SKKN Rèn luyện kỹ năng chứng minh các bài tập hình học cho học sinh lớp 8 ở trường THCS Nga Mỹ

MỤC LỤC
1. MỞ ĐẦU
1.1. Lý do chọn đề tài
Người Ai Cập và Hy Lạp nhờ môn Toán học đã xây dựng được nhiều công trình nổi tiếng như Kim Tự Tháp, hệ chữ cái,thiên văn học,vật lýDo vậy Toán học là một môn khoa học cơ bản được nhiều người qua tâm và nghiên cứu.
Toán học là bộ môn khoa học tự nhiên , có hệ thống kiến thức rất cơ bản và cần thiết cho cuộc sống. Nó là một môn khoa học đòi hỏi tính sáng tạo tư duy logic cao. Nó luôn gắn bó và tác động lớn tới sự phát triển của nhiều ngành khoa học khác. Quá trình giải một bài toán giúp con người hình thành những khả năng đặc biệt của trí tuệ. Những khả năng đặc biệt này đem lại cho chúng ta những thành tựu lớn trong quá trình nghiên cứu khoa học, cũng như mọi lĩnh vực của đời sống con người.
Môn Toán THCS cung cấp cho học sinh những kiến thức phương pháp phổ thông cơ bản thiết thực, hình thành và rèn luyện kỳ năng khả năng suy luận logic khả năng quan sát dự đoán phát triển trí tưởng tượng,bồi dưỡng phẩm chất tư duy linh hoạt sáng tạo hình thành thói quen tự học tự nghiên cứu để chính xác ý tưởng của mình. Góp phần hình thành các phẩm chất lao động cần thiết của con người.
Trong việc dạy toán học thì việc tìm ra những phương pháp dạy học và giải bài tập Toán đòi hỏi người giáo viên phải chọn lọc hệ thống bài tập, sử dụng đúng phương pháp dạy học, góp phần hình thành phát triển tư duy của học sinh, rèn luyện cho học sinh tính sáng tạo, linh hoạt trong việc giải bài tập đặc biệt là việc bồi dưỡng học sinh giỏi.
 Dạy như thế nào để học sinh nắm chắc kiến thức cơ bản và được nâng cao để các em có hứng thú, say mê học tập là một câu hỏi mà mỗi thầy cô giáo luôn đặt ra cho chính mình.
 Với đối tượng học sinh khá, giỏi, các em có tư duy nhạy bén, có nhu cầu hiểu biết ngày càng cao, làm thế nào để các em phát huy hết khả năng của mình, đó là trách nhiệm của mỗi thầy, cô giáo. 
 Trong nhà trường toán học giúp các em học sinh phát triển về mọi mặt: trí, đức, thể, mỹ. Đáp ứng yêu cầu giáo dục của Việt Nam. 
Trong trường THCS việc nâng cao chất lượng dạy và học là vấn đề thường xuyên, liên tục. Để chất lượng học sinh ngày càng được nâng cao yêu cầu người giáo viên phải lựa chọn phương pháp giảng dạy phù hợp và hệ thống bài tập đa dạng, phong phú đối với từng đối tượng học sinh.
Hình học là môn khoa học suy diễn. Nó giúp học sinh rèn luyện các phép đo đạc, tính toán, suy luận logíc, phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh. Đặc biệt đối với việc hướng dẫn cho các em chứng minh một bài toán hình học đồng thời mở rộng, nâng cao bài toán là một yêu cầu rất cần thiết. Sử dụng thành thạo các phương pháp chứng minh vào từng bài toán cụ thể, cách vẽ hình chính xác, lập luận để hiểu cặn kẽ nội dung của bài toán.
Điều đó lý giải tại sao đa số học sinh ở cấp THCS đều lúng túng trong quá trình giải các bài tập hình học, hầu hết các em không biết phải tiến hành từ đâu, tiến hành các thao tác tư duy nào, phải làm những gì, phải sử dụng công cụ nào để giải đôi khi việc giải một bài toán hình học của các em chỉ là “ Sự mày mò” không có cơ sở.
Là giáo viên đang trực tiếp giảng dạy môn toán ở lớp 8, tôi nghĩ rằng việc giảng dạy của giáo viên không đơn thuần là việc “ Chỉ cho học sinh kết quả của bài toán” mà là quá trình “ Hướng dẫn cho các em hình thành thói quen suy luận, lập luận hợp lôgic ” để chứng minh một bài toán hình học. Việc làm này sẽ phát triển trí thông minh của các em và góp phần thúc đẩy sự phát triển trí tuệ của học sinh, gây hứng thú học tập bộ môn hình học.
Các vấn đề trong đề tài đều được lựa chọn để mọi đối tượng học sinh đều có thể tiếp thu được. Ngoài ra, trong đề tài một số vấn đề khó được diễn đạt một cách đơn giản, dễ hiểu; các lời giải trình bày ngắn gọn để vừa tăng lượng thông tin trong khuôn khổ có hạn của đề tài, vừa dành lại phần độc lập nghiên cứu cho học sinh; đồng thời nêu bật những khâu mấu chốt của lời giải.
 Xuất phát từ yêu cầu và mong ước trên tôi đã chọn đề tài: “Rèn luyện kỹ năng chứng minh các bài tập hình học cho học sinh lớp 8 ở trường THCS Nga Mỹ”
1.2. Mục đích nghiên cứu
Từ đặc điểm việc tìm ra các giải pháp dạy học tối ưu cho từng phần, từng dạng bài tập là hết sức quan trọng.
Được giảng dạy môn toán lớp 8 năm học vừa qua tại trường THCS Nga Mỹ cùng với hoạt động dự giờ các đồng nghiệp, thông qua các buổi sinh hoạt chuyên môn tháo gỡ các vấn đề khó. Xây dựng những tiết giảng khó trong chương trình, cũng như được tham gia các lớp chuyên đề do Phòng Giáo dục và Đào tạo Nga Sơn tổ chức. Tôi nhận thấy việc tiếp thu kiến thức hình học ở khối 8 đối với học sinh là rất khó. Nhưng đối với giáo viên việc giảng dạy vẫn còn nhiều vấn đề phải nghiên cứu
Hướng dẫn học sinh “tư duy, suy luận logic để giải một bài toán chứng minh hình học” lớp 8 bao gồm nhiều quá trình kết hợp một cách chặt chẽ, đó là yêu cầu mà học sinh cần đạt được để học cách “Phải suy nghĩ như thế nào? tiến hành các thao tác tư duy nào ?...”. Việc thành thạo các thao tác tư duy này sẽ giúp học sinh giải bài toán chứng minh hình học lớp 8 một cách độc lập. Nó được chia làm 5 quá trình sau:
a. Quá trình phân tích, phán đoán:
Phân tích bài toán để phán đoán một cách khoa học, có cơ sở để tìm ra kết quả của bài toán.
b.Quá trình bổ sung và phân nhóm lại bài toán.
Dựa vào mối liên hệ giữa các yếu tố của bài toán và yêu cầu của bài toán có thể kẻ thêm đường phụ.
c. Quá trình huy động kiến thức cũ :
Tìm phương pháp giải dựa trên cơ sở khoanh vùng kiến thức cần sử dụng trong bài toán, cách ly, liên hợp các yếu tố của bài toán.
d. Quá trình tổ chức giải bài toán.
Mỗi quá trình trên có liên quan chặt chẽ với nhau trong quá trình giải toán, những suy luận có lý từ một quá trình sẽ đem lại kết quả cho bài toán.
e. Quá trình phát triển bài toán cũ thành bài toán mới.
Để giúp học sinh yêu thích môn Hình học 8 giáo viên cần có các phương pháp phù hợp với đối tượng học sinh. Học sinh nắm vững được kiến thức đó là cả một nghệ thuật của người thầy nhất là khi bài toán cũ mà người thầy làm cho nó mới các em luôn hứng thú để tìm cách giải.
1.3. Đối tượng nghiên cứu
- Học sinh lớp 8A trường THCS Nga Mỹ
 1.4 Phương pháp nghiên cứu
-Đề tài này được hoàn thành với các phương pháp phân tích, phán đoán,phân nhóm,huy động kiến cũ, phát triển bài toán trên nền kiến thức đã học.
 - Nghiên cứu tài liệu,học hỏi từ đồng nghiệp và bản thân tự học tự nghiên cứu
- Giúp học sinh yếu kém có hứng thú học môn hình học và học sinh khá giỏi phát triển được tố chất của mình. Để “Rèn luyện kỹ năng chứng minh các bài tập hình học lớp 8 ở trường THCS Nga Mỹ”
2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1. Cơ sở lý luận
Môn hình học là môn học mang tính tư duy cao nên giáo viên cần giúp học sinh lĩnh hội được nhiều kiến thức từ đó các em có niềm say mê. Tuy nhiên trong thực tế việc dạy học để nâng cao chất lượng môn Hình học không thể dễ dàng. Giáo viên kết hợp hài hòa với học sinh để các em xác định được việc học là cần thiết 
Phần lớn học sinh trong nhà trường là con em nông thôn điều kiện kinh tế khó khăn nên việc dành thời gian học tập chưa cao. Sự quan tâm kèm cặp con cái của một số phụ huynh còn buông lỏng,một số em chưa có ý thức học tập dẫn đến các em chưa yêu thích môn Hình học. Là giáo viên lâu năm trong quá trình giảng dạy tôi luôn học hỏi đồng nghiệp và tìm các phương pháp thích hợp để giúp các em yêu thích và học tốt môn Hình học .
2.2. Thực trạng của vấn đề nghiên cứu
 2.2.1 Thực trạng :
Lý do cơ bản mà giáo viên còn băn khoăn, đó chính là lựa chọn phương pháp nào, sử dụng phương tiện, thiết bị dạy học nào để học sinh tiếp thu kiến thức cơ bản tốt nhất từ đó giúp học sinh vận dụng vào giải các bài tập.
Việc hướng dẫn học sinh chứng minh một số bài toán khó, mang tính tổng quát đôi lúc còn mang tính chất gượng ép, nếu giáo viên không hướng dẫn cho học sinh cách chứng minh, suy luận logic, thì việc giải bài toán đối với học sinh gặp rất nhiều khó khăn .
Vì là kiến thức khó nên các em tiếp thu kiến thức một cách thụ động, chưa thực sự làm chủ được kiến thức. Điều quan trọng là các em chưa nắm vững kiến thức cơ bản, còn hiểu lơ mơ về định nghĩa, định lý. Đặc biệt là các em còn bỡ ngỡ khi giải bài tập. Đối với học sinh thì việc giải toán là hoạt động chủ yếu của việc học tập môn toán.
Việc “tư duy, suy luận logic để giải một bài toán chứng minh’’ biểu thị các đại lượng chưa biết qua các đại lượng đã biết, các em nắm rất lơ mơ. Do vậy khi đứng trước một bài toán khó, các em rất lúng túng, chưa định hướng được việc giải bài toán như thế nào. Coi việc học toán, giải toán là gánh nặng.
2.2.2 Kết quả của thực trạng trên:
Trong thực tế cho chúng ta thấy hình học là một bộ môn khó đối với nhiều học sinh, nhưng nếu như chúng ta biết cách hướng dẫn học sinh giải một bài toán chứng minh hình học thì ắt hẳn tư tưởng trên sẽ không còn nữa. Thực tế cho thấy để thực hiện được điều này thì phải phân loại học sinh (Giỏi, khá, trung bình, yếu, kém). Tuỳ vào từng đối tượng học sinh mà chúng ta áp dụng với phương pháp thích hợp .
Ngay từ đầu năm, tôi được nhà trường phân công dạy bộ môn toán lớp 8. Qua tìm hiểu tôi biết, có nhiều học sinh còn mải chơi, chưa chú ý, tự giác học tập đây là một lớp có nhiều học sinh xếp loại trung bình, yếu kém về bộ môn toán. Vào đầu năm học tôi đã tiến hành khảo sát chất lượng môn hình học ở lớp 8. Kết quả như sau:
LỚP
Số HS
Giỏi
Khá
TB
Yếu
SL
%
SL
%
SL
%
SL
%
8
37
1
2.7
6
16.2
18
48.6
12
32.5
2.3. Giải quyết vấn đề.
2.3.1. Các giải pháp tổ chức thực hiện
- Kiểm tra đánh giá chất lượng dạy học toán ở lớp 8 
- Hướng dẫn học sinh tìm ra phương pháp giải toán phù hợp với từng dạng bài toán là một vấn đề quan trọng, cần phải tích cực, thường xuyên, không chỉ giúp các em nắm được lý thuyết mà còn phải tạo ra cho các em có một phương pháp học tập phù hợp, rèn luyện cho các em có khả năng tự học ,tự chứng minh bài toán. Làm được điều đó chắc chắn kết quả học tập của các em sẽ đạt được hiệu quả tốt hơn.
- Giải toán là một nghệ thuật và việc hướng dẫn cho học sinh giải toán còn yêu cầu tính nghệ thuật cao hơn. Việc hướng dẫn học sinh lập luận để chứng minh bài toán hình học lớp 8 cũng vậy, đòi hỏi quá trình tìm tòi, nghiên cứu, lâu dài. 
- Lựa chọn những bài toán có khả năng giải bằng nhiều phương pháp, thuộc chương trình hình học lớp 8 thông qua đó dạy cho học sinh các phương pháp chứng minh hình học, kỹ năng vẽ hình chính xác, Có ý thức phát triển bài toán từ bài dễ thành bài khó hơn, khai thác hết các kiến thức của bài toán.
 a. Quá trình phân tích, phán đoán.
Khi gặp một bài toán, sau khi đã ghi giả thiết, kết luận, vẽ hình chính xác, phần lớn học sinh thường lao vào giải bài toán ngay, điều này thực sự không có lợi cho việc giải toán, vì có thể các em chưa thực sự nắm được yêu cầu của bài toán, hoặc có thể lệch hướng giải quyết vấn đề . Do đó giáo viên nên hình thành cho học sinh thói quen phân tích bài toán một cách kỹ lưỡng trước khi bắt tay vào tìm lời giải cho bài toán. Dựa vào việc phân tích bài toán để tìm mối liên hệ giữa các yếu tố có liên quan đến bài toán từ đó xác định cụ thể yêu cầu của bài toán, phán đoán hướng giải quyết bài toán.
Tuy nhiên cần hiểu rằng việc phán đoán không có nghĩa là dự đoán một cách thông thường mà khi phán đoán một vấn đề cần thiết phải biết cách lập luận để kiểm tra phán đoán đó một cách có cơ sở. Muốn kiểm tra phán đoán, có thể đặt ra một số câu hỏi như “ Nhận biết này có liên hệ tới vấn đề cần chứng minh không? Vấn đề phán đoán này có hợp lý không ? nếu có thì liên quan như thế nào?” “Giả thiết này cho nhằm mục đích gì ? có liên quan tới yêu cầu của bài toán không?”. Những câu hỏi này khi đặt ra sẽ kèm theo một loạt các thao tác tư duy, có thể chỉ cho người giải biết phải hành động như thế nào ?
Để tìm được cách giải bài toán giáo viên có thể giúp học sinh vận dụng phương pháp phân tích đi lên để giải quyết bài toán. Đây là phương pháp yêu cầu học sinh phải biết tự kiểm tra những dự đoán. “ Nếu có điều này thì sẽ như thế nào ?” Khi sử dụng phương pháp này chúng ta sẽ thấy lợi ích của việc phân tích bài toán tìm ra mối liên hệ giữa các yếu tố của bài toán.
Bài toán 1: Cho Tam giác ABC và một điểm E bất kỳ thuộc cạnh AC qua E kẻ đường thẳng song song với AB cắt BC ở D và đường thẳng song song với BC cắt AB ở F sao cho AE = FB. Chứng minh rằng tam giác AED cân. 
A
Giáo viên: Yêu cầu học sinh vẽ hình ghi giả thiết, kết luận.
F
GT
∆ABC,E º AC, ED // AB,
E
 EF //BC, EA = BF
KL
∆ AED cân.
C
D
B
Hướng dẫn:
Để giải được bài toán 1 yêu câù học sinh tìm tòi theo các bước say đây: 
- Bài toán cho biết gì ? cần chứng minh điều gì ? (yêu cầu phân tích).
- Dự đoán ∆AED cân ở đỉnh nào ? (yêu cầu phán đoán)
- Muốn chứng minh ∆AED cân ta phải chứng minh điều gì ? 
-Xuất phát từ yêu cầu: AE = BF nhằm mục đích gì? có thể chứng minh được BF = ED không? Nếu được ta suy ra điều gì ?
Với cách phân tích và phán đoán như trên, học sinh có thể dễ dàng trình bày bài toán như sau: 
Chứng minh: 
 Vì: ED // AB ( gt )a ED // FB 
 FE // BC ( gt ) a EF // BD aTứ giác BFED là hình bình hành.
Nên: FB = ED mà FB = AE (gt) a AE = ED.
 Vậy ∆AED cân tại E (đpcm).
Sau khi giải quyết song bài toán, học sinh đang lưu ý đến kết quả vừa tìm được mà thường không chú ý những công việc, những thao tác mình vừa làm bởi vấn đề đã được giải quyêt.
Song mục tiêu ở đây là sự thành thạo các thao tác phân tích độc lập của các em đối với các bài toán tương tự khác. Chính vì vậy giáo viên cần nhấn mạnh cho học sinh “ hình thành thói quen tìm cách giải bài toán”.
Bài toán 2: Cho tứ giác ABCD. Gọi M,N,P,Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, DC, DA. Chứng minh rằng tứ giác MNPQ là hình bình hành.
Giáo viên: yêu cầu học sinh vẽ hình, ghi giả thiết, kết luận.
GT
Tứ giác ABCD. MA = MB,
 NB = NC, PC = PD, QA = QD
KL
MNPQ là hình bình hành.
Sau khi đã hình thành được thói quen phân tích
một cách độc lập học sinh có thể tự đặt ra các
Q
B
M
A
câu hỏi và trả lời câu hỏi ( phân tích, phán đoán
N
và kiểm tra phán đoán) 
C
P
D
Hỏi: nếu MNPQ là hình bình hành thì ta suy ra điều gì ? ( yêu cầu phân tích).
HS Trả lời: a- MN // PQ và QM //NP.
 b- MN // PQ và MN = PQ. 
 c- MN = PQ và MQ = NP hoặc các góc đối bằng nhau.
 d- NQ và MP cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.
Hỏi: Theo đề bài giả thiết cho phù hợp với cách nào trong 4 cách trên? (cách b).
Giả thiết cho M,N,P,Q là các trung điểm của các cạnh nhằm mục đích gì? 
Chứng minh: 
 – Vì M, N là lần lượt là trung điểm của AB và BC (gt) nên: 
 MN //AC và MN = 1/ 2 AC 
 Tương tự: PQ //AC và PQ = 1/2 AC. a NM // PQ và MN = PQ
Vậy: Tứ giác MNPQ là hình bình hành 
Tóm lại: Khi giải một bài toán chứng minh hình học, giáo viên cần hướng dẫn và hình thành cho học thói quen cách phân tích bài toán. Tuy nhiên không phải bất cứ đối với một bài toán nào cũng có thể phân tích mà thấy ngay được hướng giải quyết vấn đề, bởi một bài toán bao gồm tổ hợp nhiều các thao tác tư duy khác chứ không riêng phân tích, mà mỗi thao tác tư duy đó lại nằm trong quá trình có liên quan chặt chẽ với nhau.
b. Quá trình bổ sung và phân nhóm lại bài toán.
Rất nhiều những bài toán chứng minh hình học phức tạp mà đôi khi không thể khai thác ngay các yếu tố giả thiết của bài toán cho để chứng minh bài toán. Chính vì thế mà khi bắt gặp những bài toán như vậy giáo viên phải giúp học sinh bổ sung hoặc làm thay đổi cấu trúc của bài toán. Những bổ sung hoặc sẽ cung cấp thêm những yếu tố để giải quyết yêu cầu của bài toán. Thông thường những bổ sung hoặc cấu tạo lại bài toán chứng minh hình học ở chương trình lớp 8 là việc khai thác bài toán để kể thêm đường kẻ phụ, các đường kẻ phụ có thể là chiếc chìa khoá giúp cho chúng ta giải quyết những yêu cầu của bài toán.
Tuy nhiên việc kẻ thêm đường kẻ phụ là một việc làm khó mà đối với học sinh đại trà lại càng khó hơn. Chính vì vậy mà đa số học sinh không thực hiện được thao tác này, đôi khi việc làm của các em chỉ là mày mò, kẻ thêm đường thẳng này hay kẻ thêm đường thẳng kia với hy vọng xuất hiện một vấn đề nào đó có liên quan chứ chưa thực sự xuất phát từ những mối liên hệ chặt chẽ giữa các yếu tố của bài toán. Đối với một số học sinh còn chưa xuất hiện một ý tưởng nào để chứng minh bài toán.
Đối với những bài toán chứng minh hình học khác nhau thì việc kẻ thêm đường kẻ phụ cũng khác nhau, không có một phương pháp cụ thể nào. Tuy nhiên, ở đây chúng ta muốn đề xuất một ý tưởng mang tính thủ thuật có thể giúp học sinh thành công trong việc bổ sung câú tạo lại bài toán bằng cách kẻ thêm đường kẻ phụ. Đó là ngay sau khi phân tích bài toán, nếu xét thấy cần thiết kẻ thêm đường kẻ phụ giáo viên cần giúp học sinh tìm hướng xuất phát, mà cụ thể là nên xuất phát từ những yếu tố mà ta “ tạm gọi” là “yếu tố đặc biệt” của bài toán.
Lúc đâù có thể học sinh chưa biết là yếu tố đặc biệt, do đó giáo viên có thể chỉ cho các em thấy rằng những yếu tố hoặc chi tiết có liên quan nhiều đến yêu cầu của bài toán.
Khi nghiên cứu bài toán một cách kỹ lưỡng chúng ta sẽ thấy ở các chi tiết của bài toán có gì đó giống như là thứ bậc, những chi tiết chính thường là những chi tiết bậc cao hơn gần hơn với các giả thiết, kết luận của bài toán hơn. Tuy nhiên khi nghiên cứu bài toán giáo viên cũng cần lưu ý học sinh mối quan hệ giữa giả thiết kết luận của bài toán. 
Bài toán 3: Cho Tứ giác lồi ABCD : Gọi M và N lần lượt là trung điểm hai cạnh AD và BC. Chứng minh rằng : MN ≤ . Dấu đẳng thức xảy ra khi nào ?
Giáo viên yêu cầu học sinh vẽ hình, ghi giả thiết kết luận.
GT
Tứ giác ABCD . MA = MD, NB = NC 
KL
C/m : MN ≤ 
N
B
A
 E
I
F
Hướng dẫn M
P
Làm thế nào để chứng minh được 
D
C
MN ≤ ( yêu cầu phân tích dự đoán)
Giả thiết bài toán cho đã sử dụng để chứng minh trực tiếp yêu cầu của bài toán chưa ?
 (yêu cầu khai thác bài toán.)
Với bài toán này giáo viên nên lưu ý học sinh phải bổ sung lại bài toán bằng cách kẻ thêm đường kẻ phụ .
Lưu ý các điểm đặc biệt của bài toán : Trong bài toán này có những yếu tố nào đặc biệt ? ( Yêu cầu cần xác định yếu tố đặc biệt).
Dễ dàng nhận ra rằng 2 điểm M và N là các yếu tố đặc biệt, bởi chúng có liên quan nhiều đến yêu cầu của bài toán .
Xuất phát từ yêu cầu bài toán MN ≤ Khi M là trung điểm cạnh AD và BC . Thì ta thấy bất đẳng thức này có liên quan tới sự tồn tại của một tam giác có độ dài 3 cạnh là MN ; ; . Ta đặt chúng vào mối liên quan với các yếu tố khác của bài toán như MA = MD và NB = NC.
Nếu như học sinh vẫn chưa kẻ được đường phụ giáo viên tiếp tục hướng dẫn cách tư duy, suy luận trong mối liên hệ giữa các yếu tố .
Nếu như MN ≤ . Như vậy sẽ có một điểm P bất kỳ nào đó sao cho MN≤PN + PM, trong đó MP = , NP= .Vậy điểm P sẽ nằm ở đâu?
Học sinh dễ nhận ra nếu MP = , thì MP phải là đường trung bình của ∆ABC 
Nếu NP = , thì NP phải là đường trung bình của ∆ ABC .
Do đó điểm P là trung điểm của AC.
Vậy là việc kẻ thêm đường phụ xuất phát từ các yếu tố đặc biệt và xét yếu tố đặc biệt đó trong mối liên hệ với yêu cầu của bài toán, học sinh đã bổ sung lại bài toán dựa trên những tư duy chặt chẽ. Do đó sau khi kẻ xong đường kẻ phụ ,việc giải bài toán chỉ còn là việc sắp xếp lại các suy luận trên bằng cách vận dụng các kiến đã học .
Chứng minh:
Gọi P là trung điểm của AC. 
Theo tính chất đường trung bình của ∆ ta có : MP = và NP = 
Do đó : MP + NP = ( AB + CD ) . 
Mặt khác trong ∆ NMP ta luôn có MN < NP + MP.
Vì vậy MN ≤ ( AB + CD ) .
Dấu đẳng thức xảy ra khi 3 điểm M,N,P thẳng hàng. Nhưng do MP // CD; PN // AB nên AB // CD. Vì vậy tứ giác ABCD là hình thang.
Với cách giải như trên giáo viên có thể cho học sinh khai thác chứng minh nhanh đối với trường hợp E là trung điểm AB, F là trung điểm CD. 
Rõ ràng theo cách kẻ đường phụ như trên học sinh chứng minh một các dễ dàng: EF ≤ (AD + BC ) .
Bài toán 4: 
Cho hình thang ABCD ( AD // BC, AD > BC ) có các đường chéo AC và BD vuông góc. Trên đáy AD lấy điểm M sao cho AM bằng độ dài đường trung bình EF của hình thang. Chứng minh rằng ∆ ACM cân.
GT
ABCD có AD // BC, AC ⊥ BD;
 EF = 1/2 (AD+BC); MÎ AD; AM = EF
KL
 D ACM cân
C
B
E
F
N
M
D
A
Đối với bài toán này, giáo viên cần làm rõ cho học sinh hiểu rằng muốn dựng được đường kẻ phụ cần xuất phát từ những yếu tố đặc biệt