SKKN Sử dụng phương pháp hình học để giải nhanh một số bài toán cực trị về toạ độ trong hình học không gian

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ 
TRƯỜNG THPT HÀM RỒNG
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
 SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP HÌNH HỌC ĐỂ GIẢI NHANH MỘT SỐ BÀI TOÁN CỰC TRỊ VỀ TOẠ ĐỘ TRONG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN 
 	Người thực hiện	: Lê Minh Hoà
Chức vụ	: Giáo viên
SKKN thuộc lĩnh vực 	: Toán học
THANH HOÁ, NĂM 2019
 1 – MỞ ĐẦU:
 	1.1 Lý do chọn đề tài:
 	Trong kì thi THPT Quốc gia năm 2019 môn Toán vẫn tiếp tục năm thứ 3 với hình thức thi trắc nghiệm. Các bài toán cực trị về hình học độ toạ trong không gian thường là các bài toán vận dụng. Vì thế, học sinh rất dễ mất bình tĩnh, hoang mang không biết phải nhận dạng và làm bài toán cực trị về toạ độ trong hình học tọa độ không gian như thế nào, lấy những yếu tố nào là điểm quan trọng để phát hiện vấn đề. Có rất nhiều phương pháp để giải quyết bài toán này như phương pháp hàm số, phương pháp hình học... Tuy nhiên, để giải nhanh bài toán cực trị về toạ độ trong hình học tọa độ không gian, chúng ta cần tìm được vị trí đặc biệt của nghiệm hình để cực trị ( số đo góc, khoảng cách, độ dài ) xảy ra. Khi biết vị trí đặc biệt đó, việc tính toán chỉ còn vài dòng đơn giản là ra kết quả. Trong quá trình trực tiếp giảng dạy chương: Phương pháp toạ độ trong không gian trong chương trình hình học lớp 12, thông qua nghiên cứu tài liệu tham khảo, tôi rút ra một phương pháp giúp học sinh giải quyết vấn đề trên nhanh và chính xác. Và đã viết thành một sáng kiến kinh nghiệm có tên: “Sử dụng phương pháp hình học để giải nhanh một số bài toán cực trị về toạ độ trong hình học không gian ”
 	1.2. Mục đích nghiên cứu: 
 	Đề tài này góp phần trang bị thêm dấu hiệu nhận biết đặc trưng, dấu hiệu trực quan của các dạng bài cực trị về toạ độ trong hình học không gian, kĩ năng phán đoán, phân tích nhanh nhạy, chính xác vấn đề và phát triển tư duy học sinh: tư duy phân tích, tổng hợp logic, sáng tạo và tạo thói quen cho học sinh khi giải quyết một vấn đề luôn luôn tìm tòi khám phá những điểm đặc trưng, dấu hiệu nhận biết mấu chốt để giải quyết vấn đề nhanh, chính xác nhất.
1.3. Đối tượng nghiên cứu: 
 	Đề tài được áp dụng trong chương: Phương pháp toạ độ trong không gian của chương trình hình học lớp 12, học sinh ôn thi THPT Quốc gia. 
 	1.4. Phương pháp nghiên cứu: 
 	Trên cơ sở lý thuyết cơ bản trong sách giáo khoa, trước các câu hỏi trắc nghiệm về cực trị về toạ độ trong hình học không gian, tôi thường hướng dẫn học sinh nêu vấn đề từ những kiến thức nào đã học, trình bày bài cực trị về toạ độ trong hình học gian rồi mới nhận dạng có dài, mất thời gian hay không ? Có giải quyết được vấn đề hay không ? Có gặp khó khăn gì không? Từ đó khuyến khích các em, phát hiện và tìm ra những đặc điểm đặc trưng có thể làm dấu hiệu nhận biết để giải quyết vấn đề chính xác và triệt để.
 	Để học sinh tiếp cận vấn đề, tôi đưa các bài toán cực trị về toạ độ trong hình học không gian đặc trưng và phương pháp hàm số để giải qua đó thấy rằng việc giải theo phương pháp này mất thời gian. Vì vậy đưa ra dấu hiệu nhận biết đặc trưng của từng bài toán để từ đó học sinh hình dung một cách trực quan và biết cách sử dụng phương pháp hình học vào các bài toán đó để đưa ra được phương án trả lời nhanh và chính xác nhất. 
 2 – NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM:
 	2.1. Cơ sở lí luận: 
 	Để thực hiện đề tài, cần dựa trên những kiến thức cơ bản:
- Công thức tính góc giữa hai đường thẳng cosj = trong đó , lần lượt là hai VTCP của hai đường thẳng.
- Công thức tính góc giữa hai đường thẳng và mặt phẳng sinΨ = trong đó lần lượt là hai VTPT và VTCP của mặt phẳng và đường thẳng.
 - Công thức tính góc giữa hai đường thẳng cosj = trong đó trong đó lần luợt là hai VTPT của hai mặt phẳng.
 - Công thức tính khoảng cách giữa hai điểm A(x;y ;z ); B(xB;yB;zB)
 AB= 
 - Khoảng cách từ điểm M(x0;yo;zo) đến mặt phẳng (a) có phương trình
Ax+By+Cz+D=0 là: d(M,(a)) = 
- Khoảng cách từ điểm M1 đến đường thẳng đi qua M0 và có vectơ chỉ phương là: d(M1,) = 
- Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau và’, trong đó đi qua điểm M0 , có vectơ chỉ phương và đường thẳng’ đi qua điểm M1 , có vectơ chỉ phương ’ là: d(,) = .
- Công thức tính diện tích hình bình hành : SABCD= 
- Công thức tính diện tích tam giác : SABC= 
- Công thức tính thể tích hình hộp : VABCD.A’B’C’D =
- Công thức tính thể tích tứ diện : VABCD = 
Chú ý: Các công thức tính góc nêu trên có điều kiện: 0j; Ψ 
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm:
 Cực trị về toạ độ trong hình học không gian là một trong những nội dung quan trọng chương trình toán lớp12 và không thể thiếu trong đề thi THPT Quốc gia. Bài toán cực trị về toạ độ trong hình học không gian là phần thể hiện rõ việc nắm kiến thức một cách hệ thống bao quát và cũng là phần thể hiện được kĩ năng nhận dạng và tính toán nhanh nhạy, kĩ năng tổng hợp kiến thức của học sinh khi thực hiện giải quyếvấn đề.
 	Vì vậy, câu hỏi trắc nghiệm cực trị về toạ độ trong hình học không gian thoạt nhìn thì có vẻ đơn giản nhưng nếu học sinh không nắm được các dấu hiệu đặc trưng thì thời gian giải quyết vấn đề lâu, mất nhiều công sức, tạo tâm lí nặng nề, mất bình tĩnh, và tiêu tốn thời gian dành cho những câu trắc nghiệm khác. 
 	Theo số liệu thống kê trước khi dạy đề tài này ở lớp 12C1 tôi trực tiếp giảng dạy năm học 2017 - 2018 trường THPT Hàm Rồng , kết quả như sau: 
Năm
Lớp
Sĩ số
Số học sinh trả lời chính xác
Số học sinh trả lời chính xác trong 30s – 1p
2017- 2018
12C1
42
18
8
 	Đứng trước thực trạng trên tôi nghĩ nên hướng cho các em tới một cách giải quyết khác trên cơ sở kiến thức trong SGK. Song song với việc cung cấp tri thức, tôi chú trọng rèn rũa kỹ năng phát hiện và phân dạng bài toán, cần tìm được vị trí đặc biệt của nghiệm hình để cực trị ( số đo góc, khoảng cách, độ dài ) xảy ra. Từ đó phát triển tư duy cho học sinh để trên cơ sở này học sinh không chỉ học tốt phần này mà còn làm nền tảng cho các phần kiến thức khác.
 	2.3. Các biện pháp tiến hành giải quyết vấn đề:
Để làm bài toán về cực trị về toạ trong hình học không gian, học sinh có thể dựa vào phương pháp hàm số. Sau đây ta xét một số bài toán cực trị về toạ độ trong không gian bằng phương pháp hàm số. Đây là cách thức trước khi đổi mới. 
2.3.1. Các bài toán cực trị toạ độ trong hình học không gian giải bằng phương pháp hàm số.
Bài toán 1: Viết phương trình mặt phẳng đi qua một đường thẳng d và cách một điểm M Ï d một khoảng lớn nhất.
 Ví dụ 1: Lập phương tình mặt phẳng (a) chứa đường thẳng d: = = sao cho khoảng cách từ M(2;5;3) tới (a) là lớn nhất.
Hướng dẫn: Phương trình mặt phẳng (a) chứa d có VTPT: (A;B;C) có dạng:
A(x-1) + By + C(z-2)=0. (A2 + B2 + C2 ≠ 0)
 Ta có d Ì(a) Û = 0 Û B = -2A -2C 
Þ 
TH1: Nếu C= 0 thì = 
 TH1: Nếu C ≠ 0 đặt t = thì 
Xét hàm số:, 
 Lập bảng biến thiên Þ Max f(t) = tại t= 1. 
Vậy Max d(M,(a)) = 3 khi =1. Từ TH1 và TH2 suy ra A = C và B = -4C Þ phương trình mặt phẳng cần tìm là x - 4y + z - 3 = 0.
Bài toán 2: Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d tạo với đường thẳng d’( d’ không song song với d) một góc lớn nhất.
Ví dụ 2: Cho đường thẳng d: = = và d’: = = ,
 Lập phương trình mặt phẳng (P) chứa d sao chogóc giữa mặt phẳng (P) và đường thẳng d’ lớn nhất.
Hướng dẫn: Phương trình mặt phẳng (a) chứa d có VTPT: (A;B;C) có dạng:
A(x-1) + By + C(z-2)=0. (A2 + B2 + C2 ≠ 0)
Ta có d Ì (a) Û Û = 0 Û C = A+2B
Gọi góc giữa mặt phẳng (P) và đường thẳng d’ là: Ψ, (0Ψ )
- TH1: Nếu B = 0 thì Sin Ψ= (1)
- TH2: Nếu B ≠0, đặt t = thì 
Xét hàm số f(t) = 
 Þ Max f(t) = tại t = -7 hay = -7. Vậy Max Sin Ψ= So sánh TH1 và TH Þ Ψmax Û Sin Ψ= với = -7
Þ Phương trình mặt phẳng cần tìm là: 7x - y + 5z - 9 = 0.
Bài toán 3: Viết phương trình đường thẳng d đi qua một điểm A cho trước và nằm trong mặt phẳng (P) cho trước và cách một điểm M cho trước một khoảng nhỏ nhất. ( AM không vuông góc với (P)).
Ví dụ 3: Cho mặt phẳng (P) : x + 3y - z - 1 = 0, A(1;0;0) , M(0; - 2;3). Lập phương trình đường thẳng d nằm trong (P) đi qua A và cách M một khoảng lớn nhất,nhỏ nhất: 
Hướng dẫn :
 Gọi VTCP của đường thẳng d là: 
d Ì (P) Û Û c = a +2 b ; 
; = ( - 2a - 7b ; 2a - 2b ; 2a + b )
=> d( M, d) = 
- TH1: Nếu b = 0 thì d (M,d ) = 
 - TH2 : Nếu b≠0 thì d (M,d ) == 
Xét hàm số = => < d( M, d ) 
So sánh TH1 và TH2 => d ( M, d ) 
+) Max (d (M,d)) = Û a = -b chọn b = -1 => a =1 , c = -1
=> Phương trình đường thẳng cần tìm là: 
+) Tương tự cho trường hợp còn lại.
Nhận xét: Có rất nhiều bài toán cực trị về toạ độ trong không gian có thể giải bằng phương pháp hàm. Tuy nhiên cách làm trên lại gặp khó khăn do mất quá nhiều thời gian . Vì vậy tôi đã hướng dẫn học sinh có thể dựa vào vị trí đặc biệt của nghiệm hình để cực trị ( số đo góc, khoảng cách, độ dài ) xảy ra để tìm được phương án chính xác một cách nhanh nhất.
Sau đây ta sẽ xét một số bài toán quen thuộc trên và thêm các bài khác nữa để thấy rõ tính ưu việt của phương pháp hình học giải nhanh bài toán cực trị về toạ độ trong hình học không gian.Trên cơ sở lý thuyết đã có hướng dẫn học sinh cách phân tích sử dụng phương pháp hình học phù hợp để đưa ra cách giải đúng và ngắn gọn nhất. Sau đây là các bài toán sau khi đổi mới:
2.3.2. Các bài toán cực trị về toạ độ trong hình học không gian giải bằng phương pháp hình học.
Bài toán 1: Viết phương trình mặt phẳng đi qua một đường thẳng d và cách một điểm M Ï d một khoảng lớn nhất.
d
K
H
Hướng dẫn : Gọi hình chiếu vuông góc của M trên mặt phẳng và d lần	M
lượt là H, K. Ta có khoảng cách từ M đến mặt phẳng là đoạn
MH £ MK . Vậy MH lớn nhất khi và chỉ khi H trùng K. Hay mặt phẳng chứa d và vuông góc với mặt phẳng chứa M và d.
Mặt phẳng cần tìm có véc tơ pháp tuyến trong đó .
Ví dụ 1: Viết phương trình mp chứa đường thẳng và cách M(2;1;1) một khoảng lớn nhất.
Hướng dẫn :Ta có , A(2;1;-1) => . Vậy . Vậy phương trình mặt phẳng cần tìm là: 
(x - 1) + y + 3(z + 2) = 0 x + y + 3z + 5 = 0
Ví dụ 2: Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua O, vuông góc với mặt phẳng 
(Q): 2x - y + z - 1 = 0 và cách điểm một khoảng lớn nhất.
Hướng dẫn: Bản chất mp cần tìm vẫn đi qua đường thẳng cố định qua O và vuông góc với (P). Nếu véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng cần tìm là .
Bài toán 2: Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d, tạo với đường thẳng d’( d’ không song song với d) một góc lớn nhất.
Hướng dẫn:
 Lấy K là điểm thuộc d, vẽ đường thẳng KM song song với d’. Gọi H và I là hình chiếu vuông góc của M trên (P) và
M
d'
d
K
H
I
(P)
d. Khi đó 
Vậy góc giữa d và (P) lớn nhất khi và chỉ khi H trùng I, hay (P) là mặt
phẳng nhận véc tơ làm véc tơ pháp tuyến, hay (P) là mặt phẳng chứa d và vuông góc với mặt phẳng chứa d , song song với d’.
Véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) cần tìm là .
Ví dụ 3: Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa và tạo với đường thẳng một góc lớn nhất.
Hướng dẫn: Ta có: . (P) đi qua điểm nên có phương trình (x-1)-4(y+1)+(z-2)=0 x-4y+z-7=0.
Ví dụ 4: Viết phương trình mặt phẳng đi qua O và vuông góc với mặt phẳng (P):2x+y-z-1=0 và tạo với trục Oy một góc lớn nhất.
Hướng dẫn: Bản chất không thay đổi, mặt phẳng cần tìm có véc tơ pháp tuyến . Vậy phương trình mặt phẳng cần tìm là 2x-5y-z=0.
Ví dụ 5: Viết phương trình mặt phẳng đi qua O, song song với đường thẳng vào tạo với mặt phẳng (P): x+2y-z+1=0 một góc nhỏ nhất.
Hướng dẫn: Bản chất bài toán vẫn là tìm phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng a (qua O và song song với d) và tạo với đường thẳng b vuông góc với mp (P) một góc lớn nhất. Vậy véc tơ pháp tuyến mp cần tìm là nên phương trình mặt phẳng cần tìm là: 12x + 27y - 17z = 0.
Ví dụ 6: Viết phương trình mặt phẳng đi qua hai điểm A(1;2;-1), B(2;1;3) và tạo với trục Ox một góc lớn nhất.
Hướng dẫn: Mặt phẳng cần tìm đi qua AB, cũng là mặt phẳng chứa đường thẳng AB cố định cho trước. Vậy .
Bài toán 3: Viết phương trình đường thẳng d đi qua một điểm A cho trước và nằm trong mặt phẳng (P) cho trước và cách một điểm M cho trước một khoảng nhỏ nhất. ( AM không vuông góc với (P)).
d
A
K
H
M
Hướng dẫn: Gọi H và K lần lượt là hình chiếu vuông góc của M trên (P) và d. Dễ thấy ngay d (M ; d ) = MK ³ MH . 
Khoảng cách này nhỏ nhất khi và chỉ khi K º H . Hay d là đường thẳng đi qua A và hình chiếu H của M trên (P).Véc tơ chỉ phương của đường thẳng d cần tìm là 
Ví dụ 7: Viết phương trình đường thẳng d đi qua gốc toạ độ O, nằm trong mặt phẳng (P): 2x - y + z = 0 và cách điểm M(1;2;1) một khoảng nhỏ nhất.
Hướng dẫn: Ta có véc tơ chỉ phương của đường thẳng cần tìm là 
Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là .
Ví dụ 8: Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm A(1;1;2), vuông góc với đường thẳng a: và cách gốc toạ độ O một khoảng nhỏ nhất.
Hướng dẫn: Bản chất d vẫn là đường thẳng đi qua A và nằm trong mặt phẳng cố định (qua A và vuông góc với a). Nên vec tơ chỉ phương vẫn là .
Ví dụ 9: Viết phương trình đường thẳng d đi qua O và song song với mặt phẳng (P):2x-y-z+1=0 và cách điểm M(1;-1;2) một khoảng nhỏ nhất.
Hướng dẫn: Bản chất d vẫn là đường thẳng đi qua O và nằm trong mặt phẳng cố định (qua O và song song với (P)). Nên véc tơ chỉ phương vẫn là .
Ví dụ 10: Tìm cặp số nguyên dương (a,b) nhỏ nhất để khoảng cách từ O đến đường thẳng nhỏ nhất.
Hướng dẫn: Đường thẳng d đã cho đi qua điểm cố định A(1;2;1) và do nên d nằm trong mặt phẳng (P) qua A có véc tơ pháp tuyến . Vậy véc tơ chỉ phương của đường thẳng cần tìm là . Vậy ta phải có: 
Bài toán 4: Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm A cho trước, nằm trong mặt phẳng (P) và cách điểm M ( M khác A, MA không vuông góc với (P)) một khoảng lớn nhất.
d
A
K
H
M
Hướng dẫn:Gọi H , K lần lượt là hình chiếu vuông góc của M
trên (P) và d. Khi đó ta dế thấy d (M ; d ) = MK £ MA , 
khoảng cách d (M ; d ) lớn nhất khi và chỉ khi K trùng A, 
hay d là đường thẳng nằm trong (P), đi qua A và 
vuông góc với AM. 
Đường thẳng d cần tìm có véc tơ chỉ phương là: 
Ví dụ 11: Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm A(1;1;-1) cho trước, nằm trong mp (P): 2x - y - z = 0 và cách điểm M(0;2;1) một khoảng lớn nhất.
Hướng dẫn: Ta có vec tơ chỉ phương đường thẳng cần tìm là . Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là .
Ví dụ 12: Viết phương trình đường thẳng d qua gốc toạ độ O, vuông góc với đường thẳng và cách điểm một khoảng lớn nhất.
Hướng dẫn: Véc tơ chỉ phương của đường thẳng cần tìm là .
Ví dụ 13: Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm A(1;0;2), song song với mặt phẳng (P): 2x-y+z-1=0 và cách gốc toạ độ O một khoảng lớn nhất.
Hướng dẫn: Véc tơ chỉ phương của đường thẳng cần tìm là: 
Ví dụ 14: Tìm a để đường thẳng (a là tham số) cách điểm một khoảng lớn nhất.
Hướng dẫn: Dựa vào phương trình tham số của đường thẳng d đã cho, ta thấy d đi qua điểm cố định ứng với t=2 và vuông góc với đường thẳng có véc tơ chỉ phương . Do đó véc tơ chỉ phương của đường thẳng d khi khoảng cách từ điểm M đến nó lớn nhất là : . 
Vậy ta có: .
Bài toán 5: Cho mặt phẳng (P) và điểmA Î (P), và đường thẳng d ( d cắt (P) và d không vuông góc với (P)). Viết phương trình đường thẳng d’ đi qua A, nằm trong (P) và tạo với d một góc nhỏ nhất.
Hướng dẫn: Từ A vẽ đường thẳng AM//d.
 Gọi H, I lần lượt là hình chiếu vuông góc
 của M trên (P) và d’. Ta có
. 
Vậy góc (d;d’) bé nhất khi và chỉ khi I trùng H. Hay d’ đi qua A và H, hay d’ đi qua A và song song với hình chiếu vuông góc của d trên (P).
Véc tơ chỉ phương của đường thẳng d’ cần tìm là 
M
d
d'
A
H
I
(P)
Ví dụ 15: Viết phương trình đường thẳng đi qua gốc toạ độ O, nằm trong mặt phẳng (P):2x+y-z=0 và tạo với đường thẳng một góc nhỏ nhất.
Hướng dẫn: Véc tơ chỉ phương của đường thẳng cần tìm là . 
Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là .
Ví dụ 16: Viết phương trình đường thẳng đi qua O, vuông góc với đường thẳng d: và tạo với mặt phẳng (P): x - y + 2z - 1 =0 một góc lớn nhất.
Hướng dẫn: Bản chất vẫn là bài toán 5, với véc tơ chỉ phương của đường thẳng cần tìm là: .
Ví dụ 17: Viết phương trình đường thẳng đi qua gốc toạ độ O, cắt đường thẳng d : và tạo với trục Oy một góc nhỏ nhất.
Hướng dẫn: Bản chất đường thẳng cần tìm đi qua O và nằm trong mp(O;d). Do đó véc tơ chỉ phương cần tìm là 
Bài toán 6: Cho mặt phẳng (P) và điểm A Î (P) và đường thẳng d cắt (P) tại điểm khác M khác A. Viết phương trình đường thẳng d’ nằm trong (P), đi qua A và khoảng cách giữa d và d’ lớn nhất.
Hướng dẫn: Gọi (Q) là mặt phẳng chứa d và song song với d’. Khi đó d (d; d ') = d ((Q); d ') = d (A, (Q)). Theo bài toán 1, khoảng cách này lớn nhất khi và chỉ khi . Khi đó do d’//(Q) và d’ nằm trong (P), nên . Véc tơ chỉ phương của đường thẳng d cần tìm là:
, B Îd.
Ví dụ 18: Cho mặt phẳng (P): 2x + y + z - 3 = 0, A(0;2;1) và đường thẳng . Viết phương trình đường thẳng d đi qua A, nằm trong (P) và khoảng cách giữa d và d’ lớn nhất.
Hướng dẫn : Gọi (Q) là mặt phẳng chứa d và cách A một khoảng lớn nhất. Khi đó ta có: , , 
Véc tơ chỉ phương của đường thẳng d cần tìm là: 
Phương trình đường thẳng d là : .
Bài toán 7: Cho mặt phẳng (P) và đường thẳng d / / (P) . Viết phương trình đường thẳng d ¢ / /d và cách d một khoảng nhỏ nhất.
Hướng dẫn :Gọi A là điểm thuộc d, A’ là hình chiếu của A trên (P). Khi đó đường thẳng d’ cần tìm đi qua A’ và song song với d.
Ví dụ 19: Cho mặt phẳng (P): 2x - y + z +1 = 0 . Viết phương trình đường thẳng d nằm trong mp(P), song với mặt phẳng (Q): x - 2 y + z + 2 = 0 và cách gốc O một khoảng nhỏ nhất.
Hướng dẫn :Đường thẳng d cần tìm đi qua hình chiếu O’ của O trên mp(P) và có véc tớ chỉ phương .
Bài toán 8: Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm A và cách điểm M ( khác A) một khoảng lớn nhất.
Hướng dẫn :Véc tơ pháp tuyến của mp cần tìm là 
Ví dụ 20: Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm A(1;1;-3) và cách điểm M(2;1;1) một khoảng lớn nhất.
Hướng dẫn :Véc tơ pháp tuyến của mp cần tìm là = (1;1; -3) . Do đó phương trình mặt phẳng cần tìm là (x -1) + y - 3(z + 2) = 0 Û x + y - 3z - 7 = 0 .
Bài toán 9: Các bài toán khác đòi hỏi chúng ta cần có trực giác hình học để giải nhanh.
Ví dụ 21: Cho đường thẳng , viết phương trình đường thẳng d’ song song với d, cách d một khoảng bằng 3 và cách điểm K(-3;4;3) một khoảng lớn nhất, nhỏ nhất.
Hướng dẫn : Giả sử mp(P) qua K và vuông góc với d cắt d tại I, d’ tại M. Khi đó ta có IM = 3 , trong mp(P): ta cần tìm M thuộc đường tròn tâm I, bán kính R=3 cách K một khoảng nhỏ nhất, lớn nhất.
Gọi I (1+ 2t;t;1+ 2t ), KI = (4 + 2t;t - 4; -2 + 2t ), ud = (2;1; 2) , KI.ud = 0 Û t = 0 . Vậy I (1; 0;1)và IK = 6 > 3 . 
M
I
E
F
K
Dễ thấy KM nhỏ nhất khi M trùng E, KM lớn nhất khi M trùng F. Để tìm E (x; y; z ) ta dùng véc tơ 
Vậy phương trình đường thẳng d’ cách K một khoảng nhỏ nhất là . Tương tự phương trình đường thẳng d’ cách K một khoảng lớn nhất là .
Ví dụ 22: Cho đường thẳng . Viết phương trình đường thẳng d’ song song với d, cách d một khoảng bằng và cách đường thẳng một khoảng nhỏ nhất (lớn nhất)
Hướng dẫn :đường thẳng d’ cần tìm là một đường sinh của mặt trụ tròn xoay có trục là d, bán kính . Gọi (P) là mặt phẳng chứa D và song song với d. Dễ dàng thấy ngay, d’ là giao mặt trụ trên với mặt phẳng (Q) chứa d và vuông góc với (P) ( trong trường hợp (P) không cắt mặt trụ ).
Mặt phẳng (P) có véc tơ pháp tuyến là . Phương trình mặt phẳng (P) là : x + y + z - 3 = 0. Lấy I(3;3;3) Î d, hình chiếu của I trên (P) là H(1;1;1), . Gọi M(x;y;z) là giao điểm của IH với mặt trụ (Gần (P)) nhất. Ta có: . Vậy phương trình đường thẳng d’ cần tìm đi qua M là: .
*Bài tập tự luyện:
Câu 1: Cho mặt phẳng (P) : 2x - y + z - 1 = 0 và đường thẳng . Gọi d’ là đường thẳng nằm trong (P), song song với d và khoảng cách giữa d và d’ nhỏ nhất. Hỏi d’ đi qua điểm nào sau đây?
A. 
B.
C. 
D. 
Câu 2: Gọi (P) là mặt phẳng đi qua điểm A(1;0;1), B(2;1;3) và cách gốc toạ độ O một khoảng lớn nhất. (P) đi qua điểm nào sau đây?
A. M(0;2;-1)
B. M(1;1;1)
C. M(3;2;1)
D. M(-1;1;1)
Câu 3: Gọi d là đường thẳng đi qua O và nằm trong mặt phẳng (Oxy) và cách điểm M(1;-2;1) một khoảng nhỏ nhất. Tính góc giữa d và trục tung.
A. 
B.
C. 
D. 
Câu 4: Gọi (P) là mặt phẳng chứa đường thẳng và tạo với trục Oz một góc lớn nhất. Hỏi mp (P) đi qua điểm nào dưới dây?
A. M(1;3;2)
B. M(2;1;0)
C. M(4;1;1)
D. M(1;1;1)
Câu 5: Cho đường thẳng (a,b là các tham số đã biết). Bi