SKKN Sử dụng bất đẳng thức cauchy vào giải quyết một số bài toán thực tế trong chương trình phổ thông

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA
TRƯỜNG THPT HÀM RỒNG
-----˜˜&™™----
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY VÀO GIẢI QUYẾT MỘT SỐ BÀI TOÁN THỰC TẾ TRONG CHƯƠNG TRÌNH PHỔ THÔNG
Người thực hiện: Hồ Thị Bình
Chức vụ: Giáo viên
 SKKN (thuộc lĩnh vực môn): Toán
THANH HÓA NĂM 2019
MỤC LỤC
1. MỞ ĐẦU
1.1. Lí do chọn đề tài
Việc đổi mới phương pháp, hình thức dạy học và kiểm tra, đánh giá theo định hướng phát triển năng lực học sinh đã được triển khai từ hơn 30 năm qua. Hầu hết giáo viên hiện nay đã được trang bị lí luận về các phương pháp và kĩ thuật dạy học tích cực trong quá trình đào tạo tại các trường sư phạm cũng như quá trình bồi dưỡng, tập huấn hằng năm. Tuy nhiên, việc thực hiện các phương pháp dạy học tích cực trong thực tiễn còn chưa thường xuyên và chưa hiệu quả. 
Bất đẳng thức và tìm GTLN, GTNN của hàm số là một dạng Toán khó đối với hầu hết học sinh phổ thông, kể cả học sinh khá giỏi. Trong đề thi THPT quốc gia và đề thi Học sinh giỏi các tỉnh thành, bài toán bất đẳng thức và tìm GTLN, GTNN của hàm số luôn là một bài tập ở đòi hỏi mức độ vận dụng cao. Mặc dù đa phần các bài tập đều quy về một biến và dùng kỹ thuật khảo sát hàm số để giải quyết, song với thời gian giải quyết đề thi trắc nghiệm như hiện nay, việc sử dụng bất đẳng thức Cauchy giúp học sinh tiết kiệm được rất nhiều thời gian. Chính vì vậy, tôi chọn đề tài “ Sử dụng bất đẳng thức Cauchy vào giải quyết một số bài toán thực tế trong chương trình phổ thông” làm đề tài nghiên cứu của mình. 
1.2. Mục đích nghiên cứu
Sử dụng Bất đẳng thức Cauchy vào bài toán thực tế, nhằm giúp học sinh bớt khó khăn khi giải các bài toán bất đẳng thức và tìm GTLN, GTNN của hàm số trong quá trình học và thi.
1.3. Đối tượng nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu trong đề tài là học sinh khối 10 và 12 qua các năm giảng dạy từ trước đến nay.
1.4. Phương pháp nghiên cứu
 Phương pháp nghiên cứu là xây dựng cơ sở lý thuyết, thống kê đưa ra các bài toán tổng quát.
2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm
	Trong quá trình giảng dạy và học tập, khi đứng trước một bài toán bất đẳng thức, chúng ta thương đặt ra các câu hỏi:
Vai trò các biến trong bất đẳng thức thế nào (Bình đẳng hay không bình đẳng)
Có những đại lượng nào có tổng hay tích là hằng số hay không
Dấu bằng trong bất đẳng thức xảy ra khi nào
Biểu thức nào lớn, biểu thức nào bé trong bất đẳng thức
Những công thức, hằng đẳng thức nào liên quan đến các biểu thức trong bài toán 
Việc trả lời các câu hỏi này giúp chúng ta định hướng cách giải, đánh giá các biểu thức, sử dụng công thức, bất đẳng thức quen thuộc, thay đổi hình thức của bất đẳng thứcđể giải quyết bài toán.Trong bài viết này, tôi xin nêu ra một số phương pháp thường được sử dụng trong việc áp dụng bất đẳng thức Cauchy ở chương trình phổ thông.
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm
	 Với sự thay đổi của kì thi THPT Quốc Gia kể từ năm 2017, các bài toán thực tế có thể sẽ được đưa vào các đề thi. Như đề thi minh họa lần 1 và lần 2 của Bộ Giáo Dục và Đào tạo đều có các bài toán thực tế nói chung. Trước khi thực hiện đề tài này nhiều học sinh có tâm lý sợ các bài tập về các bài toán liên hệ thực tế. Đây là một dạng toán mới và khó nên đa số học sinh khi gặp dạng toán này còn lúng túng và không giải được. Học sinh thường làm theo phương pháp hàm cơ bản sẽ mất nhiều thời gian hơn so với sử dụng bất đẳng thức Cauchy.
2.3. Các sáng kiến kinh nghiệm hoặc các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề.
 Kiến thức cơ bản.
	Bất đẳng thức Cauchy.
Trường hợp 2 số: Cho a, b là hai số thực dương ta có 
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 
Trường hợp 3 số: Cho là ba số thực dương ta có 
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi.
Mở rộng. Với các số thực dương ta có
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi.
Chú ý. Trong tài liệu này, ta gọi giá trị của các biến làm cho dấu bằng trong bất đẳng thức xảy ra là điểm rơi của bài toán.
 Các phương pháp sử dụng bất đẳng thức Cauchy.
2.3.2.1	Phương pháp tách ghép các cặp nghịch đảo
Với phương pháp này, học sinh cần chú ý một số hệ quả trực tiếp từ bất đẳng thức Cauchy như sau.
Nếu hai số dương có tích không đổi thì tổng hai số đó đạt giá trị nhỏ nhất khi hai số bằng nhau
Với ta có
Ví dụ 1.Cho . Chứng minh rằng
Lời giải. Rõ ràng hai số hạng trong vế trái là nghịch đảo của nhau. Do đó ta có thể áp dụng trực tiếp bất đẳng thức Cauchy như sau
Đẳng thức xảy ra khi 
Ví dụ 2. Cho a>1. Tìm GTNN của 
P=a+1a-1
Lời giải.Ở đây, do a và 1a-1 không phải là hai số có tích không đổi nên chưa thể áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số này. Do đó ta biến đổi P như sau
P=a-1+1a-1+1
 ≥2a-1.1a-1+1=3
Vậy minP=3, đạt được khi a=2. 
Ví dụ 3. Chứng minh rằng với ∀a∈R ta có
a2+2a2+1≥2.
Lời giải. Tương tự ví dụ trên ta biến đổi vế trái như sau
a2+1+1a2+1=a2+1+1a2+1
Và từ đó áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có
a2+1+1a2+1≥2a2+1.1a2+1=2
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=0.
Ví dụ 4. Cho a>0. Tìm GTNN của biểu thức
P=a+2a2
Lời giải.Với ý tưởng tương tự các ví dụ trước, ta cũng tìm cách tách P ra thành tổng của các số hạng có tích không đổi và sau đó áp dụng bất đẳng thức Cauchy. Ta có
P=a2+a2+2a2≥3. 3a2.a2.2a2=332 
Do đó
minP=332, đạt được khi a=34
Phương pháp tách ghép, thêm bớt các số hạng
Ý tưởng chính của phương pháp này là dự đoán được điểm rơi của bài toán, từ đó tách ghép, thêm bớt các số hạng cho phù hợp rồi sau đó sử dụng bất đẳng thức Cauchy để đánh giá.
Ví dụ 1. Cho a2+b2+c2=3. Tìm GTNN của biểu thức P=a3+b3+c3
	Trước tiên ta dự đoán GTNN của P đạt được khi a=b=c=1. Từ đó sẽ có lời giải như sau
Lời giải. Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 3 số ta có
a3+a3+1≥3a2
b3+b3+1≥3b2
c3+c3+1≥3c2
Cộng 3 bất đăng thức trên ta có P≥3a2+b2+c2-3=3
	Vậy Min P = 3, đạt được khi a=b=c=1.
Ví dụ 2.Cho a, b là các số thực dương thỏa mãn a+b≤1. Tìm GTNN của biểu thức sau.
S=ab+1ab
	Với bài toán này, nhiều học sinh mắc phải sai lầm với đánh giá
ab+1ab≥2ab.1ab=2
và kết luận GTNN của S là 2. Sai lầm là do dấu bằng trong đánh giá trên xảy ra khi ab=1, tuy nhiên điều này không thể xảy ra với giả thiết a+b=1 vì
ab≤a+b24=14
	Để có phép đánh giá đúng ta phải dự đoán được điểm rơi của bài toán là 
a,b=12,12; ab=116ab
Lời giải. Ta có
S=ab+116ab+1516ab
 ≥2ab.116ab+1516.a+b24
=24+154=174
Từ đó 
minS=174, khi a=b=12
Nhận xét.Qua ví dụ trên ta nhận thấy việc dự đoán đúng điểm rơi của bài toán là yếu tố quyết định đến việc tách ghép các số hạng một cách hợp lý.
Ví dụ 3. Cho ,b, c>0, a+b+c≤32. Tìm GTNN của biểu thức
S=a+b+c+1a+1b+1c
	Cũng giống ví dụ trước, nhiều học sinh sẽ mắc sai lầm với đánh giá trực tiếp
S=a+1a+b+1b+c+1c≥2+2+2=6
và kết luận minS=6. Sai lầm vẫn nằm ở việc dự đoán điểm rơi vì dấu bằng trong đánh giá trên xảy ra khi a=b=c=1, không thỏa mãn giả thiết.
	Ta dự đoán S đạt GTNN khi =b=c=12. Khi đó
a=14a, b=14b, c=14c
Lời giải. 
Ta có
S=a+1a+b+1b+c+1c
=a+14a+b+14b+c+14c+341a+1b+1c
Sử dụng bất đẳng thức Cauchy ta có
a+14a≥1, b+14b≥1, c+14c≥1
1a+1b+1c≥33abc≥3a+b+c3=6
Từ đó ta có
minS=152,khi a=b=c=12.
 Sử dụng bất đẳng thức Cauchy vào bài toán thực tế.
Ví dụ 1. Từ một tờ giấy hình tròn bán kính , ta có thể cắt ra một hình chữ nhật có diện tích lớn nhất bằng bao nhiêu?
A. .	B. .	C. .	D. .
Lời giải
Chọn D
Gọi là 2 cạnh của hình chữ nhật nội tiếp đường tròn bán kính R.
Ta có: .
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có:
 Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi .
Ví dụ 2. Trong tất cả các hình chữ nhật có cùng diện tích 48 cm2, hình chữ nhật có chu vi nhỏ nhất bằng:
A.cm.	B. cm.	C. cm.	D. cm.
Lời giải
Chọn A
Cách 1
Gọi cạnh của hình chữ nhật: a, b; 0 <a, b 48
Ta có: . Chu vi: 
; 
Bảng biến thiên:
Cách 2
Áp dụng bất đẳng thức Côsi: 
 chu vi nhỏ nhất: 
Hình chữ nhật có chu vi nhỏ nhất bằng khi cạnh bằng .
Rõ ràng ta thấy việc sử dụng bất đẳng thức Cauchy sẽ tiết kiệm được thời gian của học sinh rất nhiều so với việc sử dụng phương pháp hàm. 
Ví dụ 3. Người ta muốn rào quanh một khu đất với một số vật liệu cho trước là thẳng hàng rào. Ở đó người ta tận dụng một bờ giậu có sẵn để làm một cạnh của hàng rào. Vậy để rào khu đất ấy theo hình chữ nhật sao cho có diện tích lớn nhất thì giá trị lớn nhất đó tính theo bằng.
A. . 	B. .	C. .	D. .
Lời giải
Chọn C
Gọi là chiều dài cạnh song song bờ giậu và là chiều dài cạnh vuông góc với bờ giậu.
Theo đề: 
Diện tích miếng đất: 
Đặt .
Cách 1:
Ta có: và .
Do đó: 
Cách 2:
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy có:
.
Dấu .
Ví dụ 4. Độ giảm huyết áp của một bệnh nhân được cho bởi công thức , trong đó (miligam) là liều lượng thuốc được tiêm cho bệnh nhân. Khi đó, liều lượng thuốc được tiêm cho bệnh nhân để huyết áp giảm nhiều nhất là 
A. miligam.	B. miligam.	C. miligam.	D. miligam.
Lời giải
Chọn A
Ta có .
Dấu “=” xảy ra khi miligam.
Ví dụ 5. Người ta cần làm một cái bồn chứa dạng hình trụ có thể tích lít bằng inox để chứa nước, tính bán kính R của hình trụ đó sao cho diện tích toàn phần của bồn chứa đạt giá trị nhỏ nhất:
A. .	B. .	C. .	D. .
Lời giải
Chọn B
Gọi và lần lượt là chiều cao và bán kính đáy (đơn vị: mét).
Ta có: .
.
Cách 1: Khảo sát hàm số, thu được .
Cách 2: Dùng bất đẳng thức:
.
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi .
Ví dụ 6. Cho một tấm nhôm hình vuông cạnh cm. Người ta muốn cắt một hình thang như hình vẽ.
Tìm tổng để diện tích hình thang đạt giá trị nhỏ nhất.
A. .	B. .	C. .	D. .
Lời giải
Chọn B
Ta có .
Để diện tích hình thang đạt giá trị nhỏ nhất thì đạt giá trị lớn nhất.
Ta có ; $SC$; .
Đặt , (1).
Mặt khác ta lại có (2).
Thay (2) vào (1) ta có .
Ta có lớn nhất khi nhỏ nhất.
Khi thì . Vậy .
Ví dụ 7. Trong mùa cao điểm du lịch, một tổ hợp nhà nghỉ ở Đà Nẵng gồm phòng đồng giá luôn luôn kín phòng khi giá thuê là nghìn đồng/phòng. Qua khảo sát các năm trước bộ phận kinh doanh của nhà nghỉ thấy rằng: cứ tăng giá phòng lên so với lúc kín phòng (giá thuê nghìn đồng/phòng) thì số phòng cho thuê giảm đi Hỏi nhà nghỉ phải niêm yết giá phòng là bao nhiêu để đạt doanh thu cao nhất?
A. nghìn đồng.	B. nghìn đồng.
C. nghìn đồng.	D. nghìn đồng.
Lời giải
Chọn A
Số phòng cho thuê lúc giá phòng tăng là:
Tổng doanh thu tương ứng:
Ta có 
 (nghìn đồng)
Dấu xảy ra khi 
Giá phòng niêm yết là: (nghìn đồng)
Ví dụ 8. Xét các hình chóp có . Giá trị lớn nhất của khối chóp bằng
A. .	B. .	C. .	D. .
Lời giải
Chọn D
Gọi là trung điểm của cạnh . Theo giải thiết .
Gọi là trung điểm của cạnh thì .
Ta có .
Đặt .
Xét tam giác vuông có .
Ta có .
Dấu xảy ra khi 
Vậy giá trị lớn nhất của khối chóp là .
Ví dụ 9. Ông Quang muốn xây một bể nước dạng hình hộp chữ nhật có nắp với dung tích lít. Đáy bể là một hình chữ nhật có chiều dài gấp đôi chiều rộng. Giá thuê nhân công để xây hồ là đồng cho mỗi mét vuông. Hỏi chi phí thấp nhất ông An cần bỏ ra để xây bể nước là bao nhiêu?
A. đồng.	B. đồng. C. đồng.	D. đồng.
Lời giải
Chọn A
Gọi là chiều rộng bể, chiều dài bể là diện tích đáy là .
Do thể tích bể là nên chiều cao bể là .
Diện tích xây dựng là diện tích toàn phần của bể là 
.
Vậy diện tích xây dựng ít nhất là khi .
Chí phí xây dựng ít nhất là đồng.
Ví dụ 10. Chi phí cho xuất bản cuốn tạp chí (bao gồm: lương cán bộ, công nhân viên, giấy in) được cho bởi , được tính theo đơn vị là vạn đồng. Chi phí phát hành cho mỗi cuốn là 4 nghìn đồng. Tỉ số với là tổng chi phí (xuất bản và phát hành) cho cuốn tạp chí, được gọi là chi phí trung bình cho một cuốn tạp chí khi xuất bản cuốn. Khi chi phí trung bình cho mỗi cuốn tạp chí thấp nhất, tính chi phí cho mỗi cuốn tạp chí đó.
A. đồng.	B. đồng.	C. đồng.	D. đồng.
Lời giải
Chọn D
Ta có =(đồng).
Suy ra (đồng).
Lại có (đồng).
Ví dụ 11. Một con cá hồi bơi ngược dòng để vượt một khoảng cách là Vận tốc dòng nước là Nếu vận tốc bơi của cá khi nước đứng yên là thì năng lượng tiêu hao của cá trong giờ được cho bởi công thức trong đó là một hằng số, được tính bằng Tìm vận tốc của cá khi nước đứng yên để năng lượng tiêu hao là ít nhất.
A. .	B. .	C. .	D. .
Lời giải
Chọn D
Với vận tốc tự thân là , vận tốc dòng nước là thì.
Vận tốc di chuyển ngược dòng của con cá hồi là : .
Thời gian để con cá hồi vượt ngược dòng nước là : .
Như thế lượng năng lượng tiêu hao của con cá hồi là: .
Dùng bất đẳng thức Cauchy.
.
.
Dấu bằng đạt được khi .
Vậy nếu vận tốc tự thân của cá hồi là thì năng lượng tiêu hao của nó thấp nhất.
Ví dụ 12. Cho một tấm nhôm hình tam giác đều có cạnh bằng . Người ta cắt ở ba góc của tấm nhôm đó ba tam giác như hình vẽ dưới đây để được hình chữ nhật MNPQ. Tìm độ dài đoạn MB để hình chữ nhật MNPQ có diện tích lớn nhất.
.
A. .	B. .	C. .	D. .
Lời giải
Chọn A
Giả sử nên .
Ta có nên .
Dấu bằng xảy ra khi .
Ví dụ 13. Cho một tấm nhôm hình vuông cạnh . Người ta cắt ở bốn góc của tấm nhôm đó bốn hình vuông bằng nhau, mỗi hình vuông có cạnh bằng , rồi gập tấm nhôm lại như hình vẽ dưới đây để được một cái hộp không nắp. Tìm để hộp nhận được có thể tích lớn nhất.
A. .	B. .	C. .	D. .
Lời giải
Chọn C
Điều kiện: ta có. .
Áp dụng BĐT Côsi cho 3 số không âm .
.
Dấu xảy ra khi . Vậy thì thể tích lớn nhất.
Ví dụ 14. Một công ty sản xuất một loại cốc giấy hình nón có thể tích với chiều cao là và bán kính đáy là để lượng giấy tiêu thụ là ít nhất thì giá trị của là:
A. .	B. .	C. .	D. .
Lời giải
Chọn A
Thể tích của cốc: .
Lượng giấy tiêu thụ ít nhất khi và chỉ khi diện tích xung quanh nhỏ nhất.
.
(theo BĐT Cauchy).
 nhỏ nhất .
Ví dụ 15. Một cái hồ rộng có hình chữ nhật. Tại một góc nhỏ của hồ người ta đóng một cái cọc ở vị trí cách bờ là và cách bờ là , rồi dùng một cây sào ngăn một góc nhỏ của hồ để thả bèo (như hình vẽ). Tính chiều dài ngắn nhất của cây sào để cây sào có thể chạm vào bờ , và cây cọc (bỏ qua đường kính của sào).
A. .	B. .	C. .	D. .
Lời giải
Chọn B
Đặt ;().
Gọi và lần lượt là hình chiếu vuông góc của xuống và . Suy ra ,.
Ta có: ; hay là .
(Hoặc có thể dùng phép tọa độ hóa: Gán ,,. Khi đó .
Phương trình đường thẳng . Vì đi qua nên .)
Ta có: . Vì .
.
Suy ra nhỏ nhất nhỏ nhất .
Vậy giá trị nhỏ nhất của là . Từ đó suy ra chiều dài ngắn nhất của cây sào để cây sào có thể chạm vào bờ , và cây cọc là .
	Ví dụ 16. Cho một tấm nhôm hình chữ nhật có , . Ta gập tấm nhôm theo hai cạnh và vào phía trong cho đến khi và trùng nhau như hình vẽ bên để dược một hình lăng trụ khuyết hai đáy. Khi đó có thể tạo được khối lăng trụ với thể tích lớn nhất bằng
A. 	B. 	C. 	D. 
Lời giải
Chọn A 
Đáy của lăng trụ là tam giác cân có cạnh bên bằng , cạnh đáy bằng 
Đường cao tam giác đó là , với là trung điểm . Diện tích đáy là
.Diện tích đáy lớn nhất là nên thể tích lớn nhất là .
Ví dụ 17. Một công ty sản xuất một loại cốc giấy hình nón có thể tích 27cm3. Vói chiều cao h và bán kính đáy là . Tìm để lượng giấy tiêu thụ ít nhất.
A. 	B. 	C. 	D. 
Lời giải
Chọn A 
Ta có: nên độ dài đường sinh là:
Diện tích xung quanh của hình nòn là: 
Áp dụng BĐT Cauchy ta được giá trị nhỏ nhất là khi .
Ví dụ 18. Từ miếng tôn hình vuông cạnh bằng , người ta cắt ra hình quạt tâm bán kính (xem hình) để cuộn lại thành một chiếc phễu hình nón (khi đó trùng với ). Tính chiều cao của chiếc phễu .
A. 	B. 	C. 	D. 
Lời giải
Chọn B 
Ta có cung có độ dài bằng .
Dựa vào đề bài ta thấy có thể tạo thành hình nón đỉnh O, đường sinh 
Để cuộn lại thành một chiếc phễu hình nón (khi đó trùng với ) thì chu vi đường tròn đáy bằng độ dài cung bằng . Khi đó bán kính đáy là .
Xét tam giác vuông tại có , .
 trong đó Vậy .
Ví dụ 19. Cho một miếng tôn hình tròn có bán kính . Biết hình nón có thể tích lớn nhất khi diện tích toàn phần của hình nón bằng diện tích miếng tôn ở trên. Tính bán kính của hình nón.
A. 	B. 	C. 	D. 
Lời giải
Chọn A 
Đặt . Gọi bán kính đáy và chiều cao của hình nón lần lượt là . Ta có 
Khi đó diện tích toàn phần của hình nón là .
Theo giả thiết ta có 
Khi đó thể tích khối nón là 
 đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi đạt giá trị nhỏ nhất
Ta có 
Vậy đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi , tức là 
Ví dụ 20. Với một miếng tôn hình tròn có bán kính bằng. Người ta muốn làm một cái phễu bằng cách cắt đi một hình quạt của hình tròn này và gấp phần còn lại thành hình nón ( Như hình vẽ). Thể tích lớn nhất của hình nón có khi người ta cắt cung tròn của hình quạt có chiều dài bao nhiêu?
A. 	B. 	C. 	D. 
Lời giải
Chọn A 
Gọi là chiều dài cung tròn của phần được xếp làm hình nón. 
Như vậy, bán kính R của hình tròn sẽ là đường sinh của hình nón và đường tròn đáy của hình nón sẽ có độ dài là Bán kính của đáy được xác định bởi đẳng thức . 
Chiều cao của hình nón là: .
Thể tích của khối nón: .
Áp dụng Bất đẳng thức Cauchy ta có:
Do đó V lớn nhất khi và chỉ khi .
3. KẾT LUẬN
3.1 Kết quả thực nghiệm
3.1.1 Kết quả kiểm tra
 Khi chưa áp dụng sáng kiến kinh nghiệm
Lớp
Tổng
Số bài
8.0 – 10.0
6,5 – 7,9
5.0 – 6.4
3.5 – 4.9
0.0 – 3.4
SL
%
SL
%
SL
%
SL
%
SL
%
12C2
40
2
5
6
15
20
50
12
30
0
0
12C3
43
3
7
7
16,3
22
51,2
11
25,5
0
0
Tổng
83
Trên Khá 18 chiếm 21,7%
Dưới Khá 65 chiếm 78,3%
 Khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm
Lớp
Tổng
Số bài
8.0 – 10.0
6,5 – 7,9
5.0 – 6.4
3.5 – 4.9
0.0 – 3.4
SL
%
SL
%
SL
%
SL
%
SL
%
12C2
40
10
25
22
55
8
20
0
0
0
0
12C3
43
15
34,8
20
46,5
8
18,7
0
0
0
0
Tổng
83
Trên Khá 67 chiếm 80,7%
Dưới Khá 16 chiếm 19,3%
3.1.2 Kết quả chung
	Chuyên đề này đã được thực hiện giảng dạy khi tôi tham gia dạy khối 10, khối 12 và luyện thi đại học trong trong hai năm gần đây. Trong quá trình học chuyên đề này, học sinh thực sự thấy tự tin, biết vận dụng khi gặp các bài toán liên quan, tạo cho học sinh niềm đam mê, yêu thích môn toán, mở ra cho học sinh cách nhìn nhận, vận dụng, linh hoạt, sáng tạo các kiến thức đã học, tạo nền tảng cho học sinh tự học, tự nghiên cứu. 
3.2 Bài học kinh nghiệm
 Từ thực tế giảng dạy chuyên đề này, một kinh nghiệm được rút ra là trước hết học sinh phải nắm chắc các kiến thức cơ bản, biết vận dụng linh hoạt các kiến thức này, từ đó mới dạy các chuyên đề mở rộng, nâng cao, khắc sâu kiến thức một cách hợp lý với các đối tượng học sinh nhằm bồi dưỡng năng khiếu, rèn kỹ năng cho học sinh.
3.3 Kết luận 
Sau một thời gian nghiên cứu và được sự giúp đỡ đóng góp ý kiến của đồng nghiệp đề tài hoàn thành với một số ưu nhược điểm sau:
3.3.1 Ưu điểm
- Sáng kiến đã đạt được những yêu cầu đặt ra ở phần đặt vấn đề.
- Tìm hiểu và đưa ra hệ thống bài tập tương đối đầy đủ có lời giải chi tiết.
- Phần lớn bài tập đưa ra phù hợp với trình độ nhận thức của học sinh khá - giỏi THPT. Bên cạnh đó đề tài đưa ra bài tập khó dành cho học sinh giỏi.
- Giúp học sinh có những bài tập tương tự để phát triển tư duy.
3.3.2 Nhược điểm:
- Hệ thống bài tập chưa phong phú.
3.3.3 Hướng phát triển
- Do thời gian thực hiện đề tài có hạn nên tôi chỉ giới hạn trong hệ thống bài tập 
- Xây dựng hệ thống bài tập phong phú và đa dạng hơn.
KẾT LUẬN
 Như chúng ta đã biết, bất đẳng thức Cauchy là một bất đẳng thức khá nổi tiếng bởi phạm vi ứng dụng rộng rãi của nó. Ngoài việc được vận dụng để chứng minh các bất đẳng thức đại số thì bất đẳng thức Cauchy còn được sử dụng trong các các bài chứng minh bất đẳng thức lượng giác hay các bài toán cực trị hình học. Tuy nhiên, do thời gian nghiên cứu không nhiều nên trong chuyên đề này những vấn đề thú vị đó vẫn chưa được đề cập đến. 
 Trên đây là một số kinh nghiệm có được trong quá trình dạy hoc, tìm tòi tự bồi dưỡng nghiệp vụ chuyên môn. Các ví dụ được sưu tầm và chọn lọc kĩ lưỡng từ đề thi đại học các năm và đề thi học sinh giỏi các tỉnh trong cả nước. Mặc dù đã cố gắng song kinh nghiệm còn rất khiêm tốn. Mong nhận được sự góp ý chân thành của quý thầy cô và các bạn động nghiệp về cả nội dung và hình thức trình bày để chuyên đề được hoàn thiện hơn.
XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ
 Thanh Hóa, ngày 28 tháng 04 năm 2019
Tôi xin cam đoan đây là sáng kiến kinh nghiệm của mình viết, không sao chép nội dung của người khác.
Hồ Thị Bình
TÀI LIỆU THAM KHẢO
Bất đẳng thức ( Phan Đức Chính).
Chuyên đề bất đẳng thức và ứng dụng trong đại số (Nguyễn Đức Tấn).
Báo toán học và tuổi trẻ.
DANH MỤC
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM NGÀNH GIÁO DỤC TỈNH XẾP LOẠI T