SKKN Sử dụng phương pháp toạ độ để tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số

A. PHẦN MỞ ĐẦU.
I. Lý do thực hiện đề tài.
1. Cơ sở lý luận.
Trong chương trình giáo dục toán học ở trường phổ thông trung học, phương pháp toạ độ chiếm một vị trí quan trọng. Nói đến phương pháp toạ độ, mọi người thường hay nghĩ đến các bài toán về khảo sát hàm số, vẽ đồ thị cũng như các bài toán của hình học giải tích. Tuy nhiên sẽ không có nhiều người nghĩ rằng phương pháp toạ độ còn cho ta những lời giải hay đối với các bài toán sơ cấp: Giải phương trình - giải bất phương trình - chứng minh bất đẳng thức - tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số. Thậm chí phương pháp toạ độ còn giúp ta giải quyết các bài toán số học - Suy luận logíc - Hình học tổ hợp - Hình học thuần tuý, mà là những đối tượng “xa vời” với phương pháp toạ độ.
2. Cơ sở thực tiễn.
Cùng với các phương pháp khác, phương pháp toạ độ là một trong những phương pháp hữu hiệu để giải nhiều bài toán sơ cấp. Phương pháp toạ độ dùng để giải quyết các bài toán chứa trong nó “Cái hồn hình học” mà thoạt nhiên ta chưa nhìn thấy nó. Do đó chúng ta cũng nên đưa phương pháp toạ độ vào giải các bài toán sơ cấp trong chương trình phổ thông trung học, nhằm trang bị thêm phương pháp giải bài tập và ứng dụng của phương pháp toạ độ. Đó cũng chính là nhận thức và ý tưởng của tôi khi chọn đề tài
“sử dụng phương pháp toạ độ để tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số”
II. Phương pháp nghiên cứu.
1. Phương pháp nghiên cứu lý luận.
2. Phương pháp điều tra thực tiễn . 
3. Phương pháp thực nghiệm sư phạm.
4. Phương pháp thống kê.
III. Đối tượng nghiên cứu.
 Các bài toán tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số
IV. Tài liệu tham khảo.
1. Sách giáo khoa toán THPT.
2. Sách bài tập toán THPT.
4. Báo toán học và tuổi trẻ.
V. Ứng dụng.
Dùng làm tài liệu tham khảo cho giáo viên và học sinh trong việc dạy và học về tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số
Do điều kiện thời gian, trong đề tài này tôi mới chỉ đưa ra: Phương pháp toạ độ với bài toán tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số - thông qua một vài ví dụ. Hy vọng rằng: Phương pháp toạ độ sẽ đem lại cho các bạn sự thoải mái - trong sáng - và lý thú.
Dĩ nhiên, trong quá trình nghiên cứu cũng không tránh khỏi những khuyết điểm. Mong các bạn đồng nghiệp góp ý và bổ sung.
NỘI DUNG CHÍNH CỦA ĐỀ TÀI
Để giải quyết các bài toán tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất bằng phương pháp toạ độ, người ta thường sử dụng các tính chất sau:
- Trong tất cả các đường gấp khúc nối hai điểm A và B cho trước thì đường thẳng nối AB là đường thẳng có độ dài ngắn nhất. 
- Cho điểm M ở ngoài một đường thẳng d ( hoặc mặt phẳng (P)) cho trước. Khi đó, độ dài đường vuông góc kẻ từ M xuống d ( xuống (P)) ngắn hơn mọi đường xiên kẻ từ M xuống đường thẳng (mặt phẳng) ấy.
- Trong các tam giác cùng nội tiếp một đường tròn, thì tam giác đều có chu vi và diện tích lớn nhất.
Nếu bằng một phép biến đổi nào đó, bài toán có thể quy về các sự kiện hình học nói trên, thì nên dùng phương pháp toạ độ để giải.
Người ta sử dụng hai bất đẳng thức sau:
1. 
2. 
(Chú ý điều kiện xảy ra dấu bằng khi và chỉ khi là các véc tơ cùng phương, cùng chiều hoặc là có một trong hai vectơ là vectơ không).
Ngoài ra còn chú ý một số kết quả sau (tự chứng minh) : 
Cho đoạn AB, M0 bất kỳ ngoài đoạn AB. Ta có: 
 = Max{M0A,M0B}
 Cho f(x) liên tục trên tập D và tồn tại và .
1. Phương trình có nghiệm Û .
2. Bất phương trình có nghiệm Û 
3. Bất phương trình có nghiệm Û 
M0
B
A
M
SAU ĐÂY LÀ MỘT VÀI VÍ DỤ MINH HOẠ
1.1 Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số: 
f(x,y) = cos2x + cos2y
Trên miền D = {(x, y: sinx + siny = }.
Lời giải:
Đặt u = sinx; v = siny. Khi đó ta có: 
cos2x + cos2y = 2 - 2(u2 + v2).
u
v
A
B
H
1
-1
-1/2
-1/2
1
1/2
1/2
Xét bài toán mới: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số: F(u,v) = u2 + v2 trên miền D1 = {(u, v): }.
Lúc đó ta có mối liên hệ: 
 = 2 - 2 (1)
 = 2 - 2 (2)
Vẽ hệ trục Ouv.
Tập D1 chính là đoạn thẳng AB (phần đường thẳng u + v = nằm trong hình vuông). Dễ thấy A(-; 1) & B(1; -).
Nếu M(u; v) Î D1 thì u2 + v2 = OM2.
Vậy = 
 = 
Theo (1) ta có: = ; = -.
1.2 Ví dụ 2: Tìm GTLN & NN của hàm số: f(x, y) = x2 + y2 trên miền:
x
x
C
B
A
O
-8
-4
-2
-2
2
4
D = 
Lời giải:
Vẽ hệ trục Oxy.
Dễ thấy các điểm (x; y) thoả mãn hệ trên chính là toàn tam giác ABC.
Ta thấy x2 + y2 = OM2 ( Gọi D là miền dàng buộc hệ).
Ta có: 
 = = Max {OA2, OB2, OC2} = 20.
 = = MinOH2 = (vì )
Tóm lại: = 20.
 = .
1.3 Ví dụ 3:Tìm GTNN của hàm số:
f(x, y, z, t) = z2 + t2 - 2xz - 2yt - z.
Trên miền D = { (x, y, z, t): x2+ y2 = 1; z2- t + 3 = 0}.
Lời giải:
Với (x, y, z, t) Î D, ta có:
f(x, y, z, t) = (x - z)2 + (y - t)2 - x2 - y2 - 3 =(x - z)2 + (y - t)2 - 4. (1)
Khi (x, y, z, t) Î D thì điểm M(x; y) nằm trên đường tròn đơn vị; còn điểm 
N(z, t) nằm trên Parabol: v = u2 + 3.
Ta có: (x - z)2 + (y - t)2 = MN2.
Rõ ràng: MinMN2 = M0N02 = 4. Trong đó M0(0; 1) và N0(0; 3).
Từ (1) suy ra: f(x, y, z, t) ³ 0 "(x, y, z, t) Î D.
Mặt khác, khi x = 0, y = 1, z = 0, t = 3 thì f(x, y, z, t) = 0, mà (0, 1, 0, 3 )ÎD.
u
v
-1
-1
1
1
3
N0
M0
M(x,y)
N(z,t)
O
Vậy = 0.
1.4 Ví dụ 4: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số:
f(x) = với x Î R.
Lời giải:
Ta viết lại f(x) dưới dạng: f(x) = (1)
Xét hệ trục Oxy với điểm A(; ); B(;); C(x ; 0). 
Khi đó từ (1) ta có: f(x) = CA + CB ³ AB. 
Trong đó AB = .
Do đó: f(x) ³.
Mặt khác, giả sử AB cắt Ox tại ở tại C0. Ta có: C0A + C0B = AB.
y
x
A
B
C
C0
x
Như vậy, nếu đặt x0 = OC0 thì f(x0) = .
Vậy : =
1.5 Ví dụ 5: Tìm GTLN & GTNN của hàm số:
f(x, y) = 4x + 3y
Trên miền: D = {(x, y): x2 + y2 + 16 = 8x + 6y}.
Lời giải:
Nếu (x, y) Î D, ta có: x2 + y2 = 8x + 6y Û (x - 4)2 + (y - 3)2 = 9.
Nghĩa là: D là đường tròn tâm O1(4; 3) và bán kính R = 3 khi (x, y) Î D, ta có:
..
..
..
..
y
x
O
M2
M(x,y)
O1
M1
4
3
f(x, y) = 4x + 3y = 
với M(x; y) nằm trên đường tròn trên.
Nối OO1 cắt đường tròn D tại 2 điểm M1, M2, ta được:
 = OM1 = OO1 - M1O1 = 5 - 3 = 2.
 = OM2= OO1 +O1M2 =5 + 3 = 8.
Vậy: = 8 + 82 = 40,
 = 8 + 22 = 10.
1.6 Ví dụ 6: Tìm GTLN & GTNN của hàm số:
f(x) = với x Î R.
Lời giải:
Gọi m là giá trị tuỳ ý của hàm số f(x). Điều đó có nghĩa là phương trình sau (ẩn x) có nghiệm:
 = m (1)
Đặt u = ; v = sinx 
O
y
x
B
A
khi đó (1) Û 
Xét hệ trục Ouv:
Dễ thấy (3), (4), (5) biểu diễn cung nhỏ,
 ở đây A(1; -1); B(1; 1).
Từ (2) ta có: Û (u + v)2 + 2(u + v) - 2m - 2 = 0
Û u + v = -1 + 
(u + v) = -1 - loại (vì không cắt cung )
Từ đó nhận thấy (1) có nghiệm Û đường thẳng : 
u + v = -1 + cắt cung 
tức là 0 £ -1 + £ 2
Û 1 £ £ 3
Û - 1 £ m £ 3.
Vậy = 3 và = -1.
1.7 Ví dụ 7: Tìm GTLN & GTNN của hàm số
f(x) = trên đoạn [0; 2]
Lời giải:
Viết f(x) dưới dạng: f(x) = (1)
u
v
O
A
B
-
-
Xét phương trình tham số: = m (2)
Đặt = u; = v. Khi đó:
 (2) Û
Xét hệ trục Ouv: 
Thấy hệ (3), (4), (5) có nghiệm Û đường thẳng cắt cung phần tư thứ nhất AB của đường tròn tâm O bán kính .
Đường thẳng qua A(; 0) có dạng: .
Đường thẳng là tiếp tuyến của cung có dạng: , ở đây 
Từ đấy thấy ngay hệ (3), (4), (5) có nghiệm Û đường thẳng nằm giữa hai đường thẳng nói trên Û 
Vậy = 3 và .
1.8 Ví dụ 8: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số:
f(x) = (p, q là hai số cho trước)
Lời giải
Xét :
Trên mặt phẳng toạ độ xét điểm A(x - p; ) & B(x - q; ). Khi đó: 
f(x) = = OA + OB.
Rõ ràng có: OA + OB ³ AB.
Mà AB = không đổi với mọi vị trí của A và B.
A
y = 
Vậy ta luôn có f(x) ³ (1)
Dấu = sxảy ra Û A, O, B thẳng hàng.
x
O
y
y = -
B
Ta có: 
mà A, O, B thẳng hàng Û .
Do AB không đổi với mọi vị trí của A, B nên ta có:
 (2)
2. Xét (Û p = q = 0)
Lúc này f(x) = 2|x| Þ Min f(x) = 0 (3)
Tóm lại, với mọi trường hợp ta đều có:
.
1.9 Ví dụ 9: Tìm GTLN & GTNN của hàm số:f(x, y) = x - y
Trên miền: D = 
Lời giải:
y
Miền xác định D cần lấy giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm f(x, y) được biểu diễn bởi miền gạch chéo sau:
A
4
3
-2
2
C
B
O
x
6
Chú ý rằng:
Đồ thị hàm số x - y = a suy ra từ đồ thị hàm số x - y = 0 một lượng (- a) theo trục Oy.
Gọi (a) là một giá trị tuỳ ý của f(x, y) trên D.
Điều này có nghĩa là hệ sau ẩn (a, x, y) có nghiệm:
. Giải hệ ta có: 
Suy ra toạ độ điểm A().
Đường thẳng x - y = a qua A khi a = - 4 - .
Đường tròn (x - 6)2 + (y - 3)2 = 25 cắt trục hoành tại B(2; 0) & C(10; 0).
Đường thẳng x - y = a qua B khi a = 2. Khi đó:
x - y = - 4 - & x - y = 2 là hai vị trí giới hạn mà đường thẳng x - y = a cắt miền D.
Từ đó suy ra: , .
1.10 Ví dụ 10: Cho a, b , c, h là bốn số dương cho trước; x, y, z là ba số thực thay đổi sao cho ax + by + cz = k (1) ( k là số cố định cho trước).
Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số:
f(x, y, z) = với (x, y, z) thoả mãn điều kiện (1).
Lời giải:
Xét hệ trục Ouv: A(ah, ax); B((a + b)h; ax + by); C((a + b + c)h; ax + by + cz)
ax + by
A
B
O
u
ax + by + cz = k
(a+b+c)h
ax
ah
(a+b)h
v
C
Ta có:	 OA = ; AB = ; BC = 
Vậy f(x, y, z) = OA + OB + OC (2) & OA + AB + BC là độ dài đường gấp khúc OABC nối hai điểm cố định O(0; 0) & C((a+b+c)h; k).
Ta có: OC = 
Từ (2) suy ra: f(x, y, z) ³ OC = (3)
Dấu = trong (3) sảy ra Û O, A, B, C thẳng hàng 
Như vậy: (4)
Từ (3) và (4) ta có: Minf(x, y, z) =.
y
x
O
1.11 Ví dụ 11: Cho xi, yj (i = 1,2, ... , n) là 2n số thực thoả mãn: 
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A =
Lời giải:
Trong mặt phẳng xét hệ tọ độ Oxy:
Gọi Mk là điểm có toạ độ , k= 1, 2, ..., n
Như vậy điểm sẽ nằm trên đường thẳng x + y = 1 (vì giả thiết x+ y =1)
Dễ thấy: (k = 1, 2, ... , n)
Từ đó suy ra:
A = OM1 + M1M2 + M2M3 + ... + Mn-1Mn
Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ O đến đường thẳng x + y = 1, thì OH = 
Rõ ràng: OM1 + M1M2 + ... + Mn-1Mn ³ OH, hay A ³ (1)
Dấu bằng sảy ra trong (1) Û O, M1, M2, ..., Mn thẳng hàng & Mn º H
Û
Û x1 = x2 = ... = xn = y1 = y2 = ... = yn = 
Vậy MinA = .
KẾT LUẬN
Bài toán tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số và loại toán khá phức tạp trong chương trình THPT. Cách giải rất phong phú - đa dạng. Mặt khác, phương pháp toạ độ cũng là phương pháp mới đối với học sinh - có phần trừu tượng. Khi vận dụng phương pháp toạ độ, học sinh cần nắm vững kiến thức toạ độ. Có tư duy lôgic - khéo léo. Vận dụng được phương pháp này sẽ giúp học sinh phát triển tư duy - ý thức rèn luyện kiến thức và tạo sự say mê học tập, hứng thú trong học tập.
Thông qua một vài ví dụ trên, nhằm giúp học sinh thấy được ý nghĩa và phương pháp vận dụng vào bài toán, giúp học sinh phần nào tự tin và ý thức hơn về phương pháp (kiến thức) toạ độ, mà có những ví dụ với phương pháp sơ cấp đơn thuần không giải được hoặc phức tạp - Nhưng đối với phương pháp toạ độ thì lời giải lại đơn giản, ngắn gọn và dễ hiểu. 
Trên đây là những nghiên cứu và kinh nghiệm của bản thân tôi. Hy vọng đề tài này sẽ góp phần để việc dạy và học phương pháp toạ độ đạt hiệu quả cao hơn
Do điều kiện thời gian cũng như tinh thần học hỏi, tôi cũng chỉ đưa ra một số ví dụ đơn giản trên, nhằm đạt được một số yêu cầu nào đó mà thôi. Mong sự đóng góp chân tình của các bạn đồng nghiệp, nhằm hoàn thiện, thường xuyên có tư tưởng cũng như suy nghĩ đến phương pháp này mà trước kia ta ít nghĩ tới.
XÁC NHẬN CỦA
THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ
Thanh Hóa, ngày 10 tháng 05 năm 2019
Tôi xin cam đoan đây là SKKN do chính tôi nghiên cứu và thực hiện, không copy của người khác. Nếu sai tôi xin hoàn toàn chịu trách nhiệm.
Thịnh Thị Hồng