SKKN Rèn luyện kỹ năng phân tích đa thức thành nhân tử. Nhằm nâng cao chất lượng môn toán, cho học sinh lớp 8 trường THCS Lê Lợi

1. Mở đầu
1.1. Lý do chọn đề tài
Chuyên đề "Phân tích đa thức thành nhân tử" được học khá kỹ ở chương trình lớp 8, nó có rất nhiều bài tập và cũng được ứng dụng rất nhiều để giải các bài tập trong chương trình đại số lớp 8 cũng như ở các lớp trên. Vì vậy yêu cầu học sinh nắm chắc và vận dụng nhuần nhuyễn các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử là vấn đề rất quan trọng. Nắm được tinh thần này trong quá trình giảng dạy toán lớp 8 tôi đã dày công tìm tòi, nghiên cứu để tìm ra các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử một cách đa dạng và dễ hiểu. Góp phần rèn luyện trí thông minh và năng lực tư duy sáng tạo cho học sinh. Trong sách giáo khoa (SGK) đã trình bày các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử là phương pháp đặt nhân tử chung, phương pháp nhóm các hạng tử, phương pháp dùng hằng đẳng thức ... Trong chuyên đề này tôi giới thiệu thêm các phương pháp như: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp tách một hạng tử thành nhiều hạng tử, phương pháp thêm bớt hạng tử, phương pháp đặt ẩn phụ, phương pháp tìm nghiệm của đa thức ... Đồng thời vận dụng các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử để làm một số dạng bài tập có liên quan như: Rút gọn phân thức, giải phương trình nghiệm nguyên, giải phương trình bậc cao, tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức có dạng ax2 + bx + c .
Khi học chuyên đề này học sinh tiếp thu rất thích thú. Các ví dụ đa dạng, có nhiều bài tập vận dụng tương tự nên giúp cho học sinh nắm vững các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử tạo tiền đề cho các em học tập kiến thức mới và giải các bài toán khó có liên quan.
1.2. Mục đích nghiên cứu:
Để giải một bài toán phân tích đa thức thành nhân tử đòi hỏi người học phải có sự tư duy và khả năng phán đoán cao. Mặt khác đây là kiến thức được áp dụng rất đa dạng vào việc giải các bài toán có liên quan như tìm x, rút gọn biểu thức, tính giá trị của biểu thức, giải phương trình, tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất ..
Do đó mục đích viết đề tài này là có thể góp một phần vào việc nâng cao chất lượng dạy và học nói chung và rèn kỹ năng phân tích đa thức thành nhân tử nói riêng theo phương châm “Lấy kết quả đạt được trong thực tế làm thước đo cho chất lượng giảng dạy”.
1.3. Đối tượng nghiên cứu.
Học sinh lớp 8A2 trường Trung học cơ sở Lê Lợi, năm học 2017-2018.
1.4. Phương pháp nghiên cứu.
Nghiên cứu qua tài liệu: SGK, SGV, SBT Toán 8, tài liệu có liên quan.
Nghiên cứu qua thực tế giải bài tập của học sinh.
Nghiên cứu qua theo dõi các bài kiểm tra.
Nghiên cứu qua thực tế giảng dạy, học tập của từng đối tượng học sinh.
	1.5. Những điểm mới của SKKN.
Đưa ra được nhiều cách phân tích đa thức thành nhân tử. Đã phân dạng được các bài tập.
2. Nội dung nghiên cứu
2.1. Cơ sở lý luận
Trước sự phát triển mạnh mẽ của nền kinh tế tri thức, khoa học, công nghệ thông tin như hiện nay, một xã hội thông tin đang hình thành và phát triển trong thời kỳ đổi mới như nước ta đã và đang đặt nền giáo dục và đào tạo trước những thời cơ và thách thức mới. Để hòa nhập tiến độ phát triển đó thì giáo dục và đào tạo luôn đảm nhận vai trò hết sức quan trọng trong việc “đào tạo nhân lực, nâng cao dân trí, bồi dưỡng nhân tài” mà Đảng, Nhà nước đã đề ra, đó là “đổi mới giáo dục phổ thông theo Nghị quyết số 40/2000/QH10 của Quốc hội”. Nhằm đáp ứng được mục tiêu giáo dục toàn diện cho học sinh, con đường duy nhất là nâng cao chất lượng học tập của học sinh ngay từ nhà trường phổ thông. Là giáo viên ai cũng mong muốn học sinh của mình tiến bộ, lĩnh hội kiến thức dễ dàng, phát huy tư duy sáng tạo, rèn tính tự học, thì môn toán là môn học đáp ứng đầy đủ những yêu cầu đó. Việc học toán không phải chỉ là học như SGK, không chỉ làm những bài tập do Thầy, Cô ra mà phải nghiên cứu đào sâu suy nghĩ, tìm tòi vấn đề, tổng quát hoá vấn đề và rút ra được những điều gì bổ ích. Dạng toán phân tích đa thức thành nhân tử là một dạng toán rất quan trọng của môn đại số 8 đáp ứng yêu cầu này, là nền tảng, làm cơ sở để học sinh học tiếp các chương sau này, nhất là khi học về rút gọn phân thức, giải phương trình tích, phương trình nghiệm nguyên (dạng đưa về phương trình ước số), giải phương trình bậc cao, tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức dạng ax2+ bx+ c
2.2. Thực trạng
Qua thực tế nhiều năm giảng dạy bộ môn toán 8, kết hợp với dự giờ thăm lớp của các giáo viên trong trường, thông qua các kì thi chất lượng và kỳ thi học sinh giỏi cấp trường,thành phố, bản thân tôi nhận thấy các em học sinh chưa có kỹ năng thành thạo khi làm các bài tập như sau: Quy đồng mẫu thức, giải các loại phương trình, rút gọn, tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất có liên quan đến phân tích đa thức thành nhân tử, vì lý do đó để giải được các loại bài tập này cần phải có kỹ năng phân tích các đa thức thành nhân tử. Nếu như các em học sinh lớp 8 không có thủ thuật và kỹ năng phân tích đa thức thành nhân tử thì việc nắm bắt các phương pháp để giải các dạng toán và kiến thức mới trong quá trình học toán là một vấn đề khó khăn. Trong việc giảng dạy bộ môn toán giáo viên cần phải rèn luyện cho học sinh tư duy, tính độc lập, tính sáng tạo và linh hoạt, tự mình tìm tòi ra kiến thức mới, ra phương pháp làm toán ở dạng cơ bản như các phương pháp thông thường mà còn phải dùng một số phương pháp khó hơn, đó là phải có thủ thuật riêng đặc trưng, từ đó giúp các em có hứng thú học tập, ham mê học toán và phát huy năng lực sáng tạo khi gặp các dạng toán khó. Người giáo viên trong khi giảng dạy cần rèn luyện cho học sinh của mình không chỉ khả năng sáng tạo, ham thích học bộ môn toán và giải được các dạng bài tập mà cần phải thông qua dạy toán phân tích đa thức thành nhân tử, nâng cao chất lượng học tập môn Toán nói chung, đạt kết quả tốt trong các kỳ thi các cấp.
Từ đó tôi mạnh dạn chọn đề tài sáng kiến kinh nghiệm “Rèn luyện kỹ năng phân tích đa thức thành nhân tử. Nhằm nâng cao chất lượng môn toán, cho học sinh lớp 8 trường THCS Lê Lợi” nhằm giúp các em học sinh của mình nắm vững các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử, giúp học sinh phát hiện phương pháp giải phù hợp với từng bài cụ thể ở các dạng khác nhau.
Kết quả khảo sát trước khi áp dụng chuyên đề
Sĩ số
Giỏi
Khá
Trung bình
Yếu kém
Từ TB trở lên
SL
%
SL
%
SL
%
SL
%
SL
%
35
5
14,3
8
22,6
12
36,5
10
26,6
25
73,4
2.3. Những giải pháp áp dụng vào giải một số bài tập liên quan:
Trước hết giáo viên phải làm cho học sinh thấy rõ “Phân tích đa thức thành nhân tử là gì và áp dụng vào giải những bài tập có liên quan ra sao? Và phân tích đa thức thành nhân tử thì những dạng bài tập nào được vận dụng nó và vận dụng nó như thế nào?
Phân tích đa thức thành nhân tử (thừa số) là biến đổi đa thức đã cho thành một tích của các đa thức khác.
Phân tích đa thức thành nhân tử là bài toán đầu tiên của rất nhiều bài toán khác. Ví dụ:
+ Bài toán chứng minh chia hết.
+ Rút gọn biểu thức.
+ Giải phương trình bậc cao.
+ Tìm giá trí lớn nhất, nhỏ nhất.
+ Quy đồng mẫu nhiều phân thức.
+ Giải phương trình nghiệm nguyên dạng đưa về phương trình ước số ...
Sau đây là các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử đã được tôi áp dụng vào giảng dạy cho học sinh giải một số bài tập liên quan:
2.3.1. Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung 
Ta thường làm như sau:
- Tìm nhân tử chung của các hệ số (ƯCLN của các hệ số).
- Tìm nhân tử chung của các biến (mỗi biến chung lấy số mũ nhỏ nhất ).
Nhằm đưa về dạng: A.B + A.C + A.D = A.(B + C + D).
Chú ý: Nhiều khi để làm xuất hiện nhân tử ta cần đổi dấu các hạng tử
Ví dụ 1: Phân tích đa thức 14x2y – 21xy2 + 28x2y2 thành nhân tử.
Giáo viên gợi ý:
- Tìm nhân tử chung của các hệ số 14, 21, 28 trong các hạng tử trên ?
(Học sinh trả lời là: 7, vì ƯCLN(14, 21, 28 ) = 7 )
- Tìm nhân tử chung của các biến x2y, xy2, x2y2? (Học sinh trả lời là xy )
- Nhân tử chung của các hạng tử trong đa thức đã cho là 7xy.
Giải:14x2y – 21xy2 + 28x2y2 = 7xy.2x -7xy.3y + 7xy.4xy
 = 7xy.(2x – 3y + 4xy) 
Ví dụ 2: Phân tích đa thức 10x(x – y) – 8y(y – x) thành nhân tử. 
Giáo viên gợi ý:
- Tìm nhân tử chung của các hệ số 10 và 8 ? (Học sinh trả lời là: 2)
- Tìm nhân tử chung của x(x – y) và y(y – x) ?
(Học sinh trả lời là: (x – y) hoặc (y – x) )
- Hãy thực hiện đổi dấu tích 10x(x – y) hoặc tích – 8y(y – x) để có nhân tử chung (y – x) hoặc (x – y)?
Cách 1: Đổi dấu tích – 8y(y – x) = 8y(x – y)
Cách 2: Đổi dấu tích 10x(x – y) = –10x(y – x)
(Học sinh tự giải )
Giải: 10x(x – y) – 8y(y – x) = 10x(x – y) + 8y(x – y) 
 = 2(x – y).5x + 2(x – y).4y 
 = 2(x – y)(5x + 4y) 
Vì dụ 3: Phân tích đa thức 9x(x – y) – 10(y – x)2 thành nhân tử.
Các sai lầm học sinh thường mắc phải :
9x(x – y) – 10(y – x)2 = 9x(x – y) + 10(x – y)2 (đổi dấu sai )
 = (x – y)[9x + 10(x – y)] (sai từ trên) 
 = (x – y)(19x – 10y) (kết quả sai )
Sai lầm của học ở đây là:
Lời giải đúng: 9x(x – y) – 10(y – x)2 = 9x(x – y) – 10(x – y)2
 = (x – y)[9x – 10(x – y)]
 = (x – y)(10y – x)
Qua vì dụ trên, giáo viên củng cố cho học sinh:
Cách tìm nhân tử chung của các hạng tử (tìm nhân tử chung của các hệ số và nhân tử chung của các biến, mỗi biến chung lấy số mũ nhỏ nhất). Quy tắc đổi dấu và cách đổi dấu của các nhân tử trong một tích.
Chú ý: Tích không đổi khi ta đổi dấu hai nhân tử trong tích đó (một cách tổng quát, tích không đổi khi ta đổi dấu một số chẵn nhân tử trong tích đó).
2.3.2. Phương pháp dùng hằng đẳng thức
Sử dụng bảy hằng đẳng thức đáng nhớ dưới “dạng tổng hoặc hiệu” đưa về “dạng tích”
1. A2 + 2AB + B2 = (A + B)2
2. A2 - 2AB + B2 = (A - B)2
3. A2 – B2 = (A – B)(A + B) 
4. A3 + 3A2B + 3AB2 + B3 = (A + B)3
5. A3 - 3A2B + 3AB2 - B3 = (A - B)3
6. A3 + B3 = (A+B)(A2 – AB + B2)
7. A3 - B3 = (A-B)(A2 + AB + B2)
Ví dụ 1: Phân tích đa thức (x + y)2 – (x – y)2 thành nhân tử.
(BT- 28a)-SBT-tr6)
Gợi ý: Đa thức trên có dạng hằng đẳng thức nào ? (HS: có dạng A2 – B2
+ Các sai lầm học sinh thường mắc phải :
(x + y)2 – (x – y)2 = (x + y – x – y)(x + y + x – y) (thiếu dấu ngoặc)
= 0.(2x) = 0 (kết quả sai)
Sai lầm của học sinh ở đây là: Thực hiện thiếu dấu ngoặc 
Lời giải đúng:
(x + y)2 – (x – y)2 	= [(x + y) – (x – y)].[(x + y) + (x – y)] 
= (x + y – x + y)(x + y + x – y) = 2y.2x = 4xy 
+ Các sai lầm học sinh dễ mắc phải: 
- Quy tắc bỏ dấu ngoặc, lấy dấu ngoặc và quy tắc dấu 
- Phép biến đổi, kĩ năng nhận dạng hằng đẳng thức hiệu hai bình phương, bình phương của một hiệu. 
Khai thác bài toán:
Đối với học sinh khá giỏi, giáo viên có thể cho các em làm bài tập dưới dạng phức tạp hơn. 
- Nếu thay mũ “2” bởi mũ “3” ta có bài toán 
Phân tích (x + y)3 – (x – y)3 thành nhân tử (BT-44b)-SGK-tr20) 
- Đặt x + y = a, x – y = b, thay mũ “3” bởi mũ “6” ta có bài toán 
Phân tích a6 –b6 thành nhân tử (BT-26c)-SBT-tr6) 
Ví dụ 2:
Phân tích a6 – b6 thành nhân tử (BT-26c)-SBT-tr6) 
Giải: a6 –b6 = (a3)2 – (b3)2 = (a3 – b3)(a3 + b3) 
= (a + b)(a2 – ab + b2)(a - b)(a2 + ab + b2)
Giáo viên củng cố cho học sinh: 
Các hằng đẳng thức đáng nhớ, kĩ năng nhận dạng hằng đẳng thức qua bài toán, dựa vào các hạng tử, số mũ của các hạng tử mà sử dụng hằng đẳng thức cho thích hợp. 
2.3.3. Phương pháp nhóm nhiều hạng tử.
Lựa chọn các hạng tử “thích hợp” để thành lập nhóm nhằm làm xuất hiện một trong hai dạng sau là đặt nhân tử chung, hoặc là dùng hằng đẳng thức. Thông thường ta dựa vào các mối quan hệ sau: 
- Quan hệ giữa các hệ số, giữa các biến của các hạng tử trong bài toán. 
- Thành lập nhóm dựa theo mối quan hệ đó, phải thoả mãn: 
+ Mỗi nhóm đều phân tích được. 
+ Sau khi phân tích đa thức thành nhân tử ở mỗi nhóm thì quá trình phân tích thành nhân tử phải tiếp tục thực hiện được nửa. 
* Nhóm nhằm xuất hiện phương pháp đặt nhân tử chung: 
Ví dụ 1:: Phân tích đa thức x2 – xy + x – y thành nhân tử. (Bài 47-SGK-tr22)
Cách 1: nhóm (x2 – xy) và (x – y) 
Cách 2: nhóm (x2 + x) và (– xy – y ) 
Lời giải sai: x2 – xy + x – y = x2 – xy) + (x – y) = x(x – y) + (x – y) 
 	 = (x – y)(x + 0) x(x – y)
+ Các sai lầm học sinh thường mắc phải : Bỏ sót hạng tử sau khi đặt nhân tử chung (HS cho rằng ở ngoặc thứ hai khi đặt nhân tử chung (x – y) thì còn lại là số 0) 
- Lời giải đúng:
x2 – xy + x – y = x2 – xy) + (x – y) = x(x – y) + 1.(x – y) = (x – y)(x + 1) 
* Nhóm nhằm xuất hiện phương pháp dùng hằng đẳng thức:
Ví dụ 2: Phân tích đa thức x2 – 2x + 1 – 4y2 thành nhân tử. 
Giải: x2 – 2x + 1 – 4y2 = (x2 – 2x + 1) – (2y)2 
 	 = (x – 1)2 - (2y)2 
 	 = (x – 1 – 2y)(x – 1 + 2y) 
* Nhóm nhằm sử dụng hai phương pháp trên: 
Ví dụ 3: Phân tích đa thức x2 – 2x – 4y2 – 4y thành nhân tử. 
Lời giải sai: x2 – 2x – 4y2 – 4y = (x2 – 4y2) – (2x – 4y ) (đặt dấu sai)
= (x + 2y)(x – 2y) – 2(x – 2y) (sai từ trên)
= (x – 2y)(x + 2y – 2) (kết quả dấu sai)
+ Các sai lầm học sinh thường mắc phải : 
Nhóm x2 – 2x – 4y2 – 4y =(x2 – 4y2) – (2x – 4y) (đặt dấu sai ở ngoặc thứ hai)
Lời giải đúng: x2 – 2x – 4y2 – 4y = (x2 – 4y2) – (2x + 4y )
= (x + 2y)(x – 2y) – 2(x + 2y)
= (x + 2y)(x – 2y – 2)
Qua các vì dụ trên, giáo viên lưu ý cho học sinh: 
Cách nhóm các hạng tử và đặt dấu trừ “ – ” hoặc dấu cộng “ + ” ở trước dấu ngoặc, phải kiểm tra lại cách đặt dấu khi thực hiện nhóm. 
Trong phương pháp nhóm thường dẫn đến sự sai dấu, vì vậy học sinh cần chú ý cách nhóm và kiểm tra lại kết quả sau khi nhóm. 
* Lưu ý: Sau khi phân tích đa thức thành nhân tử ở mỗi nhóm thì quá trình phân tích thành nhân tử không thực hiện được nữa, thì cách nhóm đó đã sai, phải thực hiện lại.
2.3.4. Phối hợp nhiều phương pháp.
Là sự kết hợp nhuần nhuyễn giữa các phương pháp nhóm nhiều hạng tử, đặt nhân tử chung, dùng hằng đẳng thức. Vì vậy học sinh cần nhận xét bài toán một cách cụ thể, mối quan hệ của các hạng tử và tìm hướng giải hích hợp. Ta thường xét từng phương pháp: 
Đặt nhân tử chung .
Dùng hằng đẳng thức. 
Nhóm nhiều hạng tử.
Ví dụ 1: Phân tích đa thức x4 - 9x3 + x2– 9x thành nhân tử. ( ?2 -SGK-tr22)
Các sai lầm học sinh thường mắc phải 
* x4 - 9x3 + x2– 9x = x(x3 - 9x2 + x– 9) (phân tích chưa triệt để) 
* x4 - 9x3 + x2– 9x (x4 - 9x3) +( x2– 9x)
= x3(x – 9) + x(x – 9 ) = (x – 9)(x3 + x ) (phân tích chưa triệt để)
Lời giải đúng: x4 - 9x3 + x2– 9x (x4 - 9x3) +( x2– 9x)
= x3(x – 9) + x(x – 9 )
= (x – 9)(x3 + x )
= x(x – 9)(x + 1 )
Ví dụ 2: Phân tích đa thức A = (x + y + z)3 – x3 - y3 – z3 thành nhân tử. 
(Bài tập 57- SBT-tr 9 toán 8 tập 1). 
Trong ví dụ này có nhiều cách giải, học sinh cần phải linh hoạt lựa chọn cách giải phù hợp nhất, gọn nhất. 
Áp dụng hằng đẳng thức: (A + B)3 = A3 + B3 + 3AB(A+B)
2.3.5. Phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách nhóm, tách, thêm, bớt hạng tử.
Ví dụ 1: 	x4 + 5x3 +15x – 9
Đa thức đã cho có 4 số hạng không thể đặt ngay nhân tử chung hoặc áp dụng ngay các hằng đẳng thức, vì vậy ta nghĩ tới cách nhóm các số hạng hoặc thêm bớt số hạng. Ta có thể phân tích như sau:
Cách 1: 	 x4 + 5x3 + 15x - 9.
= x4 - 9 + 5x3 + 15x
= (x2 - 3) (x2 + 3) + 5x (x2 + 3)
= (x2 + 3) (x2 - 3 + 5x)
= (x2 + 3) (x2 + 5x - 3)
Cách 2: 	x4 + 5x3 + 15x - 9.
= x4 + 5x3 - 3x2 + 3x2 + 15x - 9
= x2 (x2 + 5x - 3) + 3 (x2 + 5x - 3)
= (x2 + 3) (x2 + 5x - 3)
Bài này cần lưu ý học sinh trong tập hợp số hữu tỉ đa thức x2 + 5x - 3 không phân tích được nữa.
Ví dụ 2:	x2y + xy2 + x2z + xz2 + y2z + yz2 + 3xyz.
Giải: 	 Đa thức đã cho có 7 số hạng lại không đặt nhân tử chung được mà có hạng tử 3xyz nên ta tách hạng tử 3xyz thành 3 hạng tử để sử dụng phương pháp nhóm hạng tử.
 x2y + xy2 + x2z + xz2 + y2z + yz2 + 3xyz
= x2y + x2z + xyz + xy2 + y2z + xyz + xz2 + yz2 + xyz
= x (xy + xz + yz) + y (xy + yz + xz) + z (xz + yz + xy)
= (xy + xz + yz) (x + y + z).
Ví dụ 3 x2 + 6x + 8
Với các phương pháp đã biết như đặt nhân tử chung, nhóm số hạng, dùng hằng đẳng thức ta không thể phân tích được đa thức này. Nếu tách một số hạng thành hai số hạng để đa thức trở thành 4 số hạng thì có thể nhóm các hạng tử để xuất hiện nhân tử chung hoặc xuất hiện các hằng đẳng thức ... Từ đó có nhiều khả năng biến đổi đa thức đã cho thành tích.
Cách 1: (Tách 6x = 2x +4x)
x2 + 6x + 8 = x2 + 2x + 4x + 8 = x (x+2) + 4 (x+2) = (x+2) (x+4)
Cách 2: (Tách 8 = 9-1)
x2 + 6x + 9 - 1 = (x+3)2 - 1 = (x + 3 - 1) (x+ 3 +1) = (x+2) (x+4)
Cách 3: (Tách 8 = -4 +12)
x2 - 4 + 6x + 12 = (x-2) (x+2) + 6 (x+2) = (x+2) (x+4)
Cách 4: (Tách 8 = -16 + 24)	
x2 + 6x + 8 = x2 - 16 + 6x + 24 	= (x - 4) (x + 4) + 6 (x + 4) 
= (x + 4) (x - 4 + 6) = (x+2) (x+4).
Ví dụ 4:	x3 - 7x – 6 Ta có thể tách như sau:
Cách 1: 	x3 - 7x - 6 = x3 - x - 6x - 6 = x (x2 - 1) - 6 (x + 1)
= x (x - 1) (x + 1) - 6 (x + 1) = (x + 1) (x2 - x - 6)
 = (x + 1) (x2 - 3x + 2x - 6) = (x +1) [ x (x - 3) + 2 (x - 3)]
= (x + 1) (x + 2) (x - 3)
Cách 2:	 x3 - 7x - 6 = x3 - 4x - 3x - 6 = x (x2 - 4) - 3 (x + 2)
= x (x - 2) (x + 2) - 3 (x + 2) = (x + 2) (x2 - 2x - 3)
= (x + 2) (x2 - 3x + x - 3) = (x + 2) (x - 3) (x + 1)
Cách 3: 	x3 - 7x - 6 = x3 - 27 - 7x + 21 = (x - 3) (x2 + 3x + 9 - 7)
= (x - 3) (x2 + 3x + 2) = (x - 3) (x2 + x + 2x + 2)
= (x - 3) (x + 2) (x + 1)
Cách 4: 	x3 - 7x - 6 = x3 + 1 - 7x - 7 
= (x + 1) (x2 - x + 1) - 7 (x + 1)
= (x + 1) (x2 - x + 1 - 7)
= (x + 1) (x2 - x - 6)
= (x + 1) (x2 - 3x + 2x - 6)
 = (x + 1) (x + 2) (x - 3)
Cách 5: 	x3 - 7x - 6 = x3 + 8 - 7x - 14 = (x + 2) (x2 - 2x + 4 - 7)
	= (x + 2) (x2- 2x - 3) = (x + 2) (x2 + x - 3x - 3)
	= (x + 2) (x + 1) (x - 3)
Cách 6: 	x3 - 7x - 6 = x3 - 9x + 2x - 6 = x (x - 3) (x + 3) + 2 (x - 3)
	= (x - 3) (x2 + 3x + 2) = (x - 3) (x + 1) (x + 2).
* Chú ý: Cần lưu ý học sinh khi phân tích đa thức này phải triệt để, tức là kết quả cuối cùng không thể phân tích được nữa. Tất nhiên yêu cầu trên chỉ có tính chất tương đối vì nó còn phụ thuộc tập hợp số mà ta đang xét. Nếu phân tích không triệt để học sinh có thể gặp tình huống là mỗi cách phân tích có thể có một kết quả khác nhau. Chẳng hạn ở bài tập trên cách 1, cách 4 có thể cho ta kết quả là:
 x3 - 7x - 6 = (x + 1) (x2 - x - 6). 
+ Cách 2, cách 5 cho kết quả là:
	x3 - 7x - 6 = (x + 2) (x2 - 2x - 3)
+ Cách 3, cách 6 cho kết quả là:
	x3 - 7x - 6 = (x - 3) (x2 + 3x + 2)
* Giáo viên cần nhấn mạnh cho học sinh chú ý sau:
- Một đa thức dạng ax2 +bx + c chỉ phân tích được thành nhân tử trong tập hợp Q khi đa thức đó có nghiệm hữu tỉ ó (hoặc ’ ) là một số chính phương (trong đó = b2-4ac (’ = b’2 - ac)
- Một đa thức dạng ax2 +bx + c tách làm xuất hiện hằng đẳng thức được khi: (hoặc ’ ) là một số chính phương và chứa 2 trong 3 hạng tử của
 A2 +2AB +B2 hoặc A2 - 2AB +B2 
Ví dụ 5:	a5 + a + 1.
Số mũ của a từ 5 xuống 1 nên giữa a5 và a cần có những số hạng với số mũ trung gian để nhóm số hạng làm xuất hiện nhân tử chung.
Cách 1: 	a5 + a + 1
	= a5 + a4 - a4 + a3 - a3 + a2 - a2 + a + 1
	= a5 + a4 + a3 - a4 - a3 - a2 + a2 + a +1
	= a3 (a2 + a + 1) - a2 (a2 + a + 1) + a2 + a + 1 
	= (a2 + a + 1) (a3 - a2 + 1) 
Cách 2:	 a5 + a + 1
	= a5 - a2 + a2 + a + 1 = a2 (a - 1) (a2 + a + 1) + (a2 + a + 1)
	= (a2 + a + 1) (a3 - a2 +1).
2.3.6. Phương pháp đặt ẩn phụ.
Ví dụ 1: (b - c)3 + (c - a)3 + (a - b)3.
Đặt	 x = b - c; 	y = c - a;	z = a - b.
Ta thấy: x + y + z = 0 	=> z = - x - y
 (b - c)3 + (c - a)3 + (a - b)3
= x3 + y3 + z3 = x3 + y3 + (- x - y)3
= x3 + y3 - x3 - y3 - 3x2y - 3xy2 = - 3xy ( x + y)
= 3xyz = 3 (b - c) (c - a) (a - b)
Ví dụ 2:	 (x2 + x + 1) (x2 + x + 2) - 12
Thông thường khi gặp bài toán này học sinh thường thực hiện phép nhân đa thức với đa thức sẽ được đa thức bậc 4 với năm số hạng. Phân tích đa thức bậc 4 với năm số hạng này thường rất khó và dài ḍng. Nếu chú ý đến đặc điểm của đó bài: Hai đa thức x2 + x + 1 và x2 + x + 2 chỉ khác nhau bởi hạng tử tự do, do đó nếu ta đặt y = x2 + x + 1 hoặc y = x2 + x thì biến đổi đa thức thành đa thức bậc hai sẽ đơn giản hơn nhiều.
Đặt y = x2 + x + 1.
Ta có: (x2 + x + 1) (x2 + x + 2) - 12 = y(y + 1) - 12 = y2 + y - 12
 = y2 + 4y - 3x - 12 = (y +4 ) (y - 3)
 = (x2 + x + 1 + 4) (x2 + x + 1 - 3) = (x2 + x + 5) (x2 + x - 2)
 = (x2 + x + 5) (x2 + 2x - x - 2) = (x2 + x + 5) (x + 2) (x - 1)
 = (x - 1) (x +2) (x2 + x + 5).
Ví dụ 3: (x + 1) (x + 3) (x + 5) (x + 7) + 15
Nhận xét: Ta có: 1 + 7 = 3 + 5 cho nên nếu ta nhân các thừa số x + 1 với x +7và x + 3 với x + 5 ta được các đa thức có phần biến giống nhau