SKKN Sáng kiến kinh nghiệm: Kỹ thuật giải bất phương trình chứa ẩn dưới dấu căn thức trong chương trình Toán 10

1.MỞ ĐẦU:
1.1. Lý do chọn đề tài:
Bất phương trình chứa ẩn dưới dấu căn thức là một phần quan trọng trong chương trình toán học THPT, nó nằm ngay trong phần đầu học kỳ 2 lớp 10. Các dạng bất phương trình chứa ẩn dưới dấu căn thức rất đa dạng và phong phú, mỗi loại cho ta cách giải riêng biệt. Trong các đề thi đại học từ năm 2014 trở về trước, và trong các kỳ thi học sinh giỏi 12 tỉnh Thanh hóa và các tỉnh khác, bất phương trình chứa ẩn dưới dấu căn thức là một trong những bài trọng điểm để phân loại năng lực học sinh, khi giải được loại toán này các em mới đạt vào top khá giỏi . Để giúp học sinh có thể hệ thống và nắm vững các kỹ thuật giải các dạng bất phương trình chứa ẩn dưới dấu căn thức trong chương trình toán 10 tôi đã nghiên cứu ra đề tài này.
Bản thân tôi nhiều năm được phụ trách lớp học theo ban Khoa học tự nhiên, các lớp cơ bản theo khối, đặc biệt năm nay được phân công dạy lớp chọn số 1, đảm nhiệm đội tuyển học sinh giỏi năm sau, qua nghiên cứu giảng dạy tôi thấy việc triển khai sáng kiến” Kỹ thuật giải bất phương trình chứa ẩn dưới dấu căn thức trong chương trình Toán 10 ” là sát thực, phù hợp và cần thiết với việc giảng dạy, bồi dưỡng học sinh khá giỏi và ôn luyện cho học sinh thi tốt nghiệp, đại học, cao đẳng trong kỳ thi THPT QG, đặc biệt giúp bản thân tôi trong năm học này và năm học sau ôn đội tuyển học sinh giỏi của trường tham gia kỳ thi học sinh giỏi cấp tỉnh. Do vậy tôi chọn đề tài " Kỹ thuật giải bất phương trình chứa ẩn dưới dấu căn thức trong chương trình Toán 10 '' để nghiên cứu nhằm phần nào đáp ứng yêu cầu trên và góp phần vào nâng cao chất lượng dạy học cho nhà trường .
	Mặc dù đã có nhiều cố gắng, song đề tài nghiên cứu không trách khỏi những thiếu sót. Kính mong nhận được những ý kiến đóng góp quý báu của các thầy cô và cá bạn đồng nghiệp. Tôi xin chân thành cảm ơn!
1.2. Mục đích nghiên cứu
- Trang bị cho học sinh về một số dạng và phương pháp giải dạng bất phương trình chứa ẩn dưới dấu căn thức.
- Bồi dưỡng cho học sinh về phương pháp, kỹ năng giải toán. Qua đó học sinh nâng cao kỹ năng tư duy sáng tạo.
1.3. Đối tượng nghiên cứu
 - Các bài tập về bất phương trình chứa ẩn dưới dấu căn thức nằm trong chương trình toán học 10 trung học phổ thông, trong các đề thi tốt nghiệp, đại học cao đẳng .Từ đó phân loại, tổng hợp các dạng và nêu kỹ thuật giải chúng.
1.4. Phương pháp nghiên cứu 
- Tích lũy qua nhiều năm giảng dạy phần này.
- Thông qua việc kiểm tra đánh giá năng lực tiếp thu của học sinh.
- Thông qua trao đổi góp ý và học tập kinh nghiệp từ các đồng nghiệp.
- Thông qua sách giáo khoa, sách bài tập, hệ thống bài tập và tài liệu tham khảo.
- Thông qua các đề thi học sinh giỏi lớp 11, 12 tỉnh thanh hóa các năm 2005 đến nay của tỉnh Thanh Hóa và các đề thi học sinh giỏi lớp 10, 11, 12 của các trường THPT trên toàn quốc.
- Thông qua các đề thi tốt nghiệp, đại học cao đẳng từ năm 2008 đến nay . 
- Thông qua các đề thi thử đại học của các trường THPT trên toàn quốc.
2.NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1.Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm:
Căn cứ vào lý thuyết chương IV: ’’ Bất đẳng thức, bất phương trình’’ trong chương trình đại số 10 cơ bản . Tôi tóm tắt nội dung lý thuyết như sau: 
I) MỘT SỐ PHÉP BIẾN ĐỔI BẤT PHƯƠNG TRÌNH
1. Bất phương trình tương đương:
- Hai bất phương trình có cùng tập nghiệm là hai bất phương trình tương đương
- Hai hệ bất phương trình có cùng tập nghiệm là hai hệ bất phương trình tương đương
- Dùng kí hiệu để chỉ sự tương đương
2. Phép biến đổi tương đương:
- Để giải một bất phương trình (hệ bất phương trình) ta liên tục biến đổi nó thành những bất phương trình (hệ bất phương trình) tương đương cho đến khi được bất phương trình (hệ bất phương trình) đơn giản nhất mà có thể viết ngay tập nghiệm. - Các phép biến đổi như vậy là các phép biến đổi tương đương. Bao gồm :
 *) 
 *) 
 *) nếu 
 nếu 
 *) nếu 
3. Điều kiện của bất phương trình
 Điều kiện của bất phương trình là các điều kiện của ẩn số để có nghĩa.
 có nghĩa khi 
 có nghĩa khi 
II) ĐIỀU KIỆN ĐỂ BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA THAM SỐ CÓ NGHIỆM:
1. Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số
Cho hàm số xác định trên tập 
 Số được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số trên tập nếuvới mọi và tồn tại sao cho. Kí hiệu 
 Số được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số trên tập nếuvới mọi và tồn tại sao cho. Kí hiệu 
2. Điều kiện để bất phương trình chứa tham số có nghiệm
*) Bất phương trình có nghiệm 
*) Bất phương trình nghiệm đúng 
*) Bất phương trình có nghiệm 
*) Bất phương trình nghiệm đúng 
Từ cơ sở lý thuyết về số phức tôi định hướng giải quyết bài toán số phức trong các tiết ôn tập:
- Phân loại các bài tập bất phương trình chứa ẩn dưới dấu căn thức
- Nêu kỹ thuật giải cho từng loại bài toán bất phương trình chứa ẩn dưới dấu căn thức
Với đề tài " Kỹ thuật giải bất phương trình chứa ẩn dưới dấu căn thức trong chương trình Toán 10.'' sẽ giúp học sinh giải quyết nhanh chính xác trước một bất phương trình chứa ẩn dưới dấu căn thức trong chương trình Đại số 10. 	
2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm:
Trong quá trình ôn tập thi học kỳ 2, ôn thi HSG lớp 10, 11 cấp trường cho học sinh lớp 10 phần bất phương trình chứa ẩn dưới dấu căn thức. Học sinh chỉ mới giải quyết được một số bài toán dễ , khi gặp một số bài toán yêu cầu cao hơn đa số các em chưa đưa ra được hướng giải quyết ngay, hoặc có em đưa ra được hướng giải quyết thì giải quyết chậm và trưa triệt để bài toán.
Trước khi áp dụng đề tài, tôi đã cho học sinh làm bài kiểm tra 15 phút về bất phương trình chứa ẩn dưới dấu căn thức. Kết quả :
Lớp
Sĩ số
 9-10
7-8
5-6
3-4
0-2
SL
%
SL
%
SL
%
SL
%
SL
%
10A1
44
0
0
15
34,1
19
43,2
10
22,7
0
0
10A3
42
0
0
6
14,3
17
40,5
14
33,3
5
11,9
	Với các vấn đề của thực trạng trên, tôi đã mạnh dạn triển khai cho các em mảng kiến thức này nhằm giải tỏa bớt những bất cập nói trên.
2.3. Các sáng kiến kinh nghiệm hoặc các giải pháp đã sử dụng trong sáng kiến kinh nghiệm:
Giải pháp:
- Tổ chức 3 buổi (9 tiết) ôn tập cho học sinh ôn thi THPT QG, bồi dưỡng học sinh khá giỏi.
- Nêu các dạng bài toán về bất phương trình chứa ẩn dưới dấu căn thức, đưa ra cách giải cho từng dạng, hệ thống các bài tập tự luận cho học sinh rèn luyện kỹ năng làm bài.
- Nêu các cách sử dụng máy tính casio bỏ túi để giải quyết nhanh bài toán nhẩm nghiệm
- Cuối chuyên đề cho học sinh làm bài kiểm tra .
Nội dung giải pháp:
DẠNG 1: Kỹ thuật dùng phép biến đổi tương đương và bình phương hai vế:
Phương pháp: 
- Đưa về một trong các dạng cơ bản sau.
*) 
*)
*)
- Khi giải bất phương trình mà phải bình phương hai vế thì ta lần lượt xét hai trường hợp
a) cùng có giá trị không âm, ta bình phương hai vế bất phương trình .
b)cùng có giá trị âm, ta viết rồi bình phương hai vế bất phương trình mới .
- Lưu ý điều kiện bài toán. 
Ví dụ 1: Giải bất phương trình : 
Bài giải: 
ĐK: 
Kết hợp đk , tập nghiệm của bpt là: 
Ví dụ 2: Giải bất phương trình :
Bài giải: 
 ĐK: 
Kết hợp đk , tập nghiệm của bpt là: 
Bài tập vận dụng:
Bài 1: Giải các bất phương trình sau: 
a) 
b) 
Bài 2: Giải các bất phương trình sau:
a) 
b) 
c) 
Bài 3: Giải các bất phương trình sau:
a) 
b) 
c) 
DẠNG 2: Kỹ thuật đưa về bất phương trình tích:
Phương pháp: 
- Phân tích thành một trong các bất phương trình dạng: 
*) 
*) 
- Lưu ý điều kiện bài toán: 
Ví dụ 1: Giải bất phương trình : 
Bài giải:
ĐK: 
Kết hợp đk , tập nghiệm của bpt là: 
Ví dụ 2: Giải bất phương trình : 
Bài giải: 
ĐK: 
Nếu thì 
Nếu thì bpt đúng
Nếu thì 
Kết hợp đk , tập nghiệm của bpt là: 
Ví dụ 3: Giải bất phương trình : 
Bài giải:
 ĐK: 
Kết hợp đk , tập nghiệm của bpt là: 
Ví dụ 4: Giải bất phương trình : 
Bài giải:
ĐK: 
Giải hệ (1) 
Giải hệ (2) 
Kết hợp đk , tập nghiệm của bpt là: 
Bài tập vận dụng:
Bài 1: Giải các bất phương trình sau: 
a) 
b) 
c) 
Bài 2: Giải các phương trình sau :
a) 
b) 
c) 
DẠNG 3: Kỹ thuật đặt ẩn phụ đưa về bất phương trình một ẩn mới hoàn toàn
Phương pháp :
 - Đặt một hàm số ẩn cũ thành một ẩn mới, biến đổi bất phương trình về bất phương trình chứa ẩn dưới dấu căn cơ bản hoặc về bất phương trình bậc nhất, bậc 2, bậc 3,
- Nhớ đặt điều kiện cho ẩn mới, nên đưa về bất phương trình mới đơn giản hơn và giải được.
Ví dụ 1: Giải bất phương trình : 
 (Trích sách bài tập đại số 10 cơ bản)
Bài giải:
ĐK: 
Đặt thì 
Với 
Kết hợp đk , tập nghiệm của bpt là: 
Ví dụ 2: Giải bất phương trình : 
 (Trích sách bài tập đại số 10 cơ bản)
Bài giải:
ĐK: 
Đặt thì
 thì 
Với 
Kết hợp đk , tập nghiệm của bpt là: 
Ví dụ 3: Giải bất phương trình : 
(Trích sách bài tập đại số 10 nâng cao)
Bài giải:
ĐK: 
Đặt 
thì 
Với 
Kết hợp đk , tập nghiệm của bpt là: 
Ví dụ 4: Giải bất phương trình : 
 (Trích các đề thi đại học các trường THPT toàn quốc )
Bài giải:
 ĐK: 
Nhận xét: và nên chia cả 2 vế bất phương trình cho ta được:
Đặt thì 
Với 
Kết hợp đk , tập nghiệm của bpt là: 
Ví dụ 5: Giải bất phương trình : 
(Trích đề thi HSG 12 tỉnh thanh hóa năm 2011) 
Bài giải:
Nhận xét: không phải là nghiệm của bất phương trình và nên chia cả 2 vế bất phương trình cho ta được:
Đặt thì 
Với                                             
Kết hợp đk , tập nghiệm của bpt là: 
Ví dụ 6: Giải bất phương trình : 
(Trích bài tập nâng cao và một số chuyên đề đại số 10 )
Bài giải:
ĐK: 
Nhận xét: không phải là nghiệm của bất phương trình nên bình phương 2 vế bất phương trình ta được:
Đặt thì 
Với     
Kết hợp đk , tập nghiệm của bpt là: 
Bài tập vận dụng:
Bài 1: Giải các phương trình sau;
a) 
b) 
c) 
d) 
Bài 2: Giải các phương trình sau;
a) 
b) 
c) 
d) 
DẠNG 4: Kỹ thuật đặt 2 ẩn phụ đưa về bất phương trình 2 ẩn phụ.
Phương pháp:
Đặt hai biểu thức chứa ẩn cũ bằng 2 ẩn mới. Liên hệ 2 ẩn mới với nhau được một bất phương trình.
Đưa các yếu tố bài toán cho về bất phương trình ẩn 
Giải bất phương trình, hệ bất phương trình được .
Ví dụ 1: Giải bất phương trình: 
(Trích đề thi ĐHCĐ năm 2014 của các trường THPT)
Bài giải:
a) ĐK: , 
Đặt thì 
Kết hợp đk , tập nghiệm của bpt là: 
Ví dụ 2: Giải bất phương trình: 
 (Trích đề thi ĐHCĐ năm 2014 của các trường THPT)
 Bài giải:
 ĐK: , 
Đặt thì 
Kết hợp đk , tập nghiệm của bpt là: 
Ví dụ 3: Giải bất phương trình :
Bài giải:
ĐK: , 
Đặt thì 
Kết hợp đk , tập nghiệm của bpt là: 
Ví dụ 4: Giải bất phương trình : 
(Trích đề thi chọn học sinh giỏi 10 Tĩnh gia 2 năm 2014 )
Bài giải:
ĐK: , 
Đặt thì 
Kết hợp đk , tập nghiệm của bpt là: 
Ví dụ 5: Giải bất phương trình : 
 Bài giải:
Đặt thì 
Kết hợp đk , tập nghiệm của bpt là: 
Bài tập vận dụng:
Bài 1: Giải các bất phương trình sau:
a)
b) 
Bài 2: Giải các bất phương trình sau:
a)
b) 
DẠNG 5: Nhân chia biểu thức liên hợp
Phương pháp: 
- Nắm vững các phép biến đổi nhân chia biểu thức liên hợp
- Biết vận dụng các kiến thức tổng hợp để biến đổi bất phương trình về bất phương trình tích, hoặc các bấṭ phương trình cơ bản, đơn giản đã gặp,.
Ví dụ 1: Giải bất phương trình : 
Bài giải:
ĐK: , 
Kết hợp đk , tập nghiệm của bpt là: 
Ví dụ 2: Giải bất phương trình : 
Bài giải:
ĐK: , 
Do 
Kết hợp đk , tập nghiệm của bpt là: 
Ví dụ 3: Giải bất phương trình : 
Bài giải:
Nhận xét: với thì 2 vế bpt bằng nhau nên ta biến đổi để bpt có nhân tử chung là 
ĐK: , 
Do
Kết hợp đk , tập nghiệm của bpt là: 
Ví dụ 4: Giải bất phương trình : 
Bài giải 
ĐK: , 
Do 
Kết hợp đk , tập nghiệm của bpt là: 
Ví dụ 5: Giải bất phương trình : 
( Trích đề thi đại học khối A năm 2010)
Bài giải 
ĐK: , do 
Đặt thì 
Kết hợp đk , tập nghiệm của bpt là: 
Bài tập vận dụng:
Bài 1: Giải các bất phương trình sau:
a) 
b)
c) 
Bài 2: Giải các bất phương trình sau:
a) 
b)
DẠNG 6: Kỹ thuật dùng bảng biến thiên để giải bất phương trình chứa tham số
Ví dụ 1: Tìm m để bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi :
 .
(Trích bài tập nâng cao và một số chuyên đề đại số 10 )
Bài giải:
ĐK: 
Đặt .
thì .
Ta có bảng biến thiên sau:
Để .
Ví dụ 2: Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm:
 .
Bài giải:
 ĐK: 
.
Đặt thì 
Ta có bảng biến thiên sau: 
Để 
Ví dụ 3: Tìm m để bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi :
 .
Bài giải: 
Đặt 
thì .
Ta có bảng biến thiên sau:
Để .
Ví dụ 4: Tìm m để bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi :
Bài giải: 
Với thì bpt luôn đúng.
Do thì .
Đặt thì 
Ta có bảng biến thiên sau:
Để .
Bài tập vận dụng:
Bài 1: Tìm m để bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi :
Bài 2: Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm duy nhất:
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường.
Với sáng kiến kinh nghiệm trên đây, bản thân rút ra được bài học kinh nghiệm về công tác chuyên môn là: Để nắm vững ôn tập các dạng và phương pháp giải các dạng bài tập về bất phương trình chứa ẩn dưới dấu căn thức trong chương trình thi THPT QG , thi học sinh giỏi cấp tỉnh thì giáo viên cần phải hệ thống các kiến thức trọng tâm và kỹ thuật giải một số dạng bài về bất phương trình chứa ẩn dưới dấu căn thức trong chương trình đại số 10 . Đồng thời giáo viên phải là người tạo ra động cơ để học sinh cùng tham gia giải quyết các vấn đề đã đặt ra. Sau cùng giáo viên còn phải kiểm tra, đánh giá và rút kinh nghiệm cho các em vận dụng các phương pháp giải này.
Ý nghĩa của sáng kiến: Giúp cho giáo viên chủ động trong việc giảng dạy ôn tập cho học sinh khối 10 một cách hệ thống và tương đối đầy đủ các dạng bài tập về bất phương trình chứa ẩn dưới dấu căn thức, đồng thời sáng kiến kinh nghiệm này còn giúp học sinh phát triển tư duy và rèn luyện kỹ năng giải toán. Từ đó học sinh có cái nhìn toàn diện và tự tin hơn khi tiếp cận các dạng toán này.
Khả năng ứng dụng và triển khai: Sáng kiến đã được trình bày trước tổ chuyên môn và học sinh lớp 10 ôn tập thi HSG cấp trường, cấp tỉnh, THPTQG dưới dạng chuyên đề. Tôi triển khai áp dụng vào dạy các lớp 10A1, 10A3 và đã thu được kết quả tốt, đa số học sinh nắm bắt tốt chuyên đề, biết vận dụng vào giải các loại bài toán bất phương trình chứa ẩn dưới dấu căn thức trong chương trình đại số 10. Được học chuyên đề này, học sinh dễ dàng có sự lựa chọn phương pháp thích hợp và vận dụng sáng tạo cho mỗi bài toán. 
Sau khi áp dụng đề tài, tôi đã cho làm bài kiểm tra 45 phút về phần bất phương trình chứa ẩn dưới dấu căn thức. Kết quả đã nâng lên rõ rệt, cụ thể:
Lớp
Sĩ số
 9-10
7-8
5-6
3-4
0-2
SL
%
SL
%
SL
%
SL
%
SL
%
10A1
44
10
22,7
18
40,9
16
36,4
0
0
0
0
10A3
42
2
4,8
9
21,4
14
33,3
17
40,5
0
0
. 
3. KẾT LUẬN KIẾN NGHỊ
3.1. Kết luận:
	Sau khi triển khai sáng kiến này vào dạy học ôn tập cho học sinh lớp 10 tôi thấy mang lại hiệu quả học tốt. Đồng thời cũng là tài liệu tham khảo, bổ sung kinh nghiệm ra đề và giảng dạy phần bất phương trình chứa ẩn dưới dấu căn thức cho các đồng nghiệp, góp phần vào việc nâng cao chất lượng dạy học chung cho nhà trường. Tuy nhiên với kinh nghiệm còn ít, trải nghiệm chưa nhiều nên đề tài không tránh khỏi những thiếu sót, hạn chế nhất định. Rất mong nhận được nhiều góp ý của Hội đồng khoa học nhà trường THPT Tĩnh gia 2 và Hội đồng khoa học sở GD&ĐT Thanh Hóa.
3.2. Kiến nghị:
	Với đề tài này tôi đã triển khai trong quá trình dạy học sinh lớp 10 ban KHTN và các lớp ban Cơ bản học theo khối, mang lại hiệu quả là rất tốt. Vì vậy tôi hy vọng đề tài này sẽ đóng góp vào việc giải bài toán đã nêu trên, và được đồng nghiệp khai thác mở rộng hơn nữa, là tài liệu tham khảo cho các em học sinh lớp 10 trong quá trình học tập cũng như ôn thi học sinh giỏi, ôn thi kỳ thi Quốc gia THPT hàng năm.
XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ
Thanh hóa, ngày 25 tháng 5 năm 2018
Tôi xin cam đoan đây là SKKN do chính bản thân mình viết, không sao chép nội dung của người khác
Lê Thị Dung
4. TÀI LIỆU THAM KHẢO:
[1]. Sách giáo khoa Đại số 10 cơ bản, NXB Giáo Dục, Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên) - Vũ Tuấn (Chủ biên) .
[2]. Sách bài tập Đại số 10 cơ bản, NXB Giáo Dục, Vũ Tuấn (Chủ biên).
[3]. Sách giáo khoa Đại số 10 nâng cao, NXB Giáo Dục, Đoàn Quỳnh (Tổng chủ biên) – Nguyễn Huy Đoan (Chủ biên) .
[4]. Sách bài tập Đại số10 nâng cao, NXB Giáo Dục, Nguyễn Huy Đoan (Chủ biên) 
[5]. Sách Bài tập nâng cao và một số chuyên đề đại số 10, NXB Giáo Dục, Nguyễn Huy Đoan (Tổng chủ biên) .
[6]. Sách giáo khoa Giải tích 12 cơ bản, NXB Giáo Dục, Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên) - Vũ Tuấn (Chủ biên) . 
[7]. Đề thi học sinh giỏi tỉnh Thanh hóa các năm 2005 đến năm 2018.
[8]. Đề thi chọn học sinh giỏi, đề thi khảo sát chất lượng các khối 10, 11, 12 môn Toán các trường THPT trên toàn quốc .
[9]. Đề thi môn Toán Đại học năm 2008-2013 của bộ GD&ĐT.
5. DANH MỤC SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM NGÀNH GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN, TỈNH VÀ CÁC CẤP CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ CẤP C TRỞ LÊN
Họ tên tác giả: Lê Thị Dung
Chức vụ: Giáo viên, Chi ủy viên Chi bộ 2 Đảng bộ THPT Tĩnh gia 2
Đơn vị công tác: Trường THPT Tĩnh Gia 2
TT
Tên đề tài
Cấp đánh giá xếp loại
Kết quả đánh giá xếp loại
Năm học đánh giá xếp loại
1
Ứng dụng đạo hàm để giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình và hệ bất phương trình. 
Ngành GD cấp tỉnh
C
2010-2011
2
Sử dụng một số bất đẳng thức cơ bản và đạo hàm để tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số nhiều biến bằng cách đưa về hàm số một biến
Ngành GD cấp tỉnh
C
2014-2015
3
Phân loại cách viết phương trình mặt phẳng trong không gian tọa độ theo hướng phát triển tư duy từ dễ đến khó
Ngành GD cấp tỉnh
B
2015-2016
4
Hướng dẫn học sinh lớp 12 ôn tập chuyên đề Số phức và nêu các phương pháp giải một số dạng bài toán về số phức
Ngành GD cấp tỉnh
C
2016-2017