 5. Những điểm mới của SKKN
2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2. 1. Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm
Hình học là môn học có tác dụng lớn trong việc trí tưởng tượng không gian, rèn luyện tư duy logíc và sáng tạo cho học sinh.
	 Các học sinh ở cấp THPT nói chung, học sinh khối 12 nói riêng đang trong quá trình được phát triển, bồi dưỡng và chọn lọc trình độ khác nhau. Vì vậy, nội dung và phương pháp dạy học ở các lớp phải linh hoạt phù hợp với điều kiện cụ thể của thầy và trò, của việc tổ chức dạy học. Phương pháp tọa độ trong không gian được nghiên cứu chi tiết cụ thể trong chương III – Hình học 12. Bởi vậy khi dạy phần này cần khai thác các ứng dụng của nó.
2. 2. Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm
Trình độ học sinh khá chênh lệch, thể hiện ở thái độ học tập, sự yêu thích môn học. Hình giải tích có vai trò quan trọng được đề cập khá nhiều trong bộ đề thi THPT Quốc gia, học sinh khó tìm ra phương pháp hoặc tìm ra phương pháp nhưng tốc độ không đảm bảo đối với thời gian của bài trắc nghiệm. 
Có sự chênh lệch đó là do: +) Nhận thức của học sinh. +) Chất lượng giờ dạy. 
+) Thời gian học tập của học sinh.
Tất cả các nguyên nhân đó đều ảnh hưởng trực tiếp đến kết quả học tập.
2. 3. Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề
2.3.1 Điều trước tiên là học sinh phải nắm vững định nghĩa hệ tọa độ Oxyz, tọa
độ của điểm và của vecto, các phép toán vecto, tích vô hướng và có hướng của hai vecto, góc giữa 2 mặt phẳng 
2.3.2 Phần bổ sung:
1. Cách xác định toạ độ của điểm đối với hệ trục toạ độ Oxyz: Trong không gian Oxyz, cho một điểm M tuỳ ý. Điểm M có toạ độ (x; y; z) xác định như sau:
x
z
O
M’
y
M
M1
M3
M2
Thông thường vẽ trục Oz là đường thẳng có phương thẳng đứng
- Xác định hình chiếu của điểm M trên mặt phẳng (Oxy) là điểm M’.
- Xác định hình chiếu của điểm M’ trên các trục Ox, Oy lần lượt là M1, M2.
- Xác định hình chiếu của điểm M trên trục Oz là M3.
- Tính độ dài các đoạn thẳng OM1, OM2, OM3 (đoạn thẳng nối gốc toạ độ và hình chiếu trên các trục toạ độ)
Khi đó: hoành độ của điểm M là , tung độ của điểm M là ,
 cao độ của điểm M là 
Chú ý: khi M1 thuộc tia Ox
 khi M1 thuộc tia Ox’ (tia đối của tia Ox)
2. Góc giữa hai mặt phẳng: 
a) Định nghĩa: Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng đó.
b) Công thức tính góc giữa hai mặt phẳng: Mặt phẳng (P) và (Q) lần lượt có hai vectơ pháp tuyến và . Gọi là góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q).
* nếu . * nếu 
Do đó: .
2.3.3 Khi học sinh đã nắm chắc các vấn đề nêu trên thì giáo viên có thể đưa ra một vài bài toán hình học không gian đã làm ở chương III – Hình học 11, sách bài tập Hình học 12, đề thi THPT Quốc gia , đề thi khảo sát chất lượng của một số trường THPT và Sở GD – ĐT,  để học sinh tìm tòi phát hiện cách giải bằng phương pháp tọa độ. Từ đó so sánh hai phương pháp, thấy được “cái hay” của phương pháp này, bằng hoạt động tự lực, tích cực của mình để chiếm lĩnh kiến thức.
Dạng 1: Có 3 đường cắt nhau và đôi một vuông góc
Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh a, SA = a và SA(ABCD). Tính góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (SCD).
Lời giải:
S
B
C
D
A
x
z
y
a
a
a
Học sinh nhận thấy SA, AD và AB đôi một vuông góc từ đó gắn hệ tọa độ Oxyz; xác định tọa độ điểm S, D, B, C (xác định hình chiếu của S, D, B, C trên các trục toạ độ); công thức tính góc giữa hai mặt phẳng; nên các em đã đưa ra ngay lời giải hoàn chỉnh: 
Chọn hệ trục tọa độ Oxyz với . 
Khi đó B(a; 0; 0), D(0; a; 0), S(0; 0; a), C(a; a; 0) (Hình chiếu của C trên Ox là B và AB = a, hình chiếu của C trên Oy là D và AD = a) 
+) ; 
Mặt phẳng (SBC) có vectơ pháp tuyến 
+) => Mp(SBC) có vtpt 
Gọi là góc giữa (SBC) và (SCD) =>. 
Vậy góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (SCD) bằng 600.
 Từ đó tôi yêu cầu các em nêu các bước giải bài toán trong không gian bằng phương pháp tọa độ. Sau đó tôi chỉnh sửa và cho học sinh ghi nhớ:
 Bước 1: Thiết lập hệ trục tọa độ thích hợp (có sẵn hoặc tạo dựng 3 đường thẳng đôi một vuông góc và phải tính được khoảng cách từ gốc tọa độ đến các hình chiếu trên các trục tọa độ), từ đó suy ra tọa độ của các điểm cần thiết.
 Bước 2: Thiết lập biểu thức cho giá trị cần xác định, thông thường bao gồm:
- Toạ độ vectơ chỉ phương, vectơ pháp tuyến (chọn vecto có tọa độ 2 điểm mút đơn giản), thông thường chọn vectơ cùng phương để dễ tính toán 
- Áp dụng công thức tính góc giữa hai mặt phẳng.
Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B với AB = BC = a, AD = 2a, SA = và vuông góc với đáy. Tính góc giữa hai mặt phẳng: a) (SAD) và (SCD) b) (SAD) và (SBD) c) (SBC) và ((SCD)
Lời giải:
S
D
y
B
x
C
2a
A
z
a
a
a
Chọn hệ trục tọa độ Axyz với . 
Khi đó A(0; 0; 0), B(a; 0; 0), S(0; 0; a), D(0; 2a; 0), C(a; a; 0) (hình chiếu 
của C trên Ox là B, trên Oy là trung điểm của AD).
a) +) Mặt phẳng (SAD) có vectơ pháp tuyến 
+) 
=> Mặt phẳng (SCD) có vtpt 
Gọi là góc giữa (SAD) và (SCD) => . 
b) 
=> Mp(SBD) có vtpt 
Gọi là góc giữa (SAD) và (SBD) => . 
c) => Mặt phẳng (SBC) có vtpt 
Gọi là góc giữa (SBC) và (SCD) => .
Bài 3: Cho hình lập phương ABCD.A1B1C1D1. Tính góc giữa hai mặt phẳng (ABD1) và (BCD1).
Lời giải:
B
A1
B1
A
D1
z
D
y
C
x
C1
Gọi cạnh hình lập phương là 1.
Chọn hệ trục tọa độ Axyz với . 
=> A(0; 0; 0), B(1; 0; 0), C(1; 1; 0), D1(0; 1; 1)
Ta có: +) =>Mặt phẳng (ABD1) có vtpt 
+) => Mặt phẳng (BCD1) có vtpt 
+) Gọi là góc giữa (ABD1) và (SCD1) => .
Bài 4: Cho hình hộp đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD là hình vuông cạnh
bằng 2, cạnh bên AA’ = 3. Gọi B1 là trung điểm của AB, điểm D1 thuộc cạnh DD’ sao cho DD’ = 3DD1. Gọi là góc giữa mp(B1C’D1) và đáy. Tính ?
z
Lời giải:
y
x
B
B’
C
C’
D’
A’
A’
D
B1’
D1’
2
2
3
Chọn hệ trục tọa độ Dxyz với . 
=> B1(2; 1; 0), C’(0; 2; 3), D1(0; 0; 1)
Ta có: +) , 
 => Mp(B1C’D1) có vtpt 
+) Mp(ABCD) có vectơ pháp tuyến . Do đó: .
Bài 5: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại C, BC = a. Hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (ABC) là trung điểm H của AB, biết rằng SH = 2a. Tính góc giữa hai mặt phẳng (MAC) và (SBC), biết M là trung điểm của SB.
Lời giải:
Chọn hệ Oxyz sao cho O trùng với H; B, C, S lần lượt thuộc tia Ox, Oy, Oz. 
Vì tam giác ABC vuông cân tại C nên CHAB và AB =, CH = .
Ta có: 
(M là trung điểm của SB =>hình chiếu của M trên Hx là trung điểm của HB, 
trên Hz là trung điểm của SH)
A
S
B
C
z
y
H
x
M
2a
a
a
+) , 
Mặt phẳng (MAC) có vectơ pháp tuyến 
+) 
Mặt phẳng (SBC) có vectơ pháp tuyến 
Gọi là góc giữa (MAC) và (SBC) 
.
Bài 6: Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là một tam giác đều cạnh bằng 2a. Hình chiếu vuông góc của B lên mặt phẳng (A’B’C’) là trung điểm H của cạnh B’C’ và BH = 3a. Tính góc giữa hai mặt phẳng (ABB’A’) và (ACC’A’).
* Gợi ý: Gắn hệ trục đối với hình lăng trụ, hoàn toàn tương tự đối với hình chóp: đã có sẵn BH vuông góc với đáy, cần chọn trong đáy hai đường thẳng vuông góc, để ý rằng đáy là tam giác đều và H là trung điểm của BC. 
	Lời giải:
Chọn hệ Hxyz sao cho .
Ta có 
+)
C
A
A’
B’
C’
z
B
y
H
x
 => Mp(ABB’A’) có vtpt .
+) , CC’ // BB’ => CC’ có vectơ chỉ phương 
=> Mp(ACC’A’) có vtpt .
Gọilà góc giữa hai mặt phẳng (ABB’A’) và (ACC’A’)
.
Bài 7: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A1B1C1D1 có đường chéo AC1 hợp với cạnh AB và AD lần lượt các góc α và β. Tính góc giữa hai mặt phẳng (ABC1) và (ADC1).
 Lời giải:
β
α
C1
A1
B1
D1
B
A
D
C
x
y
z
Chọn hệ trục tọa độ Dxyz với . 
Đặt AC1 = d. Giả sử đường chéo AC1 tạo với AA1 góc γ. 
Ta có: ADC1 vuông tại D: DA = d cosβ
 ABC1 vuông tại B: AB = d cosα,
 AA1C1 vuông tại A1: AA1 = d cosγ
=> DA2 + AB2 + AA12 = DB2 + AA12 = A1C12 + AA12 = AC12
=> cos2α + cos2β + cos2γ = 1 (1) (dễ thấy α, β, γ đều nhọn)
Ta có: A(dcos β; 0; 0), C(0; dcosα; 0), D1(0; 0; dcosγ), B(dcos β; dcosα; 0),
C1(0; dcosα; dcosγ). Gọi φ là góc giữa hai mặt phẳng (ABC1) và (ADC1).
+) 
Mặt phẳng (ABC1) có vectơ pháp tuyến 
+) 
=> Mặt phẳng (ADC1) có vtpt 
Do đó: (2)
Từ (1): cos2γ + cos2β = 1- cos2α ; cos2γ + cos2α = 1- cos2β thay vào (2) ta có:
.
Nhận xét: Bài 3 là trường hợp đặc biệt của bài 6. Do hình lập phương có một đường chéo hợp với 3 cạnh chung một đỉnh các góc bằng nhau nên 
Qua các bài tập trên đưa ra nhận xét: Với một số bài trình bày theo phương pháp tọa độ là tối ưu, với một số bài mức độ ở 2 phương pháp tọa độ và không gian là tương đồng. Tuy nhiên cũng cần phải nhớ rằng không phải khi nào phương pháp tọa độ cũng tỏ ra hiệu quả. 
 Sau đó tôi lấy thêm một số bài hình học không gian ở dạng khác với mức độ khó hơn, cần kỹ năng tổng hợp hơn để học sinh tìm tòi, khám phá, phát hiện, luyện tập, khai thác và xử lý thông tin, tự hình thành hiểu biết, năng lực và phẩm chất.
 Đặc biệt, việc xác định và tính góc giữa hai mặt phẳng trong hình học 
không gian tương đối khó, song phương pháp tọa độ lại tỏ ra rất hiệu quả.
Dạng 2: Có đường thẳng vuông góc với đáy.
Bài 8: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC làvuông cân với BA = BC = a, SAđáy và SA = a. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AB và AC. Tính góc giữa 2 mặt phẳng: 
a) (SAC) và (SBC) 
b) (SEF) và (SBC)
Lời giải:
S
B
C
A
z
y
a
x
 a
a
Chọn hệ tọa độ Oxyz sao cho B trùng O, điểm A và C lần lượt thuộc tia Ox và
Oy, hướng từ A đến S trùng với hướng tia Oz. 
Ta có: B(0; 0; 0), A(a; 0; 0), C(0; a; 0), S(a; 0; a), E, F
a) +)=>Mp(SAC) có vtpt 
+)=> Mp(SBC) có vtpt 
Gọi φ là góc giữa (SAC) và (SBC) 
=> .
b) (hoặc EF 
là đường trung bìnhABC nên EF // BC => EF có vectơ chỉ phương )
=> Mặt phẳng (SEF) có vectơ pháp tuyến 
Gọilà góc giữa (SEF) và (SBC)
=> .
Bài 9: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là nửa lục giác đều nội tiếp
đường tròn đường kính AB = 2a, SA = a và vuông góc với đáy. Tính côsin của góc giữa 2 mặt phẳng: 
a) (SBC) và (SAD) b) (SBC) và (SCD)
Lời giải:
Chọn hệ trục tọa độ Axyz với, trong mp(ABCD) kẻ Ay vuông góc với AB. 
O là trung điểm của AB => tam giác OAD và OBC đều cạnh a => hình chiếu của D, C trên Ay là I và AI = DK = (độ dài đường cao tam giác đều cạnh a), hình chiếu của C trên Ax là J (trung điểm của OB), hình chiếu của D trên Ax là K (trung điểm của AO).
y
A
K
J
O
B
x
C
D
I
A
B
x
y
D
C
S
z
Khi đó A(0; 0; 0), B(2a; 0; 0), 
a) * 
Mặt phẳng (SBC) có vectơ pháp tuyến .
*=>(SAD) có vtpt .
Gọi là góc giữa (SBC) và (SAD) .
b) 
Mặt phẳng (SCD) có vectơ pháp tuyến 
Gọi là góc giữa (SBC) và (SCD) .
Bài 10: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang cân, AD là đáy 
lớn, AD = 2a, AB = BC = CD = a. Hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng (ABCD) là điểm H thuộc đoạn thẳng AC sao cho HC = 2HA và SH = 2a. Tính góc giữa hai mặt phẳng (SAD) và (SCD).
Lời giải:
Chọn hệ trục tọa độ Axyz với B thuộc tia Oy, trong mp(ABCD) kẻ Ax vuông góc với AD, tia Az hướng trùng với hướng từ H đến S.
x
A
K
J
O
D
y
C
B
I
A
D
y
x
B
C
S
H
H
E
z
O là trung điểm của AD => các tam giác OAB, OBC và ODC đều cạnh a 
=> AC = 2.=
Hình chiếu của B và C trên Ax là I và AI = , hình chiếu của B trên Ay là K (trung điểm của AO), hình chiếu của C trên Ay là J (trung điểm của OD), hình chiếu của H trên Ax là E và AE = , hình chiếu của H trên Ay là K.
Khi đó A(0; 0; 0), D(0; 2a; 0), 
+) , AD có vectơ chỉ phương 
Mặt phẳng (SAD) có vectơ pháp tuyến 
+) 
=> Mp(SCD) có vtpt 
Gọi góc giữa (SAD) và (SCD) 
Bài 11: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi, SAB đều và nằm trong
mặt phẳng vuông góc với mp(ABCD). Biết AC = 2a, BD = 4a. Tính côsin của góc giữa hai mặt phẳng: 
a) (SCD) và (ABCD) 
b) (SCD) và (SAB)
Lời giải:
z
B
H
O
A
D
xx
C
y
S
Gọi O = ACBD, H là trung điểm của AB. Vì SAB đều nên SH AB. 
Do AB = (SAB)(ABCD) và (SAB)(ABCD) nên SH(ABCD). 
Ta có: 
Chọn hệ Oxyz với, hướng từ H đến S trùng hướng của
tia Oz. Ta có: A(0; -a; 0), D(2a; 0; 0), C(0; a; 0), S (hình chiếu của S trên mặt phẳng Oxy là H; hình chiếu của H trên Ox là trung điểm của OB, trên Oy là trung điểm của OA, hình chiếu của S trên Oz là S’ và OS’ = HS)
a) +) , 
Mặt phẳng (SCD) có vectơ pháp tuyến 
+) Mặt phẳng (ABCD) có vectơ pháp tuyến 
Gọi góc giữa (SCD) và (ABCD) => 
b) AB có v (AB // CD)
Mặt phẳng (SAB) có vectơ pháp tuyến 
Gọi góc giữa (SCD) và (SAB) => 
Bài 12: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm I và có cạnh bằng a, góc BAD bằng 600. Gọi H là trung điểm của IB và SH vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Góc giữa SC và mặt phẳng (ABCD) bằng 450. Tính côsin của góc giữa hai mặt phẳng (SCD) và (SAD).
Lời giải:
S
z
B
H
I
A
D
xx
C
y
SH(ABCD)=>(SC,(ABCD))=(SC,HC)=SCH=450. BAD = 600 nênBAD đều cạnh a .
Tam giác SHC vuông cân tại H .
Chọn hệ Oxyz sao cho I trùng O, điểm D thuộc tia Ox, C thuộc tia Oy,
hướng từ H đến S trùng hướng tia Oz. 
Ta có: 
(hình chiếu của S trên Ox là H, trên Oz là S’ và OS’ = SH)
+) 
Mặt phẳng (SCD) có vectơ pháp tuyến 
+) 
Mặt phẳng (SAD) có vectơ pháp tuyến 
Gọi góc giữa hai mặt phẳng (SCD) và (SAD) => 
Bài 13: Cho tứ diện ABCD có AB = CD, AC = BD, AD = BC và hai mặt phẳng
(ABD) và (ACD) vuông góc với nhau. Chứng minh các góc của tam giác BCD có: tanB.tanC = 2. 
Lời giải:
1
2
2
1
B
D’
A’
B’
A
C
O
x
y
z
D
Tứ diện ABCD nội tiếp hình hộp chữ nhật OAD’B.CA’DB’có 3 kích thước là OA = a, OB = b, OC = c.
Chọn hệ tọa độ Oxyz sao cho A, B và C lần lượt thuộc tia Ox, Oy và Oz.
Ta có: A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c), D(a; b; c).
+),=>(ABD) có vtpt 
+) => Mp(ACD) có vtpt 
+) Hai mặt phẳng (ABD) v