SKKN Rèn tư duy sáng tạo cho học sinh THPT thông qua việc phát triển bài toán tính thể tích khối chóp

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA
TRƯỜNG THPT TĨNH GIA 2 
 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
RÈN TƯ DUY SÁNG TẠO CHO HỌC SINH THPT THÔNG QUA VIỆC PHÁT TRIỂN BÀI TOÁN TÍNH THỂ TÍCH KHỐI CHÓP
 Người thực hiện: Trịnh Thị Hiếu
 Chức vụ: Giáo viên
 Đơn vị công tác: Trường THPT Tĩnh Gia 2
 SKKN thuộc lĩnh vực môn: Toán
THANH HÓA NĂM 2018
1. MỞ ĐẦU
1.1. LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI
 Trong việc rèn tư duy sáng tạo cho học sinh ở trường THPT, môn Toán đóng vai trò rất quan trọng. Bởi vì, Toán học đóng một vai trò rất to lớn trong sự phát triển của các ngành khoa học kỹ thuật; Toán học có liên quan chặt chẽ và có ứng dụng rộng rãi trong rất nhiều lĩnh vực khác nhau của khoa học, công nghệ, sản xuất và đời sống xã hội hiện đại. Toán học còn là một công cụ để học tập và nghiên cứu các môn học khác.
Trong quá trình dạy học môn Toán ở trường THPT, việc rèn tư duy sáng tạo cho học sinh giúp cho học sinh nắm vững, mở rộng, đào sâu kiến thức, phát huy tính tích cực, độc lập, sáng tạo trong học tập môn Toán và là cơ sở để hình thành phẩm chất trí tuệ cho học sinh.
Trong môn Toán, chủ đề hình học không gian chứa đựng nhiều tiềm năng to lớn trong việc bồi dưỡng và phát huy năng lực sáng tạo cho học sinh. Bài toán tính thể tích khối chóp đóng một vai trò rất quan trọng trong chương trình hình học 12 và luôn xuất hiện trong các đề thi THPT Quốc gia. Mặc dù vậy đây là phần kiến thức đòi hỏi học sinh phải có tư duy sâu sắc, có trí tưởng tượng hình không gian phong phú nên đối với học sinh đại trà, đây là mảng kiến thức khó và thường để mất điểm trong kì thi nói trên. Đối với học sinh giỏi, các em có thể làm tốt phần này. Tuy nhiên cách giải còn rời rạc, làm bài nào biết bài đấy, chưa biết vận dụng linh hoạt các phương pháp đã học và chưa có sự liện hệ giữa các bài tập, dạng toán nên thường tốn khá nhiều thời gian.
Đối với các giáo viên, thì do lượng thời gian ít ỏi và việc tiếp cận các phần mềm vẽ hình không gian còn hạn chế nên việc biên soạn một chuyên đề có tính hệ thống về phần này còn gặp nhiều khó khăn. Mặc dù đã có một số sáng kiến kinh nghiệm viết về các phương pháp tính thể tích cũng như ứng dụng của thể tích khối chóp, tuy nhiên vấn đề phát triển một bài toán tính thể tích khối chóp cơ bản, đặc biệt là áp dụng vào việc tính thể tích của khối tứ diện mà việc xác định đường cao gặp khó khăn qua đó rèn tư duy sáng tạo cho học sinh thì vẫn chưa được nhiều người quan tâm khai thác. 
Trước các lí do trên, tôi quyết định viết đề tài sáng kiến kinh nghiệm mang tên: “Rèn tư duy sáng tạo cho học sinh THPT thông qua việc phát triển bài toán tính thể tích khối chóp”. Nhằm cung cấp cho học sinh một cái nhìn mới về ứng dụng của bài toán tính thể tích đơn giản trong sách giáo khoa, từ bài toán đó có thể phát triển thành một lớp các bài tập từ đơn giải đến phức tạp và ngược lại khi gặp một số bài toán phức tạp học sinh có thể “quy lạ về quen”.
1.2 MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU
 Trong quá trình dạy học môn Toán ở trường THPT, việc rèn tư duy sáng tạo cho học sinh là vô cùng quan trọng. Trong đó phân môn hình học không gian có nhiều thuận lợi để phát triển trí tuệ cho học sinh cho học sinh vì nó bao hàm nhiều hoạt động, trong đó việc giải các bài toán về hình học không gian đặc biệt là bài toán tính thể tích khối chóp có nhiều cơ hội để rèn luyện phát triển trí tuệ, tư duy sáng tạo cho học sinh. Hơn nữa, bài toán tính thể tích khối chóp luôn xuất hiện trong các đề thi THPT Quốc gia với các mức độ khác nhau. Khi học và làm bài tập về mảng kiến thức này học sinh thường gặp trở ngại đối với các bài toán tính thể tích của khối chóp mà việc xác định đường cao và diện tích đáy có nhiều khó khăn. Học sinh thường chỉ áp dụng các phương pháp được cung cấp một cách máy móc, thiếu sáng tạo hoặc là chỉ học dạng nào biết dạng đó. Khi giải xong một bài toán các em thường có thói quen là “xong nhiệm vụ”, sau đó lại giải một bài toán khác rất khó nhọc mà không biết bài toán mình đang giải rất “gần” với bài toán đã giải trước đó, không biết cách giải của bài toán mình làm được là cách giải chung cho một lớp các bài toán tương tự và cũng từ bài toán đã giải, ta có thể đề xuất một loạt các bài toán mới có “họ hàng” với bài toán ban đầu và khái quát hóa chúng , từ đó mở rộng, đào sâu kiến thức, phát triển tư duy. Trước thực trạng đó, tác giả đã nghiên cứu và viết đề tài: “Rèn tư duy sáng tạo cho học sinh THPT thông qua việc phát triển bài toán tính thể tích khối chóp”.
1.3. ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU
 Nội dung của sáng kiến kinh nghiệm bắt đầu từ bài toán đơn giản trong SGK là bài toán tính thể tích khối tứ diện đều, phát triển lên bài toán tính thể tích khối chóp đều, khối tứ diện thường khi biết độ dài ba cạnh và số đo của ba góc cùng xuất phát từ một đỉnh, và từ bài toán này kết hợp với việc sử dụng bài toán tỉ số thể tích, phân chia và lắp ghép khối đa diện để phát triển thành một lớp các bài toán tính thể tích khối chóp. Cái mới của đề tài là giúp học sinh biết phát triển bài toán tính thể tích đơn giản thành một lớp các bài toán tính thể tích mới và ngược lại khi gặp một bài toán phù hợp, học sinh biết “quy lạ về quen” giúp bài toán trở nên dễ dàng. Sau khi được học chuyên đề này học sinh tự tin hơn trước bài toán tính thể tích của khối chóp mà việc tính trực tiếp bằng công thức gặp nhiều khó khăn. 
	Sáng kiến kinh nghiệm này có thể áp dụng cho nhiều đối tượng học sinh có lực học khác nhau, và có thể sử dụng trong quá trình ôn tập phụ đạo cho học sinh có lực học trung bình với các hướng phát triển đầu tiên, với các học sinh ôn thi THPT Quốc gia có thể nghiên cứu và học tập theo các hướng phát triển 3. Với hướng nghiên cứu này, các thầy cô hoàn toàn có thể khai thác từ một số bài toán cơ bản khác nhau để phát triển thành các dạng toán khác nhau để rèn tư duy sáng tạo cho học sinh.
1.4. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
 - Phương pháp nghiên cứu xây dựng cơ sở lí thuyết.
2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1 CƠ SỞ LÍ LUẬN CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
Để rèn tư duy sáng tạo cho học sinh THPT thông qua việc phát triển bài toán tính thể tích khối chóp ta cần nắm vững những nội dung sau
 Hình chóp đều:
2.1.1. Định nghĩa: Một hình chóp được gọi là hình chóp đều nếu có đáy là một đa giác đều và có chân đường cao trùng với tâm của đa giác đáy.
Nhận xét:
- Hình chóp đều có các mặt bên là những tam giác cân bằng nhau. Các mặt bên tạo với đáy các góc bằng nhau.
- Các cạnh bên của hình chóp đều tạo với mặt đáy các góc bằng nhau.
2.1.2. Hai hình chóp đều thường gặp
 Hình chóp tam giác đều: Cho hình chóp tam giác đều. Khi đó:
Đáylà tam giác đều.
Các mặt bên là các tam giác cân tại.
Chiều cao: .
Góc giữa cạnh bên và mặt đáy: .
Góc giữa mặt bên và mặt đáy: .
Tc:.
Lưu ý: Hình chóp tam giác đều khác với tứ diện đều.
Tứ diện đều có các mặt là các tam giác đều.
Tứ diện đều là hình chóp tam giác đều có cạnh bên bằng cạnh đáy.
Hình chóp tứ giác đều: Cho hình chóp tứ giác đều.
Đáylà hình vuông.
Các mặt bên là các tam giác cân tại.
Chiều cao: .
Góc giữa các cạnh bên SA, SB, SC, SD và mặt đáy (ABCD): .
Góc giữa mặt bên (SCD) và mặt đáy (ABCD): .
 2.1.3. Công thức tính thể tích khối chóp: 
C
D
S
O
 Thể tích khối chóp: 
 Diện tích mặt đáy.
 Chiều cao của khối chóp.
A
’
2.1.4. Các phương pháp thường dùng tính thể tích khối chóp:
Phương pháp 1: Tính thể tích khối chóp bằng cách sử dụng trực tiếp công thức.
Xác định chiều cao của khối đa diện cần tính thể tích.
Tìm diện tích đáy bằng các công thức quen biết.
Nhận xét: Nhìn chung, dạng toán loại này rất cơ bản, chỉ đòi hỏi tính toán cẩn thận và chính xác.
Phương pháp 2: Tính thể tích bằng cách phân chia hoặc lắp ghép khối chóp
Sử dụng tính chất: Nếu khối đa diện (H) được phân chia thành hai khối đa diện (H1) và (H2): hay 
Phương pháp 3: Tính thể tích bằng tỉ số thể tích: 
- Trong dạng này, ta thường so sánh thể tích khối cần tính với một khối chóp khác đã biết trước hoặc dễ dàng tính thể tích, thường sử dụng kết quả của bài toán sau: 
Bài toán: (Bài 4 Trang 25(SGK hình 12 CB))
Cho hình chóp S.ABC. Trên các tia SA, SB, SC lần lượt lấy ba điểm khác với S. Chứng minh rằng: .
S
A’
B’
A
B
C
C’
H
H’
Chứng minh: 
Gọi H và H’ lần lượt là hình chiếu của A và A’ trên mặt phẳng (SBC).
Khi đó: A’H’ // AH và ba điểm S, H’, H cùng thuộc hai mặt phẳng (AA’H’H) và (SBC) nên chúng thẳng hàng.
Xét tam giác SAH, ta có: 
Lưu ý: Kết quả trên vẫn đúng nếu như trong các điểm A’, B’, C’ có thể có điểm .
2.2. THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ TRƯỚC KHI ÁP DỤNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM: 
- Học sinh thụ động, ngại tư duy trong giải toán.
- Khi làm bài tập tính thể tích khối đa diện học sinh thường lúng túng trong việc chọn lựa cách giải phù hợp. Đối với những khối đa diện khó xác định chiều cao học sinh thường gặp khó khăn trong việc lựa chọn cách giải.
- Mỗi khi hoàn thiện lời giải một dạng toán, học sinh thường bằng lòng với kết quả tìm được và chưa quan tâm với việc đào sâu suy nghĩ và khai thác phát triển bài toán vừa giải được. Do đó, khi gặp bài toán “lạ” học sinh chưa biết đưa về bài toán “quen”.
2.3. CÁC SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ SỬ DỤNG ĐỂ GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
2.3.1. Một số biện pháp phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh trong dạy học Toán:
- Rèn các thao tác tư duy cơ bản.
- Khuyến khích học sinh tìm nhiều lời giải.
- Khuyến khích học sinh tìm lời giải độc đáo và ngắn nhất.
- Rèn khả năng phát triển bài toán, xây dựng bài toán mới từ bài toán gốc.
- Luyện tập cho học sinh biết hệ thống hóa kiến thức và hệ thống hóa phương pháp.
 Một trong những biện pháp phát triển tư duy sáng tạo cho HS đó là GV cần luyện tập cho HS biết vận dụng các thao tác tư duy (so sánh, phân tích, tổng hợp, trìu tượng hóa, khái quát hóa,..) một cách nhuần nhuyễn, mềm dẻo và linh hoạt. Biện pháp này giúp học sinh tìm hướng giải , hoặc dự đoán cách giải, phát hiện vấn đề mới, tìm thấy sự liên hệ giữa các vấn đề với nhau, nhờ đó mà HS có thể nghiên cứu sâu và mở rộng bài toán.
 Biện pháp này yêu cầu HS biết vận dụng thao tác đặc biệt hóa trong quá trình giải bài tập toán. Tức là giải bài toán cho một số trường hợp đặc biệt, rồi dùng phương pháp giải bài toán trong trường hợp đặc biệt này để giải cho các trường hợp khác hoặc cho trường hợp tổng quát. Biết vận dụng thao tác khái quát hóa trong quá trình giải bài tập toán, xác định được cái chung và cái riêng trong các bài toán. Từ đó có thể hình thành bài toán tổng quát hoặc tìm ra phương pháp giải toán tổng quát.
	Trong khuôn khổ bài viết này tôi không đi vào phân loại các dạng toán tính thể tích mà xin chỉ đề cập đến vấn đề chủ yếu là phát triển bài toán tính thể tích quen thuộc thành một lớp các bài toán tính thể tích khối chóp. 
2.3.2. Rèn tư duy sáng tạo cho học sinh THPT qua việc phát triển bài toán tính thể tích khối chóp:
Bài toán 1: Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a, (a > 0).Tính theo a thể tích của tứ diện đó.
Hướng dẫn:
Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên mp(BCD): 
Do ABCD là tứ diện đều nên H trùng với tâm của tam giác đều BCD.
Vì ∆BCD đều cạnh a nên đường cao . Trong tam giác vuông ABH ta có: .
- Thể tích tứ diện ABCD là: 
 HƯỚNG PHÁT TRIỂN 1: 
TÍNH THỂ TÍCH CỦA KHỐI CHÓP ĐỀU
Nhận xét: Tứ diện đều là hình chóp tam giác đều đặc biệt có độ dài cạnh bên và cạnh đáy bằng nhau. Nên từ Bài toán 1, bằng cách giải tương tự ta có thể xây dựng và tính thể tích của khối chóp tam giác đều (có độ dài cạnh bên và cạnh đáy không bằng nhau) thông qua bài toán sau:
Bài toán 2: Tính thể tích của khối chóp tam giác đều S.ABC biết:
Cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng b.
Cạnh bên bằng b, các góc ở đỉnh S của các mặt bên đều bằng 
().
Cạnh đáy bằng a, góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng cho trước.
Cạnh đáy bằng a, góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng cho trước.
Cạnh bên bằng b, góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng cho trước.
Cạnh bên bằng b, góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng cho trước.
 (
Hướng giải: 
- Sử dụng tính chất của hình chóp tam giác đều S.ABC để xác định hình chiếu của đỉnh S trên mặt phẳng đáy là tâm H của tam giác đều ABC, từ đó xác định chiều cao SH của hình chóp.
- Từ giả thiết, tính SH và diện tích của tam giác đáy (tam giác đều ABC).
- Sử dụng trực tiếp công thức tính thể tích của khối chóp để tính thể tích của khối chóp đều S.ABC: 
Ví dụ 1: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng 2a.Tính thể tích khối chóp S.ABC
Hướng dẫn giải:
Giáo viên phân tích cho học sinh hiểu đề bài và hướng dẫn học sinh vẽ hình:
Hình chóp tam giác đều có đáy là tam giác đều tâm O 
+ Gọi M là trung điểm BC
+ O là trọng tâm của tam ABC
+ AM là đường cao trong ABC 
Đường cao của hình chóp là SO ( SO (ABC))
Lời giải:
S.ABC là hình chóp tam giác đều. Gọi M là trung điểm BC, ABC đều cạnh , tâm O
SO (ABC); SA=SB=SC = 2a
 ABC đều cạnh , AM = 
 SAO vuông tại A có 
Thể tích khối chóp S.ABC: 
Nhận xét: Phát triển bài toán 2 bằng cách tăng số cạnh đáy của hình chóp đều, tương tự hình ta cũng tính được thể tích của hình chóp đa giác đều bất kỳ:
Bài toán 3: Tính thể tích của khối chóp tứ giác đều S.ABCD biết:
Cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng b.
Cạnh bên bằng b, các góc ở đỉnh S của các mặt bên đều bằng 
.
Cạnh đáy bằng a, góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng cho trước.
Cạnh đáy bằng a, góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng cho trước.
Cạnh bên bằng b, góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng cho trước.
Cạnh bên bằng b, góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng cho trước.
Hướng giải: 
- Sử dụng tính chất của hình chóp tứ giác đều S.ABCD để xác định hình chiếu của đỉnh S trên mặt phẳng đáy là tâm H của hình vuông ABCD, từ đó xác định chiều cao SH của hình chóp.
- Từ giả thiết, tính SH và diện tích của hình vuông ABCD.
- Sử dụng trực tiếp công thức tính thể tích của khối chóp để tính thể tích của khối chóp đều S.ABCD: 
Ví dụ 2: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng 2a, cạnh bên bằng .Tính thể tích khối chóp S.ABCD
Lời giải:
- S.ABCD là hình chóp tứ giác đều nên đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a , tâm O. Suy ra SO (ABCD), SA=SB=SC =SD = 
Diện tích hình vuông ABCD: 
Ta có: AC = 2a. 
SAO vuông tại O có
* Thể tích khối chóp S.ABCD là: (dvtt)
Ví dụ 3: Cho hình chóp đềucó cạnh đáy 2a, góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng. Tính thể tích của hình chóp.
Lời giải :
Gọi là tâm của mặt đáy, vì S.ABCD là hình chóp đều nên 
S
A
B
C
D
O
M
600
 gọilà trung điểm đoạn .
Ta có: 
(góc giữa mặtvà mặt đáy)
Ta có: 
Trongvuông tại, ta có: 
. Mặt khác: .
Thếvào (đvtt).
Nhận xét:
- Đây là dạng bài tập rèn tư duy cơ bản, qua các bài tập này rèn cho học sinh biết hệ thống hóa kiến thức và hệ thống hóa phương pháp tính thể tích của khối chóp đều.
- Trong bài toán 2 và bài toán 3 nếu cho a, b, bằng các số đo cụ thể ta sẽ được một loạt các bài toán tính thể tích cơ bản.	
HƯỚNG PHÁT TRIỂN 2:
TÍNH THỂ TÍCH CỦA KHỐI CHÓP TAM GIÁC CÓ 3 CẠNH BÊN BẰNG NHAU
	Đặt vấn đề: Xét tứ diện đều ABCD trong Bài toán 1 có ba góc tam diện và ba cạnh có chung đỉnh tương ứng luôn bằng nhau. Khái quát hóa Bài toán 1 bằng cách thay đổi số đo ở đỉnh của một tam diện thành các góc có số đo khác nhau, ta được khối chóp tam giác có ba cạnh bên bằng nhau. Khi đó ta tính thể tích khối chóp đó bằng cách nào? Có thể sử dụng trực tiếp công thức tính thể tích khối chóp?
Bài toán 4: Cho tứ diện ABCD có AB = AC = AD = a (a > 0) và ba góc: . Tính thể tích tứ diện ABCD.
Hướng giải: 
Nhận xét: Vì AB = AC = AD nên hình chiếu vuông góc của A trên mp(BCD) trùng với tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD. Do đó ta có thể tính thể tích tứ diện ABCD bằng phương pháp áp dụng trực tiếp công thức tính thể tích khối chóp A.BCD. 
- Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên mp(BCD) hay tại H. Do nên ta suy ra H là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆BCD.
- Áp dụng định lý cosin vào các tam giác ABC, ABD, ACD tính được độ dài 3 cạnh BC, CD, BD. Tính diện tích tam giác BCD và chiều cao AH
- Sử dụng trực tiếp công thức tính thể tích của khối chóp để tính thể tích của khối chóp A.BCD: 
 Nhận xét:
+ Nên nhận dạng tam giác BCD để dựa vào đặc điểm của tam giác để tính diện tích. 
+ Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp đáy (đoạn HB chẳng hạn), từ đó tính đường cao AH.
Chú ý:
	- Nếu BCD là tam giác thường thì tính diện tích bằng công thức Hê rông.
	- Nếu thì tứ diện ABCD là hình chóp tam giác đều A.BCD, (Bài toán 2.2).
	- Đặc biệt, nếu thì tam diện đỉnh A là tam diện vuông, nên cách đơn giản nhất để tính thể tích tứ diện ABCD là coi tứ diện là hình chóp B.ACD chẳng hạn, có cạnh bên vuông góc với đáy( cạnh bên BA là đường cao của hình chóp B.ACD) và đáy là tam giác vuông ACD.
Ví dụ 4: 
Cho tứ diện ABCD có AB = AC = AD = a (a > 0) , Tính theo a thể tích của tứ diện đó.
Lời giải:
- Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên mp(BCD) hay tại H. Do nên ta suy ra H là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆BCD.
- Theo giả thiết ta có các ∆ABC, ∆ABD đều cạnh a nên BC = BD = a.
- ∆ACD vuông cân tại A suy ra 
- Trong ∆BCD thỏa mãn: nên theo định lý Pitago đảo suy ra ∆BCD vuông cân tại B tâm đường tròn ngoại tiếp ∆BCD là trung điểm của cạnh huyền CD.. Thể tích tứ diện ABCD là: 
 (đvtt)
Ví dụ 5: Cho tứ diện ABCD có AB = AC = AD = a (a > 0) và . Tính theo a thể tích của tứ diện đó.
Hướng dẫn: 
- Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên mp(BCD) hay tại H. Do nên ta suy ra H là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆BCD.
- Theo giả thiết ta có ∆ACD đều cạnh a nên CD= a.
- ∆ABC vuông cân tại A suy ra 
- Áp dụng định lý cosin trong ∆BAD có: 
- Trong ∆BCD thỏa mãn: nên theo định lý Pitago đảo suy ra ∆BCD vuông tại C
 tâm H của đường tròn ngoại tiếp ∆BCD là trung điểm của cạnh huyền BD.
Thể tích tứ diện ABCD là: 
 HƯỚNG PHÁT TRIỂN 3
TÍNH THỂ TÍCH CỦA KHỐI CHÓP TAM GIÁC CÓ 3 CẠNH BÊN KHÔNG BẰNG NHAU
	Đặt vấn đề: Xét tứ diện ABCD trong Bài toán 4, nếu trên các tia AB, AC, AD lần lượt lấy các điểm M, N, P (không trùng với A) sao cho AM = a, AN = b, AP = c (a, b, c là các số thực dương cho trước) ta được tứ diện AMNP. Khi đó thể tích tứ diện AMNP có thể tính bằng cách nào? Ta có thể tìm mối liên hệ giữa thể tích khối tứ diện AMNP với thể tích khối tứ diện ABCD hay không? Từ đó ta có thể phát triển Bài toán 4 thành bài toán mới như sau:
Bài toán 5: Cho tứ diện ABCD có AB =b, AC = c, AD = a ( dương ) và ba góc: . Tính thể tích tứ diện ABCD.
Nhận xét: Nếu a, b, c không bằng nhau, không phải các góc có số đo đặc biệt thì việc xác định chiều cao của hình chóp tam giác này sẽ gặp khó khăn. Mặt khác theo bài toán 4 chúng ta đã biết tính thể tích khối chóp tam giác có 3 cạnh bên bằng nhau và 3 góc ở đỉnh cho trước. Nên bằng cách dựng thêm hình (lấy 3 điểm trên 3 tia AB, AC, AD sao cho 3 điểm đó kết hợp với điểm A tạo thành khối chóp có 3 cạnh bên bằng nhau mà có thể tính được thể tích (như bài toán 4), khi đó bằng cách sử dụng bài toán tỉ số thể tích đã nêu ở trên chúng ta sẽ tính được thể tích khối chóp A.BCD. Bằng cách này ta có thể đưa 1 bài toán phức tạp về bài toán đơn giản hơn.
Hướng giải: 
Giả sử cạnh AD = a có số đo bé nhất trong ba cạnh AB, AC, AD. 
Trên các đoạn AB, AC lần lượt lấy các điểm B’ và C’ sao cho AD = AB’ = AC’ =a. 
 Khi đó, áp dụng Bài 4 Trang 25(SGK hình 12 CB) :
Áp dụng kết quả Bài toán 4 ta tính được .
Ví dụ 6: Cho tứ diện ABCD có AB = a, AC = b, AD = c và các góc . Tính thể tích khối tứ diện ABCD theo a, b, c.
Phân tích: Nếu a = b = c thì tứ diện ABCD là hình chóp đều đỉnh A nên ta tính được thể tích của nó. Nếu a, b và c không đồng thời bằng nhau thì ta lấy C’ và D’ trên các tia AC, AD sao cho AC’ = AD’ = a để được hình chóp đều. Tiếp theo ta dùng công thức tỉ số thể tích để tính thể tích khối chóp A.BCD.
Lời giải:
Không giảm tổng quát, giả sử a nhỏ nhất. Trên các tia AC, AD lần lượt lấy C’ và D’ sao cho AC’ = AD’ = a. Tam giác ABC’ cân tại A và có nên tam giác ABC’ đều cạnh a. Tương tự các tam giác ABD’ và AC’D’ đều cạnh a nên tứ diện ABC’D’ đều cạnh a
Gọi H là trọng tâm tam giác BC’D’ thì
AH^(BC’D’) 
Theo bài toán về tỉ số thể tích ta có 
Ví dụ 7: 
Cho tứ