SKKN Sử dụng linh hoạt tính đơn điệu của hàm số trong một số bài toán về hệ phương trình nhằm nâng cao chất lượng bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán ở trường THPT gắn với kỳ thi THPT Quốc Gia

1. MỞ ĐẦU 
1.1. Lý do chọn đề tài.
Trong toán học phổ thông, các bài toán về hệ phương trình chiếm một vị trí đặc biệt quan trọng, nó xuất hiện hầu hết trong các kỳ thi tuyển sinh các cấp, kỳ thi chọn học sinh giỏi toán cấp tỉnh, cấp Quốc Gia Điều tất nhiên khi gặp những bài toán về hệ phương trình không ở dạng cơ bản học sinh phải mất rất nhiều thời gian, công sức để giải quyết nó. Đối với những bài toán đó đề bài tuy được phát biểu hết sức ngắn gọn, sáng sủa và đẹp đẽ nhưng học sinh lại gặp rất nhiều khó khăn khi đi tìm lời giải. Đứng trước vấn đề trên trong quá trình giảng dạy tôi đã luôn trăn trở và đi tìm những thuật giải, những hướng đi cụ thể để giúp học sinh tìm tòi có hướng phán đoán, có phương pháp giải quyết vấn đề tốt nhất. Như chúng ta đã biết không có một chìa khoá vạn năng nào có thể “mở khoá” được mọi bài toán. Trong khi đó việc giảng dạy toán học cho học sinh giải quyết được vấn đề đặt ra của bài toán một cách sáng tạo, hoàn chỉnh là rất cần thiết.
Trong bài viết này tôi muốn trình bày một số kinh nghiệm tư duy áp dụng để tìm con đường khai thông nhằm giải quyết bài toán một cách gọn gàng. Bằng việc sử dụng một số bài toán ở mức độ thi THPT Quốc Gia, thi học sinh giỏi cấp tỉnh làm ví dụ minh họa, tôi đi sâu vào việc phân tích các khả năng tiếp cận lời giải, dẫn ra những cách giải tương ứng, đưa ra những phân tích, nhận xét phù hợp, để từ đó học sinh có thể nắm bắt được ý tưởng, con đường tư duy mà mỗi người làm toán cần rèn luyện khi đứng trước một bài toán giải hệ phương trình. Tôi xin nêu lên một vài hướng giải quyết bài toán về hệ phương trình với đề tài: 
“Sử dụng linh hoạt tính đơn điệu của hàm số trong một số bài toán về hệ phương trình nhằm nâng cao chất lượng bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán ở trường THPT gắn với kỳ thi THPT Quốc Gia”.
1.2. Mục đích nghiên cứu.
- Rèn luyện kĩ năng sử dụng phương pháp hàm số để giải hệ phương trình.
- Rèn luyện tư duy lôgic, khả năng nhìn nhận, đánh giá chung nhằm tìm ra con đường hợp lí để có định hướng nhằm đưa ra giải pháp tốt nhất khi gặp một bài toán cụ thể.
- Rèn luyện các kĩ năng tổng hợp về tư duy và kỹ xảo toán học.
1.3. Đối tượng nghiên cứu.
- Các bài toán giải hệ có thể sử dụng phương pháp hàm số để giải quyết.
- Các dạng toán về hệ phương trình trong các kì thi học sinh giỏi cấp tỉnh, thi THPT Quốc Gia trong những năm gần đây.
1.4. Phương pháp nghiên cứu.
- Nghiên cứu xây dựng cơ sở lí thuyết giải bài toán hệ phương trình bằng phương pháp hàm số. 
- Nghiên cứu khả năng áp dụng trên cơ sở thực tiễn tiếp thu của các đối tượng học sinh đã và đang được truyền thụ.
2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm.
Trong nghiên cứu khoa học thì việc tìm ra quy luật, phương pháp để giải quyết một vấn đề là vô cùng quan trọng. Nó giúp ta có định hướng tìm được lời giải của một lớp các bài toán. Trong dạy học giáo viên là người có vai trò thiết kế và điều khiển sao cho học sinh thực hiện và luyện tập các hoạt động tương thích với nội dung dạy học. Vì vậy trang bị về phương pháp, tập trung dạy cách học, rèn luyện các kỹ năng, phát triển các năng lực cho học sinh... là một nhiệm vụ quan trọng của người giáo viên.
	Trong chương trình toán học THPT đưa ra cách giải một số hệ phương trình mẫu mực, đây là các phương pháp cơ bản nhất. Tuy nhiên trong một số dạng bài tập hệ phương trình khó, đặc biệt là các hệ phương trình không mẫu mực thì các phương pháp này không thể giải quyết được hoặc có thể giải quyết được nhưng vô cùng phức tạp. Vì vậy, tôi nhận thấy mình cần bổ sung thêm phương pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm số, giúp học sinh dễ dàng giải quyết các dạng toán về hệ phương trình phức tạp. 
2.2. Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm.
Trong những năm gần đây các đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh, đề thi THPT Quốc Gia có nhiều bài toán giải hệ phương trình mà học sinh đã sử dụng các phương pháp quen thuộc như: Biến đổi tương đương, phương pháp đặt ẩn phụ, phương pháp lượng giác hóa, phương pháp hình học nhưng vẫn còn lúng túng, chưa tìm ra được lời giải hoặc xác định được đường lối nhưng chưa đưa ra được kết quả cuối cùng. Tuy nhiên nếu học sinh nắm chắc tính đơn điệu của hàm số, có kỹ năng vận dụng tính đơn điệu của hàm số để giải hệ phương trình thì các bài toán đó sẽ có được lời gải một cách ngắn gọn, chính xác.
Trong phạm vi sáng kiến này, tôi trình bày một phương pháp giải quyết các bài toán dạng đó, khi mà các phương pháp thông thường chưa thể giải được, đó là phương pháp "Ứng dụng tính đơn điệu của hàm số để giải hệ phương trình".
2.3. Các sáng kiến kinh nghiệm đã sử dụng để giải quyết vấn đề.
2.3.1. Kến thức cơ bản để giải quyết dạng toán này.
* Tính chất 1: Giả sử hàm số đồng biến (nghịch biến) trên miền D và , khi đó 
* Tính chất 2: Nếu hàm số đồng biến trên D và là hàm hằng hoặc là một hàm số nghịch biến trên D thì phương trình có nhiều nhất một nghiệm thuộc khoảng D.
* Khi gặp hệ có dạng 
Xét hàm số , ta thường gặp trường hợp hàm số liên tục trong tập xác định của nó.
	Nếu hàm số đơn điệu, thì từ (1) suy ra . Khi đó bài toán đưa về giải phương trình (2) theo ẩn x (hoặc y).
Nếu hàm số có một cực trị tại thì nó thay đổi chiều biến thiên một lần khi qua a. Từ (1) suy ra hoặc nằm về hai phía của a.
* Vận dụng linh hoạt các định lí, tính chất trên, từ một phương trình ẩn ta sẽ đưa hai vế về dạng . 
2.3.2. Các bài toán điển hình sử dụng phương pháp.
Dạng 1: Hệ có dạng 
Phương pháp giải chung:
+) Tìm điều kiện của hệ (Ngoài điều kiện để các biểu thức trong hệ phương trình có nghĩa, trong nhiều trường hợp, ta cần căn cứ vào nội tại của các biểu thức trong hệ, ta đánh giá để thu hẹp hơn miền chứa nghiệm của hệ). 
+) Với điều kiện trên, ta suy ra cùng nhận giá trị trên miền D.
+) Chứng minh f(t) đơn điệu trên D (Cần lưu ý rằng, rất ít khi bài toán cho trước hàm số f(t) (Gọi là hàm đặc trưng của hệ phương trình). Do đó phải đi tìm f(t). Thông thường, ta tìm f(t) bằng cách phân li biến số).
+) Ta suy ra . Do đó, ta có hệ mới (Đơn giản hơn): 
Bài 1: Gọi là nghiệm của hệ phương trình: . Giá trị của biểu thức là: 
. B. . C. . D. .
Phân tích: Ta nhận thấy khó có thể bắt đầu với phương trình (2), để ý đến phương trình (1), là biểu thức bậc hai của và có thể coi là biểu thức bậc hai của . Nếu đặt thì 
.
Biểu thức có hình thức giống với , do vậy ta sẽ biến đổi về dạng . Để đưa về dạng này ta thường “cô lập” biến, do vậy sẽ chuyển sang vế phải của .
Hướng dẫn: Điều kiện . 
Khi đó (3).
Xét hàm số với . 
Ta có nên đồng biến trên , (3). Thay vào (2) ta được: (4).
Phương trình (4) trông khá “phức tạp” nên ta định hướng sử dụng phương pháp hàm số để giải quyết.
Nhận thấy và không là nghiệm của phương trình (4).
Xét hàm số với , ta có:
Do đó nghịch biến trên . Mà nên phương trình (4) có nghiệm duy nhất suy ra . Vậy hệ đã cho có nghiệm . Đáp án B
Bài 2. Giả sử là các nghiệm của hệ phương trình : 
Khi đó giá trị của biểu thức là:
A. . B. . C. . D. .
Hướng dẫn: Điều kiện: 
Nhân hai vế của phương trình (2) với 2 ta được hệ tương đương
Trừ vế với vế của (1) cho (3) ta được phương trình hệ quả:
 (4).
Xét hàm số . Vậy là hàm đồng biến. 
Phương trình (4) có dạng , thay vào (2) ta được .
.
Dễ thấy với, do đó phương trình (6) vô nghiệm.
Kết luận: Hệ đã cho có nghiệm là . Đáp án D
Lời bình: Trong bài giải trên ta nhẩm được hai nghiệm của phương trình (5) là và , vì vậy cũng có thể phân tích phương trình trên thành các nhóm có chứa . Nếu chỉ nhẩm được một nghiệm thì sau khi nhân liên hợp được nghiệm đó và một phương trình nữa vẫn có nghiệm, phương trình ấy tuy phức tạp nhưng vẫn có thể dùng cách nhóm và nhân lượng liên hợp sau khi nhẩm ra nghiệm thứ hai, hoặc dùng phương pháp hàm số.
Bài 3. Gọi là các nghiệm của hệ phương trình: 
Giá trị của biểu thức là:
A. . B. . C. . D. .
Phân tích: Hai vế của phương trình đầu đều có dạng bậc 3 (với hai biến x, y), nên ta định hướng đưa phương trình đầu về dạng , tuy nhiên hàm đặc trưng lúc đó không đơn điệu trên do đó ta phải chặn biến. Nhìn vào phương trình thứ 2 ta thấy đưa được về suy ra .
Hướng dẫn: Hệ tương đương với: .
Từ (2), suy ra 
Xét hàm số trên , ta có suy ra nghịch biến. Do đó .
Hệ có nghiệm là ; . Đáp án C
Bài 4. Giải hệ phương trình: 
A. . B. . C.. D..
Hướng dẫn:
. Xét hàm số 
Ta có: . 
Suy ra hàm số nghịch biến trên .
Phương trình trở thành: , thế vào ta có: 
.
Vậy hệ có hai nghiệm: và . Đáp án A
Nhận xét: Thoạt nhìn hệ phương trình, ta thấy điều kiện của hệ là . Tuy nhiên, nếu chỉ như thế thì hàm đặc trưng không phải là hàm đơn điệu. Do đó để áp dụng phương pháp này, ta phải “thu gọn” miền chứa nghiệm, để trong miền đó, hàm đặc trưng của phương trình thu được là hàm số đơn điệu.
Bài 5. Gọi là nghiệm của hệ phương trình: Giá trị của biểu thức là:
A. . B. . C. . D. .
Phân tích: Nếu xét từng phương trình một của hệ, ta thấy không có gì đặc biệt, khó có thể khai thác từ các phương trình này. Tuy nhiên khi cộng từng vế với vế của các phương trình trên thì ta thấy xuất hiện hàm đặc trưng.
Hướng dẫn: Với hoặc thì hệ không được thỏa mãn.
Với , Hệ phương trình
Cộng theo vế lại ta được: 	(3).
Xét hàm số có . 
Phương trình (3) có dạng .
Vậy hệ đã cho có nghiệm . Đáp án B
Bài 6. Gọi là nghiệm của hệ phương trình: . Giá trị của biểu thức là:
A. . B. . C. . D. .
Phân tích: Ta thấy phương trình (1) là phương trình chứa căn thức với hai ẩn khác nhau, khá phức tạp, ta khó có thể khai thác từ phương trình này. Đối với phương trình (2) ta có thể biến đổi và đưa về phương trình tích, cho các thừa số bằng không, kết hợp với phương trình (1).
Hướng dẫn: Điều kiện : .
Với suy ra vô nghiệm vì .
Với thay vào (1) ta có :
.
Xét hàm số , ta có nên hàm số đồng biến trên . 
Do đó .
Vậy hệ đã cho có nghiệm . Đáp án D
Bài 7. Giả sử là các nghiệm của hệ phương trình :
Giá trị của biểu thức là:
A. . B. . C. . D. .
Phân tích: Phương trình (2) của hệ là phương trình chứa căn khá phức tạp nên việc biến đổi phương trình này về hàm đặc trưng rất khó thực hiện. Đối với phương trình (1) nếu ta dùng cách nhóm và đưa về phương trình tích cũng khá phức tạp. Ta thấy khi không thỏa mãn phương trình (1), nên khi chia hai vế của phương trình (1) với ta có được hàm đặc trưng.
Hướng dẫn: Điều kiện . Do không thỏa mãn nên chia hai vế của phương trình (1) cho ta được: .
Xét hàm số .
Ta có: nên hàm số đồng biến trên . 
Do đó .
Thế vào (2) ta được:.	
Ta có nên nhân hai vế của phương trình trên với ta được: .
Vậy hệ phương trình có nghiệm: . Đáp án A
Một số bài tập vận dụng: Giải hệ phương trình sau:
1) 	2) 
3) 	4) 
Dạng 2: Hệ có dạng 
Phương pháp giải chung:
Đây là hệ đối xứng loại 2. Ta có thể giải được bằng cách trừ từng vế hai phương trình của hệ, ta có:
Tuy nhiên bài toán phát sinh là phương trình . Độ khó của hệ phụ thuộc vào độ khó của phương trình này. Tuy nhiên nếu là hàm số đơn điệu thì ta có một cách giải khác:
Ta xét trường hợp hàm đồng biến. Trường hợp còn lại làm tương tự.
Giả sử .
Vậy, ta có: . Thế vào một trong hai phương trình ta được: . Đây là phương trình một ẩn.
Bài 1: Giả sử là các nghiệm của hệ phương trình :
Giá trị của biểu thức là:
A. . B. . C. . D. .
Phân tích: Đây là hệ phương trình đối xứng loại 2, để ý rằng khi rút và thì nó trở thành các hàm đặc trưng cùng dạng.
Hướng dẫn: Điều kiện: 
+) Nếu . Do đó: là một nghiệm của hệ.
+) Nếu . Xét hàm số .
Ta có . Vậy đồng biến trên .
Hệ trở thành: 
Giả sử .
Vậy, ta có: . Thế vào một trong hai phương trình ta được: 
Vậy, hệ đã cho có 3 nghiệm: ; ; . Đáp án B
Nhận xét: Với hệ , trong đó là các hàm số cùng đồng biến, hoặc cùng nghịch biến trên , ta cũng có cách giải tương tự. 
Bài 2. Gọi là nghiệm của hệ phương trình: 
Giá trị của biểu thức là:
A. . B. . C. . D. .
Phân tích: Nếu dùng phương trình (1) và (2) để phân tích, biến đổi để đưa về hàm đặc trưng thi sẽ rất khó khăn. Vì vậy ta trừ từng vế với vế ta sẽ được hàm đặc trưng.
Hướng dẫn: ĐK . Ta thấy đây là một hệ đối xứng loại 2, nên trừ vế cho vế và biến đổi ta được: (3).
Xét hàm số trên , dễ thấy f’(t)>0 trên nên f(t) đồng biến trên và do đó (3) tương đương với . Thế vào (1) ta được . Giải bằng MTCT ta được . 
Do đó ta biến đổi như sau: 
Phương trình (4) có VP>3, VT<2 nên (4) vô nghiệm. 
Vậy hệ có nghiệm . Đáp án B
Bài 3: Gọi là nghiệm của hệ phương trình: 
Giá trị của biểu thức là:
A. . B. . C. . D. .
Phân tích: Ta thấy rằng vế phải của hai phương trình bằng nhau nên ta suy ra vế trái của hai phương trình cũng bằng nhau. Từ đó ta có hàm đặc trưng.
Hướng dẫn:
ĐK: 
.
Từ (1) suy ra .
Đặt ĐK: 
.
+ nên hàm số nghịch biến với .
+ (1) có dạng suy ra (1) có nghiệm thì là nghiệm duy nhất.
+ (2) suy ra là nghiệm duy nhất.
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất . Đáp án A
Bài 4. Gọi là nghiệm của hệ phương trình : 
Giá trị của biểu thức là:
A. . B. . C. . D. .
Phân tích: Nếu dùng phép biến đổi tương đương để biến đổi thì khó có thể đưa về hàm đơn điệu. Nhưng khi chuyển 1 từ vế phải sang vế trái ta có được hàm đặc trưng.
Hướng dẫn:
Từ (1) và (2) ta có: 
Xét hàm số.
Nhận xét: . 
Do đó hàm số đồng biến trên .
 trở thành:. Thế vào ta có: .
Theo nhận xét trên ta có: . Do đó 
.
Lại xét hàm số .
. 
Suy ra hàm số nghịch biến trên .
 trở thành: .
Vậy hệ có nghiệm duy nhất . Đáp án D
Dạng 3: Hệ có dạng hoán vị vòng quanh
Phương pháp giải chung:
Xét hệ phương trình ba ẩn dạng: ở đây là hàm một ẩn.
Thông thường để giải hệ này ta dựa vào một số tính chất của hàm như hàm đồng biến, nghịch biến ... để chứng minh rồi giải phương trình . Từ đó tìm ra nghiệm của hệ phương trình đã cho.
Bài 1: 
Gọi là nghiệm của hệ phương trình: 
Giá trị của biểu thức là:
A. . B. . C. . D. .
Phân tích: Đây là hệ phương trình ba ẩn dạng hoán vị vòng quyanh, các ẩn có vai trò như nhau nên ta sử dụng hàm đặc trưng để giải hệ phương trình.
Hướng dẫn: Xét hàm đặc trưng .
 suy ra f(t) là hàm đồng biến.
Do có vai trò như nhau nên giả sử , .
Thế vào (1) ta được .
Vậy hệ phương trình có nghiệm là (1;1;1) và (-1;-1;-1). Đáp án D
Bài 2: Gọi là nghiệm của hệ phương trình: 
Giá trị của biểu thức là: 
A. . B. . C. . D. .
Phân tích: Ta thấy rằng các phương trình của hệ đều là hàm đặc trưng cùng dạng. Nên ta sử dụng tính đơn điệu của hàm số để giải hệ phương trình trên.
Hướng dẫn: Xét hàm số . Dễ dàng chứng minh đây là hàm số đồng biến.
Hệ đã cho được viết dưới dạng: .
Ta xét hai trường hợp sau:
TH1: , vì f đồng biến nên hay nên hay nên . Suy ra .
Từ (1) suy ra .
TH2: . Chứng minh tương tự ta được . Vô lý.
Vậy nghiệm của hệ đã cho là . Đáp án B
 Dạng 4: Ứng dụng tính đơn điệu để biện luận số nghiệm của hệ phương trình.
Phương pháp giải chung:
Bài toán về biện luận số nghiệm, có nghiệm trên một tập hợp cho trước là bài toán rất thường gặp trong quá trình học tập và trong các kỳ thi. Ngoài việc yêu cầu học sinh nắm vững các kiến thức cơ bản, bài toán còn đòi hỏi óc tư duy, sáng tạo. Đối với dạng toán này cũng có nhiều phương án giải quyết, trong đó phương án sử dụng tính đơn điệu của hàm số sẽ cho ta lời giải ngắn gọn, độc đáo và được đánh giá rất cao.
Bài 1. Tìm để hệ bất phương trình có nghiệm
A. . B. . C. . D. .
Hướng dẫn: 
Ta có không phải là nghiệm của bất phương trình .
Ta có: hoặc .
Xét hàm số: .
Bảng biến thiên:
Hệ bất phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi bất phương trình có nghiệm thuộc có nghiệm hoặc có nghiệm.
+) có nghiệm 
+) có nghiệm 
Vậy hệ bất phương trình đã cho có nghiệm với . Đáp án D.
Bài 2. Cho hệ phương trình 
Hỏi có bao nhiêu giá trị nguyên của m để hệ phương trình trên có nghiệm?
A. . B.. C.. D..
Phân tích: Để khai thác phương trình (2) là khá khó, vì vậy ta biển đổi phương trình (1) và đưa về hàm đặc trưng.
Hướng dẫn: Điều kiện: .
Phương trình . Vì .
Xét hàm số .
nghịch biến trên . Phương trình có dạng :.
Thay vào phương trình ta được: .
Đặt , phương trình trở thành .
Xét hàm số . Bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên, hệ đã cho có nghiệm . Đáp án D
Bài 3: Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số ( biết ) để hệ phương trình sau có nghiệm thực: 
A.. B.. C.. D..
Phân tích: Ta thấy các biểu thức của hai phương trình của hệ là giống nhau nên ta có thể đặt ẩn phụ để đưa về hệ đơn giản hơn. Sau đó cô lập biến và sử dụng tính đơn điệu của hàm số. 
Hướng dẫn: Hệ phương trình 
Đặt . Hệ trở thành 
 ; 
Xét hàm số với ;
+
 0
Từ bảng biến thiên suy ra hệ đã cho có nghiệm khi và chỉ khi .
Lại có: nên . Đáp án C
Bài 4: Cho hệ phương trình . Hỏi có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số để hệ phương trình có nghiệm?
A. . B. . C. . D. .
Hướng dẫn:
Điều kiện: .
Ta có. Do không thỏa mãn phương trình nên .
Thay vào phương trình ta được :.
Hệ phương trình có nghiệm khi và chỉ khi phương trình có nghiệm .
Xét hàm số với , ta có :
 với và .
Ta có bảng biến thiên :
Từ bảng biến thiên ta có phương trình có nghiệm khi .
Do là số nguyên và nên . Vậy có giá trị nguyên của tham số thỏa mãn. Đáp án A
Một số bài tập vận dụng: 
1) Cho hệ phương trình 
Số giá trị nguyên của m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất là:
A. . B. . C. . D. .
2) Cho hệ phương trình 
Số giá trị nguyên của tham số để hệ phương trình có nghiệm là:
A. . B. . C. . D. .
Dạng 5: Sử dụng phương pháp thế, cộng đại số sau đó kết hợp với phương pháp hàm số.
Bài 1. Giải hệ 
Giá trị của biểu thức là: 
A. . B. . C. . D. .
Phân tích: Nhìn vào hệ phương trình ta thấy khó có thể bắt đầu ở phương trình thứ nhất. Để ý đến phương trình thứ hai, ta thấy có những cặp hệ số giống nhau: hệ số 2 (trong ), hệ số 3 (trong ), hệ số 1(trong ) do đó ta sẽ nghĩ đến ghép từng cặp biểu thức có hệ số giống nhau lại để làm xuất hiện nhân tử chung. 
Hướng dẫn: Điều kiện: 
Ta có (2)
 (vì , với mọi ).
Thay vào (1) ta được: (3).
Xét hàm số .
Ta có .
 Và .
Do đó hàm số đồng biến trên khoảng (-1; 2), nên phương trình có nhiều nhất 1 nghiệm. Mặt khác, từ đó ta có bảng biến thiên: 
Vì , nên từ bảng biến thiên suy ra phương trình có nhiều nhất 2 nghiệm, hơn nữa , do đó phương trình (3) có 2 nghiệm . Tóm lại hệ đã cho có 2 nghiệm (0; 0) và (1;1). Đáp án B
Bài 2. 
Gọi là nghiệm của hệ phương trình: 
Giá trị của biểu thức là: 
A. . B. . C. . D. .
Phân tích: Phương trình thứ hai là phương trình khá phức tạp nên ta không khai thác phương trình này. Từ phương trình thứ nhất của hệ ta nhóm và rút y ra thế vào phương trình thứ hai sau đó biến đổi về hàm đặc trưng.
Hướng dẫn: ĐKXĐ: . 
 (1). Thế vào phương trình thứ hai trong hệ, ta có : (*).
Xét hàm số với . 
Ta có: đồng biến trên . 
Mặt khác, phương trình (*) có dạng . 
Vậy hệ đã cho có nghiệm là . Đáp án A
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường.
Thông qua việc đưa ra phương pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm số để giải hệ phương trình thường gặp và các hệ phương trình ở mức độ khó, những bài toán cụ thể tôi thấy học sinh có hứng thú học tập hơn, tính nhanh và độ chính xác cao hơn. Từ đó kết quả kiểm tra tốt hơn rõ rệt.
Qua kiểm tra thử nghiệm với hai lần kiểm tra học sinh của các lớp 12D6 và 12D7 mặc dù đề kiểm tra lần 2 ra mức độ khó hơn nhưng thời gian làm bài ngắn hơn và kết quả tốt hơn rõ rệt. Các bài tập trong đề kiểm tra được soạn từ sách tham khảo, đề thi thử THPT Quốc Gia của một số trường THPT, đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh. Kết quả bài khảo sát kiến thức về hệ phương trình được thống kê như sau: 
Kết quả kiểm tra lần 1
Lớp
Số HS thực nghiệm
Điểm dưới 5
Điểm 5-6
Điểm 7-8
Điểm 9-10
SL
%
SL
%
SL
%
SL
%
12D6
42
8
19%
17
40,5%
15
35,7%
2
4,8%
12D7
42
9
21,4%
16
38,1%
16
38,1%
1
2,4%
Kết quả kiểm tra lần 2
Lớp
Số HS thực nghiệm
Điểm dưới 5
Điểm 5-6
Điểm 7-8
Điểm 9-10
SL
%
SL
%
SL
%
SL
%
12D6
42
0
0
6
14,3%
24
57,1%
12
28,6%
12D7
42
0
0
7
16,7%
25
59,5%
10
23,8%
Kết quả thi học sinh giỏi cấp Tỉnh về môn Toán của nhà trường các năm học 2015 – 2016, 2016-2017, 2017-2018, 201