SKKN Rèn luyện kỹ năng giải quyết bài toán khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng trong khối chóp của hình học không gian lớp 11 đối với học sinh trường trung học phổ thông Cẩm Thủy 2

`MỤC LỤC
MỤC LỤC
 NỘI DUNG
Trang
I.
MỞ ĐẦU
1
1.
 Lí do chọn đề tài.
1
2.
 Mục đích nghiên cứu
2
3.
 Đối tượng nghiên cứu
2
4.
 Phương pháp nghiên cứu
2
II.
 NỘI DUNG NGHIÊN CỨU
2
1.
 Cơ sở lí luận của vấn đề
2
2. 
 Thực trạng của vấn đề
3
3. 
 Các giải pháp thực hiện
3
4. 
 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm
16
III.
KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ
16
1. 
Ý nghĩa của sáng kiến kinh nghiệm
16
2.
Khả năng ứng dụng của sáng kiến kinh nghiệm
16
3.
Bài học kinh nghiệm và hướng phát triển
16
4.
Kiến nghị và đề xuất
17
ĐỀ TÀI
RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI QUYẾT BÀI TOÁN KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MỘT MẶT PHẲNG TRONG KHỐI CHÓP CỦA HÌNH HỌC KHÔNG GIAN LỚP 11 ĐỐI VỚI HỌC SINH TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG CẨM THỦY 2
I.MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
Hình học không gian là môn học đòi hỏi nhiều tư duy trừu tượng. Là môn học khiến nhiều học sinh trở nên chán nản và muốn bỏ cuộc. Trong bối cảnh hiện nay, Môn toán lại thi trắc nghiệm đỏi hỏi học sinh phải tính toán nhanh và chính xác. Có nhiều học sinh đã nói: “Nếu gặp câu hình học không gian là khoanh giông”. Điều này khiến điểm số của các em có thể không cao đôi khi còn ảnh hưởng tới vấn đề học tập của các môn học khác mặc dù nhiều bài tập chỉ có một chút xíu là các em có thể tìm ra được đáp án. 
Là một giáo viên công tác tại một trường miền núi, điều kiện công tác khó khăn nhiều mặt. Trong quá trình giảng dạy tôi nhận thấy học sinh lớp 11 khi học đến vấn đề khoảng cách trong không gian đa phần các em không vượt qua nổi. Vậy nguyên nhân của vấn đề này là gì? Liệu có phương pháp nào đó để các em cảm thấy khoảng cách trong hình học không gian không còn là một con quái vật đáng sợ nữa hay không? Tôi thiết nghĩ vì một số kiến thức hình học phẳng các em chưa biết cách áp dụng vào các mặt phẳng trong không gian. Các em chưa xác định được mộ6t số yếu tố mấu chốt trong bài toán tính khoảng cách. Chính vì thế mà dần dần các em thấy sợ bài toán khoảng cách vì không tìm thấy con đường đi đến đáp án. Về phần giáo viên cũng gặp không ít khó khăn khi truyền đạt nội dung kiến thức và phương pháp giải các dạng bài tập hình học không gian, giáo viên chưa thể truyền cho học sinh được trí tưởng tượng đầu óc tư duy hình không gian. 
Qua nhiều năm giảng dạy môn học này tôi thấy bài toán tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng dường như là bài toán gốc của các bài toán khoảng cách khác. Nếu làm tốt bài toán khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng thì tất cả các bài toán khác đều giải quyết được bằng cách quy về bài toán này. Vì vậy, trong những năm công tác tôi luôn cố gắng tìm tòi, đúc kết kinh nghiệm tìm ra một phương pháp nào đó để nhằm giúp các em có thể giải quyết bài toán khoảng cách theo hướng dễ tiếp cận nhất, từ đó mà chất lượng giảng dạy cũng như học tập của học sinh ngày được nâng lên. 
Từ lý do trên tôi đã khai thác, hệ thống hóa các kiến thức và tổng hợp các phương pháp thành một chuyên đề: “Rèn luyện kỹ năng giải quyết bài toán khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng trong khối chóp của Hình học không gian lớp 11 đối với học sinh trường THPT Cẩm Thủy 2 ”
2. Mục đích nghiên cứu
Qua nội dung của đề tài này tôi mong muốn sẽ cung cấp cho học sinh lớp 11 có thêm một số kỹ năng cơ bản về tính toán trong hình không gian cũng như tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng trong không gian, giúp các em có thể giải quyết được các bài toán khoảng cách để từ đó học sinh có một lối tư duy trừu tượng một cách tự nhiên và chính xác, giúp các em có một trình tự đúng logic, không mắc sai lầm khi làm bài tập. Và tôi hy vọng với đề tài nhỏ này sẽ giúp các em học sinh có cơ sở để tiếp tục học hình học không gian.
3. Đối tượng nghiên cứu.
Đối tượng nghiên cứu trong đề tài là học sinh lớp 11 năm học 2018 – 2019 trường THPT Cẩm Thủy 2.
Phạm vi nghiên cứu của đề tài là: “ Chương 3: Quan hệ vuông góc ” sách giáo khoa hình học 11 cơ bản.
4. Phương pháp nghiên cứu
Nghiên cứu lí luận chung; khảo sát điều tra thực tế dạy và học; tổng hợp so sánh, đút rút kinh nghiệm; trao đổi với đồng nghiệp, tham khảo ‎ý kiến đồng nghiệp.
II. NỘI DUNG NGHIÊN CỨU
1.Cơ sở lí luận của vấn đề
	Khi giải một bài toán về tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng ta phải đọc kỹ đề, phân tích giả thuyết, kết luận, vẽ hình đúng, xác định được vị trí tương đối của giữa điểm, đường thẳng, mặt phẳng xác định được chân đường cao của một khối chóp, chân đường cao của khối lăng trụ có như thế mới giúp ta xác định được các yếu tố cần giải quyết mà không gặp khó khăn. Ngoài ra ta còn phải nắm vững kiến thức: Các hệ thức lượng trong tam giác, tìm giao tuyến của hai mặt phẳng, tìm góc trong không gian, các mối quan hệ vuông góc trong không gian. 
2. Thực trạng của vấn đề
Qua quá trình giảng dạy tôi nhận thấy nhiều học sinh miền núi đều gặp khó khăn khi học bộ môn hình học và với hình học không gian các em lại còn vất vả hơn. Khi gặp các bài toán hình không gian nhiều người cho rằng chỉ cần vẽ hình đúng các quy tắc còn các yếu tố không bào toàn khác thì không cần quan tâm khi vẽ hình. Điều này dẫn đến các em không sử dụng linh hoạt các giả thiết các mối tương giao trong hình chưa sử dụng nhanh nhẹn và hợp lí.
Khi giải các bài toán về khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng các em thường gặp một số khó khăn như sau: Không biết các yếu tố nào vuông góc với nhau; Hình chiếu của một điểm lên đường thẳng hay mặt phẳng nằm ở vị trí nào để tính toán. Nên áp dụng công thức hình học phẳng nào. Học sinh quen với hình học phẳng nên khi học các khái niệm của hình không gian hay nhầm lẫn, chưa biết vận dụng các tính chất của hình học phẳng cho hình không gian; Các em còn lúng túng trong việc định hướng cách giải. Bên cạnh đó còn có nguyên nhân như các em chưa xác định được động cơ học tập. 
Từ những nguyên nhân trên tôi mạnh dạn đưa ra giải pháp nhằm nâng cao kỹ năng giải quyết bài toán khoảng cách trong Hình học không gian lớp 11 cho học sinh lớp 11.
3. Các giải pháp thực hiện. 
Trong quá trình thực hiện sáng kiến kinh nghiệm, tôi đã lựa chọn lớp 11C1 là lớp thực nghiệm(sử dụng phương pháp mới) và lớp 11C2 là lớp đối chứng(sử dụng phương pháp truyền thống). Quá trình giảng dạy được tiến hành song song ở cả 2 lớp. Để giải quyết bài toán khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng tốt theo tôi nghĩ trước hết cần hệ thống lại các kiến thức hình học phẳng và hình không gian cần sử dụng cho học sinh đó là: 
1. Các hệ thức lượng trong tam giác vuông:
+) 
+) 
+) 
+) 
+) 
+) 
2 .Hệ thức lượng trong tam giác thường.
a/ Định lí sin: 
b/ Định lí cosin: 
3. Các công thức tính diện tích tam giác. 
4. Cách xác định góc:
a/ Giữa hai đường thẳng:
Góc giữa hai đường thẳng trong không gian là góc giữa hai đường thẳng cùng đi qua và lần lượt song song với .Giả sử gọi góc giữa hai đường thẳng là . Ta có: 
*) *) *)
b/ Giữa đường thẳng và mặt phẳng:
Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là góc giữa đường thẳng và trong đó là hình chiếu của lên .
c/ Giữa hai mặt phẳng. 
- Gọi là giao tuyến của và và 
- Đường thẳng và vuông góc với tại 
- Đường thẳng và vuông góc với tại 
Khi đó: Góc giữa hai đường thẳng và là góc giữa 2 mặt phẳng và . 
5. Một số quan hệ vuông góc 
a/ Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
.Theo định nghĩa ta có: 
b/ Hai mặt phẳng vuông góc
c/ Đường thẳng vuông góc với giao tuyến của hai mặt phẳng vuông góc
6. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng
Vẽ hình đúng – trực quan gợi mở và tạo điều kiện thuận lợi cho việc giải các bài toán và phát huy trí tưởng tượng không gian, phát huy tính tích cực và niềm say mê học tập của học sinh. Vẽ đúng – trực quan hình vẽ giúp học sinh tránh được các sai lầm đáng tiếc và nhắc nhở được các em về một số quan hệ vuông góc cần thiết đóng vai trò quan trọng trong giải quyết bài toán khoảng cách. Vì vậy, ngoài các nguyên tắc vẽ hình không gian đã học thì học sinh cần lưu ý xác định ngay ban đầu chân đường cao của khối chóp vì phần lớn điểm này tham gia vào việc tính khoảng cách. Do đó, khi vẽ hình chóp trong các bài toán tính khoảng cách cần tuân thủ một số bước cơ bản sau:
Bước 1: Vẽ đáy ( thường là tam giác hoặc tứ giác)
Bước 2: Xác định chân đường cao. Từ chân đường cao vẽ đường cao xác định đỉnh của khối chóp.
Bước 3: Nối các điểm lại để hoàn thiện hình vẽ.
Tăng cường vấn đáp nhằm giúp học sinh hiểu rõ và thực hiện tốt các bước vẽ hình.
Trước tiên cần dạy cho học sinh cách xác định chân đường cao hoặc đường cao của một số mô hình khối chóp.
Mô hình 1: Khối chóp đều.
Chân đường cao trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp đáy.
Mô hình 2: Khối chóp có cạnh bên vuông góc với đáy(hoặc hai mặt bên cùng vuông góc với đáy).
Cạnh bên vuông góc với đáy là chiều cao của khối chóp
Hai mặt bên cùng vuông góc với đáy: Đường cao là giao tuyến của hai mặt đó.
Mô hình 3: Khối chóp có một mặt phẳng cùng vuông góc với đáy
Đường cao của khối chóp là đường cao của mặt đó với chân đường cao nằm trên giao tuyến của mặt đó với đáy.
Mô hình 4: Khối chóp chỉ rõ chân đường cao
Mô hình 5: Một số loại khác.
Bài toán tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng chia làm hai bài toán:
Bài toán 1: Khoảng cách từ một điểm đặc biệt( bao gồm điểm hình chiếu và điểm vuông góc, ta sẽ có định nghĩa ở phần dưới) 
Bài toán 2: Khoảng cách từ một điểm không đặc biệt đến một mặt phẳng.
Bài toán 1: Tính khoảng cách từ một điểm đặc biệt đến mặt phẳng .
Phương pháp.
Dạng 1: Tính khoảng cách từ điểm đến với là điểm vuông góc. Nghĩa là ta có thể xác định được một mặt phẳng chứa điểm và .
Khi đó ta xác định khoảng cách như sau: 
Xác định giao tuyến của và gọi là 
Kẻ . Suy ra 
Dạng 2: Tính khoảng cách từ điểm đến một mặt phẳng với là điểm hình chiếu. Nghĩa là tính khoảng cách từ điểm đến với là hình
chiếu của lên . Khi đó, ta xác định khoảnh cách như sau:
 Cách dựng: 
Kẻ và kẻ . Khi đó, 
Chứng minh: Ta chứng minh 
Thật vậy, ( vì ) suy ra 
Mặt khác 
Từ (1) và (2) suy ra . Do đó 
Cách tính: Xét tam giác vuông tại M có là đường cao ứng với cạnh huyền.
Tính . Khi đó , ta tính được .
Ví dụ minh họa.
Bài 1: Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh . và . Gọi là trung điểm của . Tính khoảng cách từ đến .
Phân tích: Vấn đáp để hướng dẫn học sinh vẽ hình. Học sinh cần trả lời được hình chóp ở bài này thuộc mô hình 2. Để vẽ hình chóp trong bài này ta cần vẽ đáy trước sau đó vẽ thẳng đứng vuông góc với mặt đáy. Cuối cùng nối S với các đỉnh còn lại của hình vuông.
Đây là bài toán tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng học sinh cần phân tích để tìm ra điểm là điểm đặc biệt vuông góc hay hình chiếu.
Ta sẽ nhận ra rằng điểm thuộc mà nên điểm I là điểm vuông góc. Khi đó, ta chỉ cần kẻ với thì 
Bài 2: Cho hình chóp có đáy là hình chữ nhật . và . Tính khoảng cách từ đến .
Phân tích: 	Với hình chóp này chúng ta vẽ hình tương tự như bài 1.
Đây vẫn là bài toán tính khoảng cách từ 1 điểm đến một mặt phẳng. Cụ thể là tính khoảng cách từ điêm đến . Và chúng ta nhận thấy điểm là điểm hình chiếu. Theo phương pháp chúng ta chỉ cần dựng . Thì khoảng cách cần tìm là .
Bài toán 2 : Tính khoảng cách từ một điểm bất kì đến mặt phẳng 
Phương pháp.
 Khi tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng mà điểm đó không thuộc hai trường hợp đặc biệt ở bài toán 1 thì ta gọi đó là bài toán khoảng cách từ một điểm bất kì đến một mặt phẳng. Trong trường hợp này ta quy về tính khoảng cách từ một điểm đặc biệt đến một mặt phẳng như sau :
Bước 1 : Nối điểm với điểm đặc biệt ta được đường thẳng .
Bước 2 : Khi đó vị trí tường đối của đường thẳng với xảy ra hai trường hợp sau :
Trường hợp 1 : . Khi đó 
Trường hợp 2 : 
Gọi lần lượt là hình hiếu của trên . 
Ta chứng minh được : đồng dạng với  từ đó ta có:
 .
Ví dụ minh họa.
Bài 1 : Cho hình chóp có đáy là hình thoi cạnh , , góc , . Tính khoảng cách từ đến .
Phân tích: Học sinh dễ dàng vẽ được hình trong bài toán này.
Bài toán tính khoảng cách này. Trước tiên học sinh cần thấy được điểm là điểm hình chiếu đối với nên điểm là một điểm không đặc biệt đối với . Khi đó chúng ta sẽ nối và . Dễ dàng ta thấy được . Bài toán khoảng cách này thuộc trường hợp 1.
Bài 2: Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh , . Hình chiếu vuông góc của lên mặt phẳng là trung điểm của . Tính khoảng cách từ đến .
‎Phân tích: Khối chóp này thuộc mô hình 4. Học sinh cần vẽ hình như sau: Vẽ đáy trước; Gọi là trung điểm của ; Từ kẻ thẳng đứng ; cuối cùng ta nối với các đỉnh của hình vuông .
Học sinh cũng phải nhận thấy được rằng điểm mới là điểm hình chiếu với . Khi đó, nối với ta được đường thẳng cắt tại . Bài toán khoảng cách này thuộc trường hợp 2.
Bài 3 : Cho hình chóp có đáy là tam giác vuông tại , góc , đều cạnh , . Tính khoảng cách từ đến .
Phân tích: Hình chóp này thuộc mô hình 3. Với giả thiết bài toán học sinh cần xác định đường cao của hình chóp là với là trung điểm của .
 Tương tự như bài trên thì khoảng cách cần tính ở bài này thuộc trường hợp 2.
BÀI TẬP RÈN LUYỆN
Câu 1: Cho hình chóp có đáy là hình thoi tâm cạnh và có góc . Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng đáy và . Khoảng cách từ đến mặt phẳng .
Câu 2: Cho tứ diện có đôi một vuông góc và . Diện tích 
Câu 3: Hình chóp tam giác đều có cạnh đáy bằng , cạnh bên bằng . Tính khoảng cách từ đỉnh tới mặt phẳng đáy.
Câu 4: Cho hình chóp có đáy là hình chữ nhật và . Các cạnh bên của hình chóp bằng nhau và bằng . Tính khoảng cách từ đến mặt phẳng đáy .
Câu 5: Cho hình chóp tứ giác đều , đáy có tâm và cạnh bằng , cạnh bên bằng . Tính khoảng cách từ đến .
Câu 6: Cho tứ diện đều cạnh . Tính khoảng cách từ đến mặt phẳng .
Câu 7: Cho hình chóp tam giác đều cạnh đáy bằng và chiều cao bằng a. Tính khoảng cách từ tâm của đáy đến một mặt bên.
Câu 8: Cho hình chóp trong đó vuông góc với nhau từng đôi một. Biết , . Tính khoảng cách từ đến .
Câu 9: Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh bên bằng cạnh đáy bằng . Tính khoảng cách từ đến .
Câu 10: Cho hình hộp chữ nhật có . Tính khoảng cách từ đến mặt phẳng .
Câu 11: Cho hai tam giác và nằm trong hai mặt phẳng hợp với nhau một góc 600, tam giác cân ở , tam giác cân ở . Đường cao của D bằng . Tính khoảng cách từ đến .
Câu 12 : Trong mặt phẳng , cho hình thoi có độ dài các cạnh bằng , góc . Gọi là trọng tâm của tam giác . Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng tại lấy điểm sao cho góc . Tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng (SBD) theo .
Câu 13 : Cho hình chóp có đáy là hình thang vuông tại và , , , . Tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng (SCD) theo . 
Câu 14 : Cho hình chóp có đáy là hình bình hành với . Hình chiếu vuông góc của lên là trọng tâm của tam giác . Biết . Tính khoảng cách từ điểm đến theo . 
Câu 15 : Cho tứ diện có , góc tạo bởi hai mặt phẳng và bằng . Tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng .
Câu 16 : Cho tam giác đều cạnh , điểm thuộc cạnh với . Dựng đoạn vuông góc với và . Tính:
a) Khoảng cách từ điểm đến . 
b) Khoảng cách từ điểm đến . 
Câu 17 : Cho hình vuông và tam giác đều cạnh nằm trong hai mặt phẳng vuông góc với nhau . Gọi lần lượt là trung điểm của AB và . Tính:
a) Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng .
b) Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng . 
Câu 18 : Cho hình chóp có đáy là hình chữ nhật tâm , tam giác vuông tại . Hình chiếu vuông góc của xuống trùng với trung điểm của đoạn . Tính khoảng cách từ đến . 
Câu 19: Cho hình hôp chữ nhật có . Tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng .
Câu 20: Cho hình hộp chữ nhật có ba kích thước . Tính khoảng cách từ đến mặt phẳng .
Câu 21: Cho hình lăng trụ đứng . Cạnh bên . Tam giác là tam giác vuông cân tại , . Tính khoảng cách từ đến .
4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm. 
Khi áp dụng những phương pháp trên để dạy học sinh tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng, bản thân tôi thấy khi gặp các bài toán khoảng cách học sinh không còn e ngại và có khả năng giải quyết vấn đề.
	Trong quá trình giảng dạy, tôi đã thu được kết quả rất khả quan thể hiện qua các bài kiểm tra ở lớp đối chứng và lớp thực nghiệm. Cụ thể như sau:
 	Tỉ lệ học sinh lớp thực nghiệm nắm được nội dung bài học tốt hơn so với lớp đối chứng
Lớp
Sĩ số
Điểm Giỏi
Điểm Khá
Điểm Trung bình
Điểm Yếu
11C1 (TN)
45
18
45%
25
50,6%
2
4,4%
0
11C2 (ĐC)
45
5
11,1%
19
42.2
21
46,7
0
III. KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ
1. Ý nghĩa của sáng kiến kinh nghiệm: 
Nhằm tạo động lực thúc đẩy học sinh tích cực học tập, góp phần nâng cao hiệu quả giảng dạy cho bản thân nói riêng và kết quả giáo dục của nhà trường nói chung.
2. Khả năng ứng dụng của sáng kiến kinh nghiệm:
Sáng kiến kinh nghiệm có thể áp dụng rộng rãi cho học sinh khối 11. Khả năng ứng dụng của sáng kiến kinh nghiệm là ở phương pháp đặt vấn đề, phân tích, hướng dẫn học sinh giải quyết vấn đề.
3. Bài học kinh nghiệm và hướng phát triển. 
Như đã nêu trên, muốn cho học sinh học tốt hơn môn hình học không gian thì giáo viên cần phải có một số kỹ năng sau:
- Kỹ năng vẽ hình và trình bày lời giải.
- Kỹ năng nêu vấn đề và hướng dẫn học sinh giải quyết vấn đề, giúp học sinh biết tư duy và trực quan hình vẽ.
Giáo viên phải tâm huyết, nhiệt tình, gương mẫu quan tâm đến học sinh, giúp đỡ các em để các em không cảm thấy áp lực trong học tập. Luôn tạo ra tình huống có vấn đề, kích thích hứng thú tìm tòi học tập ở học sinh. Phải thường xuyên học hỏi trau dồi chuyên môn để tìm ra phương pháp dạy học phù hợp với từng đối tượng học sinh.
4. Kiến nghị và đề xuất:
 Nhằm giúp cho học sinh học tốt hơn với môn hình học không gian, bản thân kiến nghị với Ban giám hiệu có kế hoạch mua bổ sung các thiết bị dạy học, trang bị thêm phòng giáo án điện tử,.. Tổ chuyên môn cần tổ chức hội giảng, các buổi trao đổi về phương pháp giảng dạy, nhằm giúp cho việc giảng dạy của giáo viên được thuận lợi hơn.
 Trong dạy học cần bám sát chuẩn kiến thức kỹ năng, nhấn mạnh kiến thức trọng tâm, các phương pháp chứng minh phục vụ trong quá trình làm bài tập. Ngoài ra cần hình thành cho học sinh kỹ năng vẽ hình. Nắm vững các yếu tố trên sẽ giúp cho việc giảng dạy của giáo viên được thuận lợi, học sinh tiếp thu kiến thức ngày một tốt hơn. Từ đó góp phần nâng cao hiệu quả giảng dạy.
XÁC NHẬN CỦA 
THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ
Thanh Hóa, ngày 06 tháng 04 năm 2019
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết, không sao chép nội dung của người khác
 Người viết
 Trần Thị Quyên