SKKN Rèn luyện kĩ năng giải một số dạng bài tập về hình chóp dành cho học sinh luyện thi thpt Quốc Gia

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA
TRƯỜNG THPT NGUYỄN TRÃI
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
RÈN LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP 
VỀ HÌNH CHÓP DÀNH CHO HỌC SINH LUYỆN THI 
THPT QUỐC GIA
Người thực hiện: Nguyễn Thị Bích Phượng
Chức vụ: Giáo viên
SKKN thuộc lĩnh mực (môn): Toán
THANH HÓA NĂM 2016
MỤC LỤC
A. Mở đầu	01
I. Lý do chọn đề tài	01
II. Mục đích nghiên cứu	01
III. Đối tượng nghiên cứu	01
IV. Phương pháp nghiên cứu	01
B. Nội dung sáng kiến kinh nghiệm	01
I. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm	01	
II. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm	02
III. Giải pháp giải quyết vấn đề	02
§1. Cơ sở khoa học	02
§2. Một số dạng toán minh họa	05
IV. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm	19
C. Kết luận, kiến nghị	20
D. Tài liệu tham khảo, phụ lục 	
MỞ ĐẦU
I. Lý do chọn đề tài
Quá trình giảng dạy và ôn luyện cho học sinh dự thi tốt nghiệp THPT Quốc Gia (trước đây là thi Đại học – Cao đẳng) tôi nhận thấy nhiều học sinh gặp khó khăn khi giải bài tập hình học không gian do khả năng tư duy tưởng tượng không gian của học sinh còn hạn chế và có tâm lý sợ môn hình học không gian. Trong khi đó, rất nhiều bài toán HHKG của chương trình toán THPT có thể được giải quyết một cách đơn giản hơn rất nhiều khi vận dụng phương pháp tọa độ. Tuy nhiên, vẫn có những bài toán giải bằng phương pháp hình học không gian thuần túy cho lời giải đơn giản hơn. Ngay cả những bài toán giải được bằng phương pháp tọa độ thì bài toán có đơn giản hay không một phần phụ thuộc vào cách chọn hệ trục toạ độ. 
Vì vậy, trong khuôn khổ bài viết này tôi tập trung vào những bài toán về hình chóp giải được bằng cả hai phương pháp và khi áp dụng phương pháp tọa độ việc chọn hệ tọa độ cũng đơn giản, dễ áp dụng giúp học sinh giải quyết được một số các bài toán hình học không gian mà các em thường gặp trong các kì thi cuối cấp. 
II. Mục đích nghiên cứu
Giúp học sinh: Khắc phục những điểm yếu khi giải các bài toán hình học không gian như: khả năng vẽ hình không gian, khả năng tư duy hạn chếCó cách nhìn tổng quát các bài toán hình học không gian. Lựa chọn được cách giải thích hợp nhất khi đứng trước một bài toán. Xóa bỏ tâm lý “sợ” môn hình học không gian, gây hứng thú học tập cho học sinh. Có cách nhìn đa chiều về một vấn đề trong cuộc sống.
III. Đối tượng nghiên cứu
	Phương pháp giải toán hình học không gian: Phương pháp hình học thuần túy và phương pháp tọa độ. Một số dạng toán về hình chóp có thể vận dụng phương pháp tọa độ để giải toán. 	Ưu, nhược điểm của mỗi phương pháp giải toán.
IV. Phương pháp nghiên cứu
	Phương pháp điều tra khảo sát thực tế, thu thập thông tin.
B. NỘI DUNG 
I. Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm
Các bài toán thi vào Đại học – Cao đẳng trước đây và hiện nay khi các em đang ôn luyện để bước vào kì thi THPT Quốc Gia đều đưa đến dạng của một bài toán HHKG chứ không phải dạng của một bài hình học giải tích không gian.
	Phương pháp hình học không gian thuần túy, học sinh cần sử dụng thành thạo kiến thức HHKG để vận dụng vào bài giải (điều này không phải mọi học sinh đều nhìn ra). Mặt khác, việc vẽ hình không gian đúng, đẹp và khai thác tốt hình vẽ giúp rất nhiều cho việc trình bày lời giải một bài toán HHKG nhưng khả năng vẽ hình của phần đông học sinh rất yếu. Phương pháp tọa độ áp dụng vào một số dạng toán có thể khắc phục được những hạn chế này. Tuy nhiên, không phải bài toán nào cũng áp dụng được phương pháp tọa độ để giải và cho lời giải đơn giản.
	Nhìn chung hai phương pháp giải toán, mỗi phương pháp đều có ưu điểm và nhược điểm cho nên việc giúp học sinh lựa chọn phương pháp thích hợp khi đứng trước một bài toán hình học không gian, giúp các em xác định được hướng giải toán, xây dựng niềm tin vào bản thân, tạo hứng thú học tập, xóa bỏ tâm lý “sợ” môn hình học không gian là rất cần thiết.
II. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm
	Chương trình toán THPT, học sinh học hình học không gian với hai nội dung tách rời nhau: Hình học không gian thuần túy (học ở lớp 11 và học kỳ 1 của lớp 12), phương pháp tọa độ trong không gian (học ở học kỳ 2 của lớp 12).
	Phần lớn, học sinh cho rằng hai nội dung này không liên quan với nhau, nghĩa là đề bài cho dưới dạng HHKG thông thường thì phải giải bằng HHKG. Học sinh không thấy mối liên hệ giữa hai nội dung này với nhau: không biết chuyển đổi nội dung mô tả hình học không gian sang biểu thức giải tích.
	Phân phối chương trình không có thời lượng cho học sinh luyện tập, vận dụng phương pháp tọa độ giải các bài toán HHKG mà các em đã biết giải trước đó.
	Kiến thức, kỹ năng, tư duy toán của học sinh còn yếu,khả năng tư duy tưởng tượng hình không gian của học sinh còn hạn chế và có tâm lý “sợ” môn hình học không gian nên nhiều học sinh gần như bỏ qua bài hình học không gian trong các đề thi mà các em gặp.
III. Giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề
Từ thực trạng trên, tôi chọn lọc một số dạng toán về hình chóp có thể giải được bằng cả hai phương pháp. 
Mỗi bài toán đều trình bày cả hai phương pháp giải để học sinh có cái nhìn tổng quát về bài toán hình học không gian, thấy được ưu điểm, nhược điểm của mỗi phương pháp từ đó hình thành kĩ năng định hướng giải toán thích hợp.
	Tuy nhiên, để đề tài đạt kết quả theo tôi giáo viên cần củng cố cho học sinh một số kiến thức sau:
§ 1. CƠ SỞ KHOA HỌC
Kiến thức cơ bản
 Tọa độ véc tơ = (xN- xM ; yN - yM ; zN - zM )
Ta giả sử =(x1; y1; z1) , =(x2; y2; z2)
Cộng , trừ hai véc tơ : = ( x1 x2 ; y1 y2; z1 z2)
Nhân một số với một véc tơ : k.= (kx2; ky2; kz2) (kÎ R) 
Độ dài véc tơ : 
Tích vô hướng của hai véc tơ: .= x1. x2 + y1.y2+ z1.z2 
 	 ^ Û x1. x2 + y1.y2+ z1.z2 = 0
Góc giữa hai véc tơ : cos (,) = 
Độ dài đoạn thẳng : = 
M là trung điểm AB: 
G là trọng tâm của DABC: 
Tích có hướng của hai véc tơ: =(x1; y1; z1) và =(x2; y2; z2) ký hiệu là: 
= = 
Diện tích là: S = 
Tính thể tích hình hộp: ABCD.A'B'C'D' là: 
Thể tích tứ diện ABCD: V= . 
(P) đi qua điểm M0 (x0; y0; z0) và có véctơ pháp tuyến với có pt là: 
(P) đi qua A(a; 0; 0), B(0; b; 0) và C(0; 0; c) có pt là:
(D) đi qua M0(x0;y0; z0) và có VTCP :
Khoảng cách từ điểm M0(x0; y0; z0) đến mp là:
Khoảng cách từ điểm M1 đến đường thẳng (D) đi qua điểm M0 và có VTCP 
Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau (D1),(D2):
( (D1) đi qua M1 và có VTCP và (D2) đi qua M2 và có véctơ chỉ phương ).
Gọi j là góc giữa (D1) và (D2): 
VTCP của (D1) và (D2) lần lượt là: =(a1; b1; c1), = (a2; b2; c2). 
Đặc biệt: 
 (D) có VTCP =(a; b; c), (a) có VTPT =(A; B; C),y là góc giữa (D) và (a):
 (00 £ y £ 900)
Đặc biệt: 
(a1) có VTPT 1=(A1; B1; C1), (a1) có VTPT 2=(A2; B2; C2). Nếu b là góc 
giữa (a1) và (a2) thì: 
Đặc biệt: 
II. Giải toán hình học không gian bằng phương pháp tọa độ
Phương pháp chung
Bước 1: Chọn hệ tọa độ Oxyz thích hợp.
Bước 2: Dựa vào giả thiết bài toán để biểu diễn tọa độ các điểm có liên quan.
Bước 3: Chuyển yêu cầu bài toán đã cho sang bài toán hình học giải tích và giải.
Bước 4: Kết luận.
2. Cách chọn hệ trục tọa độ 
a)Hình chóp có cạnh bên vuông góc với đáy và đáy là tam giác
Cho hình chóp S.ABC có Chọn hệ Oxyz như hình vẽ
DABC vuông tại A
DABC vuông tại B
DABC đều
H là trung điểm BC H
Hình chóp có cạnh bên vuông góc với đáy và đáy là tứ giác
Cho hình chóp S.ABCD có Chọn hệ Oxyz như hình vẽ
đáy là hình vuông (hoặc hình chữ nhật)
đáy là hình thang vuông tại A và B
Hình chóp tứ giác đều
Cho hình chóp đều S.ABCD, H là tâm của đáy. Chọn hệ Oxyz như hình vẽ
§ 2. MỘT SỐ DẠNG TOÁN MINH HỌA
Hình chóp có cạnh bên vuông góc với đáy và đáy là tam giác 
 Cho hình chóp S.ABC có Đáy ABC là tam giác vuông tại A.
 (Đề Đại học khối D năm 2002) Cho tứ diện ABCD có AC = AD = 4cm, AB = 3cm, BC = 5cm. Tính khoảng cách từ A đến (BCD).
Giải
Cách 1: Từ giả thiết DABC vuông tại A suy ra 
Do 
Gọi AE là đường cao DABC khi đó
, AH là đường cao của DADE thì tại H, khoảng 
cách từ A đến (DBC) bằng AH. Xét DABC và DDAE vuông tại A: 
Suy ra 
Cách 2: Chọn hệ tọa độ Oxyz như hình vẽ:
Mặt phẳng (DBC) có phương trình đoạn chắn: 
Khoảng cách từ A đến (BCD) là 
Nhận xét:
Cách 1: học sinh gặp khó khăn: không xác định được khoảng cách từ A đến (BCD), không vẽ được hình đúng, kiến thức, tư duy và kĩ năng tính toán yếu.
Cách 2: khắc phục được nhược điểm trên, hình vẽ, suy luận toán theo công thức có sẵn, cách 2 lời giải ngắn gọn, đơn giản hơn cách 1.
 Cho hình chóp S.ABC có Đáy ABC là tam giác vuông tại B.
 ( Đề Cao đẳng Y tế - 2006) Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác vuông tại B, SA vuông góc với đáy, BC = a, Gọi M là trung điểm của SB. Chứng minh rằng Tính thể tích khối tứ diện MABC.
Giải
Cách 1: *Chứng minh 
Từ giả thiết và tam giác ABC vuông tại B nên
nên suy ra 
*M là trung điểm SB suy ra 
Vậy (đvtt).
Cách 2: Ta có: 
Chọn hệ Oxyz như hình vẽ: 
M là trung điểm SB:
*VTPT của (SAB)và (SBC) lần lượt là:
Ta thấy nên 
* 
(đvdt).
Nhận xét:
Cách 1: khó khăn đối với học sinh:học sinh thường sai như sau: từsuy ra và không biết cách tính thể tích khối tứ diện MABC.
Cách 2: khắc phục được nhược điểm trên, suy luận toán theo công thức có sẵn, lời giải ngắn gọn, việc chứng minh và tính thể tích khối tứ diện đơn giản.
(Đề tham khảo khối D - 2003) Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại B, AB = a, BC = 2a, và SA = 2a. Gọi M là trung điểm của SC. Chứng minh DAMB cân tại M và tính diện tích tam giác AMB theo a.
Giải
Cách 1: Do vuông tại A suy ra 
vuông tại Bvuông tại B
cân tại M.
Lấy K là trung điểm của AB suy ra và 
Gọi H là trung điểm của ACvà 
Do và 
Trong tam giác MHK vuông tại H có 
Khi đó 
Cách 2: Chọn hệ Oxyz như hình vẽ:
M là trung điểm SC:
ÞM, A, B không thẳng hàng và (cân tại M)
(đvdt)
Nhận xét:
Cách 1: học sinh gặp khó khăn khi tính diện tích tam giác AMB.
Cách 2: khắc phục nhược điểm trên, hình vẽ đơn giản, suy luận toán theo công thức có sẵn,tính diện tích tam giác AMB đơn giản, cách 2 lời giải ngắn gọn.
Cho hình chóp S.ABC có Đáy ABC là tam giác đều.
 (Đề cao đẳng khối A năm 2007) Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác đều
cạnh bằngvà SA = 2a. Tính khoảng cách từ A đến (SBC).
Giải
Cách 1:Gọi M là trung điểm BC.
Ta có (do DABC đều) và suy ra
Trong (SAM) kẻ tại H và nên tại H do đó độ dài đoạn AH là khoảng cách từ A đến (SBC).
DSAM vuông tại A có: 
Vậy khoảng cách từ A đến (SBC) bằng 
Cách 2: Gọi M là trung điểm BC, do DABC đều nên 
Chọn hệ Oxyz như hình vẽ
(SBC) có: 
VTPT của (SBC) là: 
Phương trình mặt phẳng (SBC):
Khoảng cách từ A đến (SBC) bằng:
Nhận xét:
Cách 1: nhiều học sinh không xác định được khoảng cách từ A đến (SBC), không vẽ được hình đúng, kiến thức, tư duy và kĩ năng tính toán yếu.
Cách 2: khắc phục được nhược điểm trên, hình vẽ, suy luận toán đơn giản theo công thức có sẵn, nhưng việc tính toán dài dễ thực hiện.
(Đề cao đẳng Hải Phòng - 2006) Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác 
đều cạnh a, SA = 2a. Gọi I là trung điểm của BC. Chứng minh rằng 
và tính thể tích khối chóp.
Giải
Cách 1: Gọi I là trung điểm của BC suy ra vànên
(đvdt)
Cách 2: Gọi I là trung điểm BC, do DABC đều nên 
Chọn hệ Oxyz như hình vẽ
(SBC) và (SAI) có VTPT:
Ta thấy Vậy 
(đvdt).
Nhận xét:
Cách 1: hình vẽ được đơn giản, lời giải ngắn gọn tuy nhiên học sinh vẫn nhầm lẫn khi chứng minh
Cách 2: biểu thức tính toán hơi cồng kềnh, lời giải không ngắn gọn như cách 1 nhưng suy luận toán theo công thức có sẵn nên học sinh vẫn dễ dàng thực hiện. 
 (Học viện Chính trị Quốc Gia năm 2001) Cho hình chóp S.ABC có đáy tam
giác đều cạnh a, SA = h. 
Tính khoảng cách từ A đến (SBC) theo a và h.
Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp DABC và H là trực tâm DSBC. Chứng minh rằng 
Giải
Cách 1: a) Tính khoảng cách từ A đến (SBC) theo a và h.
Gọi I là trung điểm của BC suy ra vànênTrong DSAI kẻ tại K suy ra suy ra độ dài đoạn AK là khoảng cách từ A đến (SBC).
DSAI vuông tại A có: 
Vậy khoảng cách từ A đến (SBC) bằng 
b) Ta có:
Chứng minh tương tự ta cũng có:
H là trực tâm DSBC nên 
Từ (1) và (2) ta được 
Cách 2: Gọi I là trung điểm BC, do DABC đều nên 
Chọn hệ Oxyz như hình vẽ:
(SBC): VTPT của (SBC) là: Phương trình (SBC): 
Áp dụng công thức tính khoảng cách, ta được: 
b. H(x; y; z) là trực tâm DSBC thì
 hay 
Phương trình mặt phẳng (SBC)phương trình:
chọn một VTPT Ta thấy 
Suy racùng phương với VTPT của (SBC). Vậy 
Nhận xét:
Cách 1: học sinh gặp khó khăn: không xác định được khoảng cách từ A đến (SBC), không vẽ được hình đúng, thường nhầm lẫn khi CM .Lời giải ngắn gọn.
Cách 2: không phải xác định được khoảng cách từ A đến (SBC), khi chứng minh thì việc học sinh sẽ gặp khó khăn khi tìm tọa độ điểm H và tính toán phức tạp hơn tuy nhiên suy luận toán cả hai câu đều theo công thức.
Hình chóp có cạnh bên vuông góc với đáy và đáy là tứ giác
Đáy là hình vuông, chữ nhật
(ĐH Hùng Vương hệ CĐ-2006) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là
hình vuông cạnh a, và SA = a. Tính khoảng cách giữa BD và SC.
Giải
Cách 1: Từ giả thiết và đáy ABCD là hình vuông nêntại O.
Trong (SAC), kẻ tại I và tại K suy ra 
Do nên suy ra OK là đoạn vuông góc chung của SC và BD do đó độ dài đoạn OK là khoảng cách giữa SC và BD.
DABM vuông tại A có AH là đường cao: 
 Vậy khoảng cách giữa SC và BD bằng
Cách 2: Chọn hệ Oxyz như hình vẽ:
Khoảng cách giữa SC và BD: 
Nhận xét:
Cách 1: học sinh gặp khó khăn: không xác định được khoảng cách giữa BD và SC,nếu xác định được thì không biết suy luận để tính khoảng cách đó qua trung gian là đoạn OK, không vẽ được hình đúng.
Cách 2: khắc phục được nhược điểm trên, hình vẽ đơn giản, suy luận toán theo công thức có sẵn, lời giải ngắn gọn hơn cách 1 và học sinh dễ thực hiện.
 (Đại học khối B năm 2006) Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình chữ nhật 
với Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD và SC, BM cắt AC tại I. Chứng minh và tính thể tích khối tứ diện ANIB.
Giải
Cách 1: a) Từ gt ta có: 
Do 
Từ (1) và (2) suy ra (đpcm).
Gọi H là trung điểm của AC thì 
Do tại H
DABI vuông tại I:và 
DABM vuông tại Acó AI là đường cao: 
(đvdt)
Cách 2: 
Chọn hệ Oxyz như hình vẽ:
M, N lần lượt là trung điểm của AD và SC nên 
là VTCP của BM nên BM có pt :
Tương tự:Phương trình đường thẳng AC: 
Tọa độ I là nghiệm của hpt: hay 
(SAC) có nên VTPT là 
(SMB) có nên VTPT:
Suy ra Vậy 
b)
(đvtt).
Nhận xét:
Cách 1: học sinh không vẽ được hình đúng, đây là bài toán khó đối với học sinh. Cách 2: khắc phục được nhược điểm trên, hình vẽ, suy luận đơn giản, tuy lời giải không ngắn gọn, tính toán nhiều nhưng có sẵn công thức, cách giải này học sinh kiên trì, tính toán cẩn thận sẽ đi đến kết quả.
Đáy là hình thang vuông
(Đại học cao đẳng khối D năm 2007) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang, BA = BC = a, AD = 2a. Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên SB. Chứng minh rằng tam giác SCD vuông và tính khoảng cách từ H đến (SCD) theo a.
Giải
Cách 1: Chứng minh rằng tam giác SCD vuông 
Gọi I là trung điểm của AD ÞIA = ID = IC = a và DACD vuông tại C
Lại có: nên hay DSCD vuông tại C.	Từ gt suy ra 
Trong DSAH: 
Gọi lần lượt là khoảng cách từ B, H đến (SCD)
Gọi 
Suy ra 
Cách 2: Chọn hệ Oxyz như hình vẽ:
Ta thấy hay DSCD vuông tại C.
H là hình chiếu của A trên SB nên trong DSAH: 
Gọi E là giao điểm của CD với AB, từ giả thiết suy ra AE = 2AB = 2a.
Phương trình đoạn chắn:
nên phương trình đường thẳng SB: 
Nhận xét:
Cách 1: học sinh không biết lấy thêm điểm I để chứng minh DSCD vuông tại C , vận dụng cách tính khoảng cách dựa vào thể tích và tỉ số thể tích là rất khó đối với học sinh. 
Cách 2: khắc phục được nhược điểm trên, hình vẽ, chứng minh DSCD vuông rất đơn giản, học sinh gặp khó khăn một chút khi tính khoảng cách từ H đến (SCD), tuy lời giải không ngắn gọn, tính toán nhiều nhưng có sẵn công thức,học sinh, tính toán cẩn thận sẽ đi đến kết quả
Hình chóp đều
(Cao đẳng sư phạm Hải Dương) Cho hình chóp đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, đường cao Tính góc giữa mặt bên và mặt đáy của hình chóp.
Giải
Cách 1: Gọi I là trung điểm của BC, do S.ABCD là hình chóp đều nên ta có và (theo định lý 3 đường vuông góc)
Suy ra góc giữa mặt bên và mặt đáy của hình chóp bằng 
Xét DSHI vuông tại H có 
Cách 2: Chọn hệ Oxyz như hình vẽ.
Đáy ABCD (là mặt phẳng (Oxy) có VTPT:
VTPT của (SCD) 
Gọi α là góc giữa mặt bên và mặt đáy của hình chóp.
Vậy góc giữa mặt bên và mặt đáy của hình chóp bằng 
Nhận xét:
Cách 1: học sinh trung bình có thể không xác định được góc giữa đường thẳng và mặt phẳng từ đó sẽ không tính được số đo góc.
Cách 2: hình vẽ và lời giải đơn giản, suy luận toán theo công thức sẵn có
Trong bài này hai cách giải như nhau.
Cho hình chóp đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Gọi E là điểm đối xứng của D qua trung điểm SA, M, N lần lượt là trung điểm của AE, BC. Chứng minh rằng và tính khoảng cách giữa MN và AC theo a.
(Đại học cao đẳng khối B năm 2007)
Giải
Cách 1: Gọi P là trung điểm của SA. Từ giả thiết ta có nên tứ giác MPCN là hình bình hành suy ra
O là tâm hv ABCD thì 
Do 
Cách 2: Gọi O là tâm hình vuông ABCD.
Từ giải thiết Đặt SO = h.
Chọn hệ Oxyz như hình vẽ
P là trung điểm của SA:
E đối xứng với D qua P nên 
M, N lần lượt là trung điểm của AE, BC nên
Vậy 
Ta có: 
Nhận xét:
Cách 1: học sinh không vẽ được hình đúng, đây là bài toán khó đối với học sinh. Cách 2: lời giải không ngắn gọn, tính toán nhiều nhưng có sẵn công thức để áp dụng, suy luận toán theo công thức, cách giải này yêu cầu học sinh kiên trì, tính toán cẩn thận.
BÀI TẬP VẬN DỤNG
 (Đề TK khối A – 2002) Cho DABC vuông cân có cạnh huyền BC = a. Trên 
đường thẳng vuông góc với (ABC) tại A lấy điểm S sao cho góc giữa (ABC) và 
(SBC) bằng 600. Tính độ dài đoạn SA theo a. 
Đáp số:
(ĐH Đà Nẵng khối A - 2001) Cho tứ diện SABC có SC = CA = AB = DABC vuông tại A, sao cho AM = CN = t
Tính độ dài đoạn MN. (Đáp số:)
Tìm giá trị của t đề đoạn MN ngắn nhất.(Đáp số:)
Khi MN ngắn nhất. Chứng minh MN là đoạn vuông góc chung của BC và SA.
 Cho hình chóp S.ABC đáy tam giác đều cạnh a,Tính khoảng cách từ A đến (SBC) theo a.(Đáp số:)
(Cao đẳng Hải Phòng năm 2006) Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác đều cạnh a, SA vuông góc với đáy, SA = 2a. Gọi I là trung điểm của BC. Chứng minh rằng và tính thể tích khối chóp. Đáp số: 
(Đề tham khảo năm 2002) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA = a. Gọi E là trung điểm của cạnh CD. Tính khoảng cách từ S đến BE. Đáp số: 
(Cao đẳng KTKT công nghiệp khối A - 2004) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. và SA = a. Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của A lên SB, SD.
Chứng minh rằng: 
Tính diện tích thiệt diện cắt bởi (AHK) với hình chóp. (Đáp số: )
IV. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường.
Kiểm nghiệm kết quả trước và sau khi dạy cho học sinh qua các buổi học ôn thi tại trường, kết quả như sau:
Trước khi dạy, học sinh giải bằng pp hình học thuần túy
Năm học 2013 – 2014 
Lớp 
Sĩ số
Tỉ lệ hs dưới TB
Tỉ lệ hs trên TB
Tỉ lệ hs khá
A7
47
53,19%
25,53%
21,28%
A8
50
70%
20%
10%
Năm học 2014 - 2015
Lớp 
Sĩ số
Tỉ lệ hs dưới TB
Tỉ lệ hs trên TB
Tỉ lệ hs khá
B6
43
74,42%
18,60%
6,98%
 Sau khi dạy, học sinh được luyện tập cả hai phương pháp, kết quả như sau:
Năm học 2013 – 2014 
Lớp 
Sĩ số
Tỉ lệ hs dưới TB
Tỉ lệ hs trên TB
Tỉ lệ hs khá
A7
47
21,28%
46,28%
31,91%
A8
50
34%
48%
18%
Năm học 2014 - 2015
Lớp 
Sĩ số
Tỉ lệ hs dưới TB
Tỉ lệ hs trên TB
Tỉ lệ hs khá
B6
43
41,86%
44,19%
13,95%
	Khi đưa ra tổ chuyên môn để thảo luận, một số đồng chí giáo viên trong tổ dạy lớp 12 đều áp dụng, có đồng chí luyện tập nhiều hơn pp tọa độ và cũng đã thu được những kết quả nhất định: học sinh dễ tiếp thu, có nhiều học sinh giải được bài toán HHKG hơn trước.
Nhìn chung, học sinh đã chủ động hơn, tự tin hơn khi tiếp xúc với bài toán HHKG, các em đã không còn cảm thấy sợ, thấy ngại khi giải bài toán HHKG như trước kia nữa. Các em biết lựa chọn thích hợp phương pháp giải bài toán liên quan đến hình chóp, biết cách chuyển từ bài toán HHKG sang bài toán HHGT và sử dụng các kiến thức về toạ độ để giải toán. 
C. KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ
I. Kết luận
- Cần luyện tập cho học sinh cả hai phương ph