SKKN Rèn luyện kỹ năng tổng hợp, tạo hứng thú học tập cho học sinh, thông qua tổng hợp các bài toán tiếp tuyến của đồ thị hàm số

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ
TRƯỜNG THPT SẦM SƠN
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
RÈN LUYỆN KỸ NĂNG TỔNG HỢP, TẠO HỨNG THÚ HỌC TẬP CHO HỌC SINH, THÔNG QUA TỔNG HỢP CÁC BÀI TOÁN TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ
Người thực hiện: Lê Đình Lợi
Chức vụ: Giáo viên
SKKN thuộc bộ môn: Toán
THANH HOÁ, THÁNG 5 NĂM 2019
MỤC LỤC
	Trang
1. MỞ ĐẦU	1
1.1. Lí do chọn đề tài	1
1.2. Mục đích nghiên cứu	2
1.3. Đối tượng nghiên cứu	2
1.4. Phương pháp nghiên cứu	2
2. NỘI DUNG	2
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm	2
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm	2
2.3. Giải pháp áp dụng tổng hợp các dạng toán chủ đề Tiếp tuyến, giúp 
học sinh rèn luyện kỹ năng tự học, tự tổng hợp và phát triển tư duy	3
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, 
bản thân, đồng nghiệp và nhà trường.	16
3. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ	16
3.1. Kết luận	16
3.2. Kiến nghị	17
TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. MỞ ĐẦU
1.1. LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI:
 Như chúng ta đã biết nhiệm vụ của giáo dục phổ thông hiện nay không chỉ là đổi mới chương trình giáo dục, mà điều quan trọng là đổi mới phương pháp dạy và học. Với mục tiêu đào tạo nguồn nhân lực Việt Nam đáp ứng yêu cầu của thời đại, đó là: Nguồn lao động năng động, sáng tạo, có tinh thần trách nhiệm, có khả năng thích ứng, biết đoàn kết và hợp tác trong lao động sản xuất. Vì thế trong Chiến lược phát triển giáo dục giai đoạn 2011 - 2020 ban hành kèm theo Quyết định 711/QĐ-TTg ngày 13/6/2012 của thủ tướng chính phủ đã chỉ rõ: "Tiếp tục đổi mới PPDH và đánh giá kết quả học tập, rèn luyện theo hướng phát triển tích cực, tự giác chủ động, sáng tạo và năng lực tự học của người học".
 Hiện nay một trong những PPDH theo hướng tích cực hóa hoạt động của người học đó là '' Dạy học theo dự án''. Dạy học theo dự án đáp ứng quan điểm dạy học lấy học sinh làm trung tâm, các hoạt động học tập được thiết kế mang tính thiết thực, có liên quan đến kiến thức thực tiễn, giúp học sinh rèn luyện được một số năng lực quan trọng như: Năng lực tự học, năng lực giải quyết vấn đề, năng lực giao tiếp, năng lực hợp tác, năng lực sử dụng công nghệ thông tin và truyền thông, năng lực tính toán  Tuy nhiên, dạy và học theo dự án đòi hỏi giáo viên phải mất nhiều thời gian công sức để thiết kế dự án khả thi và không phải nội dung nào cũng áp dụng được phương pháp này, không phải đối tượng học sinh nào cũng có thể tự nghiên cứu và biết vận dụng kiến thức vào thực tiễn để học theo dự án.
 Trong chương trình toán học phổ thông, các bài toán liên quan đến hàm số, đồ thị hàm số là một trong những nội dung cơ bản và quan trọng.
Là một giáo viên toán THPT, qua những năm tham gia giảng dạy môn toán ở trường THPT, tôi nhận thấy về mặt tâm lí học sinh THPT đã bộc lộ rõ thiên hướng, sở trường và hứng thú với từng lĩnh vực. Tuy nhiên đối với đa số học sinh thì khả năng tự học chưa cao và các em thấy rất khó khăn trong giải Toán, thậm chí có nhiều học sinh còn đặt câu hỏi “Học để làm gì”. Nên một lượng kiến thức cơ bản: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số và các bài toán liên quan đến hàm số, đồ thị hàm số như: Sự đồng biến nghịch biến của hàm số, Giá trị lớn nhất giá trị nhỏ nhất, Cực trị, Sự tương giao của các đường, Tiếp tuyến, Phép suy đồ thị... là những kiến thức thực sự cần thiết hàng đầu để học sinh trung học phổ thông tiếp thu và lĩnh hội. 
Với thực tế như trên và qua kinh nghiệm giảng dạy tôi mạnh dạn viết sáng kiến kinh nghiệm với chủ đề: “ Rèn luyện kỹ năng tổng hợp, tạo hứng thú học tập cho học sinh, thông qua tổng hợp các bài toán liên quan đến Tiếp tuyến của đồ thị hàm số ”
+ Tổng hợp một các khái quát nhất về phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số và các vấn đề liên quan đến Tiếp tuyến.
+ Nội dung bài viết dành cho tất cả các đối tượng học sinh, đặc biệt học sinh khối 12 trường THPT Sầm Sơn.
1.2. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU:
- Rèn luyện kỹ năng tổng hợp các dạng toán, kỹ năng làm toán trắc nghiệm cho học sinh.
- Phát triển tư duy và sự tìm tòi trong học tập của học sinh.
- Tạo sự hứng thú trong học tập qua các kết quả học tập của học sinh.
1.3. ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU:
 Chủ đề Tiếp tuyến 
 - Tiếp tuyến của đồ thị hàm số, và các bài toán liên quan.
- Hệ thống các bài toán giúp học sinh phân tích tổng hợp.
1.4. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU:
- Nghiên cứu tài liệu: nghiên cứu một số giáo trình, sách tham khảo về phương pháp dạy học toán, tuyển tập các đề thi ĐH – CĐ, và các đề thi học sinh giỏi.
- Phương pháp tổng kết kinh nghiệm: tổng kết kinh nghiệm qua các năm trực tiếp giảng dạy chuyên đề, qua trao đổi với các đồng nghiệp để từ đó xây dựng được một hệ thống phương pháp, bài tập về tiếp tuyến.
- Phương pháp thực nghiệm sư phạm: thử nghiệm giảng dạy chuyên đề cho đối tượng là các học sinh Khá, Giỏi của trường trung học phổ thông và các lớp ôn thi ĐH – CĐ các năm gần đây.
2. NỘI DUNG
2.1. CƠ SỞ LÍ LUẬN CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM:
Trong sách giáo khoa đại số và giải tích 11, phần ý nghĩa hình học của đạo hàm, giải tích 12 phần các bài toán liên quan đến đồ thị hàm số viết khá ngắn gọn và sơ sài về Tiếp tuyến. Với mục đích để giáo viên và học sinh khai thác sâu hơn chủ đề này thông qua phương trình Tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm. Và một thực tế đã nêu ở mục lí do chọn đề tài. Đặc biệt khi giải các bài toán Tiếp tuyến qua điểm học sinh có thể nhầm lẫn với bài toán Tiếp tuyến tại điểm, và giải một số bài toán liên quan đến diện tích, chu vi tam giác. 
2.2. THỰC TRẠNG VẤN ĐỀ TRƯỚC KHI ÁP DỤNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM:
a. Thực trạng
 Trong sách giáo khoa: Đại số và giải tích 11 (Chương trình nâng cao), ở chủ đề V ''Đạo hàm'': chỉ dừng đến ý nghĩa hình học của đạo hàm là Tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm.
	Mặt khác nội dung Tiếp tuyến của đồ thị hàm số và các vấn đề liên quan tương đối quan trọng trong thi học sinh giỏi và thi THPTQG.
 Và sự nhận dạng, phân tích, tổng hợp các dạng toán trong từng chủ đề của học sinh còn hạn chế. 
b. Kết quả của thực trạng
	Từ thực trạng trên dẫn đến:
 Đối với giáo viên: 
 	- Giáo viên không tổ chức tổng hợp được từng chủ đề, đa dạng về hình thức, đổi mới về phương pháp làm cho không khí học tập nhàm chán, đơn điệu mà chỉ dạy mang tính chất đảm bảo phân phối chương trình.
	- Giáo viên chưa làm cho học sinh thấy được mối liên hệ thực tiễn rất gần gũi giữa các dạng toán của từng chủ đề.
 Đối với học sinh: 
 - Ngại học vì nhiều công thức, nhiều dạng toán.
 - Thiếu khả năng liên hệ giữa các nội dung, không biết vận dụng nội dung này để áp dụng vào nội dung khác.
	Vì vậy với sự nhận dạng, phân tích, tổng hợp hạn chế của học sinh. Nên tôi mạnh dạn tổng hợp các bài toán về chủ đề Tiếp tuyến qua SKKN này để học sinh nắm vững và vận dụng. Đồng thời vận dụng sự tổng hợp này để hình thành kỹ năng phân tích, tổng hợp các dạng toán khác, phù hợp với vận dụng đổi mới phương pháp dạy học ở trường THPT Sầm Sơn.
2.3. GIẢI PHÁP ÁP DỤNG TỔNG HỢP CÁC DẠNG TOÁN CHỦ ĐỀ TIẾP TUYẾN, GIÚP HỌC SINH RÈN LUYỆN KỸ NĂNG TỰ HỌC, TỰ TỔNG HỢP VÀ PHÁT TRIỂN TƯ DUY: 
 Qua cơ sở và thực trạng nói trên, đúc kết kinh nghiệm tôi mạnh dạn tổng hợp một cách khái quát về chủ đề Tiếp tuyến của đồ thị hàm số với những nội dung sau:
NỘI DUNG I: VIẾT PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN (PTTT) CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ.
Học sinh cần tổng hợp và nắm vững được ba bài toán sau:
Bài toán 1: Viết pttt của đồ thị hàm số y=f(x) tại điểm (thuộc đồ thị hàm số ).
Phương pháp
 Pttt có dạng: . Xác định rồi thay vào phương trình trên và biến đổi về dạng ta được pttt cần tìm.
Bài toán 2: Viết pttt của đồ thị hàm số y=f(x) biết tiếp tuyến đi qua điểm (thuộc hoặc không thuộc đồ thị hàm số ).
Phương pháp
 Giải bài toán này học sinh sử dụng một trong hai cách sau:
Cách 1:
+ Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm và có hệ số góc k là: 
+ Để d là tiếp tuyến của đồ thị hàm số thì hệ sau có nghiệm:
giải hệ tìm k thay vào tiếp tuyến d ta được pttt cần tìm.
Cách 2:
+ Pttt của đồ thị hàm số tại điểm là: 
+ Cho tiếp tuyến trên đi qua nên ta có: 
Biểu thị qua và thay vào phương trình trên ta được phương trình ẩngiải tìm suy ra bài toán quy về viết pttt tại điểm.
Ví dụ 1: Viết pttt của đồ thị hàm số biết tiếp tuyến đi qua điểm 
Hướng dẫn giải
Lưu ý: Có nhiều học sinh kiểm tra thấy điểm M thuộc đồ thị hàm số, và sử dụng bài toán ở dạng 1 để giải là nhầm lẩn. Vì đây là bài toán pttt đi qua điểm và tiếp tuyến đi qua điểm thì có ít nhất một tiếp tuyến còn tại một điểm chỉ có duy nhất một tiếp tuyến
Cụ thể áp dụng dạng 2 và trình bày cho học sinh cả hai cách:
Cách 1: 
+ Phương trình đường thẳng d đi qua điểm có hệ số góc k: 
+ Đường thẳng d là tiếp tuyến của đồ thị hàm số thì hệ sau có nghiệm: 
Vậy có ba pttt: thỏa mãn yêu cầu bài toán
Cách 2:
+ Pttt của đồ thị hàm số tại điểm là: 
 + Cho tiếp tuyến trên đi qua ta được: 
Vậy có ba pttt: thỏa mãn yêu cầu bài toán
Bài toán 3: Viết pttt của đồ thị hàm số y=f(x) biết tiếp tuyến có hệ số góc k cho trước.
Phương pháp
+ Pttt của đồ thị hàm số tại điểm là: 
+ Theo giả thiết ta có giải tìm bài toán quay về viết pttt tại điểm
Chú ý 1: Ở bài toán này hệ số góc của tiếp tuyến thường được cho gián tiếp thông qua biết tiếp tuyến song song hoặc vuông góc với một đường thẳng cho trước.
Cụ thể:
 * Tiếp tuyến song song đường thẳng 
 * Tiếp tuyến vuông góc đường thẳng 
Chú ý 2: Từ ba bài toán viết pttt của đồ thị hàm ở trên, học sinh cần tổng hợp được: viết pttt của đồ thị hàm số đều quy về áp dụng bài toán viết pttt của đồ thị hàm số tại điểm.
Ví dụ 2: Cho hàm số: có đồ thị là (C).
Viết pttt của (C) tại điểm có hoành độ bằng .
Viết pttt của (C) tại điểm có tung độ bằng 8.
Viết pttt của (C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng có phương trình: y=3x+1.
 Hướng dẫn giải
Ta có: 
a. Theo đề bài: và 
 Vậy pttt: y=3x+2.
b. Theo đề bài: 
 Vậy pttt: y-8=12(x-2)y=12x-16.
c. Tiếp tuyến tại có hệ số góc 
Theo đề bài tiếp tuyến song song với đường thẳng y=3x+1,
suy ra:	
+ Với pttt y=3x-2
+ Với pttt y=3x+2
Vậy có hai pttt thỏa mãn yêu cầu bài toán: y=3x-2, y=3x+2
Ví dụ 3: (Đề thi đại học khối A năm 2009).
 Viết pttt của đồ thị hàm số biết tiếp tuyến cắt trục hoành, trục tung lần lượt tại hai điểm A, B sao cho tam giác OAB cân ở O.
Hướng dẫn giải
+ Tiếp tuyến của đồ thị hàm số cắt hai trục tọa độ tại hai điểm cùng với gốc tọa độ O tạo thành tam giác cân tại O, suy ra hệ số góc của tiếp tuyến bằng .
+ Hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm là , suy ra: 
 Với pttt y=-x (loại)
 Với pttt y=-x-2 (thỏa mãn)
Vậy pttt cần tìm: y=-x-2.
Bài tập
1. Cho hàm số: , có đồ thị là (C).
Khảo sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
Viết pttt của (C) biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng có phương trình: y=x+5.
2. Viết pttt của đồ thị hàm số 
a. Tại điểm ()
b. Tại điểm có hoành độ bằng .
c. Biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng .
3. Cho hàm số: 
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b. Viết pttt của (C) tại điểm có hoành độ bằng .
c. Viết pttt của (C) biết tiếp tuyến đi qua điểm A().
d. Viết pttt của (C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y=9x+2
4. Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung là:
A. -2 B. 2 C. 1 D. -1
5. Tiếp tuyến của đồ thị hàm số có hệ số góc k = -9 có phương trình:
A. y = -9x-43 B. y = -9x+43 C. y = -9x+11 D. y = -9x-27
NỘI DUNG II : NHỮNG VẤN ĐỀ LIÊN QUAN ĐẾN TIẾP TUYẾN
Vấn đề 1: Tiếp tuyến với định lý Viet
 Là vấn đề Tiếp tuyến của đồ thị hàm số thỏa mãn một điều kiện nào đó, và SKKN này tôi tổng hợp một số bài toán như:
+ Đồ thị hàm số có hai Tiếp tuyến vuông góc
+ Đồ thị hàm số có hai Tiếp tuyến, tống hệ số góc hai Tiêp tuyến đạt giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất...
Phương pháp:
 Để giải những bài toán thuộc vấn đề này ta áp dụng trực tiếp một trong các bài toán về phương trình tiếp tuyến kết hợp với sử dụng định lý Viet cho phương trình bậc hai hoặc phương trình bậc ba.
Cụ thể: Phương trình bậc hai: ax2+bx + c=0
Phương trình bậc ba: ax3+bx2+cx+d=0
Ví dụ 4: Cho hàm số: y=x3+ 3x2+mx+1
Khảo sát sự biến thiên và đồ thị hàm số khi m=3
 Học sinh tự làm
b. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng y=1 cắt đồ thị hàm số đã cho tại ba điểm phân biệt A(0; 1), B, C, đồng thời tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại B và C vuông góc với nhau.
Hướng dẫn giải
+ Hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số và đường thẳng y=1 là nghiệm của phương trình:
Để đường thẳng y=1 cắt đồ thị hàm số tại ba điểm phân biệt thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt 
+ Tiếp tuyến tại B và C vuông góc 
Trong đó là nghiệm của phương trình (1) và theo định lí Viet ta có: 
Ta được:
Kết hợp (2) vậy thì yêu cầu bài toán thỏa mãn.
Ví dụ 5: Đề thi đại học khối A năm 2011.
Chứng minh rằng với mọi m đường thẳng y=x+m luôn cắt đồ thị hàm số tại hai điểm phân biệt A và B. Gọi k1, k2 lần lượt là hệ số góc của các tiếp tuyến với đồ thị hàm số tại A và B. Tìm m để tổng k1+ k2 đạt giá trị lớn nhất.
Hướng dẫn giải
+ Hoành độ giao điểm của đường thẳng y=x+m và đồ thị hàm số là nghiệm của phương trình: Û 2x2+2mx-m-1=0,(*)
Ta có : D' = m2+2m+2 > 0 "m Þ đường thẳng y=x+m luôn cắt đồ thị hàm số tại 2 điểm phân biệt với mọi m
+ Gọi x1, x2 là nghiệm của phương trình (*) ta có:
Theo định lý Viet, suy ra: k1+k2 =-4m2 – 8m – 6 = -4(m+1)2 -2 ≤ -2
Vậy Max(k1+k2 ) = -2 khi m= -1
Vấn đề 2: Những bài toán cần phải viết pttt của đồ thị hàm số y=f(x) tại điểm. 
 Là những bài toán yêu cầu xác định vị trí của điểm M thuộc đồ thị hàm số để:
+ Tiếp tuyến tại điểm M tạo với hai đường tiệm cận một tam giác có diện tích không đổi.
+ Tiếp tuyến tại điểm M tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích cho trước.
+ Tiếp tuyến tại điểm M tạo với hai đường tiệm cận một tam giác có chu vi đạt giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất
Phương pháp: 
 Để giải quyết được những bài toán trên, ta phải tìm được tọa độ của điểm M. Muốn vậy ta phải viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm sô tại điểm M. Khi đó điểm M là giao điểm của tiếp tuyến tại M và hai đường tiệm cận ( hoặc hai trục tọa độ ), từ đó ta có tọa độ của điểm M phụ thuộc vào một giá trị tham số. Dựa vào yêu cầu bài toán ta xác định được điểm M.
Ví dụ 6: Cho hàm số: , có đồ thị là (C).
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
M bất kì thuộc (C), tiếp tuyến tại M cắt tiệm cận đứng, tiệm cận ngang lần lượt tại A và B. Chứng minh rằng tam giác IAB có diện tích không đổi (I là giao điểm của hai đường tiệm cận), và M là trung điểm của đoạn AB.
Tiếp tuyến của (C) tại N cắt trục hoành, trục tung lần lượt tại P và Q. Tìm tọa độ điểm N sao cho tam giác OPQ có diện tích bằng .
Tìm tất cả các điểm thuộc (C) sao cho tiếp tuyến tại đó lập với hai đường tiệm cận một tam giác có chu vi bé nhất.
Hướng dẫn giải
Chỉ minh họa đồ thị
M
Phân tích: Ở ý b và ý c đều liên quan đến tiếp tuyến tại điểm nên ta làm ý chung của cả hai ý là viết phương trình tiếp tuyến tại điểm : 
Chú ý: Điểm M và điểm N trong bài toán là điểm 
* Chứng minh tam giác IAB có diện tích không đổi. 
 Ta có: 
 + I là giao điểm của hai đường tiệm cận, nên ta có I(1; 1).
+ A là giao điểm của tiếp tuyến tại điểm với tiệm cận đứng, suy ra tọa độ điểm A là nghiệm của hệ: 
 + B là giao điểm của tiếp tuyến tại điểm với tiệm cận ngang, suy ra tọa độ điểm B là nghiệm của hệ:
 Suy ra: (đpcm)
* Chứng minh M là trung điểm của đoạn AB.
 Ta có: . Vậy M là trung điểm của đoạn AB (đpcm)
Ta có : 
+ P là giao điểm của tiếp tuyến tại điểm với trục hoành, nên: 
+ Q là giao điểm của tiếp tuyến tại điểm với trục tung, nên: 
Suy ra: 
Vậy điểm cần tìm là: 
Giả sử tam giác IAB có chu vi nhỏ nhất, và đặt V là chu vi tam giác IAB.
Ta có: V=IA+IB+AB=IA+IA+IA+IB+
 = 4
Suy ra: V
Vậy có hai điểm thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Ví dụ 7: Cho hàm số: có đồ thị là (C).
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
Viết pttt của (C), biết tiếp tuyến cắt trục hoành, trục tung lần lượt tại A và B sao cho AB=OA.
Hướng dẫn giải
Học sinh tự làm.
+ Tiếp tuyến tại là: 
 + Tiếp tuyến của (C) tại cắt Ox tại A, Oy tại B sao cho: AB=OA ABO vuông cân tại O nên hệ số góc của tiếp tuyến bằng .
 Ta có: 
Với pttt y=-x (loại)
 Với pttt y=-x+8
 Vậy tiếp tuyến thỏa mãn bài toán là: y=-x+8.
Bài tập
Cho hàm số: có đồ thị là (C).
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
Chứng minh rằng mọi tiếp tuyến của (C) đều lập với hai đường tiệm cận một tam giác có diện tích không đổi.
Tìm tất cả các điểm thuộc (C) sao cho tiếp tuyến tại đó lập với hai đường tiệm cận một tam giác có chu vi nhỏ nhất.
Cho hàm số: có đồ thị là (C).
a, b phải thỏa mãn điều kiện gì để đường thẳng d: y=ax+b tiếp xúc với (C).
Giả sử điều kiện trên được thỏa mãn, khi đó d cắt Ox, Oy tai A, B. Chứng minh rằng:
+ Tam giác OAB có diện tích không đổi.
+ Tiếp điểm của d và (C) là trung điểm của đoạn AB.
Tìm tọa độ điểm M có hoành độ âm trên đồ thị hàm số: sao cho tiếp tuyến tại M vuông góc với đường thẳng: .
A. M(-2; 0) B. M(-2; 3) C. M(-3; 1/2) D. M(-1; 4/3)
Vấn đề 3: Tìm trên mặt phẳng tọa độ Oxy những điểm mà từ đó kẻ được tiếp tuyến tới đồ thị hàm số y = f(x).
Phương pháp 
+ Gọi điểm cần tìm M(a; b). Pttt của đồ thị hàm số tại: 
+ Cho tiếp tuyến đi qua M ta có: đưa phương trình về ẩn 
+ Số tiếp tuyến xuất phát từ điểm M quy về biện luận số nghiệm của phương trình ẩn từ đó suy ra tọa độ điểm M
Ví dụ 8: Tìm trên đồ thị hàm số những điểm mà từ đó kẻ được duy nhất một tiếp tuyến tới đồ thị hàm số.
Hướng dẫn giải
+ Gọi M là điểm cần tìm, M thuộc đồ thị hàm số Pttt của đồ thị hàm số tại: 
Trong đó: và 
+ Cho tiếp tuyến đi qua M ta có: 
 Biến đổi và đưa phương trình về ẩn : 
 Do M thuộc đồ thị hàm số nên = m chính là hoành độ của một tiếp điểm, nghĩa là phương trình ẩn phải có một nghiệm kép= m.
 Pt ẩn 
Để qua M kẻ được duy nhất một tiếp tuyến tới đồ thị hàm số thì phương trình ẩn phải có duy nhất một nghiệm suy ra: 
Vậy điểm cần tìm là M(1; -1) và chính là điểm uốn. 
Ví dụ 9: Cho hàm số: 
a. Chứng minh rằng trên đồ thị hàm số không tồn tại hai điểm sao cho hai tiếp tuyến tại hai điểm đó của đồ thị vuông góc với nhau.
b. Xác định k để trên đồ thị có ít nhất một điểm mà tiếp tuyến tại đó vuông góc với đường thẳng y=kx.
Hướng dẫn giải
Giả sử trên đồ thị hàm số tồn tại hai điểm M(x; y) và N(x; y) thỏa mãn yêu cầu bài toán. 
 Ta có: Tiếp tuyến tại M có hệ số góc: =
 Tiếp tuyến tại N có hệ số góc: =
 Hai tiếp tuyến tại M và N vuông góc 
 vô lý
	Vậy điều giả sử sai nên trên đồ thị hàm số không tồn tại hai điểm thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Gọi M(x; y) thuộc đồ thị hàm số, tiếp tuyến tại M có hệ số góc: 
 Tiếp tuyến tại M vuông góc với đường thẳng y=kx 
 Để trên đồ thị hàm số tồn tại ít nhất một điểm, mà tiếp tuyến tại đó vuông góc với đường thẳng y=kx thì phương trình ẩn trên phải có ít nhất một nghiệm. 
+ Với k=0 suy ra 1=0 vô lý
+ Với k0 suy ra phương trình ẩn trên có ít nhất một nghiệm 
 Vậy k<0 là giá trị cần tìm.
Ví dụ 10: Cho hàm số: có đồ thị là (C).
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ (C) thị của hàm số.
Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến đi qua điểm .
Tìm trên đường thẳng y=-2 những điểm mà từ đó có thể kẻ được tới (C) hai tiếp tuyến, và hai tiếp tuyến đó vuông góc với nhau.
Hướng dẫn giải
Chỉ minh họa đồ thị.
y
Học sinh tự làm.
+ M thuộc đường thẳng y=-2 suy ra M(m; -2)
 + Tiếp tuyến của đồ thị tại : 
 + Tiếp tuyến đi qua M(m; -2) nên ta có : 
Ta nhận thấy tại có tiếp tuyến y=-2 và khi đó không tồn tại tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y=-2
+ Để yêu cầu bài toán thỏa mãn thì phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn 
 Vậy M() thuộc đường thẳng y=-2 thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Bài tâp 
1.Cho điểm A(0 ; a). Tìm điều kiện của a để từ điểm A kẻ được hai tiếp tuyến tới đồ thị hàm số y= sao cho hai tiếp điểm tương ứng thỏa mãn:
Nằm về hai phía của trục hoành.(ĐỀ THI CHỌN HS GIỎI CẤP TỈNH 2015)
Nằm về hai phía của trục tung.
2. Cho hàm số: có đồ thị là (C).
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ (C) thị của hàm số.
Tìm trên đường thẳng y=2 những điểm mà từ đó có thể kẻ được tới (C) hai tiếp tuyến, và hai tiếp tuyến đó vuông góc với nhau.
3. Cho hàm số: 
 a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.
 b. Tìm những điểm trên đường thẳng y=2 từ đó kẻ được ba tiếp tu