SKKN Sử dụng máy tính casio 570es plus giải một số phương trình và bất phương trình vô tỉ

 NỘI DUNG
Trang
1.ĐẶT VẤN ĐỀ
1
1.1. Lí do chọn đề tài
1
1.2. Mục đích nghiên cứu
2
1.3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
2
1.4. Phương pháp nghiên cứu
2
2. NỘI DUNG ĐỀ TÀI
2
2.1. Cơ sở lí luận
2
2.2. Cơ sở thực tiễn
3
2.3. Giải pháp thực hiện
3
2.3.1. Chức năng dò nghiệm
3
2.3.2. Dùng máy tính tìm nghiệm và giải phương trình bằng phương pháp nhân liên hợp
3
2.3.2.1. Phương trình có một nghiệm hữu tỉ đơn	
3
2.3.2.2. Phương trình có hai nghiệm hữu tỉ đơn
7
2.3.2.3. Phương trình có nghiệm bội chẵn
9
2.3.2.4. Phương trình có nghiệm bội lẻ
12
2.3.2.5. Phương trình có 1 nghiệm vô tỉ đơn
13
2.3.2.6. Phương trình có nhiều nghiệm vô tỉ đơn
14
2.3.3 Dùng máy tính tìm nghiệm và giải phương trình bằng phương pháp hàm số
16
2.4.Hiệu quả của SKKN
18
3.KẾT LUẬN,KIẾN NGHỊ
18
3.1.Kết luận
18
3.2. Kiến nghị
19
Tài liệu tham khảo
19
PHỤ LỤC
1. MỞ ĐẦU
1.1. Lí do chọn đề tài
 Trong năm học 2016 – 2017 vấn đề đổi mới nhất trong kì thi THPT Quốc gia đó là 100% trắc nghiệm môn Toán.Chính vì vậy giáo viên chúng tôi,và nhất là bản thân tôi được nhà trường phân công giảng dạy lớp 12 rất trăn trở trong việc đổi mới phương pháp dạy học một cách sáng tạo và linh hoạt sao cho học sinh đạt kết quả tốt nhất trong kì thi THPT Quốc gia. Một trong những công cụ hỗ trợ đắc lực cho việc giải nhanh các bài toán chính là máy tính bỏ túi.
 Trong các năm qua Bộ giáo dục đã có chủ trương đưa máy tính Casio vào hỗ trợ cho việc dạy và học trong chương trình THPT.Tuy nhiên học sinh chỉ sử dụng máy tính ở việc thực hiện những phép tính đơn giản mà chưa ứng dụng máy tính ở mức độ cao hơn như dự đoán kết quả, tư duy toán học dựa trên công cụ máy tính.
 Một trong những dạng toán khó thường gặp ở bậc phổ thông và kì thi đại học là giải phương trình và bất phương trình vô tỷ. Dạng toán này đòi hỏi chúng ta phải có tầm nhìn bao quát,tìm ra hướng giải nhanh chóng và chính xác nhất.
 Nếu học sinh được rèn luyện kĩ năng dùng máy tính thành thạo thì việc giải các bài toán thuộc dạng này trở nên dễ dàng hơn. Tuy nhiên nhiều học sinh vẫn chưa biết cách khai thác được chức năng này của máy tính.
 Một trong những loại máy tính thông dụng nhất hiện nay là CASIO FX-570ES PLUS. Máy tính CASIO FX-570ES PLUS có những chức năng nổi trội hơn so với các loại máy tính khác là:
Giải phương trình bậc 2 cho kết quả nghiệm ở dạng căn thức.
Đạo hàm, tích phân, căn thức, lũy thừa máy tính CASIO FX-570ES PLUS ghi giống như trong sách giáo khoa.
Tốc độ giải toán nhanh.
 Đứng trước thực tế như vậy và qua quá trình giảng dạy của mình, tôi đã rút ra những kinh nghiệm của bản thân trong việc hướng dẫn học sinh biết vận dụng máy tính CASIO FX-570ES PLUS trong giải toán với đề tài: ”SỬ DỤNG MÁY TÍNH CASIO 570ES PLUS GIẢI MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ”.
1.2. Mục đích nghiên cứu.
 Bản thân nghiên cứu đề tài này nhằm mục đích:
 + Rèn luyện chuyên môn nhằm nâng cao trình độ chuyên môn cũng như nghiệp vụ sư phạm.
 + Giúp học sinh biết cách sử dụng máy tính tìm ra cách giải phương trình, bất phương trình vô tỉ nhanh chóng, chính xác và dễ áp dụng.
 + Chia sẻ với đồng nghiệp kinh nghiệm về ứng dụng của máy tính CASIO FX-570ES PLUS trong giải phương trình, bất phương trình vô tỉ nói riêng và trong môn Toán nói chung.
1.3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu.
 + Đối tượng nghiên cứu: Học sinh lớp 12ª2 (năm học 2016 – 2017) 
 + Phạm vi nghiên cứu của đề tài này bao gồm: Trong đề tài này chỉ nghiên cứu các dạng phương trình, bất phương trình vô tỷ thường gặp ở các cấp bậc phổ thông, trong các kì thi tốt nghiệp và đại học giải bằng phương pháp nhân liên hợp và phương pháp hàm số.
 1.4. Phương pháp nghiên cứu
 Phương pháp xây dựng cơ sở lí thuyết kết hợp với sử dụng máy tính Casio để thống kê sử lí số liệu
2. NỘI DUNG ĐỀ TÀI
 2.1. Cơ sở lí luận
 Một trong những trọng tâm của đổi mới chương trình và sách giáo khoa giáo dục phổ thông là tập trung vào đổi mới phương pháp dạy học, thực hiện việc dạy học dựa vào hoạt động tích cực, chủ động của học sinh với sự tổ chức và hướng dẫn của giáo viên nhằm phát triển tư duy độc lập, sáng tạo, góp phần hình thành phương pháp và nhu cầu tự học, bồi dưỡng hứng thú học tập, tạo niềm tin, niềm vui trong học tập cho học sinh. Tiếp tục tận dụng các ưu điểm của phương pháp truyền thống và dần dần làm quen với những phương pháp dạy học mới.
 Sử dụng máy tính vào trợ giúp giảng dạy môn toán với yêu cầu học sinh trực tiếp thao tác trên máy tính trong quá trình học tập là góp phần đào tạo con người lao động có tư duy công nghệ, xây dựng tác phong lao động trong thời đại mới.
 Trong chương trình môn toán THPT ở mỗi khối học đều có các bài đọc thêm hướng dẫn sử dụng máy tính bỏ túi vào giải toán, trong phân phối chương trình học cũng có những tiết học thực hành máy tính bỏ túi. Điều đó nói lên rằng việc sử dụng máy tính bỏ túi trong giải toán là rất cần thiết.
 Học sinh đã được trang bị các kiến thức toán học cơ bản trong sách giáo khoa do vậy khi kết hợp với máy tính bỏ túi CASIO FX-570ES PLUS thì sẽ có sự bổ trợ nhau trong giải toán.
 Hiện nay, trong quy chế hiện hành của kì thi THPT Quốc gia, thí sinh được mang máy tính CASIO FX-570ES PLUS vào phòng thi nên ứng dụng mang tính thực tế cao.
 2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng SKKN 
 Chuyên đề phương trình và bất phương trình vô tỉ là một chuyên đề khó, gây nhiều trở ngại cho học sinh trong các kì thi đại học và cao đẳng do tính đa dạng và không có quy tắc trong mỗi bài toán. Học sinh chỉ được học bài toán giải phương trình và bất phương trình vô tỉ trong chương trình Đại số 10. Tuy nhiên, thời lượng dành cho phần này rất ít, học sinh không được tiếp cận nhiều dạng toán khác nhau. 
 Trong quá trình học Toán ở lớp 11 và 12, khi gặp phải những bài toán đưa về phương trình và bất phương trình vô tỉ, đa số học sinh đều lúng túng, thường giải sai và thậm chí không biết cách giải. Đối với những học sinh khá khi nghe thầy cô giảng bài hoặc đọc tài liệu thì hiểu cách làm nhưng vẫn thắc mắc không hiểu vì sao lại có cách làm như vậy? Xuất phát từ điều gì để có những cách giải như thế?..... Vì vậy, việc giúp cho các em có kĩ năng tốt, biết sử dụng máy tính casio để định hướng cách giải, có thể tự mình tìm tòi ra lời giải phương trình và bất phương trình vô tỉ là rất cần thiết nhằm đáp ứng nhu cầu thực tế hiện nay.
 Năm học 2016 – 2017, tôi được Ban chuyên môn nhà trường giao nhiệm vụ giảng dạy lớp: 12ª2. Trong các tiết học ôn tập, tôi có lồng ghép vào các bài tập về phương trình, bất phương trình vô tỉ. Tuy nhiên chỉ có rất ít học sinh có thể tìm tòi được lời giải.Từ thực trạng trên Sáng kiến kinh nghiệm này đề cập đến một vấn đề đó là hướng dẫn học sinh khai thác nhiều hơn nữa các chức năng của máy tính bỏ túi trong việc giải phương trình, bất phương trình vô tỉ.
2.3. Các giải pháp thực hiện để giải quyết vấn đề 
2.3.1. Chức năng dò nghiệm của máy tính
+) Phím SHIFT CALC hay ta thường gọi là SOLVE: Nguyên tắc hoạt động của chức năng này là khi ta nhập một giá trị bất kì thì màn hình hiển thị “X = ?” thì bộ xử lý sẽ quay một hình tròn có tâm là điểm ta vừa nhập trên trục hoành với bán kính lớn dần. Khi gặp giá trị gần nhất thỏa mãn thì máy sẽ dừng lại và hiển thị giá trị đó dưới dạng phân số tối giản hoặc dạng thập phân. Nếu trong một thời gian nhất định mà máy không tìm được nghiệm thì máy sẽ hiển thị giá trị gần nhất máy tìm được thỏa mãn phương trình với sai số 2 vế là thấp nhất .
+) Chức năng TABLE: (MODE 7) Chức năng này cho phép hiển thị đồng thời các kết quả của một biểu thức trong đó các giá trị biến ta gán là cấp số cộng. Chức năng này cho phép ta nhìn tổng thể các giá trị của biểu thức thuận tiện cho việc sử dụng tính liên tục và dấu của biểu thức để dự đoán khoảng nghiệm một cách tiết kiệm thời gian.
 Trên đây là hai chức năng chính được dùng để tìm nghiệm của phương trình. Tôi thường dùng chức năng TABLE để tìm khoảng chứa nghiệm rồi dùng chức năng SOVLE để tìm nghiệm thì việc tìm nghiệm sẽ nhanh hơn. Tuy nhiên có những bài dùng trực tiếp SOVLE cũng có thể tìm nghiệm nhanh chóng. Chúng ta có thể vận dụng linh hoạt các chức năng này. Sau đây là một số bài toán phương trình và bất phương trình vô tỉ giải bằng phương pháp nhân liên hợp và phương pháp hàm số nhờ sự trợ giúp của máy tính CASIO FX-570 ES PLUS 
2.3.2. Dùng máy tính đoán nghiệm và giải phương trình bằng phương pháp nhân liên hợp 
2.3.2.1. Phương trình có 1 nghiệm hữu tỉ đơn
 Nếu phương trình có nghiệm hữu tỉ đơn x = a thì phương trình sẽ có nhân tử là x - a
 Ví dụ1: Giải phương trình:	
 (1) 
ĐK: 
*Bước 1: Bấm máy tính tìm nghiệm
+) Xác định khoảng chứa nghiệm: Giúp co hẹp khoảng chứa nghiệm và tìm nghiệm nhanh hơn. Ta dùng mode 7 để khảo sát hàm số:
 trên đoạn 
Cách bấm máy tính: MODE 7 : table. Màn hình hiện f(X) =
 Ta nhập: như sau:
ALPHA 
∎
3
⊳
⊳
)
+
4
-
∎
5
-
)
3
)
x2
-
8
)
ALPHA 
-
1
9
+
 ALPHA ALPHA 
 -
2
=
=
 Bấm . Máy hiện Start? Bấm 
5
=
 Máy hiện End? Bấm 
1
=
 Máy hiện Step? Bấm 
( Giá trị START là giá trị bắt đầu thường được đối chiếu với điều kiện để xác định. Giá trị END là giá trị kết thúc thường được đối chiếu với điều kiện để xác định. Giá trị STEP là bước nhảy hay còn gọi là khoảng cách giữa các biến số.)
 Khi đó máy hiện bảng các giá trị 
∇
Di chuyển bằng phím ta nhận thấy khi thì . Vậy là một nghiệm của phương trình. 
* Bước 2: Định hướng phân tích 
 Do phương trình có nghiệm nên phương trình có thể đưa về dạng tích có nhân tử: . Ta tìm cách ghép để nhân liên hợp như sau: Thay vào 2 biểu thức căn:
 nên ta sẽ ghép 
 nên ta sẽ ghép 
* Bước 3: Lời giải 
Vậy ta có lời giải như sau:
 Vậy: x-4=0
 hoặc 33x+4 +4+15-x+1+3x+4=0 
Ta thấy: 33x+4 +4+15-x+1+3x+4=0 vô nghiệm 
Suy ra 
 Vậy phương trình có 1 nghiệm 
 (1) ĐK: hoặc 
*Bước 1: Bấm máy tính tìm nghiệm
 Dùng chức năng TABLE để khảo sát hàm số:
 để tìm khoảng nghiệm hoặc nghiệm.
MODE
7
+) Bấm : Table . Màn hình hiển thị ” f(X) =” nhập biểu thức: 
 như sau:
∎
8
⊳
⊳
)
+
5
+
∎
4
-
ALPHA 
)
x2
-
1
3
2
ALPHA 
-
1
=
=
Bấm . Máy hiện Start? Bấm 
10
=
 Máy hiện End? Bấm 
1
=
 Máy hiện Step? Bấm 
AC
 Máy hiện bảng nhưng không có nghiệm, ta có thể đổi giá trị Step? thành 0,5 bằng cách nhấn , máy quay trở lại nhập các giá trị . Máy hiện bảng ta thấy phương trình có nghiệm . 
* Bước 2: Định hướng phân tích
 Do phương trình có nghiệm nên có thể đưa phương trình về dạng tích có nhân tử : 2x – 1. Ta tìm cách ghép để nhân liên hợp như sau:
Ta có: nên ta có thể ghép 
Mặt khác: 
* Bước 3 Lời giải: 
 (2)
Ta thấy : > 0 
Suy ra (2) 
Vậy nghiệm của phương trình là 
Ví dụ 2: Giải bất phương trình:
 x+2x+2+x+6x+7≥x2+7x+14 (1)
ĐK: 
* Bước 1: Bấm máy tính tìm nghiệm
 Xem bất phương trình cũng như phương trình ta dùng chức năng TABLE để khảo sát hàm số fx=x+2x+2+x+6x+7-x2-7x-14 ,tìm khoảng nghiệm hoặc nghiệm. Bấm tương tự các bài trên với:
 Start? -2; End? 10; Step? 1. Từ bảng giá trị ta thấy f(x) có 1 nghiệm là: 
* Bước 2: Định hướng phân tích
 Ta sẽ có thể phân tích bất phương trình xuất hiện nhân tử: x-2
Ta có : nên ta có thể ghép: 
 nên ta ghép 
* Lời giải: 
Bất phương trình tương đương:
 x+2x+2-2+x+6x+7-3-x2-2x+8≥0 
↔x+2x-2x+2+2+x+6x-2x+7+3-x-2(x+4)≥0
↔x+2x-2x+2+2+x+6x-2x+7+3-x-2(x+4)≥0
↔x-2x+2x+2+2+x+6x+7+3-x+4≥0 (2)
Ta thấy: Với thì:
 x+2x+2+2≤x+22
x+6x+7+3<x+62
→x+2x+2+2+x+6x+7+3<x+4
↔x+2x+2+2+x+6x+7+3-x+4<x+4-x+4=0 ∀x≥-2
Suy ra: (2) kết hợp với ĐK ta được : 
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: S = [-2; 2]
2.3.2.2. Phương trình có 2 nghiệm hữu tỉ đơn
 Nếu phương trình có 2 nghiệm hữu tỉ đơn thì phương trình có thể đưa về dạng tích có nhân tử chung dạng: ax2 + bx + c
Ví dụ 1: Giải phương trình
ĐK: 
* Bấm máy tính tìm nghiệm: Dùng chức năng TABLE để khảo sát hàm số, tìm khoảng nghiệm hoặc nghiệm. Bấm tương tự các bài trên với Start? -1; End? 10; Step? 1. Từ bảng giá trị ta thấy phương trình có 2 nghiệm là: x = 0 và x = 1. 
* Định hướng phân tích: Suy ra phương trình sẽ có thể phân tích thành phương trình dạng tích có nhân tử: x2 – x
Do nhân tử có bậc hai nên ta có thể ghép như sau: 
Tìm a và b như sau: +) Với x = 0 thì → điểm A(0; 1)
 Với x = 1 thì → điểm B(1; 2)
 +) Viết phương trình đường thẳng AB: y = x + 1
 Suy ra: ax + b = x + 1
Tìm c và d tương tự ta được: cx + d = x + 2
* Lời giải: 
 (2)
Ta có:. 
Suy ra 
Vậy phương trình có 2 nghiệm x = 0 và x = 1	
 (Khối B- 2012)
ĐK: hoặc 
* Bấm máy tính tìm nghiệm: Dùng chức năng SOLVE để tìm nghiệm:
=
0
=
+) Nhập , nhấn để lưu biểu thức	
+) Bấm SHIFT SOLVE . Máy hỏi X? Nhập . Ta được nghiệm 
4
=
=
+) Bấm . Máy hỏi X? nhập . Ta được nghiệm x0=4
=
(Nếu nghiệm lặp lại thì bấm để thay đổi giá trị của x đến khi được nghiệm không lặp lại.)
* Định hướng phân tích: Ta sẽ phân tích vế trái của bất phương trình thành dạng tích xuất hiện nhân tử (4x-1)(x-4). Ta có: 
Phương trình đường thẳng AB: y = 15x+15. Suy ra ta có thể ghép: 
Tương tự: 
Phương trình đường thẳng AB: y = 25x+25. Suy ra ta có thể ghép: 
* Lời giải: 
 (3)
Kết hợp với ĐK ta được: 
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: S = 0;14∪[4; +∞)
Ví dụ 2: Giải bất phương trình 
 (1)
ĐK: 
* Bấm máy tính tìm nghiệm: Xem bất phương trình cũng như phương trình ta dùng chức năng TABLE để khảo sát hàm số :
 , tìm khoảng nghiệm hoặc nghiệm. Bấm tương tự các bài trên với Start? 0;End? 10; Step? 1. Từ bảng giá trị ta thấy phương trình có 2 nghiệm là: x = 1 và x = 2
* Định hướng phân tích: Suy ra ta có thể phân tích xuất hiện nhân tử: 
 (x – 1)(x – 2) = x2 -3x +2
Do nhân tử có bậc hai nên ta có thể ghép như sau: 
Tìm a và b như sau: +) Với x = 1 thì → điểm A(1; 2)
 Với x = 2 thì → điểm B(2; 3)
 +) Viết phương trình đường thẳng AB: y = x + 1
 Suy ra: ax + b = x + 1
Tìm c và d tương tự ta được: cx + d = 3x - 1
* Lời giải: 
 (2)
Ta thấy: 
nên (2) 
 ⟺x≤1 hoặc x≥2
Kết hợp điều kiện ta được tập nghiệm của phương trình là:
S =1721;1⋃[2; +∞)
2.3.2.3 Phương trình có nghiệm bội chẵn
Ví dụ 1: Giải phương trình: 
 ĐK: x>0
* Bấm máy tính tìm nghiệm: Dùng chức năng TABLE để khảo sát hàm số, tìm khoảng nghiệm hoặc nghiệm. Bấm tương tự các bài trên với Start? 0; End? 5; Step? 0,5. Từ bảng giá trị ta thấy phương trình có 1 nghiệm là: x = 1
* Định hướng phân tích: Ta đi xác định đây là nghiệm đơn hay nghiệm kép của phương trình. Ta đặt: 
Shift
Sử dụng máy tính kiểm tra g’(1) và g”(1) bằng chức năng tính đạo hàm 
 +) Tính g’(1) : bấm tổ hợp nhập biểu thức 
Shift
 gán giá trị x = 1. Kết quả: 0
 +) Tính g”(1) : bấm tổ hợp nhập biểu thức
 gán giá trị x =1. Kết quả: ≠0
Ta thấy: . Suy ra x = 1 là nghiệm kép bậc hai của phương trình
Suy ra phương trình sẽ có thể phân tích thành phương trình dạng tích có nhân tử:
 (x -1)2 = x2 - 2x +1
+) Tìm biểu thức ghép với căn : Do đây là nghiệm kép nên dạng biểu thức ghép với x là ax +b. Đặt .Ta tìm a, b như sau:
Thay nghiệm x = 1 và kết hợp đạo hàm 2 vế ta được: 
Vậy ta có cách ghép liên hợp: 
Đặt . Tìm a, b tương tự. Ta có: 
Vậy ta có cách ghép liên hợp: 
Ta có lời giải:
* Lời giải: 
 (*)
Ta thấy : 
Nên (*) 
Vậy nghiệm của phương trình là x =1
Ví dụ 2: Giải bất phương trình: (1) 
ĐK: x > 1/2
* Bấm máy tính tìm nghiệm: Xem bất phương trình cũng như phương trình ta dùng chức năng TABLE để khảo sát hàm số, tìm khoảng nghiệm hoặc nghiệm. Bấm tương tự các bài trên với Start? -1; End? 10; Step? 1. Từ bảng giá trị ta thấy phương trình có 1 nghiệm là: x = 1
* Định hướng phân tích: Ta đi xác định đây là nghiệm đơn hay nghiệm kép của g(x). Ta đặt: 
Shift
Sử dụng máy tính kiểm tra g’(1) và g”(1) bằng chức năng tính đạo hàm (bấm tổ hợp )
Ta thấy: . Suy ra x = 1 là nghiệm kép bậc 2 của phương trình
Suy ra g(x) sẽ có thể phân tích thành phương trình dạng tích có nhân tử: 
 (x -1)2 = x2 - 2x +1
+) Tìm biểu thức ghép với căn :Do đây là nghiệm kép nên dạng biểu thức ghép của là ax +b. 
Đặt Ta tìm a, b như sau:
Thay nghiệm x = 1 và kết hợp đạo hàm 2 vế ta được:
Vậy ta có cách ghép liên hợp: 
Đặt . Ta tìm a, b như sau:
Thay nghiệm x = 1 và kết hợp đạo hàm 2 vế ta được:
Vậy ta có cách ghép liên hợp: 
* Lời giải: 
 (2)
Ta có: 
nên (2) 
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là 
Chú ý: Việc xác định nghiệm bội như cách trên sẽ gặp khó khăn vì đạo hàm của nhiều cấp nói chung là rất phức tạp và cũng tốn rất nhiều thời gian.Chúng ta đã biết đối với nghiệm bội lẻ (nghiệm bội 1, 3, 5, 7) giá trị biểu thức sẽ đổi dấu khi qua nghiệm, còn nghiệm bội chẵn (nghiệm bội 2, 4, 6..) giá trị biểu thức sẽ không đổi dấu qua nghiệm. Mặt khác trong chương trình THPT ta chỉ cần quan tâm tới việc phân biệt 3 loại nghiệm đó là: nghiệm đơn, nghiệm kép, nghiệm bội ba. Cách làm cụ thể được thực hiện ở ví dụ 1 của phần 2.4.
2.3.2.4 Phương trình có nghiệm bội lẻ
Ví dụ 1: Giải phương trình: (1)
*Bấm máy tính tìm nghiệm 
 Dùng chức năng TABLE để khảo sát hàm số, tìm khoảng nghiệm hoặc nghiệm. Bấm tương tự các bài trên với Start? -5; End? 5; Step? 1. Từ bảng giá trị ta thấy phương trình có 2 nghiệm là: và 
* Định hướng phân tích:
 Kiểm tra nghiệm bội: 
+ Nhập biểu thức: 
+ Bấm CALC . Máy hỏi X? Nhập: 1+ 0.00001. Kết quả: 
+ Bấm “= “ . Máy hỏi X? nhập 1- 0.00001. Kết quả: 
Suy ra: và trái dấu. Tức là giá trị biểu thức đã đổi dấu qua nghiệm x = 1. Vậy x = 1 là nghiệm bội lẻ. Trong khuôn khổ của trường phổ thông ta sẽ kiểm tra xem là nghiệm đơn hay nghiệm bội ba: 
+ Dùng chức năng tính đạo hàm để tính : Ta thấy hay x = 1 là nghiệm bội 3.
Tương tự ta kiểm tra cho x = 0. Ta được x = 0 là nghiệm kép
Vậy: Phương trình sẽ có nhân tử: 
Ta sử dụng cách biến đổi tách và nhóm nhân tử
* Lời giải:
 ( vì > 0 )
Vậy: Phương trình đã cho có 2 nghiệm là: x = 0; x = 1
Lưu ý: Ta thường chọn đại lượng 0.00000001 là một đại lượng khá an toàn để đảm bảo trong khoảng (x; x + 0.00000001) và khoảng (x – 0.00000001; x) không có nghiệm nào khác. Do phương trình trên mũ lớn khi cho lân cận nhỏ dẫn tới việc máy tính quy kết quả về 0 vì kết quả quá nhỏ. Để khắc phục tình trạng này ta cho cận lớn hơn là được. Cụ thể bài trên là cận 0.00001 
 2.3.2.5 Phương trình có 1 nghiệm vô tỉ đơn
 Nếu phương trình có 1 nghiệm vô tỉ đơn thì cách dùng chức năng TABLE khảo sát hàm số để tìm lượng liên hợp rất hữu dụng, đặc biệt là trong những bài có nghiệm ngoại lai.
Ví dụ 1: Giải phương trình: (1)
ĐK: 
* Bấm máy tính tìm nghiệm: Dùng chức năng TABLE để khảo sát hàm số:
 , tìm khoảng nghiệm hoặc nghiệm. Bấm tương tự các bài trên với Start? -1; End? 5; Step? 0,5. Từ bảng giá trị ta thấy tại x = 4→ f(x) = -0,512
tại x = 4,5→ f(x) = 0,6476. Như vậy giá trị f(x) đã bị đổi dấu. Suy ra phương trình có nghiệm trong khoảng (4; 4,5)
Dùng chức năng SOLVE để tìm nghiệm:
4,2
=
.2
2,2
 +) Nhập phương trình (1) vào máy
 +) bấm SHIFT SOLVE. Máy hỏi X? nhập 
Ta có nghiệm là . Dùng chức năng tính đạo hàm kiểm tra thì suy ra là nghiệm đơn.
* Tìm lượng liên hợp: 
Ta có: 
MODE
7
 Để tìm lượng liên hợp trong bài này còn có thể dùng chức năng TABLE. 
Bấm . Nhập hàm số: , 
trong đó . Cho Start? -1; End? 5; Step? 0,5. Ta nhận được bảng giá trị có cặp x = 1 và f(x) = 2 có giá trị nguyên. Vậy 
Tương tự tìm được : 
* Lời giải: (1) 
Ta thấy: 
 nên (2) 
 hoặc ( loại)
Vậy phương trình có nghiệm 
2.3.2.6 Phương trình có nhiều nghiệm vô tỉ đơn
 Nếu phương trình có nhiều nghiệm vô tỉ x1; x2 thì sẽ nghĩ đến nhân tử chung là tam thức bậc 2 nhận x1; x2 là nghiệm.
Ví dụ 1: Giải phương trình: 
a) (1)
Đk: 
* Bấm máy tính tìm nghiệm: Dùng chức năng SOLVE để tìm nghiệm:
=
+) Nhập biểu thức : bấm dấu để lưu biểu thức vào máy 
0
=
+) Bấm SHIFT SOLVE. Máy hỏi X? nhập 
 Ta có nghiệm là , 
+)Lưu nghiệm vào biến A: Bấm SHIFT STO A
1
=
+) Bấm ∆ (lấy lại biểu thức đã lưu), bấm SHIFT SOLVE. Máy hỏi X? nhập 
 Ta có nghiệm là , 
+)Lưu nghiệm vào biến B: Bấm SHIFT STO B
+) Bấm ALPHA A + ALPHA B = ta được 1. Tức là A+ B = 1
+) Bấm ALPHA A ALPHA B = ta được -1. Tức là A B = -1
Vậy theo định lí Vi-et đảo thì A và B là nghiệm của phương trình bậc hai: 
* Định hướng phân tích: Suy ra ta