SKKN Sử dụng hằng đẳng thức để giải một số dạng phương trình vô tỷ

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ 
TRƯỜNG THPT MAI ANH TUẤN
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
SỬ DỤNG HẰNG ĐẲNG THỨC
ĐỂ GIẢI MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ
Người thực hiện: Lê Đình Chung
Chức vụ: Giáo viên
SKKN thuộc lĩnh mực (môn): Toán
THANH HOÁ NĂM 2018
THANH HOÁ NĂM 2017
 MỤC LỤC
 Trang
 1. Mở đầu 1 - 2
 2. Nội dung của đề tài 2
 2.1 Bài toán 1: Cực trị giữa điểm và đường thẳng trong hình học 2 - 6
 giải tích phẳng 
 2.2 Bài toán 2: Cực trị giữa điểm và đường thẳng trong hình học 7 - 10 
 giải tích không gian 
 2.3 Bài toán 3: Cực trị giữa điểm và đường thẳng trong hình học 10 - 12 
 giải tích không gian 
 2.4 Bài toán 4: Cực trị giữa điểm và mặt phẳng trong hình học 12 - 14 
 giải tích không gian 
2.5 Bài toán 5: Ứng dụng bài toán về cực trị trong hình học 14 - 15
giải tích để tìm GTLN, GTNN của biểu thức
Bài tập áp dụng 15 - 16
2.6 Kiểm nghiệm đề tài 16
3. Kết luận và kiến nghị 16 - 17
Tài liệu tham khảo 18
Danh mục các đề tài SKKN được Sở GD & ĐT Thanh Hóa xếp loại 19
 MỤC LỤC
 Trang
 Mục lục 1 
I. Đặt vấn đề 2
II. Nội dung của đề tài
1. Dạng 1: 3
2. Dạng 2: () 4
3. Dạng 3: 5
4. Dạng 4: 6
Bài tập áp dụng 7
III. Kết luận và kiến nghị 8
Tài liệu tham khảo 9
Danh mục các đề tài SKKN được Sở GD & ĐT Thanh Hóa xếp loại 10
SỬ DỤNG HẰNG ĐẲNG THỨC ĐỂ GIẢI MỘT SỐ DẠNG
PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ
I. ĐẶT VẤN ĐỀ
1. Lí do chọn đề tài
Trong xu thế chung nhưng năm gần đây, việc đổi mới phương pháp dạy học
là vấn đề cấp bách, thiết thực nhất nhằm đào tạo những con người có năng lực hoạt động trí tuệ tốt. Đổi mới phương pháp dạy học không chỉ trong các bài giảng lý thuyết, mà ngay cả trong các giờ luyện tập. Nhằm giúp học sinh vận dụng kiến thức đã học vào giải bài tập một cách năng động sáng tạo.
 Có thể nói, bài toán về phương trình vô tỷ là bài toán cơ bản và thường gặp 
trong chương trình lớp 10. Trong quá trình bồi dưỡng cho học sinh, đặc biệt là bồi 
dưỡng học sinh giỏi. Những bài toán như vậy gây không ít khó khăn đối với học sinh. Nhưng bằng kiến thức cơ bản mà các em đã được học ở cấp hai, sử dụng khéo léo 7 hằng đẳng thức đáng nhớ, thì việc giải các dạng phương trình vô tỷ sau sẽ đơn giản đi rất nhiều.
Ở bài viết này chủ yếu đề cập đến các bài toán về phương trình vô tỉ, có dạng tổng quát:
 Với và .
Trong khoảng thời gian có hạn nên tôi chỉ mới ứng dụng trong phạm vi 
Cụ thể có các dạng như sau:
 1. 
 2. ()
 3. 
 4. 
2. Mục đích nghiên cứu
Trong quá trình dạy cho học sinh lớp 10 giải phương trình vô tỷ trong đó có một bài toán giải phương trình . Đây là một dạng toán rất quên thuộc, nếu dùng theo cách giải truyền thống thì bài toán trên rất phức tạp và học sinh đọc cũng rất khó hiểu. Nhưng nếu sử dụng khéo léo 7 hằng đẳng đáng nhớ thì bài toán trên sẽ đơn giản hơn và cách giải tự nhiên hơn.
3. Đối tượng nghiên cứu
Qua nhiều năm thực tế giảng dạy trong trường THPT tôi thấy học sinh rất 
lúng túng trong việc giải các bài tập về phưng trình vô tỷ, mà cụ thể là ba dạng toán ở trên. Đa số các em đều áp dụng cách giải bài toán một cách máy móc, không phát huy được tính tích cực, sáng tạo trong giải toán.
4. Phương pháp nghiên cứu
Trong đề tài này tôi muốn trình bày với một ý tưởng giúp học sinh khai thác những kiến thức cơ bản từ các hằng đẳng thức đáng nhớ. Nhằm giúp các em thấy 
được sự liên kết, thống nhất trong quá trình học toán. 
Giải pháp và tổ chức thực hiện là:
- Giáo viên dạy, học sinh học và làm bài tập.
- Kiểm tra đánh giá mức độ nhận thức của học sinh trước và sau khi học đề tài.
- Tổng kết các mặt đã làm được và chưa làm được trong đề tài để có hướng vận dụng đề tài cho các khóa học sinh tiếp theo.
II. NỘI DUNG CỦA ĐỀ TÀI
1.Dạng 1: (I)
Nhân cả hai vế của phương trình (I) với sao cho là số chính phương
 sau đó sử dụng hằng đẳng thức đưa về dạng
Bài toán 1: Giải phương trình 
 (1) 
Lời giải: Nhân cả hai vế của pt (1) với 4 hoặc 16, nhân 2; 4; 6; 8
không phù hợp
pt(1) (1’)
Bây giờ ta thêm bới vế phải VP = về hằng đẳng thức
VP có hai tình huống là hoặc 
- Nếu lấy thì pt(1’) không phù hợp 
- Nếu lấy thì pt(1’) 
 phù hợp
Đến đây việc giải các phương trình này là cơ bản (vì bình phương 2 vế đưa về phương trình bậc hai một ẩn)
KL: phương trình có tập nghiệm S = 
Bài toán 2: Giải phương trình 
 (2) (số 384 – THTT)
Lời giải: pt(2) 
Nhân cả hai vế của pt (2) với 4 ta có
 (2’)
VP có hai tình huống là hoặc 
- Nếu lấy thì pt(2’) không phù hợp 
- Nếu lấy thì pt(1’) 
 phù hợp
KL: phương trình có tập nghiệm S = 
2.Dạng 2: () (II)
Khử mẫu số ta có (trở về phương trình dạng 1)
Bài toán 3: Giải phương trình 
 (3) ( Olympic 30/4/2003)
Lời giải: pt(3) (khử mẫu số 2)
KL: phương trình có tập nghiệm S = 
Bài toán 4: Giải phương trình 
 với . (4) (Đề thi ĐHAN khối D năm 2000)
Lời giải: pt(4) (khử mẫu số 7)
KL: pt có nghiệm duy nhất .
3.Dạng 3: (III)
Nhân cả hai vế của phương trình (III) với sao cho là số chính phương
 sau đó sử dụng hằng đẳng thức đưa về 
dạng
Bài toán 5: Giải phương trình
 (5)
Lời giải: pt(5) 
KL: phương trình có tập nghiệm S = 
Bài toán 6: Giải phương trình
Lời giải: pt(6) 
KL: pt có nghiệm duy nhất .
4.Dạng 4: (IV)
Dùng hằng đẳng thức biến đổi phương trình (IV) về dạng
Đặt ta có
 (trở về phương trình dạng 1)
Bài toán 7: Giải phương trình
 (7) (số 362 - THTT) 
Lời giải: pt(7) 
Đặt ta có
- Phương trình vô nghiệm vì 
- Phương trình có nghiệm 
Suy ra 
Phương trình (7) có nghiệm . 
Bài toán 8: Giải phương trình
 (8)
Lời giải: pt(8) 
Đặt ta có
- Phương trình vô nghiệm vì 
- Phương trình có nghiệm hoặc (loại)
Suy ra 
Phương trình (8) có nghiệm . 
* Chúng ta thấy những dạng toán ở trên là những dạng toán khó, nhưng bằng cách giải sử dụng khéo léo 7 hằng đẳng thức đáng nhớ, thì những bài toán này biến đổi về dạng rất cơ bản. Phù hợp với học sinh học lớp 10 khi học về phần giải phương trình vô tỷ. Cách giải rất tự nhiên kết hợp hài hòa giữa kiến thức cấp hai và kiến thức giải phương trình vô tỷ ở lớp 10. Còn các dạng toán này nếu mà giải theo cách cũ như một số tài liệu đã trình bày thì rất phức tạp, mất đi vẽ đẹp theo sự tư duy tự nhiên thông thường đưa về cơ bản.
BÀI TẬP ÁP DỤNG
Giải các phương trình sau:
1. 	 
2. (Học sinh giỏi Toàn Quốc 2002) 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 
9. 
10. 
III. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
 - Kết quả việc đánh giá cho thấy học sinh tiếp thu đề tài một cách tích cực, biết vận dụng thành thạo vào giải các bài tập tương tự.
 - Cách giải mà tôi đã trình bày trong đề tài hoàn toàn rất tự nhiên, trong sáng.
Do đó đã gây được sự hứng thú trong học tập cho học sinh, nâng cao khả năng tư duy lôgic và khả năng sáng tạo của học sinh.
 - Đề tài có tác dụng tốt trong việc bồi dưỡng học sinh giỏi.
 	Trong khi trình bày đề tài chắc chắn còn những hạn chế, thiếu sót. Mong được sự góp ý từ đồng nghiệp.
 Tôi xin chân thành cảm ơn!
XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ
Thanh Hóa, ngày 25 tháng 05 năm 2018
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết, không sao chép nội dung của người khác.
Lê Đình Chung
TÀI LIỆU THAM KHẢO
*********
1. Báo Toán học và tuổi trẻ .
2. Sách giáo khoa và sách bài tập đại số lớp 10 - Nhà xuất giáo dục
 Việt Nam, năm 2006
3. Tham khảo một số tài liệu trên mạng internet - Đề thi học sinh giỏi của một
 số trường.
DANH MỤC
CÁC ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG ĐÁNH GIÁ XẾP LOẠI CẤP PHÒNG GD&ĐT, CẤP SỞ GD&ĐT VÀ CÁC CẤP CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN
Họ và tên : Lê Đình Chung
Chức vụ : Giáo Viên
Đơn vị công tác : Trường THPT Mai Anh Tuấn
TT
Tên đề tài SKKN
Cấp đánh giá xếp loại (Phòng, Sở, Tỉnh...)
Kết quả đánh giá xếp loại (A, B, hoặc C)
Năm học đánh giá xếp loại
Đưa phương trình vô tỉ về
hệ phương trình gần đối 
xứng.
Sở GD & ĐT
Thanh Hóa
C
2010 - 2011
Ứng dụng của phép quay và
phép đối xứng để giải một
số bài toán hình học giải tích
phẳng.
Sở GD & ĐT
Thanh Hóa
C
2014 - 2015
...
----------------------------------------------------