SKKN Rèn luyện kỹ năng nhận định, đánh giá kết quả giải toán phương pháp tọa độ trong mặt phẳng

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA
TRƯỜNG THPT NGUYỄN TRÃI
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
RÈN LUYỆN KỸ NĂNG NHẬN ĐỊNH, ĐÁNH GIÁ 
KẾT QUẢ GIẢI TOÁN
PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG
Người thực hiện: Lê Đình Thịnh
 Chức vụ: Giáo Viên 
 SKKN thuộc môn: Toán
THANH HÓA NĂM 2017
MỤC LỤC
I. Mở đầu
1
1.1. Lí do chọn đề tài.
1
1.2. Mục đích nghiên cứu...
1
1.3. Đối tượng nghiên cứu..
1
1.4. Phương pháp nghiên cứu.
1
II. Nội dung 
2
2.1. Cơ sở lí luận. 
2
 2.1.1. Khái niệm tư duy phê phán
2
 2.1.2. Dấu hiệu năng lực tư duy phê phán trong toán học..
2
 2.1.3. Rèn luyện kỹ năng nhận định, đánh giá kết quả giải toán
 cho học sinh..........................
2
2.2. Thực trạng vấn đề
2
2.3. Một số ví dụ cụ thể..
3
 2.3.1. Điểm và đường thẳng..
3
 2.3.2. Tam giác...
7
 2.3.3.Tứ giác..
10
 2.3.4. Đường tròn......
11
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm trong dạy học nội dung
 phương pháp tọa độ trong mặt phẳng.....
17
III. Kết luận, kiến nghị
18
3.1. Kết luận
18
3.2. Kiến nghị..
19
Tài liệu tham khảo..
20
I. MỞ ĐẦU
1.1. Lý do chọn đề tài
Trong quá trình giải toán, việc tìm ra hướng giải là vô cùng quan trọng. Đối với bài toán tự luận, khi đã tìm được hướng giải quyết, nhiều học sinh thường làm một mạch, sau đó kết luận bài toán. Làm như vậy thể hiện được tốc độ, khả năng tư duy, khả năng trình bày của học sinh. Tuy nhiên, chỉ cần một phép tính hoặc một suy luận sai sẽ ảnh hưởng tới kết quả của bài toán. Mặc dù trong bài tự luận, nếu đúng ở công đoạn nào thì học sinh vẫn sẽ được điểm ở công đoạn đó, nhưng phần điểm bị mất vẫn thật đáng tiếc!
Hiện nay, Bộ Giáo dục và Đào tạo đã chuyển từ hình thức thi tự luận sang thi trắc nghiệm khách quan. Do đó, việc tìm ra cách giải nhanh và hạn chế sai sót được quan tâm đặc biệt. Học sinh chỉ cần dành một khoảng thời gian rất ngắn để kiểm tra, nhận định, đánh giá kết quả bài toán. Như vậy, các em sẽ khẳng định chắc chắn hơn lời giải của mình, hoặc tìm ra lỗi sai để khắc phục kịp thời. Hơn nữa, trong quá trình học tập, các em còn có thể phát hiện được các cách giải ngắn gọn, hay hơn nhờ tính chất đặc biệt ẩn chứa trong bài toán.
Xuất phát từ các lí do trên, nhằm đề ra một số định hướng giúp học sinh tự thẩm định, tự kiểm tra, tự chỉnh sửa, tự nhận xét để hoàn thiện bài giải của mình, tôi đã lựa chọn đề tài “Rèn luyện kỹ năng nhận định, đánh giá kết quả giải toán phương pháp tọa độ trong mặt phẳng”. 
1.2. Mục đích nghiên cứu
Mục đích của sáng kiến kinh nghiệm là nghiên cứu, đề xuất một số hướng tự kiểm tra, phát hiện và sửa chữa những sai lầm của học sinh thông qua một số ví dụ cụ thể ở nội dung phương pháp tọa độ trong mặt phẳng- Hình học 10. Từ đó góp phần nâng cao chất lượng dạy và học môn Toán ở trường THPT.
 1.3. Đối tượng nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu: Tư duy phê phán và rèn luyện tư duy phê phán của học sinh thông qua rèn luyện kỹ năng nhận định, đánh giá kết quả giải toán.
1.4. Phương pháp nghiên cứu
- Nghiên cứu lý luận: Nghiên cứu sách giáo khoa, sách phương pháp dạy học, các sách tham khảo,...thuộc phạm vi nghiên cứu của đề tài.
- Điều tra quan sát: Tìm hiểu hoạt động dạy của giáo viên và hoạt động học của học sinh đối với môn Toán trong một số giờ dạy để rút ra kinh nghiệm về việc rèn luyện kiểm tra, nhận xét, đánh giá kết quả giải toán.
- Tổng kết kinh nghiệm: tổng kết kinh nghiệm qua thực tiễn dạy và học, kinh nghiệm của các nhà nghiên cứu, của giáo viên có nhiều năm kinh nghiệm giảng dạy.
II. NỘI DUNG
2.1. Cơ sở lí luận
2.1.1.Khái niệm tư duy phê phán:
	Tư duy phê phán là năng lực phân tích sự việc, hình thành và sắp xếp các ý tưởng, bảo vệ ý kiến, so sánh, rút ra các kết luận, đánh giá các lập luận, giải quyết vấn đề. (Chance, 1986) [6]
2.1.2.Dấu hiệu năng lực tư duy phê phán trong toán học
 	Năng lực tư duy phê phán trong toán học có nhiều biểu hiện, trong đó có các dấu hiệu sau:
 + Đưa ra được những cách giải quyết tốt và kết luận, phù hợp với những kiến thức đã được học và những tiêu chí đã đưa ra, đánh giá tính tối ưu của cách giải quyết vấn đề vừa tìm được.
 + Có khả năng nhận ra những thiếu sót, sai lầm trong những lập luận không đúng.
 + Có khả năng sửa chữa sai lầm khi lập luận để chứng minh hoặc giải toán [6].
2.1.3.Rèn luyện kỹ năng nhận định, đánh giá kết quả giải toán cho học sinh
Trong quá trình học tập, người học cần biết sử dụng tri thức một cách độc lập, đánh giá các sự kiện một cách logic, chân thực, do đó họ cần được phát triển tư duy phê phán. Tư duy phê phán là công cụ cần thiết giúp chúng ta thẩm định các giá trị, các quyết định mà bản thân tin tưởng, nó còn giúp chúng ta tự chỉnh sửa, tự nhận xét và thay đổi để vươn lên hoàn thiện bản thân [1]. 
Rèn luyện tư duy phê phán cho học sinh sẽ giúp các em nắm vững được kiến thức, tự tin vào bản thân khi học lý thuyết và giải bài tập phương pháp toạ độ trong mặt phẳng trên cơ sở kiến thức đúng đắn, khoa học.
 	Kỹ năng nhận định, đánh giá kết quả giải toán là một nội dung quan trọng trong việc rèn luyện tư duy phê phán cho học sinh.
2.2. Thực trạng của vấn đề
Về phía giáo viên:
+ Giáo viên nắm vững các kiến thức của nội dung phương pháp tọa độ trong mặt phẳng, tuy nhiên trong quá trình giảng dạy, đôi khi chưa đảm bảo được sự cân đối về thời gian cho từng mục tiêu, nhiều vấn đề chưa khắc phục được cho học sinh trên lớp.
+ Phần bài tập thuộc nội dung phương pháp tọa độ trong mặt phẳng là một trong những nội dung chính trong các đề thi THPT Quốc gia nên nó được chú trọng hơn trong giảng dạy, tuy nhiên do sự đa dạng bài tập và thời lượng có hạn nên gặp nhiều khó khăn trong việc rèn luyện kỹ năng phân tích, nhận định kết quả giải toán cho học sinh.
Về phía học sinh:
+ Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng là một nội dung khá hay, rèn luyện tư duy tốt nên nhiều học sinh rất hứng thú khi học phần này. Tuy nhiên có quá nhiều dạng bài tập từ nội dung đường thẳng, đường tròn và đường elíp với số lượng tiết học khiêm tốn, học sinh chỉ có thể nắm kiến thức cơ bản, không có nhiều thời gian để nghiên cứu, đào sâu.
+ Nhiều học sinh khi làm bài bỏ qua bước vẽ hình hoặc khi vẽ hình thì theo ý chủ quan, xét thiếu các trường hợp nên việc hình thành hướng giải quyết bài toán thường rất khó khăn và có nhiều thiếu sót. Cùng với phương pháp học thụ động, lười suy nghĩ , thiếu sáng tạo nên chỉ cần thay đổi dữ kiện, đưa vào tình huống có vấn đề là học sinh có thể bị mắc sai lầm.
Để tìm ra sai lầm và khắc phục sai lầm trong quá trình giải toán đòi hỏi học sinh phải xem xét đánh giá, chỉ rõ được cơ sở của lập luận đúng và cũng biết loại bỏ những lập luận sai. Qua quá trình tìm hiểu và khắc phục sai lầm này năng lực tư duy phê phán của học sinh được rèn luyện và phát triển.
Sai lầm trong quá trình giải bài tập về phương pháp tọa độ trong mặt phẳng có thể nói là rất nhiều, từ những sai lầm về đường lối giải đến những sai lầm về kĩ năng tính toán. Giáo viên có thể rèn luyện cho học sinh phát hiện và sửa chữa sai lầm thông qua những ví dụ và bài tập cụ thể được chủ động tạo ra và dự đoán trước những sai lầm mà học sinh mắc phải (những tình huống này thường xuất phát từ những sai lầm của học sinh trong giải toán).
Không những học sinh phải tìm ra những sai lầm, các em còn phải tìm cách khắc phục những sai lầm đó. Mỗi lần tự nhận ra những sai lầm và sửa chữa là một lần học sinh thu được những bài học quý báu. Chính điều này đã giúp học sinh nâng cao năng lực tư duy phê phán trong giải toán.
2.3. Một số ví dụ cụ thể
2.3.1. Điểm và đường thẳng
Ví dụ 1: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai điểm và .
Lập phương trình đường thẳng đi qua điểm M sao cho khoảng cách từ A đến bằng .
Giải: 
Gọi với là một vectơ pháp tuyến của .
Đường thẳng đi qua M nên phương trình là: 
Nếu (không thỏa mãn)
Nếu : Chọn . Khi đó, phương trình là: 
Nhận xét: Nhận thấy .
Vì mà 
 là đường thẳng đi qua M và vuông góc với AM nên phương trình là: 
Câu hỏi TNKQ:
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai điểm và .
Gọi là đường thẳng đi qua điểm M sao cho khoảng cách từ A đến bằng . Tìm m để là một vectơ chỉ phương của .
 A. B. C. D. và . 
Nhận xét: 
 Một cách cảm tính, học sinh nhận thấy thông thường sẽ có hai đường thẳng thỏa mãn yêu cầu nhưng quên mất trường hợp đặc biệt này nên hầu hết sẽ chọn phương án D.
Ví dụ 2: 
 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng : và hai điểm . Tìm tọa độ điểm M trên sao cho nhỏ nhất.
Giải:
Nhận thấy A và B nằm cùng phía so với .
Gọi B’ là điểm đối xứng với B qua .
Đường thẳng BB’ đi qua và vuông góc với phương trình BB’ là . 
Gọi . 
H là trung điểm của BB’ .
Ta có: (không đổi)
Đẳng thức xảy ra khi thẳng hàng đồng thời M nằm giữa A và B’ 
Phương trình AB’ là: . 
Tọa độ M là nghiệm của hệ phương trình 
Vậy 
Câu hỏi TNKQ: 
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng ∆: và hai điểm . Gọi M là một điểm thay đổi trên ∆. Giá trị nhỏ nhất của tổng là:
 A. B. C. D. 
Nhận xét:
+Chọn phương án B vì giá trị nhỏ nhất của tổng bằng AB’.
+Ở phương án A, và . Ta không chọn kết quả này vì không xảy ra dấu “” do M nằm ngoài đoạn AB.
+Gọi K là hình chiếu của A lên . Trung điểm KH là . Nhiều học sinh nhầm tưởng nhỏ nhất khi M trùng với N, khi đó nên các em chọn phương án C.
+Một sự ngộ nhận khác là học sinh chọn điểm M là giao điểm của AB với . Khi đó và . Do đó mà chọn phương án D.
Ví dụ 3: 
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có và . Lập phương trình đường thẳng đi qua A sao cho B và C cách đều .
Giải:
Gọi M là trung điểm của BC.
. Chọn Đường thẳng đi qua A, cách đều B và C, xảy ra hai trường hợp sau:
+Trường hợp 1: đi qua A và M. Khi đó phương trình ∆ là 
+Trường hợp 2: đi qua A và song song với BCnhận làm một vectơ pháp tuyến nên phương trình là 
Vậy có hai đường thẳng thỏa mãn, có phương trình là và 
Nhận xét:
+Học sinh thường chỉ xét trường hợp đường thẳng đi qua A và song song với BC nên rất dễ thiếu trường hợp còn lại.
+Học sinh có thể sử dụng công thức tính khoảng cách để giải quyết bài toán.
Câu hỏi TNKQ:
 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có và . Lập phương trình đường thẳng đi qua A sao cho B và C cách đều .
A. B. hoặc 
C. D. hoặc 
Ví dụ 4: 
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng , và điểm . Tìm tọa độ điểm A trên , điểm B trên sao cho ba điểm M, A, B thẳng hàng và 
Giải:
Ta có: 
Trường hợp 1: 
Trường hợp 2: 
Nhận xét:
+Trong bài này, chúng ta đã sử dụng kết quả sau: Nếu ba điểm M, A, B thẳng hàng và thì hoặc.
+Học sinh thường bỏ qua trường hợp thứ hai, từ đó đưa ra lựa chọn không chính xác.
Câu hỏi TNKQ:
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng , và điểm . Gọi A và B là hai điểm lần lượt trên , sao cho ba điểm M, A, B thẳng hàng và Tính tổng các hoành độ của A và B.
 A. B. hoặc 
 C. . D. hoặc 
2.3.2. Tam giác
Ví dụ 5: 
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có phương trình đường phân giác trong AD và đường cao CH lần lượt là và đường thẳng AC đi qua điểm , . Viết phương trình cạnh BC [5].
Giải:
Gọi N là điểm đối xứng với M qua AD.
Đường thẳng MN đi qua và vuông góc với AD nên phương trình MN là 
Gọi 
I là trung điểm MN suy ra 
Đường thẳng AB đi qua và vuông góc với CH nên phương trình AB là 
Vì 
Đường thẳng AC đi qua và phương trình AC là 
Vì 
Ta có .
Với , ta thấy B và C cùng phía đối với AD nên không thỏa mãn điều kiện AD là đường phân giác trong của góc A.
Với thỏa mãn điều kiện ở trên. Khi đó, phương trình BC là 
Nhận xét:
Trong bài này, chúng ta đã sử dụng tính chất: 
Cho tam giác ABC có AD là phân giác trong của góc , M là điểm bất kỳ trên đường thẳng AC và N là điểm đối xứng của M qua AD. Khi đó, N thuộc đường thẳng AB.
Tuy nhiên, tính chất trên cũng đúng nếu AD là đường phân giác ngoài của góc . Vì vậy, sau khi tìm được điểm B, ta phải kiểm tra lại kết quả để loại trường hợp không thích hợp. 
Ở đây, trường hợp không thích hợp là , khi đó phương trình đường thẳng BC là Vì vậy, ta có các phương án nhiễu trong bài tập TNKQ sau đây:
Câu hỏi TNKQ:
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có phương trình đường phân giác trong AD và đường cao CH lần lượt là và đường thẳng AC đi qua điểm , . Viết phương trình cạnh BC.
 B. 
hoặc D. 
Ví dụ 6:
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC cân tại A, phương trình các đường thẳng AB, AC lần lượt là và . Lập phương trình đường thẳng BC biết BC đi qua điểm . 
Giải:
Phương trình hai đường phân giác của góc là: 
Trường hợp 1: là đường phân giác trong của góc .
Khi đó, BC là đường thẳng đi qua M và vuông góc với phương trình BC là 
Trường hợp 2: là đường phân giác trong của góc .
Khi đó, BC là đường thẳng đi qua M và vuông góc với phương trình BC là 
 Đến đây, nếu ta vội kết luận thì sẽ nhận một trường hợp không thỏa mãn.
 Thông thường, dạng toán này sẽ cho kết quả là hai đường thẳng, tuy nhiên nếu điểm M nằm trên một trong hai đường phân giác của góc A thì chỉ còn một đường thẳng thỏa mãn bài toán.
 Trong bài này, chú ý rằng điểm nên ở trường hợp 2, phương trình BC là . Nhận thấy điểm A nằm trên đường thẳng BC. Vì vậy trường hợp này bị loại. 
Vậy phương trình đường thẳng BC là 
Câu hỏi TNKQ:
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC cân tại A, phương trình các đường thẳng AB, AC lần lượt là và . Lập phương trình đường thẳng BC biết BC đi qua điểm . 
 A. B. hoặc 
 C. . D. hoặc 
Ví dụ 7: 
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC cân tại A. Biết phương trình các cạnh BC, AB lần lượt là và . Đường thẳng AC đi qua điểm . Lập phương trình cạnh AC.
Giải:
Một vectơ pháp tuyến của AB, BC lần lượt là và 
Ta có: 
Gọi là một vectơ pháp tuyến của AC, với . 
Vì 
Với không thỏa mãn điều kiện .
Với , chọn 
Nhận thấy AC và AB không thể song song với nhau nên chỉ có trường hợp phương trình AC: thỏa mãn bài toán.
Nhận xét:
 Với cách này, ta đã đưa về bài toán lập phương trình đường thẳng đi qua một điểm và tạo với đường thẳng cho trước một góc . Nếu thì có hai đường thẳng như vậy, nhưng khi gắn vào bài toán tam giác như ở trên sẽ phải loại đi một trường hợp.
Câu hỏi TNKQ:
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC cân tại A. Biết phương trình các cạnh BC, AB lần lượt là và . Đường thẳng AC đi qua điểm . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
A. Phương trình đường thẳng AC là hoặc . B. Hệ số góc của đường thẳng AC là .
C. Đường thẳng AC tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 2. D. Một vectơ pháp tuyến của đường thẳng AC là . 
2.3.3. Tứ giác
Ví dụ 8:
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình thang cân ABCD có AB//CD, A(-1;1), C(4;0) và D(-2;-3). Tìm tọa độ điểm B.
Giải:
Ta có: 
. Chọn. 
Đường thẳng AB đi qua A(-1;1), có một vectơ pháp tuyến nên phương trình AB là: 
. 
Với .
Khi đó ABCD là hình bình hành và không là hình chữ nhật nên không là hình thang cân.
Với (thỏa mãn).
Vậy 
Nhận xét: 
+ Ở đây, chúng ta đã sử dụng tính chất: Nếu tứ giác ABCD là hình thang cân, AB//CD thì .Tuy nhiên, hình bình hành cũng có tính chất như vậy. Do đó, nếu học sinh không phát hiện và loại trường hợp thì sẽ chọn cả trường hợp không thỏa mãn bài toán.
+ Đối với bài thi TNKQ, học sinh có thể sử dụng kết quả được đưa ra trong các lựa chọn, sau đó vẽ trên hệ trục tọa độ để tìm phương án phù hợp. Nhưng nếu câu hỏi chỉ hỏi về các yếu tố khác, về diện tích hình thang chẳng hạn, thì cách vẽ hình để chọn đáp án này sẽ không thực hiện được.
+ Học sinh có thể giải theo cách sau đây: 
Gọi M là trung điểm CD .
Đường thẳng AB đi qua A(-1;1), song song với CD nên phương trình AB là: 
 Gọi là trung trực của CD phương trình là: 
Gọi . Vì N là trung điểm AB 
Vậy 
Trong cách thứ hai này, có thể chúng ta vẫn cần kiểm tra lại xem B và C có nằm cùng phía so với ∆ hay không, vì nếu B và C khác phía so với ∆ thì sẽ không có điểm B thỏa mãn bài toán. Hơn nữa, cách thứ hai có phần “xuất phát” không tự nhiên như cách thứ nhất.
Câu hỏi TNKQ:
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình thang cân ABCD có AB//CD, A(-1;1), C(4;0) và D(-2;-3). Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
A. Tọa độ điểm B là các số nguyên.
B. Gọi thì 
C. Điểm B nằm trên đường thẳng 
D. hoặc 
2.3.4. Đường tròn
Ví dụ 9:
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, lập phương trình tiếp tuyến với đường tròn , biết tiếp tuyến đi qua điểm 
Một học sinh trình bày như sau:
Gọi ∆ là đường thẳng đi qua và có một vectơ pháp tuyến là với Phương trình ∆ là: 
Đường tròn có tâm , bán kính 
∆ tiếp xúc với .
Chọn Phương trình ∆ là: 
Vậy phương trình tiếp tuyến với kẻ từ là 
Nhận xét:
Rõ ràng điểm A nằm ngoài đường tròn , chúng ta kẻ được hai tiếp tuyến với từ A nhưng tại sao lại chỉ tìm được một phương trình tiếp tuyến? Như vậy, trong lời giải có chỗ chưa chặt chẽ nên cần phải kiểm tra lại.
Bổ sung lời giải:
Xét phương trình: .
Nếu ta chọn (thỏa mãn) thì phương trình ∆ là: 
Kết luận: phương trình các tiếp tuyến với kẻ từ là và 
Câu hỏi TNKQ:
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn có phương trình . Gọi là tiếp điểm của tiếp tuyến với kẻ từ điểm Tính tổng .
A. B. . C. hoặc . D. hoặc .
Ví dụ 10:
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, lập phương trình tiếp tuyến với đường tròn biết tiếp tuyến đó song song với đường thẳng 
Giải: 
Đường tròn có tâm , bán kính 
Gọi ∆ là đường thẳng song song với phương trình ∆ có dạng 
∆ là tiếp tuyến của khi và chỉ khi 
Với , phương trình tiếp tuyến là (thỏa mãn)
Với , phương trình tiếp tuyến là (loại vì ∆ trùng với d)
Nhận xét: 
 Thông thường, cho trước một đường thẳng và đường tròn , ta có hai đường thẳng song song với và tiếp xúc với . Bài toán này đưa ra một tình huống để học sinh “cảnh giác” trong việc kiểm tra, nhận định kết quả.
Câu hỏi TNKQ:
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, lập phương trình tiếp tuyến với đường tròn biết tiếp tuyến đó song song với đường thẳng 
A. B. 
C. và D. và 
Với các lựa chọn ở trên, ít nhiều thì học sinh cũng sẽ nghĩ đến việc xét vị trí tương đối của đường thẳng trong các phương án với đường thẳng . Tuy nhiên, nếu cho phương trình ở dạng phương trình tham số thì hầu hết học sinh sẽ bỏ mất bước kiểm tra này.
Ví dụ 11:
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho và điểm . Từ M kẻ các tiếp tuyến MA, MB đến (với A, B là các tiếp điểm). Lập phương trình đường thẳng AB.
Giải:
Đường tròn có tâm , bán kính 
Nhận thấy M nằm ngoài .
Ta có: 
Đường thẳng AB nhận làm một vectơ pháp tuyến phương trình AB có dạng Gọi. Ta có: 
Với phương trình AB là Kết quả này bị loại vì M và I nằm cùng phía so với AB.
Với phương trình AB là (thỏa mãn).
Vậy phương trình AB là .
Nhận xét:
Bài toán lập phương trình đường thẳng đi qua hai tiếp điểm là một bài toán quen thuộc và có nhiều cách giải. Nếu như ở các cách giải khác cần một chút “mẹo” thì ở cách này xuất phát rất tự nhiên. Sử dụng cách giải này, đa số học sinh đều tìm được hai đường thẳng như trên, nhưng hầu như các em không nghĩ đến việc loại trường hợp không thỏa mãn. Khi gợi ý cho các em sử dụng hình vẽ để kiểm tra, các em mới phát hiện chỉ có một đường thẳng thích hợp. Từ đó học sinh có hướng để tìm chỗ khác biệt và chọn đúng kết quả.
Câu hỏi TNKQ: 
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho và điểm . Từ M kẻ các tiếp tuyến MA, MB đến (với A, B là các tiếp điểm). Lập phương trình đường thẳng AB.
 A. và . B. . 
 C. 	 D. và .
 Đối với bài này, học sinh có thể chỉ cần chọn phương án nào có một đường thẳng thỏa mãn các điều kiện:
 + Vuông góc với IM.
 + M và I khác phía đối với AB.
Ví dụ 12: 
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn và đường thẳng ∆: với m là tham số thực. Gọi là tâm của đường tròn . Tìm m để ∆ cắt tại hai điểm phân biệt A và B sao cho diện tích tam giác IAB lớn nhất.
Giải:
Đường tròn có tâm , bán kính 
Diện tích tam giác IAB: 
S lớn nhất khi và chỉ khi 
Khi đó, 
Vậy hoặc 
Nhận xét: 
 Bài toán trên xuất hiện trong đề thi Đại học khối A năm 2009. Khi m thay đổi, đường thẳng ∆ quay quanh điểm nằm ngoài đường tròn . Do đó, bằng hình vẽ phù hợp chúng ta cũng nhận định được có hai đường thẳng thỏa mãn bài toán, ứng với hai giá trị của m. Nhưng sẽ như thế nào nếu điểm M nằm trong đường tròn và rất gần tâm I ? Chúng ta hãy xem xét ví dụ sau đây:
Ví dụ 13: 
Trong mặt phẳng với hệ tọa