SKKN Rèn luyện kĩ năng giải toán phân tích đa thức thành nhân tử của học sinh lớp 8 trường THCS Nga thắng

MỤC LỤC
1. Mở bài
Trang 1
2.Nội dung sáng kiến kinh nghiệm
Trang 1
2. 1 .Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm
Trang 1
2.2.Thực trạng vấn đề
Trang 2
2.3. Các giải pháp để giải và tổ chức thực hiện
Trang 2
2.4. Kết quả
Trang 14
3. Kết luận và kiến nghị
Trang 15
3.1 Kết luận 
Trang 15
3.2kiến nghị
Trang 15
 1. MỞ ĐẦU
- Lý do chọn đề tài:
Toán học là bộ môn khoa học được coi là chủ lực, bởi trước hết Toán học hình thành cho các em tính chính xác, tính hệ thống, tính khoa học và tính logic, vì thế nếu chất lượng dạy và học toán được nâng cao thì có nghĩa là chúng ta tiếp cận với nền kinh tế tri thức khoa học hiện đại, giàu tính nhân văn của nhân loại.
Cùng với sự đổi mới chương trình và sách giáo khoa, tăng cường sử dụng thiết bị, đổi mới phương pháp dạy học nói chung và đổi mới phương pháp dạy và học toán nói riêng trong trường THCS hiện nay là tích cực hoá hoạt động học tập, hoạt động tư duy, độc lập sáng tạo của học sinh, khơi dậy và phát triển khả năng tự học, nhằm nâng cao năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề, rèn luyện và hình thành kĩ năng vận dụng kiến thức một cách khoa học, sáng tạo vào thực tiễn. 
 Trong chương trình Đại số lớp 8, dạng toán phân tích đa thức thành nhân tử là nội dung hết sức quan trọng, việc áp dụng của dạng toán này rất phong phú, đa dạng cho việc học sau này như rút gọn phân thức, quy đồng mẫu thức nhiều phân thức, giải phương trình, rút gọn, tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất... Qua thực tế giảng dạy cũng như qua việc theo dõi kết quả bài kiểm tra, bài thi của học sinh lớp 8, việc phân tích đa thức thành nhân tử là không khó, nhưng vẫn còn nhiều học sinh làm sai hoặc chưa thực hiện được, chưa nắm vững chắc các phương pháp giải, chưa vận dụng kĩ năng biến đổi một cách linh hoạt, sáng tạo vào từng bài toán cụ thể. 
- Mục đích nghiên cứu:
 Nhằm đáp ứng yêu cầu đổi mới phương pháp giảng dạy, giúp học sinh tháo gỡ và giải quyết tốt những khó khăn, vướng mắc trong học tập đồng thời nâng cao chất lượng bộ môn nên Tôi đã chọn đề tài: “rèn luyện kĩ năng giải toán phân tích đa thức thành nhân tử của học sinh lớp 8 trường THCS Nga thắng”
- Đối tượng nghiên cứu:
Đối tượng nghiên cứu: Sách giáo khoa Toán 8, Sách giáo viên, Sách bài tập toán tập 1, Sách tham khảo nâng cao 
Nhiệm vụ đề tài: “rèn luyện kĩ năng giải bài toán phân tích đa thức thành nhân tử của học sinh lớp 8 trường THCS Nga thắng”
- Phương pháp nghiên cứu:
+ Phương pháp điều tra.
+ Phương pháp thống kê.
+ Phương pháp quan sát.
+ Phương pháp thực hành.
+ Phương pháp thực nghiệm.
+ Phương pháp đàm thoại và nghiên cứu vấn đề.
 2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm:
 Trong hoạt động giáo dục hiện nay đòi hỏi học sinh cần phải tự học; tự nghiên cứu rất cao.Tức là cái đích cần phải biến quá trình giáo dục thành quá trình tự giáo dục. Như vậy học sinh có thể phát huy được năng lực sáng tạo; tư duy khoa học từ đó xử lý linh hoạt được các vấn đề của đời sống xã hội. 
Một trong những phương pháp để học sinh đạt được điều đó đối với môn toán (cụ thể là môn đại số lớp 8) đó là khích lệ các em sau khi tiếp thu thêm một lượng kiến thức các em cần khắc sâu tìm tòi những bài toán liên quan. Để làm được như vậy thì giáo viên cần gợi sự say mê học tập; tự nghiên cứu, đào sâu kiến thức của các em học sinh .
2.2.Thực trạng vấn đề:
 *Điều tra thực trạng trước khi nghiên cứu
Tìm hiểu qua học sinh và đồng nghiệp, tôi pháp hiện một số nguyên nhân cơ bản sau:
- Do học sinh chưa khai thác hết đề bài một cách triệt để,toàn diện.
- Chưa nắm được bản chất của một số bài toán cơ bản.
- Chưa chịu khó tìm tòi, sáng tạo khi làm bài.
 - Đặc biệt các em chưa phát hiện ra cái mới qua những kiến thức đã biết vận dụng đúng lúc đúng chỗ.
Từ những nguyên nhân trên, tôi thiết nghĩ:
 Để phát huy khả năng tư duy của học sinh, người thầy phải giúp các em nhìn nhận một số vấn đề dưới một góc độ khác nhau. Đặc biệt từ điều đúng đã biết, bằng hình thức diễn tả khác nhau, rồi chọn hình thức phù hợp với trình độ học sinh, yêu cầu học sinh giải bài tập đó hoặc từ khai thác tri thức đó tìm ra tình huống áp dụng cụ thể bằng việc giải quyết các bài tập tương ứng, các nội dung ấy lại chính từ sách giáo khoa,vì vậy tri thức ấy đã được khai thác sử dụng hiệu quả nhất. Điều này được làm sáng tỏ qua một số khảo sát sau.
Để đánh giá được khả năng của các em đối với dạng toán trên, trước khi áp dụng đề tài tôi đã ra một đề toán cho 23 em học sinh trong lớp 8A của trường THCS Nga Thắng.
Với những bài tập tôi đưa ra, học sinh giải một cách độc lập và tự giác, được thống kê theo bảng sau:
Năm học
Chưa áp dụng
Tổng số HS lớp 8A
Số HS giải được theo các mức độ
Loại giỏi
Loại khá
Loại TB
Loại yếu -kém
SL
%
SL
%
SL
%
SL
%
2016-2017
23
0
0
3
13,1
11
47,8
9
39,1
 Qua việc kiểm tra đánh giá tôi thấy học sinh không có phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử đạt hiệu quả. Lời giải thường dài dòng, không chính xác, đôi khi còn ngộ nhận. 
2.3. Các giải pháp và tổ chức thực hiện:
2.3.1. Đề tài đưa ra các giải pháp như sau:
Sắp xếp bài toán theo các mức độ, những dạng toán cơ bản.
Xây dựng các phương pháp giải cơ bản về phân tích đa thức thành nhân tử.
* Củng cố kiến thức cơ bản cho học sinh yếu kém:
- Phương pháp Đặt nhân tử chung.
- Phương pháp Dùng hằng đẳng thức.
- Phương pháp Nhóm nhiều hạng tử.
*Vận dụng và phát triển kỹ năng đối vơi học sinh đại trà: 
- Phối hợp nhiều phương pháp.
- Rèn kĩ năng biến đổi cơ bản hoàn thiện cách tình bày lời giải.
- Giới thiệu phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử (nâng cao).
* Phát triển tư duy đối với học sinh giỏi: (Giới thiệu phương các pháp )
- Phương pháp tách môt hạng tử thành nhiều hạng tử.
- Phương pháp thêm bớt cùng một hạng tử.
- Phương pháp đổi biến.
- Phương pháp dùng hệ số bất định.
2.3.2.Các phương pháp cơ bản: 
a. Phương pháp đặt nhân tử chung
- Tìm nhân tử chung là những đơn, đa thức có mặt trong tất cả các hạng tử.
- Phân tích mỗi hạng tử thành tích của nhân tử chung và một nhân tử khác.
Viết nhân tử chung ra ngoài dấu ngoặc, viết các nhân tử còn lại của mỗi hạng tử vào trong dấu ngoặc (kể cả dấu của chúng).
Ví dụ 1. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
 35a2b2 - 21ab2 + 49a2b
Giải: 35a2b2 - 21ab2 + 49a2b = 7ab(5ab - 3b + 7a)
Ví dụ 2. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
 2x(y – z) + 3y(z –y )
Giải: 2x(y – z) + 3y(z –y ) = 2x(y - z) – 3y(y - z) = (y – z)(2x - 3y)
Ví dụ 3. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
 xm + xm + 3
Giải: xm + xm + 3 = xm ( 1+x3 ) = xm (x3 + 1) = xm( x+ 1)(x2 – x + 1)
Ví dụ 4. Chứng minh rằng 2018n+1 – 2018n chia hết cho 2017(với n là số tự nhiên)
Giải: Ta có
2018n+1 – 2018n = 2018n (2018 – 1) = 2018n.2017 chia hết cho 2017.
Nên 2018n+1 – 2018n chia hết cho 2017(với n là số tự nhiên)
 Bài tập áp dụng: 
Bài 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử.
a/15x2y – 25 xy2 + 40 x2y2 ; b/ 10x( x – y) – 8y( y – x).
 c/ 9x( x – y) – 10( y – x)2 ; d/ 12x(x+y-z) – 42xy(x+y-z)
Bài 2: Tính giá trị biểu thức sau:
a) x2 + xy + x tại x = 77; y = 22
b) a (a – b) + b( b – a) tại a = 53 ; b =3
Bài 3: Tìm x biết:
a) x + 7x2 = 0 ; b) (x - 1) = ( x – 1)2
Bài 4: Chứng minh rằng:
a) 432 + 43.17 chia hết cho 60 ; b) 275 - 311 chia hết cho 80 
b. Phương pháp dùng hằng đẳng thức
Dùng các hằng đẳng thức đáng nhớ để phân tích đa thức thành nhân tử.
Cần chú ý đến việc vận dụng hằng đẳng thức.
Ví dụ 1. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
 25x2 – 4
Giải: 25x2 – 4 = (5x)2 – 22 = ( 5x– 2)(5x + 2)
Ví dụ 2. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
 64 – 27a3b6
Giải: 64 – 27a3b6 = 43 – (3ab2)3 = (4 – 3ab2)( 16 + 12ab2 + 9a2b4)
Ví dụ 3. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
 25x4 – 10x2y + y2
Giải: 25x4 – 10x2y + y2 = (5x2 – y)2
Ví dụ 4. Chứng minh rằng với mọi số nguyên x ta có 
 (4x + 3)2 - 25 chia hết cho 8.
Giải: Ta phân tích biểu thức (4x + 3)2 - 25 ra thừa số
(4x + 3)2 -25 = (4x + 3)2 - 52 = (4x + 3 + 5) (4x + 3 - 5)
	= (4x + 8) (4x - 2) = 4 (x + 2) 2 (2x - 1) = 8 (x + 2) (2x - 1)
Do x là số nguyên nên (x + 2) (2x - 1) là số nguyên
Do đó 8 (x + 2) (2x - 1) chia hết cho 8. Ta suy ra ĐPCM.
*Bài tập áp dụng:
Bài 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử.
 a) (ab - 1)2 - (a + b)2 ;	b) x3 + 2x2 + 2x + 1;	
c) x3 - 4x2 + 12x - 27 ; d) (a + b)2 – (a – b)2 
e) (a + b)3 – (a – b)3 
Hướng câu d;e) Đặt (a + b)= x , (a – b) = y 
f) a6 – b6 
Hướng dẫn câu f )
a6 – b6 = ( a3 )2 – ( b3 )2
 = ( a3 + b3 ) ( a3 - b3 )
 = ( a + b )( a2 - ab + b2 )( a – b )( a2 + ab + b2 ).
Bài 2: Tính nhanh:
 a) 352 - 252 ; b) 872 + 732 - 272 - 13
Bài 3: Tìm x biết:
 a) x3 – 4x = 0 ; b) x2 - 10x = -25
Bài 4: Chứng minh rằng:
a) 2110 – 1chia hết cho 200 ; b) 3920 + 3913 chia hết cho 40
c) 260 + 530 chia hết cho 41 ; d) 20052007 + 20072005 chia hết cho 2006
c. Phương pháp nhóm nhiều hạng tử
- Kết hợp các hạng tử thích hợp thành từng nhóm.
- Áp dụng liên tiếp các phương pháp đặt nhân tử chung hoặc dùng hằng đẳng thức.
Ví dụ 1. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
 2x3 – 3x2 + 2x – 3
Giải: 2x3 – 3x2 + 2x – 3 = ( 2x3 + 2x) – (3x2 + 3) = 2x(x2 + 1) – 3( x2 + 1)
 = ( x2 + 1)( 2x – 3)
Ví dụ 2. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
 x2 – 2xy + y2 – 16
Giải: x2 – 2xy + y2 – 16 = (x – y)2 - 42 = ( x – y – 4)( x –y + 4)
Ví dụ 3. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
 x2 – 2x – 4y2 – 4y
 Giải: x2 – 2x – 4y2 – 4y = (x2 – 4y2 ) + (– 2x – 4y ) 
 = (x + 2y)(x – 2y) – 2(x + 2y)
 = (x + 2y)(x – 2y – 2)
Ví dụ 4. Tính nhanh giá trị của mỗi đa thức:
 x2 – 2xy– 4z2 + y2 tại x = 6 ; y =-4 ; z = 45
Giải: Ta có x2 – 2xy– 4z2 + y2 = (x2 – 2xy+ y2) – 4z2 
 = (x –y)2- (2z)2
 =(x – y + 2z)(x – y – 2z)
Thay x = 6; y = -4; z = 45 vào biểu thức ta được giá trị cần tìm là – 8000. 
*Bài tập áp dụng: 
Bài 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử.
a) x2 – xy + x – y ; b) x2 – 2x + 1 – 4y2 
c) x4 + x3+2x2 +x +1 ; d) x4 + 2x3+2x2 +2x +1
Bài 2: Tính nhanh giá trị mỗi đa thức sau:
a ) x2 – 2xy - 4z2 + y2 tại x =6 ; y= - 4 ; z = 45
b) 3( a – 3)( a + 7 ) + (a – 4)2 + 48 tại x = 0,5 
Bài 3: Tìm x biết:
 5x – 5x2 + 2x - 2x2 = 0
d. Phối hợp nhiều phương pháp 
 Chọn các phương pháp theo thứ tự ưu tiên.
 Đặt nhân tử chung.
 Dùng hằng đẳng thức.
 Nhóm nhiều hạng tử.
Ví dụ 1. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
 3xy2 – 12xy + 12x
Giải: 3xy2 – 12xy + 12x = 3x(y2 – 4y + 4) = 3x(y – 2)2
Ví dụ 2. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
 3x3y – 6x2y – 3xy3 – 6axy2 – 3a2xy + 3xy
Giải: 3x3y – 6x2y – 3xy3 – 6axy2 – 3a2xy + 3xy 
	= 3xy(x2 – 2x – y2 – 2ay – a2 + 1)
 = 3xy[( x2 – 2x + 1) – (y2 + 2ay + a2)]
	= 3xy[(x – 1)2 – (y + a)2]
	= 3xy[(x – 1) – (y + a)][(x – 1) + (y + a)]
 = 3xy( x –1 – y – a)(x – 1 + y + a)
Ví dụ 3. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
 x4 – 9x3 + x2 – 9x 
Giải: x4 – 9x3 + x2 – 9x = x(x3 – 9x2 + x – 9) 
 = x[(x3 – 9x2 ) + (x – 9)] 
 = x[x2 (x – 9) + 1.(x – 9)]
 = x(x – 9)(x2 + 1)
Ví dụ 4. Cho a + b + c = 0 Chứng minh a3 + b3 + c3 =3abc
Giải : Thay a3 + b3 = (a+ b)3 - 3ab(a+ b) và a + b = - c, ta được 
a3 + b3 + c3 = (a+ b)3 - 3ab(a+ b) + c3 = - c3 – 3ab.(-c) + c3 = 3abc
Vậy đẳng thức được chứng minh
*Bài tập áp dụng:
Bài 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử.
a ) a4 + 2a3 + a2 ; b ) 5x2 - 10xy + 5y2 - 20z4 
c ) 3a - 3b + a2 - 2ab + b2 ; d)a2 - b2 - 2a + 2b
e ) ( x + y + z )3 – x3 – y3 – z3 
Hướng dẫn giải câu e)
 ( x + y + z )3 – x3 – y3 – z3 
 = [( x + y ) + z]3 – x3 – y3 – z3 
	 = ( x + y )3 + z3 + 3z( x + y )( x + y + z ) – x3 – y3 – z3
	 = [( x + y )3 – x3 – y3 ] + 3z( x + y )( x + y + z )
 = 3xy( x + y ) + 3( x + y)( xz + yz + z2 )
 = 3( x + y )( xy + xz + yz + z2 )
 = 3( x + y )( y + z )( x + z )
Bài 2: Tìm x biết: 
a) 5x(x – 1) = x -1 ; b) 2(x + 5) = x2 + 5x
Bài 3: Chứng minh biểu thức n3 (n2 - 7)2 – 36n luôn chia hết cho 7 với mọi 
số nguyên n.
e. Phương pháp tách một hạng tử thành nhiều hạng tử.
e.1)Đối với đa thức bậc hai (f(x) = ax2 + bx + c)
*Cách 1 (tách hạng tử bậc nhất bx):
Bước 1: Tìm tích ac, rồi phân tích ac ra tích của hai thừa số nguyên bằng mọi cách.
a.c = a1.c1 = a2.c2 = a3.c3 =  = ai.ci = 
Bước 2: Chọn hai thừa số có tổng bằng b, chẳng hạn chọn tích a.c = ai.ci với b = ai + ci
Bước 3: Tách bx = aix + cix. Từ đó nhóm hai số hạng thích hợp để phân tích tiếp.
Ví dụ 1. Phân tích đa thức f(x) = 3x2 + 8x + 4 thành nhân tử.
Hướng dẫn
- Phân tích ac = 12 = 3.4 = (–3).(–4) = 2.6 = (–2).(–6) = 1.12 = (–1).(–12)
- Tích của hai thừa số có tổng bằng b = 8 là tích a.c = 2.6 (a.c = ai.ci).
- Tách 8x = 2x + 6x (bx = aix + cix)
Lời giải
 3x2 + 8x + 4 = 3x2 + 2x + 6x + 4 = (3x2 + 2x) + (6x + 4)= x(3x + 2) + 2(3x + 2) 
 = (x + 2)(3x +2)
*Cách 2 (tách hạng tử bậc hai ax2)
- Làm xuất hiện hiệu hai bình phương :
f(x)= 3x2 + 8x + 4 = (4x2 + 8x + 4) – x2 
 = (2x + 2)2 – x2
 = (2x + 2 – x)(2x + 2 + x) 
 = (x + 2)(3x + 2)
- Tách thành 4 số hạng rồi nhóm :
f(x) =3x2 + 8x + 4 = 4x2 – x2 + 8x + 4 
 = (4x2 + 8x) – ( x2 – 4)
 = 4x(x + 2) – (x – 2)(x + 2)
 = (x + 2)(3x + 2)
 Hoặc f(x) =3x2 + 8x + 4 =12x2 – 9x2 +8x + 4
 = (12x2 + 8x) – (9x2 – 4) 
 = 4x(3x+2) – (3x-2)(3x+2)
 =(3x+2)(4x-3x+2)
 = (x + 2)(3x + 2)
*Cách 3 (tách hạng tử tự do c)
- Tách thành 4 số hạng rồi nhóm thành hai nhóm:
 f(x)=3x2 + 8x + 4 = 3x2 + 8x + 16 – 12 
 = (3x2 – 12) + (8x + 16) 
 = 3(x2- 4) + 8(x+2) 
 =3(x+2)(x-2) +8(x+2)
 =(x+2)(3x-6+8)
 = (x + 2)(3x + 2)
*Cách 4 (tách 2 số hạng, 3 số hạng)
 f(x) =3x2 + 8x + 4
 =3x2 + 12x – 4x +12 - 8
 = (3x2 + 12x + 12) – (4x + 8) 
 = 3(x + 2)2 – 4(x + 2)
 = (x + 2)(3x – 2)
 f(x) =3x2 + 8x + 4
 = x2 + 2x2 + 4x + 4x +4
 = (x2 + 4x + 4) + (2x2 + 4x)
 = (x+2)2 +2x (x +2)
 = (x + 2)(3x + 2)
 Chú ý : Nếu f(x) = ax2 + bx + c có dạng A2 ± 2AB + c thì ta tách như sau : 
 f(x) = A2 ± 2AB + B2 – B2 + c = (A ± B)2 – (B2 – c)
Ví dụ 2. Phân tích đa thức f(x) = 4x2 - 4x - 3 thành nhân tử.
Hướng dẫn
 Ta thấy 4x2 - 4x = (2x)2 - 2.2x. Từ đó ta cần thêm và bớt 12 = 1 để xuất hiện hằng đẳng thức. 
Lời giải
 f(x) = 4x2 - 4x - 3 = 4x2 - 4x +1 - 4 
 = (4x2 – 4x + 1) – 4 
 = (2x – 1)2 – 22 
 = (2x – 3)(2x + 1)
Ví dụ 3. Phân tích đa thức f(x) = 9x2 + 12x – 5 thành nhân tử.
Lời giải
Cách 1 : f(x) = 9x2 + 12x – 5 = 9x2 – 3x + 15x – 5 
 = (9x2 – 3x) + (15x – 5)
 = 3x(3x –1) + 5(3x – 1)
 = (3x – 1)(3x + 5)
 Cách 2 : f(x) = 9x2 + 12x – 5 
 = (9x2 + 12x + 4) – 9 
 = (3x + 2)2 – 32 
 = (3x – 1)(3x + 5)
 *Bài tập áp dụng: Phân tích đa thức sau thành nhân tử.
a) x2- 6x + 8 ; b) 9x2+6x-8
c) x2 –x – 6 ; d) 4x2 – 4x - 3
e.2) Đối với đa thức bậc từ 3 trở lên 
 Trước hết, ta chú ý đến một định lí quan trọng sau :
Định lí : Nếu f(x) có nghiệm x = a thì f(a) = 0. Khi đó, f(x) có một nhân tử là x – a và f(x) có thể viết dưới dạng f(x) = (x – a).q(x)
 Lúc đó tách các số hạng của f(x) thành các nhóm, mỗi nhóm đều chứa nhân tử là x – a. Cũng cần lưu ý rằng, nghiệm nguyên của đa thức, nếu có, phải là một ước của hệ số tự do. 
 Thật vậy, giả sử đa thức 
 nguyên, có nghiệm nguyên x = a. Thế thì:
, trong đó là các số nguyên. Hạng tử bậc thấp nhất ở vế phải là – ab0, hạng tử bậc thấp nhất ở vế trái là a0. Do đó – ab0 = a0, suy ra a là ước của a0.
Ví dụ 1. Phân tích đa thức f(x) = x3 + x2 + 4 thành nhân tử.
Lời giải
 Lần lượt kiểm tra với x = ± 1, ± 2, ± 4, ta thấy f(–2) = (–2)3 + (–2)2 + 4 = 0. Đa thức f(x) có một nghiệm x = –2, do đó nó chứa một nhân tử là x + 2. Từ đó, ta tách như sau
Cách 1 : f(x) = x3 + x2 + 4 = x3 + 2x2 – x2 + 4 
 = (x3 + 2x2) – (x2 – 4) 
 = x2(x + 2) – (x – 2)(x + 2)
 = (x + 2)(x2 – x + 2).
Cách 2 : f(x) = x3 + x2 + 4 
 = (x3 + 8) + (x2 – 4) 
 = (x + 2)(x2 – 2x + 4) + (x – 2)(x + 2)
 = (x + 2)(x2 – x + 2).
Cách 3 : f(x) = x3 + x2 + 4 
 = x3 + 4x2 + 4x– 3x2 - 6x+ 2x + 4
 = (x3 + 4x2 + 4x) – (3x2 + 6x) + (2x + 4)
 = x(x + 2)2 – 3x(x + 2) + 2(x + 2) = (x + 2)(x2 – x + 2).
Cách 4 : f(x) = x3 + x2 + 4 = x3 – x2 + 2x2+ 2x – 2x + 4 
 =(x3 – x2 + 2x) + (2x2 – 2x + 4)
 = x(x2 – x + 2) + 2(x2 – x + 2)
 = (x + 2)(x2 – x + 2).
Từ định lí trên, ta có các hệ quả sau :
Hệ quả 1. Nếu f(x) có tổng các hệ số bằng 0 thì f(x) có một nghiệm là x = 1. Từ đó f(x) có một nhân tử là x – 1.
 Chẳng hạn, đa thức f(x) = x3 – 5x2 + 8x – 4 có 1 + (–5) + 8 + (–4) = 0 nên x = 1 là một nghiệm của đa thức. Đa thức có một nhân tử là x – 1. Ta phân tích như sau :
f(x) = x3 – 5x2 + 8x – 4
 = x3 – x2 – 4x2 + 8x – 4
 = (x3 – x2) – (4x2 – 4x) + (4x – 4)
 = x2(x – 1) – 4x(x – 1) + 4(x – 1) 
 = (x – 1)( x – 2)2
Hệ quả 2. Nếu f(x) có tổng các hệ số của các luỹ thừa bậc chẵn bằng tổng các hệ số của các luỹ thừa bậc lẻ thì f(x) có một nghiệm x = –1. Từ đó f(x) có một nhân tử là x + 1.
 Chẳng hạn, đa thức f(x) = x3 – 5x2 + 3x + 9 có 1 + 3 = –5 + 9 nên x = –1 là một nghiệm của đa thức. Đa thức có một nhân tử là x + 1. Ta phân tích như sau :
f(x) = x3 – 5x2 + 3x + 9 
 = x3 – 6x2 + x2 - 6x + 9x + 9
 = (x3 + x2) – (6x2 + 6x) + (9x + 9) 
 = x2(x + 1) – 6x(x + 1) + 9(x + 1)
 = (x + 1)( x – 3)2
 Hệ quả 3. Nếu f(x) có nghiệm nguyên x = a và f(1) và f(–1) khác 0 thì và đều là số nguyên.
Chứng minh
Đa thức f(x) có nghiệm x = a nên f(x) có một nhân tử là x – a. Do đó f(x) có dạng :
	f(x) = (x – a).q(x)	 (1)
Thay x = 1 vào (1), ta có : f(1) = (1 – a).q(1).
Do f(1) ≠ 0 nên a ≠ 1, suy ra q(1) = . Vì các hệ số của f(x) nguyên nên các hệ số của q(x) cũng nguyên. Do đó, q(1) là số nguyên. Vậy là số nguyên.
Thay x = –1 vào (1) và chứng minh tương tự ta có là số nguyên.
Ví dụ 2. Phân tích đa thức f(x) = 4x3 - 13x2 + 9x - 18 thành nhân tử.
Hướng dẫn
Các ước của 18 là ± 1, ± 2, ± 3, ± 6, ± 9, ± 18.
f(1) = –18, f(–1) = –44, nên ± 1 không phải là nghiệm của f(x). 
Dễ thấy ,, , không là số nguyên nên –3, ± 6, ± 9, ± 18 không là nghiệm của f(x). Chỉ còn –2 và 3. Kiểm tra ta thấy 3 là nghiệm của f(x). Do đó, ta tách các hạng tử như sau :
f(x) = 4x3 - 13x2 + 9x - 18
 = (x – 3)(4x2 – x + 6)
 Hệ quả 4. Nếu f(x) = 
(là các số nguyên) có nghiệm hữu tỉ x = , trong đó p, q Î Z và (p , q)=1, thì p là ước a0, q là ước dương của an .
Chứng minh
 Ta thấy f(x) có nghiệm x = nên nó có một nhân tử là (qx – p). Vì các hệ số của f(x) đều nguyên nên f(x) có dạng: 
f(x) = (qx – p)
 Đồng nhất hai vế ta được qbn–1 = an , –pb0 = ao. Từ đó suy ra p là ước của a0, còn q là ước dương của an (đpcm).
Ví dụ 3. Phân tích đa thức f(x) = 3x3 - 7x2 + 17x - 5 thành nhân tử.
Hướng dẫn
	Các ước của –5 là ± 1, ± 5. Thử trực tiếp ta thấy các số này không là nghiệm của f(x). Như vậy f(x) không có nghiệm nguyên. Xét các số , ta thấy là nghiệm của đa thức, do đó đa thức có một nhân tử là 3x – 1. Ta phân tích như sau :
	f(x) = 3x3 - 7x2 + 17x - 5 
 = (3x3 – x2) – (6x2 – 2x) + (15x – 5) 
 = (3x – 1)(x2 – 2x + 5). 
e.3)Đối với đa thức nhiều biến
Ví dụ 1. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
2x2 - 5xy + 2y2 ;
x2(y - z) + y2(z - x) + z2(x - y).
Hướng dẫn
a)Phân tích đa thức này tương tự như phân tích đa thức f(x) = ax2 + bx + c.
Ta tách hạng tử thứ 2 :
2x2 - 5xy + 2y2 = (2x2 - 4xy) - (xy - 2y2) = 2x(x - 2y) - y(x - 2y)
= (x - 2y)(2x - y)
b)Nhận xét z - x = -(y - z) - (x - y). Vì vậy ta tách hạng tử thứ hai của đa thức:
x2(y - z) + y2(z - x) + z2(x - y) = x2(y - z) - y2(y - z) - y2(x - y) + z2(x - y)
= (y - z)(x2 - y2) - (x - y)(y2 - z2) 
= (y - z)(x - y)(x + y) - (x - y)(y - z)(y + z)
= (x - y)(y - z)(x - z)
Chú ý : 
1) Ở câu b) ta có thể tách y - z = - (x - y) - (z - x)
 (hoặc z - x= - (y - z) - (x - y))
2) Đa thức ở câu b) là một trong những đa thức có dạng đa thức đặc biệt. Khi ta thay x = y (y = z hoặc z = x) vào đa thức thì giá trị của đa thức bằng 0.
 *Bài tập áp dụng:
 Bài tập1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử.
 a) x3 - x2 – 4 ; b) x3 - 5x2 + 8x– 4
 c) 4x3 - 13x2 + 9x– 18 ; d) 3x3 - 7x2 + 17x– 5
 Bài tập2: Giải phương trình:
 x3 - 4x2 - 9x + 36 =0
f. Phương pháp thêm và bớt cùng một hạng tử.
f.1)Thêm và bớt cùng một hạng tử làm xuất hiện hiệu hai bình phương
Ví dụ 1. Phân tích đa thức x4 + x2 + 1 thành nhân tử
Lời giải
Cách 1 : x4 + x2 + 1 = (x4 + 2x2 + 1) – x2 = (x2 + 1)2 – x2
 = (x2 – x + 1)