SKKN Rèn luyện năng lực giải toán cho học sinh lớp 11 thông qua dạy học chủ đề tổ hợp – xác suất ở trường THPT

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ 
TRƯỜNG THPT ĐÔNG SƠN 2
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
RÈN LUYỆN NĂNG LỰC GIẢI TOÁN CHO HỌC SINH LỚP 11 THÔNG QUA DẠY HỌC CHỦ ĐỀ
TỔ HỢP – XÁC SUẤT Ở TRƯỜNG THPT
Người thực hiện: Lê Mai
Chức vụ: Giáo viên
SKKN thuộc lĩnh vực: Toán học
THANH HOÁ, NĂM 2019
MỤC LỤC
TÀI LIỆU THAM KHẢO..................................................................................20
DANH MỤC ......................................................................................................21
PHỤ LỤC............................................................................................................22
I. PHẦN MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
	Trong bối cảnh cuộc Cách mạng công nghiệp 4.0 lan rộng khắp thế giới đã tác động không chỉ đến sự biến đổi kinh tế mà còn biến đổi cả văn hóa, xã hội một cách sâu sắc và toàn diện, tạo sự thay đổi lớn, đòi hỏi Giáo dục phải thay đổi cho phù hợp với sự phát triển đó.
 Đảng và Nhà nước ta luôn dự liệu trước những thách thức trong hoạt động giáo dục cho tương lai, các Nghị quyết của Đảng, Quốc hội, Chính phủ, các chỉ đạo của Thủ tướng Chính phủ, các chỉ thị của Ngành về Giáo dục qua thời đã chỉ rõ quan điểm giáo dục:“ Chuyển mạnh quá trình giáo dục từ chủ yếu trang bị kiến thức sang phát triển toàn diện năng lực và phẩm chất người học. Học đi đôi với hành” với mục tiêu:“ Đổi mới căn bản, toàn diện giáo dục và đào tạo, đáp ứng yêu cầu công nghiệp hóa, hiện đại hóa”( Nghị quyết số 29 của Hội nghị Trung ương 8, khóa XI).
Năng lực giải toán được đặc trưng bởi hoạt động tư duy tích cực, độc lập, sáng tạo của học sinh, tận lực huy động tri thức và kinh nghiệm tiến trình giải toán để đi đến lời giải, tìm được hướng giải quyết bài toán đã cho và xây dựng hướng giải các bài toán mới có từ bài toán ban đầu.
	Rèn lực năng lực giải toán cho học sinh nói chung có ý nghĩa vô cùng quan trọng vì việc làm đó có tác dụng bước đầu rèn cho học sinh khả năng giải quyết tốt các “ Bài toán”( Bao gồm cả bài toán cuộc sống ).
	Các bài toán chủ đề Tổ hợp – Xác suất luôn có mặt trong các kì thi cấp quốc gia và đặc biệt việc áp dụng các bài toán chủ đề này vào thực tế rất nhiều như: Thiết kế biển số xe, số điện thoại, mã số ổ khóa, mã vạch, sêri sản phẩm, xác định được mức độ an toàn của sản phẩm, Trong vui chơi giải trí, thông kê thì áp dụng để thiết kế các trò chơi như máy đánh bạc, máy đếm sổ số, tỉ số,...Ngoài ra kiến thức của toán Tổ hợp – Xác suất rất cần thiết cho nhiều ngành khoa học từ Kinh tế tới Sinh vật, Hóa học, Vật lý và Quản trị kinh doanh.
	Song chủ đề này thường làm học sinh lúng túng, khó khăn, hay nhầm lẫm giữa kí hiệu với khái niệm được định nghĩa, giữa khái niệm này với khái niệm khác, công thức trìu tượng khó nhớ, gây ra tâm lý e ngại, tạo bức rào cản ngay trong tư duy của các em.
	Xuất phát từ những lý do trên, với mong muốn giúp học sinh có định hướng, có năng lực tiếp cận thực tiễn và được tôi luyện qua các dạng toán, tôi chọn đề tài: “ Rèn luyện năng lực giải toán cho học sinh lớp 11 thông qua dạy học chủ đề Tổ hợp – Xác suất ”.
2. Mục đích nghiên cứu
- Phát triển năng lực giải toán tổ hợp xác suất cho học sinh THPT
- Xây dựng hệ thống bài tập theo từng dạng toán trong chương trình phổ thông.
3. Đối tượng nghiên cứu
HS lớp 11A1 và lớp 11A6 năm học 2018 -2019
4. Phương pháp nghiên cứu:
* Nghiên cứu lí luận: Nghiên cứu các loại tài liệu về lí luận và phương pháp giảng dạy môn Toán, các tài liệu về Tâm lí, Giáo dục học,...có liên quan đến đề tài như năng lực, năng lực toán học,...
* Điều tra, quan sát: Điều tra qua thực tiễn sư phạm, qua tài liệu, quan sát thực trạng dạy học của giáo viên và học sinh.
* Thực nghiệm sư phạm: Tổ chức thực nghiệm sư phạm để xem xét tính khả thi và hiệu quả của đề tài. 
II. NỘI DUNG
1. Cơ sở lý luận:
	- Dựa trên các kiến thức về khái niệm, định nghĩa, định lí và các công thức được chứng minh hoặc được thừa nhận trong chương trình toán trung học phổ thông.
	- Dựa trên đặc điểm phát triển năng lực nói chung và năng lực toán nói riêng.
2. Thực trạng:
* Nguyên nhân khách quan: 
Khóa học 2017 -2020, tôi được giao giảng dạy 2 lớp đại trà, chất lượng đầu vào thấp, việc lĩnh hội kiến thức cơ bản đối với các em còn vất vả, các em cộng trừ thậm chí còn chưa thạo. Bên cạnh đó, gia đình chủ yếu là thuần nông, điều kiện còn khó khăn, nhiều gia đình phải đi làm ăn xa, việc quan tâm đến học tập của con em còn hạn chế nên ý thức học tập của học sinh chưa thực sự tốt, chưa xác định được động cơ học tập.
* Nguyên nhân chủ quan: 
- Nội dung Tổ hợp – Xác suất nhiều khái niệm mới, công thức mới, có tính trìu tượng cao, khó nhớ, khó phân biệt và đặc biệt là cách suy luận không hoàn toàn giống suy luận toán học.
- Đây là nội dung mà học sinh cảm thấy khó, mới mẻ và rất hay mắc sai lầm từ việc nắm ngữ nghĩa cú pháp đến việc áp dụng các công thức, quy tắc khi giải bài tập
- Học sinh khó khăn trong việc nhận thức các suy luận hợp lý trong sự phân biệt với các suy luận diễn dịch khi học xác suất( Học sinh phải tiếp thu ngay sự hợp lý khi học xác suất)
- Khó khăn do ở học sinh cơ sở trực giác cho việc học các yếu tố của Lí thuyết xác suất là chưa có
3. Một số giải pháp nhằm rèn luyện năng lực giải toán cho học sinh thông qua dạy học chủ đề tổ hợp - xác suất
3.1. Rèn luyện cho học sinh nắm vững kiến thức cơ bản 
	* Đối với bài “ Hai quy tắc đếm ” cần yêu cầu học sinh phải phân biệt được sự giống nhau và khác nhau của hai quy tắc này ? Khi nào áp dụng quy tắc cộng, khi nào áp dụng quy tắc nhân ?
	Để hoàn thành công việc có nhiều phương án thực hiện, các phương án này độc lập nhau, ta có thể thực hiện phương án này này, không thực hiện phương án kia mà công việc vẫn hoàn thành thì dùng quy tắc cộng. Công việc được thực hiện bởi nhiều công đoạn, nếu bỏ qua một công đoạn nào đó thì công việc không hoàn thành thì ta dùng quy tắc nhân.
	Sau đó, nên phân tích cho học sinh trong một vài ví dụ thực tế, cụ thể áp dụng quy tắc đếm và một số bài tập trắc nghiệm nhanh nhằm giúp học sinh nắm vững kiến thức.
Ví dụ 1: Trường THPT Đông Sơn 2, khối 11 có 90 học sinh nam và 130 học sinh nữ.
	a) Nhà trường cần chọn một học sinh khối 11 đi dự đại hội Đoàn do huyện Đoàn Đông Sơn tổ chức. Hỏi nhà trường có bao nhiêu cách chọn?
	b) Nhà trường cần chọn hai học sinh trong đó có một học sinh nam và một nữ đi thi giọng hát hay toàn huyện. Hỏi nhà trường có bao nhiêu cách chọn? 
	Ở câu a nhiệm vụ công việc là gì? (Chọn một học sinh nam hoặc nữ) . áp dụng quy tắc nào?
Ở câu b nhiệm vụ công việc là gì? (Chọn ra hai học sinh, một nam và một nữ). Như vậy công việc muốn hoàn thành ta cần thực hiện bao nhiêu bước liên tiếp? Áp dụng quy tắc nào?
	* Khi dạy khái niệm về hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp giáo viên có thể dạy bằng con đường diễn dịch hoặc quy nạp nhưng cốt lõi là học sinh phải lấy được ví dụ cho từng dạng khái niệm. 
* Phân biệt được hoán vị của n phần tử với số hoán vị của n phần tử, chỉnh hợp chập k của n phân tử với số chỉnh hợp k của n phân tử, tổ hợp với số tổ hợp chập k của n phần tử . Nắm được các công thức tính số hoán vị của n phần tử , công thức tính số các chỉnh hợp k của n phân tử với , công thức tính các tổ hợp chập k của n phần tử với , cách sử dụng máy tính để tính.
Vậy dựa trên những yếu tố đặc trưng nào bài toán sử dụng hoán vị, chỉnh hợp hay tổ hợp?
+) Để sử dụng hoán vị của n phần tử dựa trên dấu hiệu đặc trưng sau:
	- Tất cả các phần tử đều có mặt
	- Mỗi phần tử chỉ xuất hiện một lần
	- Có phân biệt thứ tự giữa các phần tử
+) Để sử dụng chỉnh hợp chập k của n phần tử dựa trên dấu hiệu đặc trưng sau:
	- Phải chọn k phần tử từ n phần tử cho trước
	- Có phân biệt thứ tự giữa k phần tử được chọn
+) Để sử dụng tổ hợp chập k của n phần tử dựa trên dấu hiệu đặc trưng sau:
	- Phải chọn k phần tử từ n phần tử cho trước	
	- Không phân biệt thứ tự giữa k phần tử được chọn.
Sau đó giáo viên có thể đưa một vài ví dụ ở mức độ nhận biết – thông hiểu, học sinh có thể dựa vào dấu hiệu đặc trưng đưa ra cách làm.
Ví dụ 2: Cho tập hợp 
	a) Từ A có thể lập được bao nhiêu số gồm 5 chữ số phân biệt ?
	b) Từ A có thể lập được bao nhiêu số gồm 2 chữ số khác nhau ?
Đối với học sinh yếu giáo viên có thể định hướng theo sự gợi ý : 
?Ở tập hợp A có bao nhiêu số tất cả? Mỗi số xuất hiện bao nhiêu lần. Có phân biệt thứ tự giữa các số không? 
 Ở câu a học sinh phải xác định được mỗi số tự nhiên có 5 chữ số phân biệt là một hoán vị của 5 số ở tập hợp A nên số các số cần tìm bằng số hoán vị của 5, ở câu b chỉ cần lấy ra 2 trong 5 số ở tập hợp A và xếp thứ tự ta được số tự nhiên có 2 chữ số khác nhau như vậy số các số tự nhiên có 2 chữ số khác nhau bằng số hoán vị chập 2 của 5
Ví dụ 3: Lớp 11A6 có 45 học sinh cần chọn ra ban cán sự lớp gồm 5 người. Hỏi có tất cả bao nhiêu cách chọn? 
3.2. Rèn cho học sinh biết “ Quy lạ về quen ”, biết thực hiện tương tự hóa, khái quát hóa, bổ sung và hệ thống hóa các bài tập.
	Không chỉ giúp học sinh đưa những bài toán mới về những bài toán quen thuộc, làm những bài tập tương tự mà còn phải giúp học sinh hệ thống hóa các bài tập, đưa về các bài toán gốc.
* Bài toán về hoán vị thẳng, hoán vị vòng và hoán vị lặp
Ví dụ 1: 
a) Có bao nhiêu cách sắp xếp bốn học sinh A, B, C, D ngồi vào một bàn học gồm bốn chỗ?
b) Có bao nhiêu cách sắp xếp bốn học sinh A, B, C, D ngồi vào một bàn tròn gồm bốn chỗ?
Để mô tả cách xếp chỗ ngồi ta có thể dùng hình ảnh trực quan như sau:
Ở câu a, ta có thể liệt kê các cách có thể xảy ra:
A
B
C
D
A
C
B
D
,Như vậy, mỗi cách xếp là một hoán vị, số cách xếp chính bằng số hoán vị của 4 phần tử. Vậy có cách xếp.
	Ở câu b, xếp bốn học sinh vào một bàn tròn có gì khác so với xếp vào bàn thẳng? Cho học sinh quan sát cách xếp bốn học sinh vào bàn như hình dưới đây:
C
B
D
A
C
A
B
D
B
C
D
C
A
D
B
A
Các cách xếp trên có khác không?( Bốn cách xếp trên được coi là một cách sắp xếp). Như vậy, nếu chuyển đổi liên tiếp cả 4 phần tử thì kết quả nhận được là như nhau, số hoán vị vòng của 4 phần tử giảm 4 lần so với hoán vị thẳng. Vậy số sắp xếp 4 học sinh vào một bàn tròn bằng số hoán vị vòng của 4 phần tử : 
Từ bài toán cụ thể sắp xếp 4 học sinh vào 4 vị trí, cần tổng quát hóa thành bài toán thành tìm số hoán vị thẳng và số hoán vị vòng của n phần tử( Cần biết lược bỏ các yếu tố thực tế còn lại các yếu tố toán học)
	- Số hoán vị thẳng của n phần tử là 
 	- Số hoán vị vòng của n phần tử là ( Vì nếu chuyển đổi liên tiếp cả n phần tử thì kết quả nhận được là như nhau, số hoán vị vòng của n phần tử giảm n lần so với hoán vị thẳng )
Khi đã nắm vững bản chất của bài toán này thì ta có thể “đẻ ra” hệ thống các bài tập tương tự, đồng thời khi gặp các bài dạng này ta có thể bóc tách các nội dung còn lại bản chất toán học.
Ví dụ 2: 
	a) Khi mời n người khách ngồi vào xung quanh một bàn tròn. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp chỗ ngồi? Có bao nhiêu cách xếp 10 người vào một bàn tròn?
	b) Có bao nhiêu cách sắp xếp n người khách vào một bàn hình chữ U? Có bao nhiêu cách xếp 10 người vào một bàn hình chữ U?
Học sinh cần xác định : - Bài toán sử dụng hoán vị gì? (Hoán vị thẳng hay hoán vị vòng)
	 - Có bao nhiêu phần tử? Kết quả?
Bài toán hoán vị thẳng thỏa mãn tính chất cho trước:
Ví dụ 1: Có n quả cầu trắng và n quả cầu đen, đánh theo các số 1, 2, 3,,n. Có bao nhiêu cách sắp xếp các quả cầu này thành một dãy sao cho hai quả cầu cùng màu không nằm cạnh nhau
	- Các quả cầu được đánh số nên các quả cầu phân biệt với nhau bởi màu sắc và số được đánh trên quả cầu.
	- Nếu các quả cầu đánh số được xếp thành một dãy mà không thỏa mãn điều kiện gì thì mỗi kết quả xếp là một hoán vị (thẳng) của 2n phần tử nhưng bài toán yêu cầu hai quả cầu cùng màu không được đứng cạnh nhau nên sẽ phải sắp xếp thế nào? Có thể định hướng cho học sinh dưới dạng trực quan từ đó các em tự phân chia các khả năng có thể như:
 Khả năng 1:	
Đen
Trắng
Đen
.
Trắng
Khả năng 2:	
Trắng
Đen
Trắng
Đen
Như vậy, có 2 khả năng:
* Các quả cầu đen chiếm ở vị trí lẻ, còn các quả cầu trắng chiếm các vị trí chẵn.
* Các quả cầu trắng chiếm ở vị trí lẻ, còn các quả cầu đen chiếm các vị trí chẵn.
Trong mỗi trường hợp: có n! cách xếp quả cầu trắng ( hoặc đen) nghĩa là có cách sắp xếp. Do đó, số cách sắp xếp các quả cầu sao cho hai quả cầu cùng màu không nằm cạnh nhau là 2.
Đề xuất bài toán tương tự: Một nhóm học sinh gồm n nam và n nữ đứng thành hàng ngang. Có bao nhiêu tình huống mà nam, nữ đứng xen kẽ nhau? Có thể cho bài toán với các số liệu n cụ thể.
Ví dụ 2: Tìm số hoán vị của n phần tử trong đó có hai phần tử a và b không đứng cạnh nhau.
+) Học sinh cần nhận thấy số các hoán vị của n phần tử chứa a, b gồm những hoán vị mà a, b đứng cạnh nhau và những hoán vị mà a, b không đứng cạnh nhau.
+) Xem 2 phần tử a và b đứng cạnh nhau là một phần tử. Lúc này số các phần tử sẽ là n – 1. Tuy nhiên b đứng bên trái a (tức là ba)và b đứng bên phải a (tức là ab) là khác nhau. Như vậy, sẽ có hai khả năng xảy ra.
Giải: Số hoán vị của n phần tử là: 
	Số hoán vị của n phần tử trong đó b đứng cạnh bên trái a (b đứng cạnh bên phải a )là (n – 1)!. Do đó, số hoán vị của n phần tử mà a, b đứng cạnh nhau là 2(n – 1)!. Vậy số hoán vị của n phần tử trong đó có hai phần tử a và b không đứng cạnh nhau là: 
Từ đó, yêu cầu học sinh nắm công thức tính số hoán vị của n phần tử trong đó có hai phần tử a và b không đứng cạnh nhau( ) và công thức tính số hoán vị của n phần tử trong đó có hai phần tử a và b đứng cạnh nhau ( ).
Bài tập áp dụng:
Bài 1: Từ các số 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số có 5 chữ số khác nhau trong đó chữ số 1 và 2 không đứng cạnh nhau. (ĐS: số)
Bài 2: Từ các số 0, 1, 2, 3, 4, 5 có bao nhiêu số gồm 6 chữ số phân biệt sao cho:
a) Các chữ số chẵn đứng cạnh nhau
b) Các chữ số chẵn đứng cạnh nhau và các chữ số lẻ đứng cạnh nhau
	Khi giải các bài toán dạng tìm số các số tự nhiên thỏa mãn điều kiện cho trước, tâm lí chung là các em tỏ ra khá lúng tung trong cách phân chia trường hợp và cách diễn đạt đặc biệt là xuất hiện chữ số 0, có thể gợi ý cho các em theo từng bước nhỏ để các em không cảm thấy rối, bỡ ngỡ ở những bài toán đó:
- Các chữ số chẵn đứng cạnh nhau xảy ra những khả năng nào? 
- Khi các chữ số chẵn đứng cạnh nhau thì xem như chiếm một vị trí trong tổng hai vị trí( Mỗi số lẻ chiếm một vị trí, các số chẵn đứng cạnh nhau chiếm một vị trí)
- Cần chú ý chữ số đứng đầu bên trái phải khác 0
* Đối với học sinh tiếp thu chậm, ta có thể định hướng : 
Đặt .
Từ lập được 3.3!=18 số. Từ lập được 3.3!=18số
 Từ lập được 4!=24 số. Từ lập được 4!=24 số. Tương tự từ ,mỗi tập hợp cũng lập được 24 số. Vậy có 2.18+4.24=132 số có 6 chữ số phân biệt mà các chữ số chẵn đứng cạnh nhau.
* Đối với học sinh tiếp thu nhanh, ta có thể định hướng theo cách khác:	 Mỗi số tự nhiên có 6 chữ số phân biệt chính là sự sắp xếp 6 chữ số khác nhau vào 6 vị trí. Do có 3 chữ số chẵn, các chữ số này đứng cạnh nhau nên 3 chữ số này sẽ chiếm 1 vị trí
Số các số có 6 chữ số phân biệt mà các chữ số chẵn đứng cạnh nhau là 4!(Kể cả các số có chữ số 0 đứng bên trái)
Số các số có 6 chữ số phân biệt mà các chữ số chẵn đứng cạnh nhau và số 0 đứng đầu bên trái là 2!.3!
Vậy có 4!-2!.3! =132 số có 6 chữ số phân biệt mà các chữ số chẵn đứng cạnh nhau.
b) Cũng như câu a tùy theo đối tượng học sinh mà ta có thể định hướng cách làm:
Theo bài cho có 3 chữ số chẵn và 3 chữ số lẻ, số cách xếp 3 chữ số chẵn là 3!, số cách xếp 3 chữ số lẻ là 3! 
Nên số cách xếp số có 6 chữ số phân biệt mà các chữ số chẵn đứng cạnh nhau và các chữ số lẻ đứng cạnh nhau là 2!.3!.3!( Kể cả chữ số 0 đứng đầu bên trái). Số các số có chữ số 0 đứng đầu bên trái là: 2!.3!
	Vậy số các số thỏa mãn ycbt là 2!.3!.3! - 2!.3! = 60 số
Bài toán hoán vị vòng thỏa mãn tính chất cho trước:
Ví dụ: Một bàn tròn gồm 6 người ngồi được đánh số thứ tự. Hỏi có bao nhiêu cách xếp 6 người sao cho A và B luôn ngồi cạnh nhau?
	Xếp vị trí A có 6 cách, xếp vị trí B có 2 cách ( Bên trái hoặc bên phải A), 
Xếp vị trí cho 4 người còn lại có 4! cách. Vậy có 6.2.4! cách xếp
Đề nghị bài toán tổng quát:
	1. Mời n vị khách vào ngồi một bàn tròn được đánh số thứ tự. Hỏi có bao nhiêu cách xếp để cho hai vị khách A và B luôn ngồi cạnh nhau?
 Học sinh dễ dàng dự đoán được công thức tổng quát số cách xếp là: n.2.(n-2)!
( Yêu cầu chứng minh công thức tổng quát).
	2. Mời n vị khách vào ngồi một bàn tròn. Hỏi có bao nhiêu cách xếp để cho hai vị khách A và B luôn ngồi cạnh nhau?
Yêu cầu học sinh phân biệt đề bài 1 và đề bài 2, sự giống và khác nhau? Từ đó đưa ra cách làm?
+) Xem mỗi vị khách là một phần tử trong hoán vị vòng. Khi đó, xem 2 vị khách A và B ngồi cạnh nhau là một phần tử. Lúc này số các phần tử sẽ là n – 1. Tuy nhiên B ngồi bên trái A (tức là BA)và B ngồi bên phải A (tức là AB) là khác nhau. Do đó, số cách xếp là 2.(n-2)!
Bài toán tổng quát về hoán vị lặp:
	Ta đã biết bài toán có bao nhiêu phần tử xếp vào bấy nhiêu vị trí thì nghĩ tới việc tìm số hoán vị của các phần tử. Vậy trong các phần tử đó có những phần tử lặp lại thì sao?
Bài toán gốc: Có n vật sắp xếp vào n vị trí và trong n vật này có:
	+) n1 vật giống nhau
	+) n2 vật khác giống nhau
+) nk vật khác lại giống nhau
 Số cách sắp xếp n vật vào n chỗ là 
Cần tách nhỏ bài toán: Nếu có n vật sắp xếp vào n vị trí và trong n vật này có n1 vật giống nhau thì số cách sắp xếp là .Vì sao?
 Học sinh cần phát hiện ra vấn đề nếu các chữ số khác nhau khi tráo đổi vị trí của hai chữ số ta được một số mới, còn nếu hai chữ số giống nhau khi tráo đổi vị trí cho nhau thì không được số mới ( vẫn là số đó)
Ví dụ 3: Từ các chữ số 0, 1, 3, 5, 7, 9 có thể lập bao nhiêu số có 8 chữ số trong đó chữ số 1 có mặt 3 lần, mỗi số khác có mặt đúng 1 lần?
Xác định đây là bài toán hoán vị 8 vật( Coi 3 chữ số 1 là khác nhau) trong đó có 3 vật giống nhau ( 3 chữ số 1 ) .
Do đó, số các số thỏa mãn là , kể cả các số có chữ số 0 tận cùng bên trái. Các số này có thể xem là số hoán vị 7 vật có 3 vật lặp lại là .
 Vậy số các số phải tìm là số
Có thể hướng các em suy nghĩ theo cách áp dụng quy tắc nhân?
	- Số cách chọn vị trí để viết chữ số 1?
	- Số cách chọn chữ số tận cùng bên trái?
	- Số cách viết vào các vị trí còn lại?
Ví dụ 4: Từ các chữ số 1, 2, 3, 5, 7, 9 có thể lập bao nhiêu số có 8 chữ số trong đó chữ số 1 và chữ số 3 có mặt đúng 2 lần, mỗi số khác có mặt đúng 1 lần?
Khi đã nắm được bản chất của bài toán, học sinh có thể đọc ngay kết quả là số. Vậy nếu làm theo cách khác được không?
- Có cách chọn vị trí để viết chữ số 1
 - Có cách chọn vị trí để viết chữ số 3
- Có 4! Cách viết 4 số vào 4 vị trí còn lại
Theo quy tắc nhân có ..4!=180080 số
3.3. Rèn luyện năng lực định hướng đường lối, biết phân chia ra thành các trường hợp nhỏ để giải toán.
 Rèn luyện cho học sinh năng lực định hướng đường lối giải, biết phân chia bài toán thành các trường hợp nhỏ để giải toán là nhiệm vụ rất quan trọng trong dạy học giải bài tập toán. Đối với dạy học chủ đề Tổ hợp – Xác suất thì đây là nhiệm vụ đặc biệt quan trọng giúp học sinh đơn giản bài toán và biết hướng làm cho các dạng tương tự.
Ví dụ 1: Một hộp có 9 bi đỏ, 4 bi xanh cùng kích cỡ. Chọn ngẫu nhiên một lúc ra 5 bi . Tính xác suất để trong 5 bi chọn ra có ít nhất 3 bi đỏ.
Đây là dạng toán mà học sinh trung bình – yếu cảm thấy hứng thú nếu ta hướng cho các em cách phân chia lấy đủ các trường hợp, hiểu rõ các cụm từ “có ít nhất – có nhiều nhất- có đúng, không nhiều hơn, không ít hơn”
- Tổng có bao nhiêu bi? Lấy ra bao nhiêu bi? 
- Lấy ra ít nhất 3 bi đỏ trong 5 bi sẽ xảy ra những trường hợp nào? Ứng với mỗi trường hợp có bao nhiêu cách chọn?( Có 3 bi đỏ, 2 bi xanh: cách, Có 4 bi đỏ, 1 bi xanh: cách, Có 5 bi đỏ: cách)
Vậy xác xuất cần tìm là 
Ví dụ 2: (Bài toán tìm số các số tự nhiên thỏa mãn tính chất cho trước được lập từ tập hợp A, liên quan đến chia hết, tính chẵn - lẻ,...)
 Gọi A là tập hợp các số tự nhiên có 9 chữ số đôi một khác nhau, chọn một số tự nhiên thuộc tập hợp A. Tính xác suất để chọn một số thuộc tập A và số đó chia hết cho 3
	Ở phần này ta phải nhắc lại cho học sinh tính chất và dấu hiệu chia hết ở những dạng đơn giản như:
Dấu hiệu chia hết cho 2 phải có tận cùng là :0,2,4,6,8